CALCULUS · LESSON 01

导数概念
与基本法则

从平均变化率出发，把割线推向切线；再用定义、基本公式与四则法则建立第一套求导工具。

差商与极限切线斜率可导与连续基本公式和差积商
曲线、切线和速度表组成的导数概念插画
CHAPTER 03 / LESSON 01
01
KNOWLEDGE BLOCK

变化率：导数从哪里来

先看一个区间内平均变化多快，再追问某一瞬间到底多快。

平均变化率割线斜率h→0h\to0 的过程
概念起点

平均变化率不是“平均值”

它衡量的是因变量的改变量与自变量改变量之比。

  • 区间 [x1,x2][x_1,x_2] 上，先算 Δy=f(x2)−f(x1)\Delta y=f(x_2)-f(x_1)，再除以 Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1。
  • 在运动问题里，它就是平均速度；在图像上，它就是两点割线的斜率。
  • 区间越短，平均变化率越接近该点的瞬时变化率。
ΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
讲清这点分子与分母必须对应同一个区间，不能把函数值与自变量值交叉配对。
课堂训练 · 平均变化率不是“平均值”1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
位移 s(t)=t2s(t)=t^2。求 t=1t=1 到 t=1.1t=1.1 的平均速度。
答案
vˉ=2.1\bar v=2.1
  1. Δs=1.12−12=0.21\Delta s=1.1^2-1^2=0.21。
  2. Δt=0.1\Delta t=0.1，所以 vˉ=0.21/0.1=2.1\bar v=0.21/0.1=2.1。
题目 2
函数 f(x)=x2f(x)=x^2 在区间 [−1,2][-1,2] 上的平均变化率是多少？
答案
11
  1. f(2)−f(−1)=4−1=3f(2)-f(-1)=4-1=3。
  2. 2−(−1)=32-(-1)=3，故平均变化率为 3/3=13/3=1。
题目 3
函数 f(x)=3x−2f(x)=3x-2 在任意区间 [a,b][a,b]（a≠ba\ne b）上的平均变化率是多少？
答案
33
  1. 差商为 (3b−2)−(3a−2)b−a\dfrac{(3b-2)-(3a-2)}{b-a}。
  2. 约去 b−ab-a 后恒为 33；一次函数的割线斜率处处相同。
题目 4
位移 s(t)=5t2s(t)=5t^2。从 t=2t=2 到 t=2+ht=2+h 的平均速度是多少？当 h→0h\to0 时呢？
答案
vˉ=20+5h,v(2)=20\bar v=20+5h,\qquad v(2)=20
  1. s(2+h)−s(2)=5(2+h)2−20=20h+5h2s(2+h)-s(2)=5(2+h)^2-20=20h+5h^2。
  2. 除以 hh 得 20+5h20+5h；令 h→0h\to0 得瞬时速度 2020。
02
KNOWLEDGE BLOCK

导数定义：把区间压到一点

导数不是把 hh 直接代成 00，而是先化简差商，再考察它的极限。

增量式定义三步法导数记号
核心定义

差商的极限就是导数

固定 x0x_0，让第二个点 x0+hx_0+h 不断靠近它。

  • 第一步写增量：Δy=f(x0+h)−f(x0)\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)。
  • 第二步写差商：Δy/h\Delta y/h，并在 h≠0h\ne0 时完成约分或有理化。
  • 第三步取极限：若极限存在且有限，就得到 f′(x0)f'(x_0)。
  • f′(x0)f'(x_0)、y′∣x=x0y'|_{x=x_0} 与 dydx∣x=x0\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0} 表示同一个数。
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
讲清这点把 h=0h=0 直接代入原差商只会得到 0/00/0；必须先做代数变形。
课堂训练 · 差商的极限就是导数1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
用定义求 f(x)=x2f(x)=x^2 在 x0=3x_0=3 处的导数。
答案
f′(3)=6f'(3)=6
  1. 差商：(3+h)2−9h=6+h\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=6+h。
  2. 取 h→0h\to0，得到 66。
题目 2
用定义求 f(x)=1xf(x)=\dfrac1x 在 x0=1x_0=1 处的导数。
答案
f′(1)=−1f'(1)=-1
  1. 差商：1/(1+h)−1h=−11+h\dfrac{1/(1+h)-1}{h}=\dfrac{-1}{1+h}。
  2. 令 h→0h\to0，极限为 −1-1。
题目 3
用定义求 f(x)=xf(x)=\sqrt{x} 在 x0=4x_0=4 处的导数。
答案
f′(4)=14f'(4)=\frac14
  1. 差商乘共轭式：4+h−2h=14+h+2\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\dfrac1{\sqrt{4+h}+2}。
  2. 取极限得 1/(2+2)=1/41/(2+2)=1/4。
题目 4
用定义求一次函数 f(x)=2x+5f(x)=2x+5 在任意点 x0x_0 处的导数。
答案
f′(x0)=2f'(x_0)=2
  1. f(x0+h)−f(x0)=2hf(x_0+h)-f(x_0)=2h。
  2. 差商恒为 22，所以极限也是 22。
几何解释

导数就是切线斜率

求出导数值后，切线与法线都只是直线方程。

  • 曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0 处的切线斜率为 kt=f′(x0)k_t=f'(x_0)。
  • 切线方程：y−y0=f′(x0)(x−x0)y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)。
  • 若 f′(x0)≠0f'(x_0)\ne0，法线斜率 kn=−1/f′(x0)k_n=-1/f'(x_0)；水平切线的法线是竖直线。
  • 求方程前先核对点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 是否真的在曲线上。
kt=f′(x0),y−y0=kt(x−x0)k_t=f'(x_0),\qquad y-y_0=k_t(x-x_0)
讲清这点“导数函数”给出每个位置的斜率；“某点导数”才是写直线方程所需的具体数。
课堂训练 · 导数就是切线斜率1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
求曲线 y=x2y=x^2 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程。
答案
y=2x−1y=2x-1
  1. y′=2xy'=2x，故切线斜率 k=2k=2。
  2. y−1=2(x−1)y-1=2(x-1)，整理得 y=2x−1y=2x-1。
题目 2
求曲线 y=x3y=x^3 在点 (1,1)(1,1) 处的法线方程。
答案
y−1=−13(x−1)y-1=-\frac13(x-1)
  1. y′=3x2y'=3x^2，在 x=1x=1 处切线斜率为 33。
  2. 法线斜率为 −1/3-1/3，代入点斜式。
题目 3
求 y=exy=\mathrm{e}^x 在 (0,1)(0,1) 处的切线方程。
答案
y=x+1y=x+1
  1. (ex)′=ex(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x，所以 f′(0)=1f'(0)=1。
  2. y−1=1(x−0)y-1=1(x-0)。
题目 4
函数 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 的图像在哪些点有水平切线？
答案
x=±1;(1,−2), (−1,2)x=\pm1;\quad (1,-2),\ (-1,2)
  1. 水平切线要求 f′(x)=0f'(x)=0。
  2. 3x2−3=03x^2-3=0，故 x=±1x=\pm1；再代回原函数求纵坐标。
逻辑关系

可导一定连续，连续未必可导

连续只保证图像不断；可导还要求左右斜率汇合为同一个有限值。

  • 若 f′(x0)f'(x_0) 存在，则 ff 在 x0x_0 必连续。
  • 逆命题不成立：尖点、折角、竖直切线都可能连续但不可导。
  • 判断分段函数可导时，顺序是：函数值相等 → 左右导数相等。
  • ∣x∣|x| 在 00 处左右导数分别为 −1-1 与 11。
可导⟹连续,连续⇏可导\text{可导}\Longrightarrow\text{连续},\qquad \text{连续}\nRightarrow\text{可导}
讲清这点反例必须同时说明“连续”和“不可导”的理由，不能只画一个尖角。
课堂训练 · 可导一定连续，连续未必可导1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
函数 f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 x=0x=0 处是否可导？
答案
不可导\text{不可导}
  1. 右导数 f+′(0)=1f'_+(0)=1。
  2. 左导数 f−′(0)=−1f'_-(0)=-1；二者不相等。
题目 2
函数 f(x)=x∣x∣f(x)=x|x| 在 x=0x=0 处是否可导？若可导，导数是多少？
答案
可导，且 f′(0)=0\text{可导，且 }f'(0)=0
  1. f(0)=0f(0)=0，差商为 h∣h∣h=∣h∣\dfrac{h|h|}{h}=|h|。
  2. ∣h∣→0|h|\to0，故导数存在且等于 00。
题目 3
设 f(x)={ax,x<0,x2,x≥0.f(x)=\begin{cases}ax,&x<0,\\x^2,&x\ge0.\end{cases} 要使 ff 在 00 处可导，求 aa。
答案
a=0a=0
  1. 两侧函数值都趋于 00，连续条件自动满足。
  2. 左导数为 aa，右导数为 00；令二者相等得 a=0a=0。
题目 4
判断命题：f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} 在 x=0x=0 处连续，因此在该点可导。
答案
错误\text{错误}
  1. 函数在 00 处连续。
  2. 差商为 h1/3/h=h−2/3h^{1/3}/h=h^{-2/3}，当 h→0h\to0 时不趋于有限值，所以不可导。
03
KNOWLEDGE BLOCK

用定义推导：公式不是凭空来的

亲手推导四个代表函数，理解约分、有理化与极限在公式背后的作用。

幂函数一次函数倒数函数根式函数
方法训练

三步法：增量、差商、极限

定义法看似慢，却能解释每一条基本公式为什么成立。

  • 先写 f(x+h)−f(x)f(x+h)-f(x)，整个函数表达式都要加括号。
  • 展开、因式分解或有理化，让分子出现公因子 hh。
  • 在 h≠0h\ne0 时约去 hh，最后再令 h→0h\to0。
  • 定义法的结果是关于 xx 的函数，而不是只在某一点的数。
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
讲清这点出现 0/00/0 型时，说明仍需继续进行代数化简。
课堂训练 · 三步法：增量、差商、极限1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
从定义出发，求 f(x)=x3f(x)=x^3 的导函数。
答案
f′(x)=3x2f'(x)=3x^2
  1. (x+h)3−x3=3x2h+3xh2+h3(x+h)^3-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3。
  2. 除以 hh 后取极限：3x2+3xh+h2→3x23x^2+3xh+h^2\to3x^2。
题目 2
用定义证明 f(x)=ax+bf(x)=ax+b 的导数恒为 aa。
答案
f′(x)=af'(x)=a
  1. f(x+h)−f(x)=a(x+h)+b−(ax+b)=ahf(x+h)-f(x)=a(x+h)+b-(ax+b)=ah。
  2. 差商为 aa，与 hh 无关。
题目 3
用定义求 f(x)=1/xf(x)=1/x 的导函数，并写出定义域。
答案
f′(x)=−1x2,x≠0f'(x)=-\frac1{x^2},\qquad x\ne0
  1. 差商化为 −1/[x(x+h)]-1/[x(x+h)]。
  2. 令 h→0h\to0 得 −1/x2-1/x^2；原函数要求 x≠0x\ne0。
题目 4
用定义求 f(x)=xf(x)=\sqrt{x} 在 x>0x>0 时的导函数。
答案
f′(x)=12xf'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}
  1. 有理化后差商为 1/(x+h+x)1/(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})。
  2. 令 h→0h\to0 得 1/(2x)1/(2\sqrt{x})。
04
KNOWLEDGE BLOCK

基本公式：把定义变成工具箱

公式必须完整记忆：指数、底数、符号与定义域，一个都不能丢。

常数与幂指数与对数三角函数
公式清单

先认函数，再准确套公式

本页只处理最基本的函数；复合结构留到下一课。

  • (C)′=0(C)'=0；(xα)′=αxα−1(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}。
  • (ex)′=ex(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x；(ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a。
  • (ln⁡x)′=1/x(\ln x)'=1/x；(log⁡ax)′=1/(xln⁡a)(\log_a x)'=1/(x\ln a)。
  • (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x；(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x。
(xα)′=αxα−1,(ex)′=ex,(ln⁡x)′=1x,(sin⁡x)′=cos⁡x\begin{aligned}(x^\alpha)'&=\alpha x^{\alpha-1},&(\mathrm{e}^x)'&=\mathrm{e}^x,\\(\ln x)'&=\frac1x,&(\sin x)'&=\cos x\end{aligned}
讲清这点不要把 ex\mathrm{e}^x 写成 ex；上标 xx 是函数结构的一部分。
课堂训练 · 先认函数，再准确套公式1 / 8　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
求 y=7y=7 的导数。
答案
y′=0y'=0
  1. 常数函数的函数值不随 xx 改变。
  2. 因此变化率处处为 00。
题目 2
求 y=x7y=x^7 的导数。
答案
y′=7x6y'=7x^6
  1. 指数 77 乘到前面。
  2. 原指数减 11 得 66。
题目 3
求 y=x−3y=x^{-3} 的导数。
答案
y′=−3x−4=−3x4y'=-3x^{-4}=-\frac3{x^4}
  1. 负指数同样适用幂函数公式。
  2. 定义域仍为 x≠0x\ne0。
题目 4
求 y=xy=\sqrt{x} 的导数。
答案
y′=12x(x>0)y'=\frac1{2\sqrt{x}}\quad(x>0)
  1. 先写成 x1/2x^{1/2}。
  2. 求导得 12x−1/2\tfrac12x^{-1/2}。
题目 5
求 y=exy=\mathrm{e}^x 的导数。
答案
y′=exy'=\mathrm{e}^x
  1. 自然指数函数的导数仍是自身。
  2. 指数必须写在右上角。
题目 6
求 y=2xy=2^x 的导数。
答案
y′=2xln⁡2y'=2^x\ln2
  1. 使用 (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a。
  2. 底数 a=2a=2，所以多乘 ln⁡2\ln2。
题目 7
求 y=ln⁡xy=\ln x 的导数，并写出定义域。
答案
y′=1x,x>0y'=\frac1x,\qquad x>0
  1. 套用自然对数公式。
  2. 原函数定义域 x>0x>0 必须保留。
题目 8
分别求 y=sin⁡xy=\sin x 与 z=cos⁡xz=\cos x 的导数。
答案
y′=cos⁡x,z′=−sin⁡xy'=\cos x,\qquad z'=-\sin x
  1. 正弦求导变余弦。
  2. 余弦求导变负正弦。
05
KNOWLEDGE BLOCK

四则法则：先看结构，再动笔

和差逐项、乘积两项、商式平方；每道题先用一句话说出最外层结构。

和差法则乘积法则商法则
基本法则

和差可以逐项求导

常数倍保留，多个项按原来的加减号连接。

  • (u±v)′=u′±v′(u\pm v)'=u'\pm v'。
  • (Cu)′=Cu′(Cu)'=Cu'，常数因子可以直接提出。
  • 求导后再合并同类项；不要在求导前随意改变定义域。
(Cu+Dv)′=Cu′+Dv′(Cu+Dv)'=Cu'+Dv'
讲清这点和差法则最容易，但符号错误也最常见；尤其要保留减号。
课堂训练 · 和差可以逐项求导1 / 3　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
求 y=3x4−2x2+5y=3x^4-2x^2+5 的导数。
答案
y′=12x3−4xy'=12x^3-4x
  1. 逐项求导：(3x4)′=12x3(3x^4)'=12x^3。
  2. (−2x2)′=−4x(-2x^2)'=-4x，常数 55 的导数为 00。
题目 2
求 y=ex+ln⁡xy=\mathrm{e}^x+\ln x 的导数。
答案
y′=ex+1x(x>0)y'=\mathrm{e}^x+\frac1x\quad(x>0)
  1. 两项分别使用指数与对数公式。
  2. 原函数要求 x>0x>0。
题目 3
求 y=sin⁡x−cos⁡xy=\sin x-\cos x 的导数。
答案
y′=cos⁡x+sin⁡xy'=\cos x+\sin x
  1. (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x。
  2. 减去 (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x，所以负负得正。
基本法则

乘积求导不是“导数相乘”

每次只让一个因子求导，另一个保持不动，然后把两项相加。

  • (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'。
  • 口诀可以记，但书写顺序要稳定：前导后不导 + 前不导后导。
  • 多因子乘积可逐个轮换求导，或先把其中两项看成整体。
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'
讲清这点错误写法 u′v′u'v' 会漏掉函数乘积变化的两部分贡献。
课堂训练 · 乘积求导不是“导数相乘”1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
求 y=x2exy=x^2\mathrm{e}^x 的导数。
答案
y′=ex(x2+2x)y'=\mathrm{e}^x(x^2+2x)
  1. (x2)′ex+x2(ex)′=2xex+x2ex(x^2)'\mathrm{e}^x+x^2(\mathrm{e}^x)'=2x\mathrm{e}^x+x^2\mathrm{e}^x。
  2. 提取公因子 ex\mathrm{e}^x。
题目 2
求 y=(x+1)(x2−1)y=(x+1)(x^2-1) 的导数。
答案
y′=3x2+2x−1y'=3x^2+2x-1
  1. y′=(x2−1)+(x+1)2xy'=(x^2-1)+(x+1)2x。
  2. 展开合并得 3x2+2x−13x^2+2x-1。
题目 3
求 y=xsin⁡xy=x\sin x 的导数。
答案
y′=sin⁡x+xcos⁡xy'=\sin x+x\cos x
  1. (x)′sin⁡x+x(sin⁡x)′(x)'\sin x+x(\sin x)'。
  2. 得到 sin⁡x+xcos⁡x\sin x+x\cos x。
题目 4
求 y=exln⁡xy=\mathrm{e}^x\ln x 的导数。
答案
y′=ex(ln⁡x+1x),x>0y'=\mathrm{e}^x\left(\ln x+\frac1x\right),\quad x>0
  1. y′=exln⁡x+ex/xy'=\mathrm{e}^x\ln x+\mathrm{e}^x/x。
  2. 提取 ex\mathrm{e}^x，并保留 x>0x>0。
基本法则

商式：分母平方，次序不能反

先给分母平方，再按“子导母减子母导”写分子。

  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}。
  • 减号顺序固定；交换次序会让答案整体变号。
  • 最后检查原式分母不为 00 的定义域条件。
(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\qquad(v\ne0)
讲清这点能先化简的分式可以先化简，再用基本公式求导，往往更短。
课堂训练 · 商式：分母平方，次序不能反1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案
题目 1
求 y=x2+1xy=\dfrac{x^2+1}{x} 的导数。
答案
y′=1−1x2,x≠0y'=1-\frac1{x^2},\qquad x\ne0
  1. 先化简 y=x+1/xy=x+1/x。
  2. 逐项求导得 1−x−21-x^{-2}。
题目 2
求 y=sin⁡xxy=\dfrac{\sin x}{x} 的导数。
答案
y′=xcos⁡x−sin⁡xx2,x≠0y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2},\qquad x\ne0
  1. 分子导数为 cos⁡x\cos x，分母导数为 11。
  2. 代入商法则：(xcos⁡x−sin⁡x)/x2(x\cos x-\sin x)/x^2。
题目 3
求 y=exx+1y=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x+1} 的导数。
答案
y′=xex(x+1)2,x≠−1y'=\frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2},\qquad x\ne-1
  1. 分子：ex(x+1)−ex\mathrm{e}^x(x+1)-\mathrm{e}^x。
  2. 合并为 xexx\mathrm{e}^x，分母为 (x+1)2(x+1)^2。
题目 4
求 y=ln⁡xxy=\dfrac{\ln x}{x} 的导数。
答案
y′=1−ln⁡xx2,x>0y'=\frac{1-\ln x}{x^2},\qquad x>0
  1. u′=1/xu'=1/x，v′=1v'=1。
  2. y′=[(1/x)x−ln⁡x]/x2=(1−ln⁡x)/x2y'=[(1/x)x-\ln x]/x^2=(1-\ln x)/x^2。
LESSON COMPLETE

从“变化”走到“规则”

本课完成了导数概念的闭环：区间变化率 → 极限 → 切线斜率 → 基本公式与四则运算。

01平均变化率是差商；瞬时变化率是差商在区间压缩时的极限。
02导数存在意味着函数在该点连续，但连续并不能保证可导。
03定义法的核心是先化简 0/00/0 型差商，再取极限。
04基本公式要写准指数、底数与负号，尤其是 ex\mathrm{e}^x 与 (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x。
05和差逐项、乘积两项、商式分母平方；先认结构，再套法则。

课件总览 · 共 25 页

第 03 章 · 导数与微分

每节课均为独立 HTML

01导数概念与基本法则当前课件02导数运算法则打开课件03隐函数求导与对数求导打开课件04函数的微分打开课件05导数与微分总复习打开课件