高等数学 · 第 3 章　导数与微分

导数的概念

从平均变化率到瞬时变化率　·　概念、图像与交互建模

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

平均变化率瞬时变化率切线斜率建模实验

为什么需要导数？

平均速度回答一段过程；导数回答某一个时刻

概念引入平均变化率 → 瞬时变化率

全程平均速度

\mathrm{m/s}

600\,\mathrm{m}\div20\,\mathrm{s}=30\,\mathrm{m/s}

这个数说明汽车在 20 秒内“总体有多快”。但汽车一直在加速，所以它不能代表任何一个具体时刻。

真正需要回答的问题

第 12 秒，
汽车到底有多快？

在 12 秒附近取一个时间区间，计算局部平均速度；再让这个区间不断缩短。

0\,\mathrm{s}

t_0=12\,\mathrm{s}

20\,\mathrm{s}

把考察区间 [a,b] 向 12\,\mathrm{s} 收缩

\bar v_{[a,b]}=\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}

→

当 b-a\to0

局部平均速度趋近第 12 秒的瞬时速度。

导数的几何意义：割线斜率向切线斜率的极限过渡

将一般函数的平均变化率表示为割线斜率，并通过极限过程得到曲线在一点处的切线斜率

几何解释导数 = 切线斜率

符号与几何对象的对应关系

$x_0$ 所考察的自变量取值

$\Delta x$ 自变量相对于 $x_0$ 的增量

$\Delta y$ 自变量增量所引起的函数值增量

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 区间上的平均变化率，对应曲线上两点所确定割线的斜率

$f'(x_0)$ 当 Q 趋近于 P 时割线斜率的极限，即曲线在 P 点处的切线斜率

平均变化率→令 $\Delta x\to0$ →瞬时变化率

导数值与切线方向

几何意义：函数在 $x_0$ 处的导数等于曲线在对应点处切线的斜率。

导数的定义：由直观认识过渡到严格数学表述

在平均变化率与几何极限的基础上，建立导数的严格定义

严格定义变化率极限

辅助情境：水位高度的瞬时变化率

设水位高度为 $h(t)$ 。若需刻画 $t=5$ 时刻水位的变化快慢，应考察 5 附近越来越小时间区间上的平均变化率，并取其极限。

选取邻近区间时间区间 [5, 5+ $\Delta t$ ]

计算平均变化率 $\dfrac{\Delta h}{\Delta t}$

缩小自变量增量 $\Delta t\to0$

取得极限值 $h'(5)$

这一思想可推广到一般函数：当研究函数在某一点处相对于自变量的瞬时变化率时，即自然引出导数概念。

严格定义

当自变量从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ：

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

平均变化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

若该极限存在：则称函数在 $x_0$ 处可导，该极限称为函数在 $x_0$ 处的导数。

瞬时变化率=切线斜率=导数

点导数与导函数：数值与函数的区别

区分函数在一点处的导数值与定义域上的导函数

概念辨析点导数 / 导函数

概念辨析

$f'(x_0)$ 函数在指定点处的导数值。其结果为一个确定数值，对应函数在该点处的瞬时变化率。

$f'(x)$ 若函数在一段区间内各点均可导。则各点导数组成一个新的函数，称为原函数的导函数。

$f'(x_0)=f'(x)\big\vert_{x=x_0}$

求指定点处的导数时，通常先求导函数，再代入相应自变量取值。

同一个 x，在原函数与导函数中对应两种信息

按定义求导：增量、比值与极限

通过面积函数示例理解定义法求导的三个基本步骤

求导方法定义法

辅助示例：正方形面积函数

设正方形边长为 $x$ ，面积 $A=x^2$ 。当边长产生增量 $\Delta x$ 时：

① 求增量 $\Delta A=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$

② 算比值 $\dfrac{\Delta A}{\Delta x}=2x+\Delta x$

③ 取极限 $\Delta x\to0\ \Rightarrow\ A'(x)=2x$

求增量→算比值→取极限

计算要点：应将差商化简为便于 $\Delta x\to0\text{ 并计算极限}$ 的形式。

例 1　常数函数

求函数 $y=c$ （c 为常数）的导数。

$\Delta y=c-c=0$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=0$

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=0$

$(c)'=0$

例 2　 $y=x^2$

求函数 $y=x^2$ 的导数。

$\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x$

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to0}(2x+\Delta x)=2x$

$(x^2)'=2x$

幂函数的导数及基本公式

通过长度、面积与体积的变化率理解幂函数求导公式，并结合例3进行训练

基本公式 1幂函数

幂函数变化率的直观比较

对象	函数	导数	直觉
直线长度	$x$	$1$	变化率保持为常数 1
正方形面积	$x^2$	$2x$	面积的瞬时变化率随边长线性增大
立方体体积	$x^3$	$3x^2$	体积的瞬时变化率随边长平方增长

$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$

适用说明：幂函数公式应在函数有定义且可导的区间内使用；含负指数或分数指数时必须同时判断定义域。

涉及根式、分式时通常先改写为幂函数形式： $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ， $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ 。

例 3　分式与根式

求：（1） $y=\dfrac{1}{x}$ ；（2） $y=\sqrt{x}$ 的导数。

（1） $y=x^{-1}\Rightarrow y\prime=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$

（2） $y=x^{1/2}\Rightarrow y\prime=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

方法要点：应首先判断是否可将根式或分式改写为 x 的幂，再应用幂函数求导公式。

正弦函数与余弦函数的导数

在弧度制下，借助单位圆建立直观认识，并结合例4给出定义法推导

基本公式 2三角函数

直观模型：单位圆运动的纵坐标变化

单位圆上点的纵坐标可表示为 $\sin x$ 。随着转角 x 改变，纵坐标的瞬时变化率由 $\cos x$ 描述。

$(\sin x)'=\cos x\qquad(\cos x)'=-\sin x$

说明：上述三角函数求导公式以 弧度制 为前提。

例 4　求 $y=\sin x$ 的导数

$\Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x$

$=2\cos\left(\dfrac{2x+\Delta x}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\Delta x}{2}\right)$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cos\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\cdot\dfrac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}$

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to0}\cos\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}$

$=\cos x\cdot1=\cos x$

结论： $(\sin x)'=\cos x;\quad(\cos x)'=-\sin x$ 。

指数函数与对数函数的导数

从函数增长特征理解导数公式，并结合例5计算指定点处导数

基本公式 3指数 / 对数

指数函数的增长特征

指数函数具有按比例增长的特征，其瞬时变化率与函数值本身成比例。

使用条件：指数与对数的底数满足 $a>0,\ a\ne1$ ；对数函数还要求 $x>0$ 。

$(a^x)'=a^x\ln a$

$(e^x)'=e^x$

对数函数的变化率特征

$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$

例 5　求指定点处的导数

（1） $y=\cos x,\ x=\dfrac{\pi}{2}$ ；（2） $y=2^x,\ x=1$ 。

（1） $y'=-\sin x\ \Rightarrow\ y'\big\vert_{x=\pi/2}=-1$

（2） $y'=2^x\ln2\ \Rightarrow\ y'\big\vert_{x=1}=2\ln2$

注意：求某点处导数，一般先求导函数，再代入该点；不能先把 x 代成常数再求导。

基本求导公式的分类与应用

按函数类型识别、必要变形与公式应用的顺序进行求导

公式体系分类识别与应用

函数识别路线图

给定函数

→

常数 $c\to0$

幂函数 $x^\alpha\to\alpha x^{\alpha-1}$

三角函数 $\sin x,\;\cos x$

指数函数 $a^x\to a^x\ln a$

对数函数 $\log_a x\to\dfrac{1}{x\ln a}$

家族	函数	导数
常数	$c$	$0$
幂函数	$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$
正弦	$\sin x$	$\cos x$
余弦	$\cos x$	$-\sin x$

家族	函数	导数
指数	$a^x$	$a^x\ln a$
自然指数	$e^x$	$e^x$
对数	$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$
自然对数	$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

使用条件： $a>0,\ a\ne1$ ； $\log_a x$ 与 $\ln x$ 要求 $x>0$ 。

第一步：识别函数类型判断属于幂、指数、对数或三角函数

第二步：进行必要变形将根式、分式尽可能改写为幂的形式

第三步：应用对应公式根据函数类型选用相应求导公式

第四步：规范结果形式将结果化为常用、规范的表达形式

导数的几何应用：切线与法线

利用导数给出的切线斜率，结合点斜式方程建立切线与法线方程

几何应用切线 / 法线

建立切线方程所需的基本条件

点曲线上的切点坐标 $(x_0,f(x_0))$

斜率切线斜率 $f'(x_0)$

由导数建立直线方程

切点 $(x_0,f(x_0))$

＋

导数值 $f'(x_0)$

→

切线 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

$y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$

法线说明：当 $f'(x_0)\ne0$ 时，法线斜率为 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$ ；当 $f'(x_0)=0$ 时，切线水平，法线为竖直直线 $x=x_0$ 。

例 6　 $y=x^3$ 在 (2,8) 处

$k=y'\big\vert_{x=2}=3x^2\big\vert_{x=2}=12$

切线： $y-8=12(x-2)\ \Rightarrow\ 12x-y-16=0$

法线斜率： $-\dfrac{1}{12}$

法线： $y-8=-\dfrac{1}{12}(x-2)\ \Rightarrow\ x+12y-98=0$

导数在实际变化率问题中的应用

速度、加速度、电流强度和边际成本等实际量均可统一表示为相应函数的导数

实际应用变化率模型

直线运动：速度与加速度

路程 $s(t)$ 对时间的瞬时变化率是速度：

$v=s'(t)$

速度 $v(t)$ 对时间的瞬时变化率是加速度：

$a=v'(t)$

加速度是速度关于时间的瞬时变化率。

电路模型：电流强度

若通过导体横截面的电荷量为 $Q(t)$ ，则电荷量关于时间的瞬时变化率表示电流强度：

$i=Q'(t)$

经济模型：边际成本

设总成本为 $C(x)$ ，则成本关于产量的瞬时变化率称为边际成本：

$\text{边际成本}=C\prime(x)$

建模步骤：先确定变量之间的函数关系，再根据实际含义求相应导数。

统一数学结构

原函数 $Y=Y(X)$

→

导数 $Y'(X)$

→

实际含义单位自变量的瞬时变化率

可导性与连续性的关系

通过典型图像辨析连续性与可导性，并理解可导的必要条件

性质判断可导 ⇒ 连续

$\text{可导}\Rightarrow\text{连续}\qquad\text{但}\qquad\text{连续}\nRightarrow\text{可导}$

可导⇒连续

连续⇏可导

尖点竖直切线左右导数不相等

图像直观：可导点通常表现为曲线在该点连续且局部方向平滑；严格判定仍以差商极限存在且为有限值为准。

例 7　连续但不可导

函数 $y=\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ 在 $x=0$ 处连续，但在 $x=0$ 处不可导。

连续性：函数 $f(x)=\lvert x\rvert^{2/3}$ 在 $x=0$ 处连续。

可导性：按定义考察差商：

$\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{\lvert h\rvert^{2/3}}{h}$

当 $h\to0^+$ 时差商趋于 $+\infty$ ；当 $h\to0^-$ 时差商趋于 $-\infty$ 。

因此不存在有限导数，故函数在 $x=0$ 处不可导。

判别方法：对定义域内部点，函数在该点可导，当且仅当左导数与右导数都存在且相等。

本节知识结构

从概念形成、几何解释、计算方法、实际应用到可导性判断形成完整知识体系

知识总结结构化回顾

平均变化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

→

极限过程 $\Delta x\to0$

→

导数 $f'(x_0)$

几何切线斜率

计算定义法 / 公式

应用实际变化率

性质可导与连续

1. 概念来源由区间平均变化率过渡到点处瞬时变化率

2. 数学本质 $\Delta x\to0\text{ 后}$ 的平均变化率极限；几何上就是切线斜率

3. 计算方法定义法求导与基本函数求导公式

4. 典型应用切线与法线、速度、加速度、电流强度、边际成本

$\text{平均变化率}\;\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ → $\Delta x\to0$ → $\text{导数}\;f'(x_0)$ = 切线斜率

计算路径

定义→三步法→基本公式

求导时应先识别函数类型，再选用相应方法与基本公式。

可导性判断

可导⇒连续但不能反推

连续是可导的必要条件，但可导还要求差商极限存在并为有限值。

习题 1：由平均速度计算过渡到瞬时速度

平均变化率、极限与瞬时变化率

练习 1定义思想

题目

物体作直线运动的方程为 $s=3t^2+1$ （m），求：（1）2 s 到 $(2+\Delta t)$ s 的平均速度；（2）2 s 时的速度；（3） $t_0$ s 时的速度。

本题以代数计算形式体现由区间平均速度向瞬时速度过渡的定义思想。

（1） $\Delta s=s(2+\Delta t)-s(2)=12\Delta t+3(\Delta t)^2$

$\bar v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=12+3\Delta t\ \mathrm{(m/s)}$

（2） $v(2)=\lim\limits_{\Delta t\to0}(12+3\Delta t)=12\ \mathrm{(m/s)}$

（3） $s'(t)=6t$ ，因此 $v(t_0)=6t_0\ \mathrm{(m/s)}$

验算：把 $t_0$ =2 代入第（3）问得到 12 m/s，与第（2）问一致。

对应关系平均速度通过 $\Delta t\to0\text{ 过渡}$ 到瞬时速度。

核心公式v( $t_0$ )= $s'(t_0)$

习题 2：按定义求导的综合训练

分别考查多项式函数与含根式函数的定义法求导

练习 2定义法

2（1） $f(x)=x^3$

求 $f'(x)$ 和 $f'(1),\ f'(2)$ 。

求函数增量 $\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3$

$=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$

计算差商 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2$

取极限 $f'(x)=3x^2$

$f'(1)=3,\quad f'(2)=12$

2（2） $y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ，求 $y'\big|_{x=4}$

定义法关键：分子有理化，把根式之差化成 $-\Delta x$ ，从而约掉分母的 $\Delta x$ 。

$y'=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$

$y'\big\vert_{x=4}=-\dfrac{1}{16}$

验算： $y=x^{-1/2}\Rightarrow y'=-\dfrac{1}{2}x^{-3/2}=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$ ，代 $x=4$ 同样得 $-\dfrac{1}{16}$ 。

多项式处理展开并约去 $\Delta x$ 。

根式处理通过有理化构造可约因子。

习题 3：基本求导公式的识别与应用

六个小题综合考查幂函数、指数函数与对数函数的识别及求导

练习 3基本公式

题目	先变形	导数
$(1)\;y=x^{2/3}$	已是幂	$y' = \dfrac{2}{3}x^{-1/3}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
$(2)\;y=\dfrac{1}{x^2}$	$x^{-2}$	$y'=-\dfrac{2}{x^3}$
$(3)\;y=x\sqrt{x}$	$x^{\dfrac{3}{2}}$	$y'=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}$
$(4)\;y=\dfrac{x^3}{\sqrt{x}}$	$x^{\dfrac{5}{2}}$	$y'=\dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$
$(5)\;y=(\sqrt{3})^x$	指数函数	$y'=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3})^x\ln 3$
$(6)\;y=\lg x$	$\log_{10}x$	$y'=\dfrac{1}{x\ln 10}$

两处易错：（5）是指数函数，不是幂函数；（6） $\lg x$ 的导数中不能漏掉 $\ln 10$ 。

（1）—（4）统一化为幂函数形式。

（5）—（6）分别识别为指数函数与对数函数。

习题 4–5：导数几何意义的综合应用

利用导数表示切线斜率，解决切线、法线与平行条件问题

练习 4–5切线 / 平行

习题 4

（1） $y=\sin x$ 在 $(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{1}{2})$ 处的切线斜率；（2） $y=x^3$ 在 $(1,1)$ 处的切线方程和法线方程。

$\text{（1）}\quad k=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\text{（2）}\quad y\prime=3x^2,\quad x=1\text{ 时 }k=3$

切线： $3x-y-2=0$

法线： $x+3y-4=0$

习题 5

求双曲线 $y=\dfrac{1}{x}$ 上哪一点的切线与直线 $y=-x+3$ 平行。

$\text{已知直线斜率 }k_0=-1$

$y'=-\dfrac{1}{x^2}$

$-\dfrac{1}{x^2}=-1\ \Rightarrow\ x^2=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$

代回 $y=\dfrac{1}{x}$ ，所求点为 (1,1) 与 (−1,−1)

核心条件：两直线平行意味着斜率相等，因此可将切线斜率条件转化为导数方程。

习题4导数值→切线斜率→点斜式。

习题5平行条件→斜率相等→导数方程。

习题 6：利用左右导数判断尖点处的可导性

通过 $y=|x|$ 进一步辨析连续性与可导性的关系

练习 6连续 / 可导

讨论函数 $y=\lvert x\rvert$ 在 $x=0$ 处是否连续，是否可导。

$\text{分段： }y=x\ (x\ge0),\quad y=-x\ (x<0)$

连续性：左右极限都等于0，且 $f(0)=0$ ，因此在 $x=0$ 处连续。

右导数： $f'_+(0)=1$

左导数： $f'_-(0)=-1$

左右导数不相等，因此 $x=0$ 处不可导。

本节核心结论

导数的本质瞬时变化率；几何上是切线斜率。

导数的计算可依据定义通过“求增量—算差商—取极限”求导，并进一步使用基本函数求导公式。

可导性的判断不连续点必不可导；连续点仍可能因左右导数不等或出现竖直切线等情形而不可导。

导数的应用用于描述局部变化率，并应用于速度、加速度、电流强度、边际成本及曲线切线等问题。

平均变化率 → 瞬时变化率（导数）

连续性比较极限与函数值。

可导性比较左右导数是否相等。