CALCULUS · LESSON 03

隐函数求导
与对数求导

当 $y$ 藏在方程里，或底数与指数都在变化时，用两种方法把结构显出来。

显隐函数遇

y

乘

y'

隐式切线对数拆积幂指函数

CHAPTER 03 / LESSON 03

01

KNOWLEDGE BLOCK

隐函数：关系先于表达式

不必先把 $y$ 解出来；只要承认 $y=y(x)$ ，就能对等式两边同时求导。

显式与隐式变量依赖逐项求导

概念辨析

“没写成 $y=f(x)$ ”也可以求导

隐函数由 $x$ 、 $y$ 的关系 $F(x,y)=0$ 确定局部曲线。

显函数直接写成 $y=f(x)$ ，输入 $x$ 后可直接计算 $y$ 。
隐函数常写成 $F(x,y)=0$ ，例如 $x^2+y^2=1$ 。
隐式方程可能在同一个 $x$ 对应多个 $y$ ，但在合适的局部仍能把 $y$ 看成 $x$ 的函数。
求导前先在心里补一句： $y$ 是 $x$ 的函数。

F(x,y)=0,\qquad y=y(x)

讲清这点“隐函数”描述的是表示方式，不代表一定无法解成显式；单位圆可写成上下两个局部显函数。

课堂训练 · “没写成 $y=f(x)$ ”也可以求导1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

判断：

y=x^2+1

是显函数还是隐函数表示？

答案

显函数表示。

$y$ 已经单独写在等号左边。
每个 $x$ 直接对应唯一的 $y=x^2+1$ 。

题目 2

判断：

x^2+y^2=1

是显函数还是隐函数表示？

答案

隐函数表示。

$x$ 与 $y$ 混合在一个关系式中。
局部可解为 $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ ，对应上下两支。

题目 3

关系

y=x+\ln y

为什么适合用隐函数求导？

答案

因为

y

同时出现在等号两边，直接解出

y

不方便。

把方程改写为 $y-x-\ln y=0$ 。
视 $y=y(x)$ ，可直接对两边求导。

题目 4

关系

xy=\mathrm e^{x+y}

中，哪些量在对

x

求导时会产生

y'

？

答案

所有含

y

的部分：

xy

中的

y

，以及指数

x+y

中的

y

。

$xy$ 要用乘积法则，得到 $y+xy'$ 。
$\mathrm e^{x+y}$ 要用链式法则，得到 $\mathrm e^{x+y}(1+y')$ 。

求导反射

看到 $y$ ，就补上 $y'$

因为 $y$ 不是常数，而是 $x$ 的复合函数。

$(y^n)'=ny^{n-1}y'$ 。
$(\sin y)'=\cos y\,y'$ ； $(\mathrm e^y)'=\mathrm e^y y'$ 。
$(\ln y)'=y'/y$ 。
含 $x$ 与 $y$ 的乘积仍按乘积法则，例如 $(xy)'=y+xy'$ 。

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(y)=f'(y)\,y'

讲清这点每个

y'

都有明确来源：它是链式法则中的内层导数。

课堂训练 · 看到 $y$ ，就补上 $y'$ 1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

对

x

求导：

y^3

的导数是什么？

答案

3y^2y'

外层 $u^3$ 的导数为 $3u^2$ 。
内层 $u=y(x)$ 的导数为 $y'$ 。

题目 2

对

x

求导：

\sin y

的导数是什么？

答案

\cos y\,y'

正弦求导变余弦。
再乘内层 $y$ 的导数 $y'$ 。

题目 3

对

x

求导：

\mathrm e^{2y}

的导数是什么？

答案

2\mathrm e^{2y}y'

指数函数求导保留 $\mathrm e^{2y}$ 。
指数 $2y$ 的导数为 $2y'$ 。

题目 4

对

x

求导：

\ln y

的导数是什么？

答案

\frac{y'}y

外层自然对数导数为 $1/y$ 。
乘内层导数 $y'$ 。

题目 5

对

x

求导：

xy^2

的导数是什么？

答案

y^2+2xyy'

最外层是 $x$ 与 $y^2$ 的乘积。
$(xy^2)'=1\cdot y^2+x\cdot2yy'$ 。

02

KNOWLEDGE BLOCK

隐式求导：四步整理法

两边求导 → 所有含 $y'$ 的项移到一侧 → 提取 $y'$ → 解出结果。

两边求导收集

y'

代点求斜率

标准流程

让所有 $y'$ 汇合

求导后出现的 $y'$ 常分散在不同项中，整理比求导本身更关键。

第一步：对等式两边逐项求导。
第二步：把含 $y'$ 的项移到同一侧，其余项移到另一侧。
第三步：提取公因子 $y'$ 。
第四步：除以系数，得到 $y'$ ；需要斜率时再代点。

A(x,y)+B(x,y)y'=0\quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{A(x,y)}{B(x,y)}

讲清这点整理时不要急着代入点；先得到一般形式，检查更容易。

课堂训练 · 让所有 $y'$ 汇合1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

由

x^2+y^2=1

求

y'

。

答案

y'=-\frac xy

两边求导： $2x+2yy'=0$ 。
移项并除以 $2y$ 。

题目 2

由

xy+\sin y=x^2

求

y'

。

答案

y'=\frac{2x-y}{x+\cos y}

求导： $y+xy'+\cos y\,y'=2x$ 。
提取 $y'$ ： $(x+\cos y)y'=2x-y$ 。

题目 3

由

xy=\mathrm e^{x+y}

求

y'

。

答案

y'=\frac{\mathrm e^{x+y}-y}{x-\mathrm e^{x+y}}

$y+xy'=\mathrm e^{x+y}(1+y')$ 。
整理： $(x-\mathrm e^{x+y})y'=\mathrm e^{x+y}-y$ 。

题目 4

由

y=x+\ln y

求

y'

。

答案

y'=\frac{y}{y-1}

求导： $y'=1+y'/y$ 。
$y'(1-1/y)=1$ ，化简得 $y/(y-1)$ 。

题目 5

由

y=1+x\mathrm e^y

求

y'

。

答案

y'=\frac{\mathrm e^y}{1-x\mathrm e^y}

右边乘积求导： $\mathrm e^y+x\mathrm e^y y'$ 。
整理： $(1-x\mathrm e^y)y'=\mathrm e^y$ 。

题目 6

由

x^2+y^2-xy=1

求

y'

。

答案

y'=\frac{y-2x}{2y-x}

求导： $2x+2yy'-(y+xy')=0$ 。
整理： $(2y-x)y'=y-2x$ 。

几何应用

先求一般式，再代点；二阶导要继续把 $y$ 当函数

隐函数的切线、法线与二阶导数仍建立在 $y'$ 上。

切线斜率是把点坐标代入 $y'(x,y)$ 后得到的数。
法线斜率为切线斜率的负倒数，特殊情形单独判断。
求 $y''$ 时，对含 $y$ 、 $y'$ 的表达式继续对 $x$ 求导。
若点不满足原方程，就不存在该曲线在该点的切线。

k_t=y'(x_0,y_0),\qquad k_n=-\frac1{k_t}

讲清这点代点前先用原方程核对点，尤其是带参数或常数的题。

课堂训练 · 先求一般式，再代点；二阶导要继续把 $y$ 当函数1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求圆

x^2+y^2=25

在点

(3,4)

处的切线方程。

答案

y-4=-\frac34(x-3)

隐式求导得 $y'=-x/y$ 。
代入 $(3,4)$ 得斜率 $-3/4$ ，再写点斜式。

题目 2

求双曲线

xy=6

在点

(2,3)

处的切线方程。

答案

y-3=-\frac32(x-2)

求导： $y+xy'=0$ ，故 $y'=-y/x$ 。
代点得 $-3/2$ 。

题目 3

曲线

x^2+xy+y^2=7

在点

(1,2)

处的切线斜率是多少？

答案

-\frac45

求导： $2x+y+xy'+2yy'=0$ 。
$y'=-(2x+y)/(x+2y)$ ，代入点得 $-4/5$ 。

题目 4

圆

x^2+y^2=25

在点

(3,4)

处的二阶导数

y''

是多少？

答案

y''=-\frac{25}{64}

由 $y'=-x/y$ 再求导： $y''=-(y-xy')/y^2$ 。
代入 $y'=-3/4$ 、 $x=3$ 、 $y=4$ ，得 $-(4+9/4)/16=-25/64$ 。

03

KNOWLEDGE BLOCK

对数求导：把乘除与幂指拆开

先取对数，把乘积变成和、商变成差、幂变成系数，再隐式求导。

对数性质连乘连除变量指数

方法流程

四步：取对数、展开、求导、乘回 $y$

它最适合多因式乘除、根式混合以及幂指函数。

设 $y>0$ ，两边取自然对数： $\ln y=\ln(\text{右边})$ 。
用 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ 、 $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ 。
用 $\ln(u^v)=v\ln u$ 把指数移到前面。
求导后左边是 $y'/y$ ，最后乘回 $y$ 。

\ln y\;\longrightarrow\;\frac{y'}y\qquad\Longrightarrow\qquad y'=y(\cdots)

讲清这点严格处理符号时可写

\ln|y|

、

\ln|u|

；课堂练习通常在各因式为正的区间内讨论。

课堂训练 · 四步：取对数、展开、求导、乘回 $y$ 1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

用对数求导法求

y=x^2(x+1)^3

的导数。

答案

y'=x(x+1)^2(5x+2)

$\ln y=2\ln x+3\ln(x+1)$ 。
$y'/y=2/x+3/(x+1)$ ，再乘回 $y$ 并化简。

题目 2

设

y=\dfrac{(x-1)^2\sqrt{x+2}}{x^3}

。写出

y'/y

。

答案

\frac{y'}y=\frac2{x-1}+\frac1{2(x+2)}-\frac3x

$\ln y=2\ln|x-1|+\tfrac12\ln(x+2)-3\ln|x|$ 。
逐项求导即得。

题目 3

设

y=\dfrac{x(x+2)^4}{(x^2+1)^2}

。求

y'

，可保留乘积形式。

答案

y'=y\left(\frac1x+\frac4{x+2}-\frac{4x}{x^2+1}\right)

取对数： $\ln y=\ln|x|+4\ln|x+2|-2\ln(x^2+1)$ 。
求导后乘回原函数 $y$ 。

题目 4

设

y=(x^2+1)^3(x^3-1)^2

。写出

y'/y

。

答案

\frac{y'}y=\frac{6x}{x^2+1}+\frac{6x^2}{x^3-1}

对数展开为 $3\ln(x^2+1)+2\ln|x^3-1|$ 。
分别使用链式法则。

题目 5

对数求导中，为什么左边

(\ln y)'

不是

1/y

？

答案

因为

y=y(x)

，所以

(\ln y)'=\frac{y'}y.

外层 $\ln u$ 的导数是 $1/u$ 。
内层 $u=y(x)$ 还要乘 $y'$ 。

特殊复合

底数和指数都变：先取对数

$u(x)^{v(x)}$ 不能直接套幂函数或指数函数公式。

设 $y=u^v$ ，取对数得 $\ln y=v\ln u$ 。
求导： $y'/y=v'\ln u+v\,u'/u$ 。
所以 $y'=u^v[v'\ln u+v u'/u]$ 。
需在适当的实数区间内保证底数 $u>0$ 。

[u(x)^{v(x)}]'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right)

讲清这点

x^x

的导数不是

x\cdot x^{x-1}

，因为指数也在变化。

课堂训练 · 底数和指数都变：先取对数1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=x^x

的导数（

x>0

）。

答案

y'=x^x(\ln x+1)

$\ln y=x\ln x$ 。
$y'/y=\ln x+1$ ，乘回 $y=x^x$ 。

题目 2

求

y=x^{\sin x}

的导数（

x>0

）。

答案

y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)

$\ln y=\sin x\ln x$ 。
乘积求导得到 $\cos x\ln x+\sin x/x$ 。

题目 3

求

y=(\sin x)^x

的导数（在

\sin x>0

的区间）。

答案

y'=(\sin x)^x(\ln(\sin x)+x\cot x)

$\ln y=x\ln(\sin x)$ 。
$y'/y=\ln(\sin x)+x\cos x/\sin x$ 。

题目 4

求

y=x^{x^2}

的导数（

x>0

）。

答案

y'=x^{x^2}(2x\ln x+x)

$\ln y=x^2\ln x$ 。
右边求导： $2x\ln x+x^2(1/x)=2x\ln x+x$ 。

题目 5

求

y=(1+x)^{1/x}

的导数（

x>-1

，

x\ne0

）。

答案

y'=(1+x)^{1/x}\frac{x/(1+x)-\ln(1+x)}{x^2}

$\ln y=\ln(1+x)/x$ 。
商法则得 $y'/y=[x/(1+x)-\ln(1+x)]/x^2$ 。

04

KNOWLEDGE BLOCK

方法选择与综合

先问“ $y$ 藏在哪里、变量指数是否存在”，再决定隐式求导或对数求导。

方法判断两法混合错误诊断

综合判断

隐式关系收集 $y'$ ；乘除幂指先取对数

两种方法都依赖链式法则，但整理目标不同。

方程中 $x$ 、 $y$ 交织：优先隐式求导。
多个因式连乘连除：对数求导可显著简化。
底数与指数都含变量：必须考虑对数求导。
有时两法同时出现，例如隐式方程里含 $x^y$ 。

\text{关系式}\Rightarrow\text{收集 }y'\qquad\text{幂指式}\Rightarrow\text{先取对数}

讲清这点方法不是按题目长短选择，而是按结构选择。

课堂训练 · 隐式关系收集 $y'$ ；乘除幂指先取对数1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

由

x^y=y^x

求

y'

（在正数范围内）。

答案

y'=\frac{\ln y-y/x}{\ln x-x/y}

取对数： $y\ln x=x\ln y$ 。
求导： $y'\ln x+y/x=\ln y+xy'/y$ ，再收集 $y'$ 。

题目 2

由

x^2y^3=\mathrm e^x

求

y'

（

x>0,y>0

）。

答案

y'=\frac y3\left(1-\frac2x\right)

两边取对数： $2\ln x+3\ln y=x$ 。
$2/x+3y'/y=1$ ，解出 $y'$ 。

题目 3

求

y=(x^2+1)^{\sin x}

的导数。

答案

y'=y\left[\cos x\ln(x^2+1)+\frac{2x\sin x}{x^2+1}\right]

$\ln y=\sin x\ln(x^2+1)$ 。
右边用乘积法则，再乘回 $y=(x^2+1)^{\sin x}$ 。

题目 4

由

\mathrm e^{xy}=x+y

求

y'

。

答案

y'=\frac{1-y\mathrm e^{xy}}{x\mathrm e^{xy}-1}

求导： $\mathrm e^{xy}(y+xy')=1+y'$ 。
整理： $(x\mathrm e^{xy}-1)y'=1-y\mathrm e^{xy}$ 。

LESSON COMPLETE

识别并显化隐藏结构

隐式求导与对数求导虽然形式不同，但都以链式法则为基础：先识别依赖关系，再完整写出导数因子。

01隐函数求导时，任何含

y

的函数求导都要乘

y'

。

02求导后把含

y'

的项集中、提取公因子，再解出一般式。

03切线斜率先求一般

y'

再代点；二阶导仍需追踪

y

与

y'

。

04对数求导把乘变加、除变减、幂变系数，最后从

y'/y

乘回

y

。

05幂指函数

u(x)^{v(x)}

不能套普通幂函数公式，优先取对数。

隐函数求导
与对数求导

隐函数：关系先于表达式

“没写成 $y=f(x)$ ”也可以求导

看到 $y$ ，就补上 $y'$

隐式求导：四步整理法

让所有 $y'$ 汇合

先求一般式，再代点；二阶导要继续把 $y$ 当函数

对数求导：把乘除与幂指拆开

四步：取对数、展开、求导、乘回 $y$

底数和指数都变：先取对数

方法选择与综合

隐式关系收集 $y'$ ；乘除幂指先取对数

识别并显化隐藏结构

课件总览 · 共 20 页

第 03 章 · 导数与微分

隐函数求导与对数求导

隐函数：关系先于表达式

“没写成 y=f(x)y=f(x)y=f(x)”也可以求导

看到 yyy，就补上 y′y'y′

隐式求导：四步整理法

让所有 y′y'y′ 汇合

先求一般式，再代点；二阶导要继续把 yyy 当函数

对数求导：把乘除与幂指拆开

四步：取对数、展开、求导、乘回 yyy

底数和指数都变：先取对数

方法选择与综合

隐式关系收集 y′y'y′；乘除幂指先取对数

识别并显化隐藏结构

课件总览 · 共 20 页

第 03 章 · 导数与微分

隐函数求导
与对数求导

“没写成 $y=f(x)$ ”也可以求导

看到 $y$ ，就补上 $y'$

让所有 $y'$ 汇合

先求一般式，再代点；二阶导要继续把 $y$ 当函数

四步：取对数、展开、求导、乘回 $y$

隐式关系收集 $y'$ ；乘除幂指先取对数