CALCULUS · LESSON 04

函数的
微分

把真实增量 $\Delta y$ 分解为一个主要的线性部分 $\mathrm dy$ 与一个更小的误差。

增量与微分几何意义形式不变性近似计算误差估计

CHAPTER 03 / LESSON 04

01

KNOWLEDGE BLOCK

从真实增量到线性主部

微分不是另一个神秘符号，而是函数增量中最主要、最容易计算的线性部分。

\Delta y

\mathrm dy

高阶小量

核心区分

$\Delta y$ 是真实变化， $\mathrm dy$ 是线性近似

当 $\Delta x$ 很小时，两者很接近，但通常不完全相等。

自变量增量： $\Delta x=x-x_0$ ，也常记为 $\mathrm dx$ 。
函数真实增量： $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 。
函数微分： $\mathrm dy=f'(x_0)\mathrm dx$ 。
可微时： $\Delta y=\mathrm dy+o(\mathrm dx)$ ，误差比 $\mathrm dx$ 更高阶。

\Delta y=f(x_0+\mathrm dx)-f(x_0),\qquad \mathrm dy=f'(x_0)\mathrm dx

讲清这点只有线性函数才对所有增量都满足

\Delta y=\mathrm dy

；一般函数只是局部近似。

课堂训练 · $\Delta y$ 是真实变化， $\mathrm dy$ 是线性近似1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

设

f(x)=x^2

、

x_0=2

、

\mathrm dx=0.1

。分别求

\Delta y

与

\mathrm dy

。

答案

\Delta y=0.41,\qquad \mathrm dy=0.40

$\Delta y=(2.1)^2-2^2=4.41-4=0.41$ 。
$f'(2)=4$ ，所以 $\mathrm dy=4\times0.1=0.4$ 。

题目 2

设

f(x)=x^2

、

x_0=2

、

\mathrm dx=-0.1

。求

\Delta y

与

\mathrm dy

。

答案

\Delta y=-0.39,\qquad \mathrm dy=-0.40

$\Delta y=1.9^2-4=3.61-4=-0.39$ 。
$\mathrm dy=4(-0.1)=-0.4$ 。

题目 3

设

f(x)=\sin x

、

x_0=0

、

\mathrm dx=0.1

。写出

\Delta y

与

\mathrm dy

。

答案

\Delta y=\sin0.1,\qquad \mathrm dy=0.1

$\Delta y=\sin(0.1)-\sin0=\sin0.1$ 。
$f'(0)=\cos0=1$ ，故 $\mathrm dy=0.1$ 。

题目 4

设

f(x)=1/x

、

x_0=1

、

\mathrm dx=0.02

。比较

\Delta y

与

\mathrm dy

。

答案

\Delta y=-\frac1{51}\approx-0.01961,\qquad \mathrm dy=-0.02

$\Delta y=1/1.02-1=-0.02/1.02=-1/51$ 。
$f'(1)=-1$ ，所以 $\mathrm dy=-0.02$ 。

定义与关系

一元函数：可微与可导等价

导数存在时，增量可以被一个关于 $\Delta x$ 的线性函数主导。

若 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，则函数在该点可微。
系数 $A$ 必须等于导数 $f'(x_0)$ 。
因此一元函数在一点可微，当且仅当在该点可导。
可微必连续；连续仍不一定可微。

\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)

讲清这点

o(\Delta x)

表示它与

\Delta x

的比值在

\Delta x\to0

时趋于

0

。

课堂训练 · 一元函数：可微与可导等价1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

判断：一元函数在

x_0

处可导，则在该点可微。

答案

正确。

一元函数在一点可导与可微等价。
微分为 $\mathrm dy=f'(x_0)\mathrm dx$ 。

题目 2

函数

f(x)=|x|

在

0

处是否可微？

答案

\text{不可微}

左右导数分别为 $-1$ 与 $1$ ，导数不存在。
一元函数可微与可导等价，所以不可微。

题目 3

若函数在

x_0

处的微分对任意

\mathrm dx

都为

0

，能否断言附近的

\Delta y

恒为

0

？

答案

不能。只能断言

f'(x_0)=0

。

$\mathrm dy=f'(x_0)\mathrm dx$ 恒为 $0$ ，所以 $f'(x_0)=0$ 。
例如 $f(x)=x^2$ 在 $0$ 处 $\mathrm dy=0$ ，但 $\Delta y=(\mathrm dx)^2$ 通常不为 $0$ 。

题目 4

若

\Delta y=5\Delta x+o(\Delta x)

，那么该点的导数和微分分别是什么？

答案

f'(x_0)=5,\qquad \mathrm dy=5\mathrm dx

定义中的线性系数就是导数。
把 $\Delta x$ 写作 $\mathrm dx$ 即得微分。

几何解释

微分是切线纵坐标的变化

在切点附近，用切线的变化代替曲线的真实变化。

切线近似： $f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+f'(x_0)\mathrm dx$ 。
$\mathrm dy$ 是从切点沿切线走 $\mathrm dx$ 时的纵向变化。
$\Delta y-\mathrm dy$ 是曲线与切线之间的局部偏差。
$\mathrm dx$ 越小，通常线性近似越准确。

y\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

讲清这点几何图像里，切线不是曲线本身；它只在切点附近提供一阶近似。

课堂训练 · 微分是切线纵坐标的变化1 / 3　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

用微分估算

\sqrt{4.2}

。

答案

\sqrt{4.2}\approx2.05

取 $f(x)=\sqrt x$ 、 $x_0=4$ 、 $\mathrm dx=0.2$ 。
$f'(4)=1/4$ ，故 $\mathrm dy=(1/4)(0.2)=0.05$ 。

题目 2

写出

y=x^2

在

x_0=1

处的线性近似式。

答案

L(x)=1+2(x-1)=2x-1

$f(1)=1$ ， $f'(1)=2$ 。
$L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)$ 。

题目 3

对

y=\sin x

，在

x=\pi/3

处取

\mathrm dx=0.01

，求

\mathrm dy

。

答案

\mathrm dy=0.005

$y'=\cos x$ 。
$\cos(\pi/3)=1/2$ ，所以 $\mathrm dy=(1/2)(0.01)$ 。

02

KNOWLEDGE BLOCK

微分公式与运算法则

先求导，再统一乘 $\mathrm dx$ ；复杂复合函数依然沿链式结构处理。

基本微分四则规则形式不变性

公式工具

所有公式都可写成 $\mathrm dy=y'\mathrm dx$

微分公式与导数公式一一对应。

$\mathrm d(x^\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}\mathrm dx$ 。
$\mathrm d(\mathrm e^x)=\mathrm e^x\mathrm dx$ ； $\mathrm d(\ln x)=\mathrm dx/x$ 。
$\mathrm d(\sin x)=\cos x\mathrm dx$ ； $\mathrm d(\cos x)=-\sin x\mathrm dx$ 。
和、积、商的微分法则与对应导数法则同形。

\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx

讲清这点写微分答案时不要漏掉最后的

\mathrm dx

。

课堂训练 · 所有公式都可写成 $\mathrm dy=y'\mathrm dx$ 1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=x^5

的微分。

答案

\mathrm dy=5x^4\mathrm dx

先求导 $y'=5x^4$ 。
再乘 $\mathrm dx$ 。

题目 2

求

y=\mathrm e^x

的微分。

答案

\mathrm dy=\mathrm e^x\mathrm dx

自然指数函数导数仍为自身。
写成微分形式。

题目 3

求

y=\ln x

的微分。

答案

\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{x},\qquad x>0

$y'=1/x$ 。
$\mathrm dy=y'\mathrm dx$ 。

题目 4

求

y=\sin x

的微分。

答案

\mathrm dy=\cos x\,\mathrm dx

正弦求导变余弦。
乘 $\mathrm dx$ 。

题目 5

求

y=\tan x

的微分。

答案

\mathrm dy=\sec^2x\,\mathrm dx

$y'=\sec^2x$ 。
所以 $\mathrm dy=\sec^2x\mathrm dx$ 。

复合微分

内层换成 $u$ ，公式外形不变

若 $y=f(u)$ ，就可以直接写 $\mathrm dy=f'(u)\mathrm du$ 。

对 $y=f(u)$ ： $\mathrm dy=f'(u)\mathrm du$ 。
再由 $u=g(x)$ 得 $\mathrm du=g'(x)\mathrm dx$ 。
代入后就是链式法则： $\mathrm dy=f'(g(x))g'(x)\mathrm dx$ 。
这就是“一阶微分形式不变性”。

\mathrm dy=f'(u)\mathrm du,\qquad \mathrm du=g'(x)\mathrm dx

讲清这点形式不变不等于内层导数消失；它被包含在

\mathrm du

中。

课堂训练 · 内层换成 $u$ ，公式外形不变1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=(3x+1)^4

的微分。

答案

\mathrm dy=12(3x+1)^3\mathrm dx

令 $u=3x+1$ ， $\mathrm dy=4u^3\mathrm du$ 。
$\mathrm du=3\mathrm dx$ ，代回。

题目 2

求

y=\sqrt{1+x^2}

的微分。

答案

\mathrm dy=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx

令 $u=1+x^2$ ， $\mathrm dy=\dfrac1{2\sqrt u}\mathrm du$ 。
$\mathrm du=2x\mathrm dx$ ，约去 $2$ 。

题目 3

求

y=\ln(\sin x)

的微分。

答案

\mathrm dy=\cot x\,\mathrm dx

$\mathrm dy=\mathrm d(\sin x)/\sin x$ 。
$\mathrm d(\sin x)=\cos x\mathrm dx$ ，所以为 $\cos x/\sin x\mathrm dx$ 。

题目 4

求

y=\mathrm e^{x^2}

的微分。

答案

\mathrm dy=2x\mathrm e^{x^2}\mathrm dx

令 $u=x^2$ ， $\mathrm dy=\mathrm e^u\mathrm du$ 。
$\mathrm du=2x\mathrm dx$ 。

03

KNOWLEDGE BLOCK

隐函数与参数方程的微分

微分符号能把变量关系写得更对称，也让参数方程的斜率公式一目了然。

两边同时微分解出

\mathrm dy

消去

\mathrm dt

隐式微分

对关系式两边直接取微分

$x$ 项产生 $\mathrm dx$ ， $y$ 项产生 $\mathrm dy$ ，最后收集 $\mathrm dy$ 。

例如 $\mathrm d(x^2+y^2)=2x\mathrm dx+2y\mathrm dy$ 。
乘积微分： $\mathrm d(xy)=x\mathrm dy+y\mathrm dx$ 。
整理出 $\mathrm dy=\cdots\mathrm dx$ 后，系数就是 $y'$ 。
这种写法与隐式求导完全等价。

\mathrm dF(x,y)=F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy=0

讲清这点微分法的优势是对称，但每一项仍遵守链式与乘积法则。

课堂训练 · 对关系式两边直接取微分1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

由

x^2+y^2=25

求

\mathrm dy

。

答案

\mathrm dy=-\frac xy\mathrm dx

两边微分： $2x\mathrm dx+2y\mathrm dy=0$ 。
移项并除以 $2y$ 。

题目 2

由

xy=6

求

\mathrm dy

。

答案

\mathrm dy=-\frac yx\mathrm dx

乘积微分： $y\mathrm dx+x\mathrm dy=0$ 。
解出 $\mathrm dy$ 。

题目 3

由

x^2+xy+y^2=7

求

\mathrm dy

。

答案

\mathrm dy=-\frac{2x+y}{x+2y}\mathrm dx

微分： $2x\mathrm dx+x\mathrm dy+y\mathrm dx+2y\mathrm dy=0$ 。
合并： $(x+2y)\mathrm dy=-(2x+y)\mathrm dx$ 。

题目 4

由

\mathrm e^{x+y}=xy

求

\mathrm dy

。

答案

\mathrm dy=\frac{y-\mathrm e^{x+y}}{\mathrm e^{x+y}-x}\mathrm dx

左边微分为 $\mathrm e^{x+y}(\mathrm dx+\mathrm dy)$ 。
右边为 $y\mathrm dx+x\mathrm dy$ ，收集 $\mathrm dy$ 后解出。

参数曲线

先对参数微分，再消去 $\mathrm dt$

参数 $t$ 同时驱动 $x$ 与 $y$ 的变化。

若 $x=\varphi(t)$ ，则 $\mathrm dx=\varphi'(t)\mathrm dt$ 。
若 $y=\psi(t)$ ，则 $\mathrm dy=\psi'(t)\mathrm dt$ 。
当 $\varphi'(t)\ne0$ 时， $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ 。
分子分母的顺序是“ $y$ 对 $t$ ”除以“ $x$ 对 $t$ ”。

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt}

讲清这点若

\mathrm dx/\mathrm dt=0

，需单独讨论竖直切线等情形。

课堂训练 · 先对参数微分，再消去 $\mathrm dt$ 1 / 3　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

参数方程

x=t^2

、

y=t^3

，求

\mathrm dy/\mathrm dx

。

答案

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{3t}{2}\quad(t\ne0)

$\mathrm dx=2t\mathrm dt$ ， $\mathrm dy=3t^2\mathrm dt$ 。
相除并约去 $t$ 。

题目 2

参数方程

x=\cos t

、

y=\sin t

，求

\mathrm dy/\mathrm dx

。

答案

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\cot t

$\mathrm dx/\mathrm dt=-\sin t$ 。
$\mathrm dy/\mathrm dt=\cos t$ ，相除得 $-\cos t/\sin t$ 。

题目 3

参数方程

x=t-\sin t

、

y=1-\cos t

，求

\mathrm dy/\mathrm dx

。

答案

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\frac t2

$x'(t)=1-\cos t$ ， $y'(t)=\sin t$ 。
利用半角公式可化为 $\cot(t/2)$ 。

04

KNOWLEDGE BLOCK

微分近似：选好基点就成功一半

把难算的数写成“容易算的基点 + 小增量”，再用切线替代曲线。

线性近似常用近似式基点选择

应用方法

$f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+\mathrm dy$

基点必须靠近目标值，并且函数值与导数都容易计算。

通式： $f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+f'(x_0)\mathrm dx$ 。
常用： $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$ 。
常用： $\mathrm e^x\approx1+x$ ， $\ln(1+x)\approx x$ 。
常用： $\sin x\approx x$ 、 $\cos x\approx1$ ，其中 $x$ 必须用弧度。

f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

讲清这点近似号不是等号；写答案时保留“

\approx

”。

课堂训练 · $f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+\mathrm dy$ 1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

用微分估算

\sqrt{100.4}

。

答案

\sqrt{100.4}\approx10.02

取 $f(x)=\sqrt x$ 、 $x_0=100$ 、 $\mathrm dx=0.4$ 。
$f'(100)=1/20$ ，所以增加约 $0.02$ 。

题目 2

用微分估算

\sqrt[3]{8.12}

。

答案

\sqrt[3]{8.12}\approx2.01

取 $f(x)=x^{1/3}$ 、 $x_0=8$ 、 $\mathrm dx=0.12$ 。
$f'(8)=1/(3\cdot8^{2/3})=1/12$ ，微分为 $0.01$ 。

题目 3

用

1/(1+x)\approx1-x

估算

1/1.02

。

答案

\frac1{1.02}\approx0.98

令 $x=0.02$ 。
$1/(1+x)\approx1-x=0.98$ 。

题目 4

估算

\mathrm e^{0.03}

。

答案

\mathrm e^{0.03}\approx1.03

在 $x=0$ 附近， $\mathrm e^x\approx1+x$ 。
代入 $x=0.03$ 。

题目 5

估算

\ln1.02

。

答案

\ln1.02\approx0.02

写成 $\ln(1+0.02)$ 。
使用 $\ln(1+x)\approx x$ 。

题目 6

用小角近似估算

\sin1^\circ

。

答案

\sin1^\circ\approx\frac{\pi}{180}\approx0.01745

先把 $1^\circ$ 化为弧度 $\pi/180$ 。
使用 $\sin x\approx x$ 。

误差传播

把输入误差通过导数传递到输出

微分的绝对值可用来估计函数值的绝对误差。

若输入最大误差为 $|\mathrm dx|$ ，输出误差近似满足 $|\Delta y|\approx|\mathrm dy|$ 。
绝对误差估计： $|\mathrm dy|=|f'(x)||\mathrm dx|$ 。
相对误差估计： $|\mathrm dy/y|$ 。
对幂函数 $y=x^n$ ，相对误差约放大为 $n|\mathrm dx/x|$ 。

\left|\frac{\mathrm dy}{y}\right|\approx\left|\frac{f'(x)}{f(x)}\right||\mathrm dx|

讲清这点误差题若问“最大误差”，应取绝对值，不保留正负方向。

课堂训练 · 把输入误差通过导数传递到输出1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

测得圆半径

r=10

，最大误差

|\mathrm dr|=0.02

。估计面积

A=\pi r^2

的最大绝对误差。

答案

|\mathrm dA|=0.4\pi\approx1.257

$\mathrm dA=2\pi r\mathrm dr$ 。
取绝对值并代入： $2\pi\cdot10\cdot0.02=0.4\pi$ 。

题目 2

球半径

r=5

，测量误差

|\mathrm dr|=0.01

。估计体积

V=\frac43\pi r^3

的最大绝对误差。

答案

|\mathrm dV|=\pi

$\mathrm dV=4\pi r^2\mathrm dr$ 。
代入得 $4\pi\cdot25\cdot0.01=\pi$ 。

题目 3

若

y=x^5

，输入相对误差约为

0.2\%

，估计输出相对误差。

答案

1.0\%

$\mathrm dy/y=5\,\mathrm dx/x$ 。
相对误差约放大 $5$ 倍： $5\times0.2\%=1.0\%$ 。

题目 4

函数

y=\sqrt{x}

的输入相对误差约为

0.6\%

，估计输出相对误差。

答案

0.3\%

$y=x^{1/2}$ ，所以 $\mathrm dy/y=(1/2)\mathrm dx/x$ 。
输出相对误差约为输入的一半。

05

KNOWLEDGE BLOCK

二阶微分：描述曲率的下一层变化

在 $x$ 为独立变量时，二阶微分由二阶导数乘 $(\mathrm dx)^2$ 给出。

二阶导数

\mathrm d^2y

符号辨析

高阶微分

$\mathrm d^2y$ 不是 $(\mathrm dy)^2$

二阶微分是对一阶微分再次取微分。

$\mathrm d^2y=\mathrm d(\mathrm dy)$ 。
当 $x$ 是独立变量、 $\mathrm d^2x=0$ 时， $\mathrm d^2y=y''(\mathrm dx)^2$ 。
$(\mathrm dy)^2$ 是一阶微分的平方，含义完全不同。
二阶微分反映线性近似之外的弯曲趋势。

\mathrm d^2y=y''(\mathrm dx)^2

讲清这点符号

\mathrm d^2y

中的“2”属于微分阶数，不是把

\mathrm dy

平方。

课堂训练 · $\mathrm d^2y$ 不是 $(\mathrm dy)^2$ 1 / 3　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=x^3

的二阶微分。

答案

\mathrm d^2y=6x(\mathrm dx)^2

$y''=6x$ 。
代入 $\mathrm d^2y=y''(\mathrm dx)^2$ 。

题目 2

求

y=\mathrm e^{2x}

的二阶微分。

答案

\mathrm d^2y=4\mathrm e^{2x}(\mathrm dx)^2

$y'=2\mathrm e^{2x}$ 。
$y''=4\mathrm e^{2x}$ ，再乘 $(\mathrm dx)^2$ 。

题目 3

求

y=\ln x

的二阶微分。

答案

\mathrm d^2y=-\frac1{x^2}(\mathrm dx)^2,\qquad x>0

$y'=1/x$ ， $y''=-1/x^2$ 。
写成二阶微分形式。

LESSON COMPLETE

用线性主部理解变化

微分把导数从“斜率”变成可直接使用的局部线性工具：既能写公式，也能做近似和误差传播。

01

\Delta y

是真实增量，

\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx

是它的一阶线性主部。

02一元函数可微与可导等价；可微必连续。

03一阶微分形式不变性就是链式法则的微分写法。

04隐函数两边同时微分、参数方程消去

\mathrm dt

，都能得到

\mathrm dy/\mathrm dx

。

05近似计算先选好基点；误差估计通常取

|\mathrm dy|

或相对微分。

06

\mathrm d^2y=y''(\mathrm dx)^2

，不要与

(\mathrm dy)^2

混淆。

函数的
微分

从真实增量到线性主部

$\Delta y$ 是真实变化， $\mathrm dy$ 是线性近似

一元函数：可微与可导等价

微分是切线纵坐标的变化

微分公式与运算法则

所有公式都可写成 $\mathrm dy=y'\mathrm dx$

内层换成 $u$ ，公式外形不变

隐函数与参数方程的微分

对关系式两边直接取微分

先对参数微分，再消去 $\mathrm dt$

微分近似：选好基点就成功一半

$f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+\mathrm dy$

把输入误差通过导数传递到输出

二阶微分：描述曲率的下一层变化

$\mathrm d^2y$ 不是 $(\mathrm dy)^2$

用线性主部理解变化

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第 03 章 · 导数与微分

函数的微分

从真实增量到线性主部

Δy\Delta yΔy 是真实变化，dy\mathrm dydy 是线性近似

一元函数：可微与可导等价

微分是切线纵坐标的变化

微分公式与运算法则

所有公式都可写成 dy=y′dx\mathrm dy=y'\mathrm dxdy=y′dx

内层换成 uuu，公式外形不变

隐函数与参数方程的微分

对关系式两边直接取微分

先对参数微分，再消去 dt\mathrm dtdt

微分近似：选好基点就成功一半

f(x0+dx)≈f(x0)+dyf(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+\mathrm dyf(x0​+dx)≈f(x0​)+dy

把输入误差通过导数传递到输出

二阶微分：描述曲率的下一层变化

d2y\mathrm d^2yd2y 不是 (dy)2(\mathrm dy)^2(dy)2

用线性主部理解变化

课件总览 · 共 27 页

第 03 章 · 导数与微分

函数的
微分

$\Delta y$ 是真实变化， $\mathrm dy$ 是线性近似

所有公式都可写成 $\mathrm dy=y'\mathrm dx$

内层换成 $u$ ，公式外形不变

先对参数微分，再消去 $\mathrm dt$

$f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+\mathrm dy$

$\mathrm d^2y$ 不是 $(\mathrm dy)^2$