§3.1 导数的概念｜第3章导数与微分

3.1第 3 章　导数与微分

导数的概念

从“这一段平均有多快”，到“这一刻到底有多快”

本课5 个部分

建模案例无人机爬升、航线倾角

先修函数的极限

割线 PQ 的斜率—

切线的斜率—

点 Q 沿曲线趋近 P，割线趋近切线；割线斜率的极限为点 P 处的导数。

导数：定义、计算与应用

爬升速度、放电电流、成本增长、刀具磨损……都是“变化有多快”的问题。它们用同一个数学工具来描述。

理解导数是什么

平均变化率取极限，得到瞬时变化率；在图上，它是切线的斜率。

计算两种求法

用定义“三步法”求导；更常用的是直接套基本求导公式。

应用切线与建模

写出切线方程、法线方程；用导数解读爬升速度、航线倾角等工程问题。

判断可导与连续

认识尖点、断点、竖直切线三类不可导点，分清可导与连续的关系。

记号提醒增量记号

\Delta x

（读作“德尔塔 x”），它表示“新值减旧值”，是一个整体，不是

\Delta

乘

x

。

一

§3.1 导数的概念

瞬时变化率

从生活中的测速说起

区间测速和雷达测速，测的是同一种速度吗？

“某一时刻的速度”能不能用平均速度算出来？

这个过程画在图上是什么样子？

工程情境

飞控要的，是“这一刻”的爬升速度

植保无人机起飞后垂直爬升，气压高度计每秒记录一次高度：

$t$ / s	0	1	2	3	4	5	6
$h$ / m	0	3	8	15	24	35	48

4 s 到 6 s 的平均爬升速度 $=\dfrac{48-24}{6-4}=12$ m/s。它只说明“这两秒平均下来”有多快。

飞控每一瞬间都要按此刻的爬升速度调油门：这叫瞬时速度。

计算任务拟合数据得到高度函数

h(t)=t^2+2t

。第 4 秒这一瞬间，爬升速度是多少？

难点“一瞬间”没有时间长度。直接取

\Delta t=0

，

\dfrac{\Delta h}{\Delta t}

变成

\dfrac00

，没有意义。

思路让

\Delta t

越来越小，看平均速度向哪个数靠近——这正是第 2 章“极限”的想法。

双屏联动：把时间段不断缩短，平均速度向哪个数靠近？

在 $t_0=4$ 处取一小段 $[4,\,4+\Delta t]$ 。左屏是无人机，右屏是高度曲线。拖动滑块，再点“记录这一行”。

时间段

\Delta t

这一小段的平均爬升速度 / (m/s)

记录表

$\Delta t$ / s	$\Delta h$ / m	$\dfrac{\Delta h}{\Delta t}$

“往前取”表示取 4 秒之前的一小段，此时 $\Delta t$ 为负数。

两侧都在逼近 10，用代数确认

记录表告诉我们“靠近 10”，代数告诉我们“为什么是 10”。

求增量

\Delta h=h(4+\Delta t)-h(4)=10\,\Delta t+(\Delta t)^2

算比值，约分

\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{10\,\Delta t+(\Delta t)^2}{\Delta t}=10+\Delta t

取极限

v(4)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta h}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}(10+\Delta t)=10\ \text{m/s}

为什么要先约分约分前分子、分母都趋于 0；约掉

\Delta t

以后，就能直接让

\Delta t\to0

。

瞬时速度平均速度在

\Delta t\to0

时的极限，就是

t_0

时刻的瞬时速度：

v(t_0)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta h}{\Delta t}

回到飞控第 4 秒的爬升速度是 10 m/s。若用 4～6 s 的平均值 12 m/s 去调油门，会高估 20%。

二

§3.1 导数的概念

导数的定义

把“求瞬时速度”的做法推广到任意函数

导数的定义怎样用一句话说清楚？

按定义求导分哪三步？

同一个导数，在不同问题里分别表示什么？

导数：平均变化率的极限

把位置 $s(t)$ 换成任意函数 $y=f(x)$ ，做法完全一样。

定义函数

y=f(x)

在

x_0

处，自变量改变

\Delta x

，函数改变

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

。当

\Delta x\to0

时，如果平均变化率

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

趋于一个确定的数，这个数就叫

f(x)

在

x_0

处的导数：

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

这时说 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导；如果这个极限不存在，就说不可导。

记号	读法
$f'(x_0)$	$f$ 在 $x_0$ 处的导数
$y'\big\|_{x=x_0}$	$y$ 的导数在 $x=x_0$ 处的值

记号约定用撇号表示导数；微分形式的记号见 §3.5。

1求增量

\Delta y

2算比值并化简

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

3取极限

\Delta x\to0

例 1　用定义求 $y=x^2$ 的导数，并求 $f'(3)$

先对一般的 $x$ 求，得到的结果对每个 $x$ 都能用。

求增量

\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\,\Delta x+(\Delta x)^2

算比值，化简

\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x

取极限

y'=\lim_{\Delta x\to0}(2x+\Delta x)=2x

代入

x=3

f'(3)=2\times3=6

结论

(x^2)'=2x

看懂结果

x=3

时导数是 6：曲线

y=x^2

在点

(3,9)

处切线的斜率是 6，函数在这里以“

x

的 6 倍速度”增长。

定义法的地位定义法是所有求导公式的来源。实际计算时，我们直接用下一部分的基本公式，不必每次都走三步。

同一个导数，三种读法

算法完全相同，放在不同问题里，名字不同。

场景	函数	$f'(x_0)$ 的含义	单位
一般函数	$y=f(x)$	$y$ 随 $x$ 变化的瞬时变化率	$y$ 的单位 / $x$ 的单位
直线运动	$s=s(t)$	$t_0$ 时刻的瞬时速度	m/s
平面曲线	曲线 $y=f(x)$	点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率	—

导数的符号

f'(x_0)>0

：切线向右上倾斜，函数在

x_0

附近增大

f'(x_0)<0

：切线向右下倾斜，函数在

x_0

附近减小

f'(x_0)=0

：切线水平

导数的绝对值越大，切线越陡，变化越快。

每一点都有一个导数值，连起来就是导函数

在上图拖动（或点“自动扫描”），下图会记下每一点的切线斜率。

上：

y=f(x)

与切线　下：切线斜率

位置

x_0

切线斜率

f'(x_0)

导函数每个

x

都对应一个导数值，就得到一个新的函数，叫导函数，简称导数，记作

f'(x)

或

y'

。

$f'(x_0)$ 是一个数； $f'(x)$ 是一个函数： $f'(x_0)=f'(x)\big|_{x=x_0}$

切线方程与法线方程：一个点加一个斜率

曲线 $y=f(x)$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 处，切线斜率就是导数 $f'(x_0)$ ，用点斜式写方程。

切线

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

法线：过切点，垂直于切线

y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)

两直线垂直，斜率之积为 $-1$ 。若 $f'(x_0)=0$ ，切线是水平线 $y=y_0$ ，法线是竖直线 $x=x_0$ 。

切点

切线方程

法线方程

拖动切点：

y=x^2

切线法线

例 2　求 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 处的切线方程和法线方程

斜率要把切点的横坐标代入导函数，不是代入原函数。

求切线斜率

y'=3x^2,\qquad k=y'\big|_{x=2}=12

写切线

y-8=12(x-2),\ \ \text{即}\ \ 12x-y-16=0

求法线斜率

k_{\text{法}}=-\frac{1}{12}

写法线

y-8=-\frac{1}{12}(x-2),\ \ \text{即}\ \ x+12y-98=0

验算切点

(2,8)

必须同时在两条直线上：

12\times2-8-16=0

✓

2+12\times8-98=0

✓

易错把

x=2

代入原函数得到

8

当斜率 ✗。8 是切点的纵坐标，斜率是导数值 12。

三

§3.1 导数的概念

基本求导公式

基本函数的求导公式及其应用

幂函数怎样求导？根式、分式怎么办？

指数、对数、正弦、余弦的导数是什么？

求某一点的导数，先代入还是先求导？

幂函数：指数拿下来作系数，指数减 1

幂函数公式（

\alpha

为实数）

(x^\alpha)'=\alpha\,x^{\alpha-1}

例 1 的 $(x^2)'=2x$ 就是 $\alpha=2$ 的情形。

用法根式、分式先改写成幂，套公式，再写回根式、分式。

易错

\left(\dfrac{1}{x^3}\right)'=\dfrac{1}{3x^2}

✗
应该

\left(x^{-3}\right)'=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}

✓

函数	改写成幂	求导	写回
$\sqrt{x}$	$x^{\frac12}$	$\frac12x^{-\frac12}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$\dfrac1x$	$x^{-1}$	$-x^{-2}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt[3]{x}$	$x^{\frac13}$	$\frac13x^{-\frac23}$	$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$x^{-2}$	$-2x^{-3}$	$-\dfrac{2}{x^3}$
$x^2\sqrt{x}$	$x^{\frac52}$	$\frac52x^{\frac32}$	$\dfrac52x\sqrt{x}$

指数、对数、三角函数的公式

函数	导数	条件
常数 $C$	$(C)'=0$
指数函数	$(a^x)'=a^x\ln a$	$a>0,\ a\neq1$
自然指数	$(e^x)'=e^x$
对数函数	$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$	$a>0,\ a\neq1$
自然对数	$(\ln x)'=\dfrac1x$
正弦	$(\sin x)'=\cos x$	$x$ 用弧度
余弦	$(\cos x)'=-\sin x$	$x$ 用弧度

为什么偏爱

e

\ln e=1

，以

e

为底的公式最简单：

e^x

求导还是它自己。

先问：变量在底数，还是在指数？

(x^3)'=3x^2

　底数是变量，用幂函数公式

(3^x)'=3^x\ln3

　指数是变量，用指数函数公式

常数的导数是 0

\left(\sin\dfrac{\pi}{3}\right)'=0

，

(e^2)'=0

，

(\ln5)'=0

。它们看起来像函数，其实都是固定的数。

例 3　求指定点的导数：先求导，再代入

y=\cos x

，

x=\frac{\pi}{2}

y'=-\sin x,\quad y'\big|_{x=\frac\pi2}=-\sin\frac{\pi}{2}=-1

y=2^x

，

x=1

y'=2^x\ln2,\quad y'\big|_{x=1}=2\ln2

y=\sqrt{x}

，

x=4

y'=\frac{1}{2\sqrt x},\quad y'\big|_{x=4}=\frac14

错误做法：先代入，再求导

\cos\dfrac{\pi}{2}=0

，

(0)'=0

✗
代入以后只剩一个常数，“怎样变化”的信息已经丢了。

记号要分清

f'(x_0)

：先求导，再代入

[f(x_0)]'

：先代入得常数，再求导，恒为 0

四

§3.1 导数的概念

实际意义与建模

导数是描述“变化快慢”的通用语言

速度、电流、增长速度……为什么都是导数？

导数的单位怎样确定？读数怎样解释？

怎样把一个实际问题变成求导问题？

工程中的“变化率”，都是导数

导数的单位 = 因变量的单位 ÷ 自变量的单位。读懂单位，就读懂了含义。

对象	函数	导数叫什么	单位
无人机	高度 $h(t)$	爬升速度 $h'(t)$	m/s
电池	剩余电量 $Q(t)$	放电速度 $Q'(t)$	A·h/min
电机	温度 $T(t)$	升温速度 $T'(t)$	℃/min
数控刀具	磨损量 $W(t)$	磨损速度 $W'(t)$	mm/h
生产	总成本 $C(x)$	边际成本 $C'(x)$	元/件

读数练习零件成本函数

C(x)

（元），

x

为产量（件），

C'(100)=7

。

含义：产量为 100 件时，总成本正以每件 7 元的速度增长。

读数练习无人机电池

Q'(10)=-0.5

（A·h/min）。

含义：第 10 分钟，电量正以每分钟 0.5 A·h 的速度减少（导数为负）。

建模案例

贴地飞越山坡：哪一段航线太陡？

1情境

无人机贴着山坡飞行，航线为

y=\sqrt{x}

（单位：百米）。机型最大爬升倾角 35°，哪一段飞不了？

2建立关系

机头沿航线的切线方向，倾角

\theta

满足

\tan\theta=y'

。

3求导计算

y'=\dfrac{1}{2\sqrt x}

。令

\dfrac{1}{2\sqrt x}\le\tan35^\circ\approx0.70

，得

x\ge0.51

4回到情境

离坡脚约 51 m 以内，倾角超过 35°，这一段要改成更平缓的航线。

水平位置

x

切线斜率

y'

机身倾角

\theta

图中按真实比例绘制：机身的倾斜角度就是切线的倾斜角度。红色一段是倾角超过 35° 的航线。

五

§3.1 导数的概念

可导与连续

什么样的点找不到确定的切线？

连续的函数一定可导吗？

常见的不可导点有哪几种？

分段函数在分界点是否可导，怎样判断？

从左右两侧逼近：斜率能不能“会合”？

从原点左边、右边各取一点，作割线。让两点靠近原点，观察左右两条割线的斜率。

左割线右割线

离原点的距离

h

左割线斜率

右割线斜率

结论可导一定连续；连续不一定可导。
图像断开的点一定不可导；图像连着的点，还要看两侧斜率是否趋于同一个数。

例 4　分段函数在分界点：先看接不接得上，再看斜率一不一致

f(x)=\begin{cases}x^2, & x<1\\ 2x-1, & x\geq1\end{cases}

接得上：两段在 $x=1$ 处的值都是 1，连续。
斜率：左段 $(x^2)'=2x$ ，在 1 处为 2；右段是直线，斜率 2。
两侧斜率相同，光滑连接，可导， $f'(1)=2$ 。

g(x)=\begin{cases}x^2, & x<1\\ x, & x\geq1\end{cases}

接得上：两段在 $x=1$ 处的值都是 1，连续。
斜率：左段为 2，右段直线斜率为 1。
两侧斜率不同，形成尖点，不可导（但连续）。

课堂练习（一）　定义与公式

先自己算，再点灰色区域核对。按 A 显示本页全部答案。

1物体运动方程

s=t^2+1

（m），用定义求

t=2

s 时的速度。

\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{(2+\Delta t)^2-4}{\Delta t}=4+\Delta t\to4

，所以

v(2)=4

m/s。

2

y=\dfrac{1}{x^2}

，求

y'

。

y=x^{-2}

，

y'=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}

3

y=x\sqrt{x}

，求

y'

。

y=x^{\frac32}

，

y'=\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt{x}

4

y=(\sqrt3)^x

，求

y'

。

指数函数：

y'=(\sqrt3)^x\ln\sqrt3=\dfrac12(\sqrt3)^x\ln3

5

y=\lg x

，求

y'

。

y=\log_{10}x

，

y'=\dfrac{1}{x\ln10}

6

f(x)=\sin x

，求

f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

。

f'(x)=\cos x

，

f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}

课堂练习（二）　切线、实际意义与可导性

先自己算，再点灰色区域核对。

7求

y=x^3

在点

(1,1)

处的切线方程和法线方程。

k=3x^2\big|_{x=1}=3

。切线

y=3x-2

；法线

y-1=-\frac13(x-1)

，即

x+3y-4=0

。

8曲线

y=\sqrt{x}

上哪一点的切线斜率为

\dfrac14

？

\dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac14

，

x=4

，所求点为

(4,2)

。

9无人机电机温度

T(t)

（℃），

t

为分钟。

T'(5)=1.2

是什么意思？

第 5 分钟时，电机温度正以每分钟 1.2 ℃ 的速度升高。

10

y=|x-1|

在

x=1

处可导吗？说明理由。

不可导。图像在

(1,0)

处连续，但左侧斜率

-1

、右侧斜率

1

，是尖点。

本课小结

导数是什么	$f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ：平均变化率的极限
三种读法	瞬时变化率 = 瞬时速度 = 切线斜率
怎样求	定义三步法：增量、比值、极限；常用基本公式直接求
切线、法线	$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ ；法线斜率 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$
建模	建立函数 → 求导 → 代入 → 用单位解释含义
可导与连续	可导一定连续，连续不一定可导（尖点、竖直切线）

课后自查

f'(x_0)

和

[f(x_0)]'

有什么区别？

(3^x)'

能用幂函数公式吗？

y=|x|

在原点为什么不可导？

导数：定义、计算与应用

理解导数是什么

计算两种求法

应用切线与建模

判断可导与连续

瞬时变化率

飞控要的，是“这一刻”的爬升速度

双屏联动：把时间段不断缩短，平均速度向哪个数靠近？

两侧都在逼近 10，用代数确认

导数的定义

导数：平均变化率的极限

例 1 用定义求 y=x2y=x^2y=x2 的导数，并求 f′(3)f'(3)f′(3)

同一个导数，三种读法

每一点都有一个导数值，连起来就是导函数

切线方程与法线方程：一个点加一个斜率

例 2 求 y=x3y=x^3y=x3 在点 (2,8)(2,8)(2,8) 处的切线方程和法线方程

基本求导公式

幂函数：指数拿下来作系数，指数减 1

指数、对数、三角函数的公式

例 3 求指定点的导数：先求导，再代入

实际意义与建模

工程中的“变化率”，都是导数

贴地飞越山坡：哪一段航线太陡？

1情境

2建立关系

3求导计算

4回到情境

可导与连续

从左右两侧逼近：斜率能不能“会合”？

例 4 分段函数在分界点：先看接不接得上，再看斜率一不一致

课堂练习（一） 定义与公式

课堂练习（二） 切线、实际意义与可导性

本课小结

例 1　用定义求 $y=x^2$ 的导数，并求 $f'(3)$

例 2　求 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 处的切线方程和法线方程

例 3　求指定点的导数：先求导，再代入

例 4　分段函数在分界点：先看接不接得上，再看斜率一不一致

课堂练习（一）　定义与公式

课堂练习（二）　切线、实际意义与可导性