第3章 · 一元函数微分学SECTION 02

第二节 · 导数的运算

导数的基本运算
与复合函数求导

先识别函数结构，再调用基本公式、四则法则和链式法则，完成规范求导。

基本公式→四则法则→链式法则→综合应用

DERIVATIVE TOOLKIT

$(uv)'=u'v+uv'\qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

$y=f(g(x))\quad\Longrightarrow\quad y'=f'(g(x))g'(x)$

识别结构　·　选择法则　·　逐层求导　·　整理检查

3.2 · 导数的运算01 / 12

求导步骤

求导的一般步骤

先判断函数结构，再选择相应的求导法则。

识别结构

先看最外层运算：和差、乘积、商，还是复合函数。

选择法则

确定基本公式，并匹配四则法则或链式法则。

逐层求导

按结构从外到内展开；复合函数必须乘以内层导数。

整理检查

化简结果，核对负号、括号、分母和定义域。

示例判断

$y=(x^2+1)\ln x$ →乘积结构→ $(uv)'=u'v+uv'$

不是看到每一部分分别会求导就直接相乘；应先服从函数的整体结构。

3.2.1 · 导数的基本公式02 / 12

基本公式 I

代数、指数与对数函数的基本求导公式

使用公式时，同时注意参数条件与函数定义域： $a>0,\ a\ne1$ 。

常数与幂函数

常数 $(C)'=0$

任意实指数 $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$

倒数 $(x^{-1})'=-x^{-2}$

根式 $(\sqrt{x})'=\dfrac1{2\sqrt{x}}$

指数函数

一般底数 $(a^x)'=a^x\ln a$

自然指数 $(e^x)'=e^x$

常数倍 $(Ca^x)'=Ca^x\ln a$

乘积提醒 $(uv)'\ne u'v'$

对数函数

一般底数 $(\log_a x)'=\dfrac1{x\ln a}$

自然对数 $(\ln x)'=\dfrac1x$

定义域 $x>0$

常见变形 $\dfrac1x=x^{-1}$

注意根式和倒数可先改写为幂函数；对数函数求导前，应先明确真数的取值范围。

3.2.1 · 导数的基本公式03 / 12

基本公式 II

三角函数与反三角函数的基本求导公式

重点注意余弦、余切以及反余弦、反余切导数中的负号。

三角函数

三角

正弦 $(\sin x)'=\cos x$

余弦 $(\cos x)'=-\sin x$

正切 $(\tan x)'=\sec^2x$

余切 $(\cot x)'=-\csc^2x$

正割 $(\sec x)'=\sec x\tan x$

余割 $(\csc x)'=-\csc x\cot x$

反三角函数

反三角

反正弦 $(\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$

反余弦 $(\arccos x)'=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$

反正切 $(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}$

反余切 $(\operatorname{arccot}x)'=-\dfrac1{1+x^2}$

符号关系反正弦与反余弦的导数互为相反数；反正切与反余切的导数也互为相反数。

$\sin\longrightarrow\cos\quad |\quad \cos\longrightarrow-\sin$

3.2.2 · 导数的四则运算法则04 / 12

四则运算法则

根据函数结构选用相应的四则运算法则

和差逐项求导；乘积使用乘积法则；商使用商法则，并注意分母平方。

函数结构与求导法则

加减号每一项分别求导

两个函数相乘使用乘积法则

一个函数除以另一个使用商法则

常数乘函数常数因子保留不变

和差

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

常数倍

$(Cu)'=Cu'$

乘积

$(uv)'=u'v+uv'$

商

$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

易错点： $(uv)'$ 不是 $u'v'$ ；商法则的分子应按 $u'v-uv'$ 的顺序书写，分母为 $v^2$ 。

例题 1 · 和差与基本公式05 / 12

例题 1 · 和差法则

例题 1：和差法则的应用

先判断结构，再写导数。

（1）求 $y=3x^2-2x+1$ 的导数

按和差法则逐项求导

$y'=(3x^2)'-(2x)'+(1)'$

代入各项的基本求导公式

$=3\cdot2x-2\cdot1+0$

得到结果

$\boxed{y'=6x-2}$

（2）求 $y=\dfrac2x+3\cos x-e^x$ 的导数

改写并拆项

$y'=2(x^{-1})'+3(\cos x)'-(e^x)'$

代入基本公式

$=-2x^{-2}-3\sin x-e^x$

整理结果

$\boxed{y'=-\dfrac2{x^2}-3\sin x-e^x}$

例题 1 · 乘积与商06 / 12

例题 1 · 乘积与商

例题 1（3）（4）：乘积法则与商法则

分别使用乘积法则和商法则。

（3） $y=(x^2+1)\ln x$

标记 $u=x^2+1,\quad v=\ln x$

代入 $y'=u'v+uv'=2x\ln x+(x^2+1)\dfrac1x$

结果 $\boxed{y'=2x\ln x+x+\dfrac1x}$

（4） $y=\dfrac{x-1}{x+1}$

标记 $u=x-1,\ v=x+1,\ u'=v'=1$

代入 $y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}$

结果 $\boxed{y'=\dfrac2{(x+1)^2}}$

规范书写使用乘积法则或商法则时，可先写出 $u,v,u',v'$ ，再代入公式，以减少漏项和符号错误。

例题 2 · 商法则推导07 / 12

利用商法则推导基本公式

例题 2：设 $y=\tan x$ ，求 $y'$

将正切函数写成 $\sin x/\cos x$ ，再利用商法则求导。

$y=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

第1步 $y'=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)'=\dfrac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^2x}$

第2步 $=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$

第3步 $=\dfrac1{\cos^2x}$

结果 $\boxed{(\tan x)'=\sec^2x}$

同理可得

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

$(\cot x)'=-\csc^2x$

$(\sec x)'=\sec x\tan x$

$(\csc x)'=-\csc x\cot x$

例题 3 · 多条规则联用07 / 12

多种求导法则的综合应用

一个函数中含有多种运算时，应按结构依次应用相应法则

乘积法则与三角函数公式。

例题： $y=x\tan x-2\sec x$

$y'=(x\tan x)'-2(\sec x)'$

乘积法则

$(x\tan x)'=\tan x+x(\tan x)'$

代入基本求导公式

$(\tan x)'=\sec^2x,\quad (\sec x)'=\sec x\tan x$

整理结果

$\boxed{y'=\tan x+x\sec^2x-2\sec x\tan x}$

求导顺序

$\begin{gathered}\text{基本公式}\;\longrightarrow\;\text{乘积}\\[2pt]\text{常数倍}\;\longrightarrow\;\text{和差}\end{gathered}$

先处理函数的主要运算结构，再对各部分应用相应的基本求导公式。

3.2.3 · 复合函数的求导法则08 / 12

复合函数

链式法则：外层函数的导数 × 内层函数的导数

可设中间变量 $u$ ，将复合函数分层表示后应用链式法则。

复合函数不是“一次求完”，而是沿着结构逐层传递变化率。

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$

$y=f(u),\quad u=\varphi(x)\quad\Longrightarrow\quad y'=f'(u)\varphi'(x)$

$y=f(u),\ u=\varphi(v),\ v=\psi(x)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dv}\dfrac{dv}{dx}$

外层先求导保留内层函数的位置。
乘以内层导数每经过一层，就补上一层变化率。
还原中间变量最终结果只保留自变量 $x$ 。

外层： $\sin u$ ×内层： $u=2x$ = $2\cos2x$

例题 4—5 · 复合函数10 / 12

外层函数的导数 × 内层函数的导数

设中间变量后应用链式法则

分别练习三角函数与根式函数的复合求导。

例题 4： $y=\sin 2x$ ，求 $\dfrac{dy}{dx}$

设元 $u=2x,\quad y=\sin u$

链式 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=\cos u\cdot2$

结果 $\boxed{y'=2\cos2x}$

例题 5： $y=\sqrt{x^2+1}$ ，求 $\dfrac{dy}{dx}$

设元 $u=x^2+1,\quad y=\sqrt u$

链式 $y'=\dfrac1{2\sqrt u}\cdot2x$

结果 $\boxed{y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

共同方法 $\text{外层函数求导后，乘以内层函数的导数}$

例题 6—8 · 复合与乘积联用11 / 12

多层复合函数

复合层次增加时，应逐层应用链式法则

例题 8 同时用到乘积法则和链式法则。

例题 6

$y=\cos(3x+1)$

链式 $y'=-\sin(3x+1)\cdot(3x+1)'$

结果 $\boxed{y'=-3\sin(3x+1)}$

例题 7

$y=\ln(x^2-1)$

链式 $y'=\dfrac1{x^2-1}\cdot(x^2-1)'$

结果 $\boxed{y'=\dfrac{2x}{x^2-1}}$

例题 8

$y=x\sqrt{1-x}$

乘积 $y'=\sqrt{1-x}+x(\sqrt{1-x})'$

链式 $=\sqrt{1-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{1-x}}$

结果 $\boxed{y'=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}}$

结果检查：例题 8 中，根式部分求导后产生分母，最终结果还需通分并化简。

习题 3-2 · 第1题13 / 16

习题 3-2 · 第 1 题

第 1 题（1）—（4）

和差、幂、指数与对数。

$y=x^5+2\sqrt{x}-\sin\dfrac1\pi$

答案： $\boxed{y'=5x^4+\dfrac1{\sqrt{x}}}$

$y=2x^3-5x^2+7x-9$

答案： $\boxed{y'=6x^2-10x+7}$

$y=2^x-\dfrac1x+\log_2x+2^{10}$

答案： $\boxed{y'=2^x\ln2+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x\ln2}}$

$y=\sqrt{x\sqrt{x}}$

答案： $\boxed{y'=\dfrac3{4\sqrt[4]{x}}}$

求导提示：（1）（2）用和差法则；（3）调用指数、倒数、对数公式；（4）先将根式改写为幂函数。

习题 3-2 · 第1题14 / 16

习题 3-2 · 第 1 题

第 1 题（5）—（8）：乘积、商与复合结构

乘积、商与复合结构。

$y=(x^2+1)\ln x$

答案： $\boxed{y'=2x\ln x+x+\dfrac1x}$

$y=(e^x+1)\tan x$

答案： $\boxed{y'=e^x\tan x+(e^x+1)\sec^2x}$

$y=\dfrac{\sin x}{x}$

答案： $\boxed{y'=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$

$y=\dfrac{x}{x^2+1}$

答案： $\boxed{y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}}$

求导提示：（5）（6）是乘积；（7）（8）是商。先写出所用法则，再代入 $u,v,u',v'$ 。

习题 3-2 · 第2题15 / 16

习题 3-2 · 第 2 题

第 2 题（1）—（3）：复合函数求导

外层导数乘以内层导数。

$y=(2x+5)^{10}$

答案： $\boxed{y'=20(2x+5)^9}$

$y=\sqrt{x^2+1}$

答案： $\boxed{y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

$y=e^{x^2+1}$

答案： $\boxed{y'=2xe^{x^2+1}}$

共同点：三道题都是复合函数，求导时除了外层函数的导数，还要乘以内层函数的导数。

习题 3-2 · 第2题16 / 16

习题 3-2 · 第 2 题

第 2 题（4）—（6）：三角幂、正切与对数

留意负号、系数与括号。

$y=\tan(1-x^2)$

答案： $\boxed{y'=-2x\sec^2(1-x^2)}$

$y=\cos^3\dfrac{x}{2}$

答案： $\boxed{y'=-\dfrac32\cos^2\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{x}{2}}$

$y=\ln(3x^2+2)$

答案： $\boxed{y'=\dfrac{6x}{3x^2+2}}$

注意：（4）的内层导数为 $-2x$ ；（5）需要连续应用两次链式法则。

习题 3-2 · 第3题17 / 19

应用题 · 代入指定点

设 $f(x)=e^{x^2/2}$ ，求 $f'(1)$

复合函数在 $x=1$ 处的导数。

$f(x)=e^{x^2/2}$

第1步 $f'(x)=e^{x^2/2}\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'=xe^{x^2/2}$

第2步 $f'(1)=1\cdot e^{1/2}$

结果 $\boxed{f'(1)=e^{1/2}=\sqrt e}$

$\text{复合结构： }e^{u},\quad u=\dfrac{x^2}{2}$

外层导数仍是 $e^u$ ，并乘以内层函数的导数 $u'=x$ 。

习题 3-2 · 第4题18 / 19

应用题 · 切线平行于 $x$ 轴

曲线 $y=xe^{-x}$ 上哪一点的切线平行于 $x$ 轴？

水平切线的斜率为 0。

$y=xe^{-x}$

求导 $y'=e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$

置零 $e^{-x}(1-x)=0\Rightarrow x=1$

找点 $y(1)=e^{-1}$ ，所以点为 $(1,e^{-1})$

切线 $\boxed{y=e^{-1}}$

$\text{平行于 }x\text{ 轴}\Longleftrightarrow k=y'=0$

因为 $e^{-x}>0$ ，所以只有 $1-x=0$ 能使斜率为 0。

3.2 · 本节小结12 / 12

本节小结

本节知识结构与求导方法

识别函数结构，选择求导法则，按步骤完成求导并检查结果。

基本公式

熟练掌握幂、指数、对数、三角及反三角函数的基本求导公式。

四则法则

和差逐项求导；乘积使用乘积法则；商使用商法则。

链式法则

复合函数求导时，外层函数的导数要乘以内层函数的导数；多层复合函数需逐层应用链式法则。

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最后检查

完成求导后，检查符号、括号、分母、定义域及化简结果。

求导流程

识别结构判断和差、乘积、商或复合关系

选择法则确定基本公式及相应运算法则

逐步求导按结构展开，复合函数逐层求导

化简检查整理结果并核对关键细节

结果检查

符号与括号

乘积与商法则

内层函数导数

定义域与化简

导数的基本运算与复合函数求导