第一章 · 第四节

函数的运算

用已有的函数构造新的函数

本节内容

四则运算
反函数
复合函数

函数的四则运算

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的定义域分别为 $D_f$ 与 $D_g$，且 $D = D_f \cap D_g \ne \varnothing$。在 $D$ 上可以定义：

定义
和与差：$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
积：$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
商：$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$，其中 $g(x) \ne 0$

运算的实质：对同一自变量处的函数值作四则运算；
商函数的定义域还需去掉使分母为零的点，即 $\{x \in D \mid g(x) \ne 0\}$。

右图：以 $f(x)=\dfrac{x}{2}$ 与 $g(x)=\sin x$ 为例。扫描线经过处，把 $g$ 的纵坐标"叠"到 $f$ 的纵坐标之上，描出的橙色轨迹即和函数 $(f+g)(x)$ 的图像。

随堂练习 · 一四则运算与定义域

题

设 $f(x) = x + 1$，$g(x) = x^2 - 1$，求 $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ 及其定义域。

解

由定义，$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{x+1}{x^2-1}$。

$f$ 与 $g$ 的定义域均为 $\mathbb{R}$；商函数还要求 $g(x) \ne 0$，即 $x^2 - 1 \ne 0$，解得 $x \ne 1$ 且 $x \ne -1$。

∴ $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1}$，定义域为 $(-\infty,-1)\cup(-1,\,1)\cup(1,+\infty)$。

化简 $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{1}{x-1}$ 仅在定义域内成立；定义域应按原式确定，不能因约分而把 $x=-1$ 补回。

反函数的概念

定义 · 反函数
设函数 $y = f(x)$，$x \in D$，值域为 $W$。若对每一个 $y \in W$，都有唯一确定的 $x \in D$ 使 $f(x) = y$，则由此得到一个定义在 $W$ 上、以 $y$ 为自变量的函数，称为 $y = f(x)$ 的反函数，记作 $$x = f^{-1}(y).$$ 习惯上以 $x$ 表示自变量，常将其改写为 $y = f^{-1}(x)$。

存在条件：$f$ 是定义域 $D$ 到值域 $W$ 的一一对应；
联系第三节：若 $f(x)$ 在某区间上单调，则它在该区间上必存在反函数；
注意记号：$f^{-1}(x)$ 表示反函数，不是 $\dfrac{1}{f(x)}$。

右图：机器 $f$ 把输入 $x=2$ 加工成 $y=7$；反函数机器 $f^{-1}$ 恰好把 $7$ 还原为 $2$ —— 两台机器的作用互相抵消。

反函数的图像

点 $(a,\,b)$ 与点 $(b,\,a)$ 关于直线 $y = x$ 对称。若 $(a,\,b)$ 在 $y=f(x)$ 的图像上，即 $b = f(a)$，则 $a = f^{-1}(b)$，故 $(b,\,a)$ 在 $y = f^{-1}(x)$ 的图像上。

$y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的图像
关于直线 $y = x$ 对称

反函数的定义域与值域恰好与原函数互换；
原函数单调递增（减），其反函数也单调递增（减）；
$y = x^2$（$x \in \mathbb{R}$）不是一一对应；限制 $x \in [0,\,2]$ 后才有反函数 $y = \sqrt{x}$，$x \in [0,\,4]$。

联系第二节：$y=\sin x$ 限制在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上得到反正弦函数 $y=\arcsin x$，与此处"限制定义域再求反"的做法完全一致。

随堂练习 · 二求反函数

题

求函数 $f(x) = 2x + 3$ 的反函数，并加以检验。

解

$f(x) = 2x + 3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，是 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的一一对应，故反函数存在。

由 $y = 2x + 3$ 解出 $x = \dfrac{y-3}{2}$；把自变量改记为 $x$，得 $$f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

检验：$f\big(f^{-1}(x)\big) = 2 \cdot \dfrac{x-3}{2} + 3 = x$，恒等式成立。

∴ 反函数为 $f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}$（$x \in \mathbb{R}$）。

求反函数的一般步骤：判断一一对应 → 反解 $x$ → 交换记号 → 写明定义域（即原函数的值域）。

复合函数

定义 · 复合函数
设 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_f$，$u = g(x)$ 的定义域为 $D_g$。若 $g$ 的值域与 $D_f$ 的交集非空，则 $$y = f\big(g(x)\big)$$ 称为由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的复合函数，$u$ 称为中间变量。

复合函数的定义域为 $\{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$；
求值顺序：先内后外——先算 $u = g(x)$，再算 $y = f(u)$。

例　设 $f(u) = u^2$，$g(x) = x + 1$，则 $$f\big(g(x)\big) = \big(g(x)\big)^2 = (x+1)^2.$$

右图：数字沿管线依次通过内层机器 $g$ 与外层机器 $f$，观察 $x \to u \to y$ 的两步加工过程。

复合的顺序不可交换

一般地，$f\big(g(x)\big) \ne g\big(f(x)\big)$，即复合运算不满足交换律。

例　设 $f(u) = u^2$，$g(x) = x + 1$

先 $g$ 后 $f$：$f\big(g(x)\big) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$；
先 $f$ 后 $g$：$g\big(f(x)\big) = x^2 + 1$；
取 $x = 2$：前者为 $9$，后者为 $5$，二者不等。

复合函数的分解

把 $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ 看成复合函数：令内层 $u = g(x) = x^2 + 1$，外层 $y = f(u) = \sqrt{u}$，则 $h(x) = f\big(g(x)\big)$。正确的分解是后续运算（如求导）的基础。

右图：同一个输入 $x = 2$ 经过两条顺序相反的管线，得到不同的结果 $9 \ne 5$。

随堂练习 · 三复合函数

题

设 $f(x) = x^2$，$g(x) = x + 1$，求 $f\big(g(x)\big)$ 与 $g\big(f(x)\big)$，并判断二者是否相等。

解

$f\big(g(x)\big) = \big(g(x)\big)^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$；

$g\big(f(x)\big) = f(x) + 1 = x^2 + 1$。

取 $x = 1$：$f\big(g(1)\big) = 2^2 = 4$，而 $g\big(f(1)\big) = 1 + 1 = 2$，$4 \ne 2$。

∴ $f\big(g(x)\big) = (x+1)^2$，$g\big(f(x)\big) = x^2 + 1$，二者不相等——复合运算不满足交换律。

要说明两个函数不相等，只需举出一个使函数值不同的自变量即可。

复合与反函数的联系

把函数 $f$ 与它的反函数 $f^{-1}$ 复合，两次加工恰好互相抵消：

$f^{-1}\big(f(x)\big) = x, \quad x \in D$
$f\big(f^{-1}(x)\big) = x, \quad x \in W$

$f^{-1} \circ f$ 与 $f \circ f^{-1}$ 都是恒等函数 $I(x) = x$（定义域分别为 $D$ 与 $W$）；
这一对恒等式把本课的两种运算——复合与求反函数——联系在一起；
它也常用来检验所求反函数是否正确（如练习二）。

右图：$x = 5$ 先经 $f(x) = 2x+3$ 得 $13$，再经 $f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}$ 回到 $5$，往返一周，分毫不差。