§3.2 导数的运算法则｜第3章导数与微分

3.2第 3 章　导数与微分

导数的
运算法则

根据函数结构，选择求导法则

本课4 个部分

建模案例螺旋桨生产、电池功率、航拍

先修§3.1 基本求导公式

三个齿轮依次啮合：

x

转 1 圈，

u

转 2 圈；

u

转 1 圈，

y

转 1.5 圈。所以

x

转 1 圈，

y

转

2\times1.5=3

圈。复合函数的导数，就是这样一级一级相乘的。

导数的四则运算法则与链式法则

爬升高度函数 $h(t)=t^2+2t$ ，应用求导法则可得 $h'(t)=2t+2$ 。

补全12 个常用公式

新增正切、余切、反正弦、反正切，按规律记。

四则和、差、积、商

和差逐项求；乘积不是

u'v'

；商法则分子顺序不能颠倒。

复合链式法则

把函数拆成内层、外层，外层导数乘内层导数。

建模三个工程问题

螺旋桨产量决策、电池输出功率、航拍覆盖面积。

函数结构判断拿到函数，先问：最后一步做的是什么运算？是加减、乘、除，还是“套在外面的函数”？答案决定用哪条法则。

一

§3.2 导数的运算法则

基本求导公式

补全公式表，找规律记

常用基本求导公式有哪些？

这些公式怎样记，才不会弄混正负号？

12 个常用公式：先翻牌自测

看正面说出导数，再点击翻牌核对。描边的是本课新增的 4 个。

(C)'

0

(x^\alpha)'

\alpha x^{\alpha-1}

(a^x)'

a^x\ln a

(e^x)'

e^x

(\log_a x)'

\dfrac{1}{x\ln a}

(\ln x)'

\dfrac1x

(\sin x)'

\cos x

(\cos x)'

-\sin x

(\tan x)'

\sec^2x

(\cot x)'

-\csc^2x

(\arcsin x)'

\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(\arctan x)'

\dfrac{1}{1+x^2}

规律一名字带“余”的（余弦、余切），导数带负号。

规律二

(\tan x)'=\sec^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}

，

(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}

。

规律三反正弦的分母带根号

\sqrt{1-x^2}

；反正切的分母是

1+x^2

。

正割、余割、反余弦、反余切的公式用得少，需要时查教材附表。反正弦公式只在 $-1<x<1$ 时成立。

二

§3.2 导数的运算法则

四则运算法则

和、差、积、商分别怎样求导

和、差、常数倍的导数怎样求？

乘积的导数为什么不是“导数的乘积”？

商法则的分子顺序怎样记？

和、差、常数倍：逐项求导，常数照抄

法则（

u,v

可导，

C

为常数）

(u\pm v)'=u'\pm v'\qquad (Cu)'=C\,u'

和差法则对任意有限个函数都成立。

爬升速度计算

h(t)=t^2+2t

，现在一步写出：

h'(t)=2t+2

，

h'(4)=2\times4+2=10

m/s ✓
与用定义算的结果一致。

例 1(1)

y=3x^2-2x+1,\quad y'=6x-2

例 1(2) 改写成幂

y=\frac{2}{x}+3\cos x-e^x=2x^{-1}+3\cos x-e^x

逐项求导

y'=-\frac{2}{x^2}-3\sin x-e^x

例 1(3) 成本

C(x)=0.01x^2+5x+200,\quad C'(x)=0.02x+5

建模案例

再多生产，划不划算？

1情境

注塑生产无人机螺旋桨，成本

C(x)=0.01x^2+5x+200

（元），售价 12 元/片。产量到多少时，成本增长速度追上售价？

2建立关系

成本增长速度：

C'(x)

收入增长速度：

R(x)=12x

，

R'(x)=12

3求导计算

C'(x)=0.02x+5

令

0.02x+5=12

，得

x=350

4回到情境

产量低于 350 片时，收入涨得比成本快，增产划算；超过 350 片，就不划算了。

拖动产量成本 C(x)收入 R(x)=12x成本曲线的切线

产量

x

成本增长速度

C'(x)

售价（收入增长速度）12

看图：切线比收入线平缓时增产划算；切线比收入线陡时，成本增长更快。

乘积法则：两个因子都在变，就有两项

先看反例

u=v=x

时，

(x\cdot x)'=(x^2)'=2x

，而

u'v'=1\times1=1

。所以

(uv)'\neq u'v'

。

乘积法则

(uv)'=u'v+uv'

口诀：前导后不导，加上前不导后导。
三个因子： $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ 。

直观理解把

uv

看成长方形的面积。长、宽都在变：面积的变化一部分来自“长在变”，一部分来自“宽在变”，所以是两项相加。

例 2　 $y=x^3e^x$ ，求 $y'$ 。

先写四个量

u=x^3,\ v=e^x;\quad u'=3x^2,\ v'=e^x

代入法则

y'=3x^2e^x+x^3e^x

整理

y'=x^2e^x(x+3)

规范书写先写出

u,\,v,\,u',\,v'

再代公式，能避免绝大多数漏项。

建模案例

电压在降、电流在升：功率怎样变？

1情境

无人机悬停时电池电压逐渐下降，飞控自动加大电流维持推力。第 10 分钟，输出功率变化有多快？

2建立函数

U(t)=25.2-0.15t

（V）

I(t)=18+0.6t

（A）
功率

P=U\cdot I

（W）

3乘积法则

P'=U'I+UI'

P'(10)=-0.15\times24+23.7\times0.6

\phantom{P'(10)}=10.62

（W/min）

4回到情境

电流增大让功率上升，电压下降让功率减小，前者占上风：功率仍在上升，电池负担越来越重。

功率 = 电压 × 电流（长方形面积）

第

t

分钟

P'(t)

的两个来源（W/min）

商法则：分子是减法，顺序不能颠倒

商法则（

v\neq0

）

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

口诀：上导乘下，减去上乘下导，除以下的平方。

两个易错点① 分子写成

uv'-u'v

，差一个负号 ✗
② 分母写成

v

，忘了平方 ✗

特例： $\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ 。公式表里的 $(\tan x)'=\sec^2x$ ，就可以把 $\tan x$ 写成 $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ 用商法则验证。

例 3　 $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ ，求 $y'$ 。

先写四个量

u=x-1,\ v=x+1;\quad u'=v'=1

代入法则

y'=\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}

整理

y'=\frac{2}{(x+1)^2}

能不用商法则就不用

y=\dfrac{2}{x^3}

直接写成

2x^{-3}

，

y'=-6x^{-4}

，比商法则快得多。

三

§3.2 导数的运算法则

复合函数求导

链式法则：变化率一级一级相乘

怎样分清复合函数的内层和外层？

为什么要“乘以内层的导数”？

熟练以后，怎样一步写出结果？

复合函数：先算的是内层，最后一步是外层

选一个函数，拖动 $x$ ，看数值怎样先经过内层、再经过外层。

输入

内层

中间变量

u

外层

输出

y

x

怎样找外层想象代入一个具体的数来计算：最后一步做的运算就是外层，前面的都是内层。

写法	外层	内层
$\sin x^2$	$\sin u$	$u=x^2$
$\sin^2x$	$u^2$	$u=\sin x$
$\ln\cos x$	$\ln u$	$u=\cos x$
$2\sin x$	常数倍，不是复合

链式法则：外层导数 × 内层导数

换齿轮，看转速怎样传递

中间齿轮

u

右边齿轮

y

链式法则（

y=f(u),\ u=\varphi(x)

）

y'_x=y'_u\cdot u'_x

即

[f(\varphi(x))]'=f'(u)\cdot\varphi'(x)

。下标表示“对谁求导”。

最常见的错误：漏乘内层导数

(\sin2x)'=\cos2x

✗

(\sin2x)'=\cos2x\cdot(2x)'=2\cos2x

✓

例 4　熟练写法：内层当作一个整体“□”

外层求导时，□ 原样照抄；然后乘上 □ 的导数。

y=\sin2x

y'=\cos2x\cdot(2x)'=2\cos2x

y=\sqrt{1-x^2}

y'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

y=\cos(3x+1)

y'=-\sin(3x+1)\cdot3=-3\sin(3x+1)

y=\ln(x^2-1)

y'=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1}

三个常用结论

[\ln u]'=\frac{u'}{u},\qquad [e^{u}]'=e^{u}\,u',\qquad [u^n]'=n\,u^{n-1}u'

检查方法有几层复合，答案里就应该有几个因子相乘。最后把中间变量全部换回

x

。

建模案例

匀速上升，拍摄面积为什么越长越快？

1情境

航拍无人机以 2 m/s 匀速上升，镜头竖直向下，地面拍摄范围是圆，半径

r=0.8h

。高 20 m 时，面积增长多快？

2建立函数

A=\pi(0.8h)^2=0.64\pi h^2

，

h=2t

。面积通过高度间接依赖时间：复合函数。

3链式法则

A'(t)=A'(h)\cdot h'(t)

=1.28\pi h\times2=2.56\pi h

4回到情境

h=20

时，

A'(t)=51.2\pi\approx160.8

m²/s。飞得越高，面积增长越快。

时间

t

/ s

高度

h

/ m

面积

A

/ m²

外层

A'(h)

×

内层

h'(t)

2

=

A'(t)

/ (m²/s)

t

例 5　乘积里套着复合；三层复合

(1)　 $y=x\sqrt{1-x}$

最外层是积

y'=1\cdot\sqrt{1-x}+x\left(\sqrt{1-x}\right)'

复合部分

\left(\sqrt{1-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}

通分整理

y'=\frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}

(2)　 $y=e^{\sin2x}$

拆三层

y=e^u,\ u=\sin v,\ v=2x

逐层相乘

y'=e^{\sin2x}\cdot\cos2x\cdot2

整理

y'=2\cos2x\,e^{\sin2x}

顺序先看最外层用哪条法则；哪一部分是复合函数，就在那一部分里用链式法则。

函数结构与求导法则的选择

下面五个函数都由 $x^2+1$ 和 $\ln$ 组成。逐行揭示：最外层是什么运算？

函数	最外层运算	用什么法则	导数
$(x^2+1)+\ln x$	加	和差法则	$2x+\dfrac1x$
$(x^2+1)\ln x$	乘	乘积法则	$2x\ln x+\dfrac{x^2+1}{x}$
$\dfrac{\ln x}{x^2+1}$	除	商法则	$\dfrac{\frac{x^2+1}{x}-2x\ln x}{(x^2+1)^2}$
$\ln(x^2+1)$	外面套 $\ln$	链式法则	$\dfrac{2x}{x^2+1}$
$(\ln x)^2+1$	加（其中一项是复合）	和差 + 链式	$\dfrac{2\ln x}{x}$

课堂练习（一）　四则运算法则

先写出 $u,v,u',v'$ ，再代公式。点灰色区域核对。

1

y=x^5+2\sqrt{x}-\sin\dfrac{\pi}{7}

y'=5x^4+\dfrac{1}{\sqrt x}

（

\sin\frac\pi7

是常数）

2

y=2^x-\dfrac1x+\log_2x

y'=2^x\ln2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x\ln2}

3

y=(x^2+1)\ln x

y'=2x\ln x+x+\dfrac1x

4

y=e^x\tan x

y'=e^x\tan x+e^x\sec^2x

5

y=\dfrac{\sin x}{x}

y'=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}

6

y=\dfrac{x}{x^2+1}

y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

课堂练习（二）　复合函数与应用

先说出外层和内层，再写答案。

7

y=(2x+5)^{10}

y'=10(2x+5)^9\cdot2=20(2x+5)^9

8

y=\sqrt{x^2+1}

y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}

9

y=\cos^3\dfrac{x}{2}

y'=3\cos^2\dfrac x2\cdot\left(-\sin\dfrac x2\right)\cdot\dfrac12=-\dfrac32\cos^2\dfrac x2\sin\dfrac x2

10曲线

y=xe^{-x}

上哪一点的切线平行于

x

轴？

y'=e^{-x}(1-x)=0

，

x=1

，所求点为

\left(1,\dfrac1e\right)

。

11建模　无人机电机温度

T(t)=60-35e^{-0.2t}

（℃），

t

为分钟。求

T'(5)

并说明含义。

T'(t)=-35e^{-0.2t}\cdot(-0.2)=7e^{-0.2t}

，

T'(5)=7e^{-1}\approx2.58

。第 5 分钟时，电机温度正以每分钟约 2.58 ℃ 的速度升高

本课小结：先看结构，再选法则

看最外层运算

选对应法则

由外向内逐层求导

化简、检查

和差、常数倍	$(u\pm v)'=u'\pm v'$ ， $(Cu)'=Cu'$
乘积	$(uv)'=u'v+uv'$
商	$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
复合	$y'_x=y'_u\cdot u'_x$ ：外层导数 × 内层导数

交作业前查五件事乘积有没有写成

u'v'

？商法则分子顺序、分母平方对吗？每一层都乘了内层导数吗？常数的导数是 0 吗？中间变量换回

x

了吗？

导数的四则运算法则与链式法则

补全12 个常用公式

四则和、差、积、商

复合链式法则

建模三个工程问题

基本求导公式

12 个常用公式：先翻牌自测

四则运算法则

和、差、常数倍：逐项求导，常数照抄

再多生产，划不划算？

1情境

2建立关系

3求导计算

4回到情境

乘积法则：两个因子都在变，就有两项

电压在降、电流在升：功率怎样变？

1情境

2建立函数

3乘积法则

4回到情境

商法则：分子是减法，顺序不能颠倒

复合函数求导

复合函数：先算的是内层，最后一步是外层

链式法则：外层导数 × 内层导数

例 4 熟练写法：内层当作一个整体“□”

匀速上升，拍摄面积为什么越长越快？

1情境

2建立函数

3链式法则

4回到情境

例 5 乘积里套着复合；三层复合

函数结构与求导法则的选择

课堂练习（一） 四则运算法则

课堂练习（二） 复合函数与应用

本课小结：先看结构，再选法则

例 4　熟练写法：内层当作一个整体“□”

例 5　乘积里套着复合；三层复合

课堂练习（一）　四则运算法则

课堂练习（二）　复合函数与应用