CALCULUS · LESSON 02

导数运算
法则

求导的关键不仅是记忆公式，更在于识别结构：先确定最外层，再沿复合层次逐层向内求导。

结构识别积与商链式法则多层复合反函数

CHAPTER 03 / LESSON 02

01

KNOWLEDGE BLOCK

先认结构，再选法则

求导不是从左往右机械抄写；最外层运算决定第一步。

和差乘积或商复合函数

求导导航

先完成函数结构分析

先确定最外层，再标出每个因子或每一层复合。

由加减号连接的独立项：逐项求导。
两个都含 $x$ 的因子相乘：使用乘积法则；上下都是函数：考虑商法则。
一个函数被代入另一个函数：使用链式法则。
复杂题常是法则的叠加；每完成一层，再重新判断剩余结构。

\text{先看最外层}\;\longrightarrow\;\text{选择法则}\;\longrightarrow\;\text{逐层向内}

讲清这点不要因为式子里出现括号就自动用链式法则；括号可能只是乘法分组。

课堂训练 · 先完成函数结构分析1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

函数

y=(x^2+1)^5

的第一步应使用什么法则？请说出外层与内层。

答案

链式法则；外层

u^5

，内层

u=x^2+1

。

整个括号被提升到五次方，最外层是幂函数。
先求外层导数，再乘内层导数。

题目 2

函数

y=x^2\mathrm{e}^x

的最外层结构是什么？

答案

乘积结构：

u=x^2

，

v=\mathrm{e}^x

。

两个因子都随 $x$ 变化。
应使用 $(uv)'=u'v+uv'$ 。

题目 3

函数

y=\ln(\sin x)

应使用什么法则？外层、内层分别是什么？

答案

链式法则；外层

\ln u

，内层

u=\sin x

。

最后执行的是取自然对数。
求导时先得到 $1/u$ ，再乘 $u'=\cos x$ 。

题目 4

函数

y=\dfrac{\sin x}{1+x^2}

的最外层结构是什么？

答案

商结构。

分子与分母都是 $x$ 的函数。
第一步使用商法则；内部再用基本公式。

02

KNOWLEDGE BLOCK

基本公式：先化形，再套用

负指数、分数指数、一般指数与反三角函数，都要先认出标准形。

幂与根式指数与对数三角与反三角

公式校准

公式应与定义域一并掌握

常见错误往往来自遗漏因子或忽略定义域。

$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ ，负指数和分数指数同样适用。
$(a^x)'=a^x\ln a$ ，只有 $a=\mathrm e$ 时额外因子为 $1$ 。
$(\tan x)'=\sec^2x$ ； $(\cot x)'=-\csc^2x$ 。
$(\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x^2}$ ； $(\arctan x)'=1/(1+x^2)$ 。

\begin{aligned}(a^x)'&=a^x\ln a,&(\log_a x)'&=\frac1{x\ln a},\\(\tan x)'&=\sec^2x,&(\arctan x)'&=\frac1{1+x^2}\end{aligned}

讲清这点反三角函数前缀“arc”不能漏；

\sin^{-1}x

在本课中表示反正弦，不表示

1/\sin x

。

课堂训练 · 公式应与定义域一并掌握1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=x^{5/2}

的导数。

答案

y'=\frac52x^{3/2}

指数 $5/2$ 乘到前面。
原指数减 $1$ ： $5/2-1=3/2$ 。

题目 2

求

y=1/x^4

的导数。

答案

y'=-\frac4{x^5},\qquad x\ne0

先写成 $x^{-4}$ 。
求导得 $-4x^{-5}$ 。

题目 3

求

y=3^x

的导数。

答案

y'=3^x\ln3

使用一般指数函数公式。
底数不是 $\mathrm e$ ，所以必须乘 $\ln3$ 。

题目 4

求

y=\log_2x

的导数。

答案

y'=\frac1{x\ln2},\qquad x>0

使用 $(\log_a x)'=1/(x\ln a)$ 。
写出 $x>0$ 。

题目 5

求

y=\tan x

的导数。

答案

y'=\sec^2x

正切的基本导数公式为 $\sec^2x$ 。
定义域排除 $x=\pi/2+k\pi$ 。

题目 6

求

y=\arcsin x

的导数。

答案

y'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\qquad |x|<1

套用反正弦函数的导数公式。
导数表达式在 $|x|<1$ 内有限。

四则法则

每个因子轮流求导一次

乘积越复杂，越要保持项的顺序清楚。

两因子： $(uv)'=u'v+uv'$ 。
三因子： $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ 。
乘积里若含复合函数，该因子的导数还要继续用链式法则。

(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

讲清这点写三因子乘积时，每一项恰好有一个因子带撇号。

课堂训练 · 每个因子轮流求导一次1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=(x^2+1)\cos x

的导数。

答案

y'=2x\cos x-(x^2+1)\sin x

前导后不导： $2x\cos x$ 。
前不导后导： $(x^2+1)(-\sin x)$ 。

题目 2

求

y=x^3\ln x

的导数。

答案

y'=3x^2\ln x+x^2,\qquad x>0

$3x^2\ln x+x^3(1/x)$ 。
第二项化简为 $x^2$ 。

题目 3

求

y=\mathrm{e}^x\sin x

的导数。

答案

y'=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)

$y'=\mathrm{e}^x\sin x+\mathrm{e}^x\cos x$ 。
提取公因子 $\mathrm{e}^x$ 。

题目 4

求

y=x\mathrm{e}^x\cos x

的导数。

答案

y'=\mathrm{e}^x\big[(x+1)\cos x-x\sin x\big]

三项分别为 $\mathrm{e}^x\cos x+x\mathrm{e}^x\cos x-x\mathrm{e}^x\sin x$ 。
提取 $\mathrm{e}^x$ 后合并前两项。

四则法则

分母平方，分子顺序固定

商法则与链式法则常同时出现，先完成商式骨架再处理内部。

$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 。
若分母是 $\mathrm e^x$ 或幂函数，先改写成乘积有时更简洁。
答案应保留原分母不为零的条件。

\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

讲清这点写完后用“量纲检查”：分母一定是原分母的平方。

课堂训练 · 分母平方，分子顺序固定1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=\dfrac{x+1}{x-1}

的导数。

答案

y'=-\frac2{(x-1)^2},\qquad x\ne1

分子为 $(x-1)-(x+1)=-2$ 。
分母为 $(x-1)^2$ 。

题目 2

把

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}

用商法则求导。

答案

y'=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x

分子为 $\cos^2x+\sin^2x=1$ 。
分母为 $\cos^2x$ 。

题目 3

求

y=\dfrac{\ln x}{1+x}

的导数。

答案

y'=\frac{(1+x)/x-\ln x}{(1+x)^2},\qquad x>0

$u'=1/x$ ， $v'=1$ 。
代入商法则并保持分子结构清楚。

题目 4

求

y=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}

的导数。

答案

y'=\mathrm{e}^{-x}(2x-x^2)

先写成 $x^2\mathrm{e}^{-x}$ 。
乘积法则： $2x\mathrm{e}^{-x}-x^2\mathrm{e}^{-x}$ 。

03

KNOWLEDGE BLOCK

链式法则：沿复合层次向内

外层先导，内层照抄；再乘内层导数，直到最内层为止。

单层复合多层复合层层相乘

核心法则

外导乘内导

把内层暂记为 $u$ ，外层公式会立刻变得熟悉。

若 $y=f(u)$ 、 $u=g(x)$ ，则 $y'=f'(u)g'(x)$ 。
外层求导时，内层表达式原样保留。
最后一定要乘内层导数；漏乘是链式法则最常见错误。
可用“层数检查”：有几层非平凡复合，就应出现相应的导数因子。

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

讲清这点先口述“外层是什么、内层是什么”，再写公式，错误会明显减少。

课堂训练 · 外导乘内导1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=(3x+1)^5

的导数。

答案

y'=15(3x+1)^4

外层导数： $5(3x+1)^4$ 。
乘内层导数 $3$ 。

题目 2

求

y=\sqrt{2x-1}

的导数。

答案

y'=\frac1{\sqrt{2x-1}},\qquad x>\frac12

写成 $(2x-1)^{1/2}$ 。
$\tfrac12(2x-1)^{-1/2}\cdot2$ ，系数约掉。

题目 3

求

y=\mathrm{e}^{x^2}

的导数。

答案

y'=2x\mathrm{e}^{x^2}

外层 $\mathrm e^u$ 的导数仍为 $\mathrm e^u$ 。
乘内层 $u=x^2$ 的导数 $2x$ 。

题目 4

求

y=\ln(1+x^2)

的导数。

答案

y'=\frac{2x}{1+x^2}

外层导数为 $1/(1+x^2)$ 。
乘内层导数 $2x$ 。

题目 5

求

y=\sin(4x)

的导数。

答案

y'=4\cos(4x)

外层正弦变余弦。
乘内层 $4x$ 的导数 $4$ 。

题目 6

求

y=\cos(x^3)

的导数。

答案

y'=-3x^2\sin(x^3)

外层余弦求导得到 $-\sin(x^3)$ 。
乘内层导数 $3x^2$ 。

多层复合

一层一层剥，导数因子层层相乘

复合再多也只重复同一件事：当前外层求导，再进入下一层。

给每层命名能减少抄写错误，例如 $y=f(u),u=g(v),v=h(x)$ 。
总导数为 $f'(u)g'(v)h'(x)$ 。
最后从内到外检查：每个非平凡内层是否都贡献了一个导数因子。

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}

讲清这点把中间变量写在草稿边上，能显著减少遗漏。

课堂训练 · 一层一层剥，导数因子层层相乘1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=\sin^2(3x)

的导数。

答案

y'=6\sin(3x)\cos(3x)

外层平方： $2\sin(3x)$ 。
再乘正弦层的 $\cos(3x)$ 与内层 $3$ 。

题目 2

求

y=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}

的导数。

答案

y'=\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}},\qquad x>0

指数层导数仍是 $\mathrm e^{\sqrt{x}}$ 。
乘 $\sqrt{x}$ 的导数 $1/(2\sqrt{x})$ 。

题目 3

求

y=\ln(\ln x)

的导数。

答案

y'=\frac1{x\ln x},\qquad x>1

外层对数给出 $1/\ln x$ 。
乘内层 $\ln x$ 的导数 $1/x$ ；实数定义域要求 $\ln x>0$ 。

题目 4

求

y=\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x}}

的导数。

答案

y'=\frac{\mathrm{e}^{2x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x}}}

外层根式： $[2\sqrt{1+\mathrm e^{2x}}]^{-1}$ 。
内层导数为 $2\mathrm e^{2x}$ ，约去 $2$ 。

题目 5

求

y=(1+\sin^2x)^4

的导数。

答案

y'=8(1+\sin^2x)^3\sin x\cos x

外层四次幂给出 $4(1+\sin^2x)^3$ 。
内层导数为 $2\sin x\cos x$ ；两部分相乘。

综合运算

复杂题：每完成一层，重新识别结构

乘积、商与链式法则不是竞争关系，而是按结构顺序叠加。

先写最外层法则的完整骨架，再求骨架中各部分的导数。
同一题可能同时出现乘积和链式法则。
化简放在最后，优先保证结构与因子完整。

\text{识别}\to\text{写骨架}\to\text{处理内部}\to\text{化简}

讲清这点复杂题不要一步写到最终答案；分层写能让错误位置可见。

课堂训练 · 复杂题：每完成一层，重新识别结构1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=x^2\mathrm{e}^{3x}

的导数。

答案

y'=\mathrm{e}^{3x}(2x+3x^2)

乘积法则： $2x\mathrm e^{3x}+x^2(3\mathrm e^{3x})$ 。
提取 $\mathrm e^{3x}$ 。

题目 2

求

y=\ln x\,\sin(x^2)

的导数。

答案

y'=\frac{\sin(x^2)}x+2x\ln x\cos(x^2),\quad x>0

先用乘积法则。
$[\sin(x^2)]'=2x\cos(x^2)$ 。

题目 3

求

y=\dfrac{\mathrm{e}^x}{1+x^2}

的导数。

答案

y'=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}

商法则分子： $\mathrm e^x(1+x^2)-2x\mathrm e^x$ 。
括号 $1+x^2-2x=(x-1)^2$ 。

题目 4

求

y=(x^2+1)^3\cos x

的导数。

答案

y'=6x(x^2+1)^2\cos x-(x^2+1)^3\sin x

最外层是乘积。
第一因子求导要用链式法则： $3(x^2+1)^2\cdot2x$ 。

04

KNOWLEDGE BLOCK

反函数与抽象复合

当函数本身不方便显式写出时，仍可用导数关系完成计算。

反函数导数抽象函数点值代入

反函数

反函数的斜率互为倒数

原函数在对应点的导数不为零时，反函数导数等于其倒数。

若 $y=f(x)$ 可逆、 $x=f^{-1}(y)$ ，则 $(f^{-1})'(y)=1/f'(x)$ 。
必须找对对应点：先由 $y_0=f(x_0)$ 确认 $x_0$ 。
若 $f'(x_0)=0$ ，不能直接使用倒数公式。

\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\frac1{f'(x_0)},\qquad y_0=f(x_0)

讲清这点反函数图像关于

y=x

对称，所以对应切线斜率互为倒数。

课堂训练 · 反函数的斜率互为倒数1 / 3　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

已知

f(2)=5

，

f'(2)=3

。求

(f^{-1})'(5)

。

答案

\left(f^{-1}\right)'(5)=\frac13

$5=f(2)$ ，对应原函数点的横坐标是 $2$ 。
取 $f'(2)$ 的倒数。

题目 2

设

f(x)=x^3+x

。求

(f^{-1})'(0)

。

答案

1

先解 $f(x_0)=0$ ，得到 $x_0=0$ 。
$f'(x)=3x^2+1$ ，故 $f'(0)=1$ ，倒数仍为 $1$ 。

题目 3

利用反函数关系求

y=\ln x

在

x=\mathrm e^2

处的导数。

答案

y'=\mathrm e^{-2}

$\ln x$ 是 $\mathrm e^x$ 的反函数。
对应原函数点为 $2$ ， $(\mathrm e^x)'|_{x=2}=\mathrm e^2$ ，取倒数。

抽象结构

看不见公式，也能沿结构求导

把 $f'(\cdot)$ 当作“函数 $f$ 在相应输入处的导数”。

$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$ 。
$[f(x)]^2$ 的外层是平方，导数为 $2f(x)f'(x)$ 。
点值题先写一般导数，再代入给定的函数值和导数值。

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

讲清这点抽象函数题不需要猜出

f

的具体表达式。

课堂训练 · 看不见公式，也能沿结构求导1 / 3　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=f(2x+1)

的导数。

答案

y'=2f'(2x+1)

外层导数为 $f'(2x+1)$ 。
乘内层 $2x+1$ 的导数 $2$ 。

题目 2

求

y=[f(x)]^2

的导数。

答案

y'=2f(x)f'(x)

外层平方给出 $2f(x)$ 。
乘内层 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 。

题目 3

设

F(x)=f(g(x))

，且

g(1)=2

、

g'(1)=3

、

f'(2)=-4

。求

F'(1)

。

答案

F'(1)=-12

$F'(x)=f'(g(x))g'(x)$ 。
代入 $x=1$ ： $f'(2)\cdot3=-4\cdot3=-12$ 。

LESSON COMPLETE

让法则按结构工作

本课的核心不是公式数量，而是一条稳定流程：最外层识别 → 写法则骨架 → 逐层处理内部 → 最后化简。

01基本公式要连同额外因子与定义域一起记。

02乘积每个因子轮流求导；商式分母平方、分子顺序固定。

03链式法则是外导乘内导，多层复合就把每层导数依次相乘。

04混合题先完成最外层骨架，再进入其中的复合因子。

05反函数求导先找对应点；抽象函数不需要知道具体表达式。

导数运算
法则

先认结构，再选法则

先完成函数结构分析

基本公式：先化形，再套用

公式应与定义域一并掌握

每个因子轮流求导一次

分母平方，分子顺序固定

链式法则：沿复合层次向内

外导乘内导

一层一层剥，导数因子层层相乘

复杂题：每完成一层，重新识别结构

反函数与抽象复合

反函数的斜率互为倒数

看不见公式，也能沿结构求导

让法则按结构工作

课件总览 · 共 24 页

第 03 章 · 导数与微分

导数运算法则

先认结构，再选法则

先完成函数结构分析

基本公式：先化形，再套用

公式应与定义域一并掌握

每个因子轮流求导一次

分母平方，分子顺序固定

链式法则：沿复合层次向内

外导乘内导

一层一层剥，导数因子层层相乘

复杂题：每完成一层，重新识别结构

反函数与抽象复合

反函数的斜率互为倒数

看不见公式，也能沿结构求导

让法则按结构工作

课件总览 · 共 24 页

第 03 章 · 导数与微分

导数运算
法则