CALCULUS · LESSON 05

导数与微分
总复习

不按题型死记，而是用一张结构地图贯通定义、法则、隐函数、高阶导数与微分应用。

定义与逻辑结构化求导特殊方法高阶导数微分应用

CHAPTER 03 / LESSON 05

01

KNOWLEDGE BLOCK

先建立全章地图

任何一道题都先回答三个问题：对象是什么、最外层结构是什么、最终要一个数还是一个函数？

概念根基运算法则几何与应用

复习导航

四条主线，彼此相连

定义解释“是什么”，法则解决“怎么算”，几何说明“意味着什么”，微分回答“怎么近似”。

定义线：平均变化率 → 差商极限 → 某点导数。
计算线：基本公式 → 四则法则 → 链式法则 → 特殊求导法。
几何线：切线斜率 → 法线 → 可导与连续。
应用线：微分 → 线性近似 → 误差估计。

\text{定义}\longrightarrow\text{法则}\longrightarrow\text{几何}\longrightarrow\text{微分应用}

讲清这点复习时不要把每一页当孤岛；后面的每种方法都建立在链式法则上。

课堂训练 · 四条主线，彼此相连1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

看到

y=(x^2+1)^4

，第一步选择什么法则？

答案

链式法则。

最外层是四次幂。
内层为 $x^2+1$ ，外导后要乘内层导数。

题目 2

看到

y=x\mathrm e^x

，第一步选择什么法则？

答案

乘积法则。

两个因子都随 $x$ 变化。
使用 $(uv)'=u'v+uv'$ 。

题目 3

看到

y=x^x

，最合适的求导方法是什么？

答案

对数求导法。

底数与指数都含变量。
取对数后得到 $\ln y=x\ln x$ 。

题目 4

看到

x^2+y^2=1

，最合适的求导方法是什么？

答案

隐函数求导。

$x$ 与 $y$ 由一个关系式共同确定。
对两边求导并收集 $y'$ 。

02

KNOWLEDGE BLOCK

定义、连续与可导

把概念题做成固定逻辑链：函数值 → 极限 → 左右导数 → 结论。

导数定义单侧导数可导与连续

概念复习

差商极限是所有公式的根

概念题要能从定义出发，而不是只背结论。

$f'(x_0)=\lim_{h\to0}[f(x_0+h)-f(x_0)]/h$ 。
可导要求左右导数存在、有限且相等。
可导 $\Rightarrow$ 连续；连续 $\nRightarrow$ 可导。
分段函数先保证连续，再令左右导数相等。

\text{左导数}=\text{右导数}=\text{有限值}\quad\Longleftrightarrow\quad\text{可导}

讲清这点题目给出尖点、折角或竖直切线时，都要回到“有限且相等”检查。

课堂训练 · 差商极限是所有公式的根1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

函数

f(x)=|x|

在

0

处连续吗？可导吗？

答案

连续，但不可导。

左右极限与函数值都为 $0$ ，所以连续。
左右导数分别为 $-1$ 与 $1$ ，所以不可导。

题目 2

用定义求

f(x)=x^2

在

x_0=2

处的导数。

答案

f'(2)=4

差商为 $[(2+h)^2-4]/h=4+h$ 。
令 $h\to0$ 得 $4$ 。

题目 3

设

f(x)=\begin{cases}ax+b,&x<0,\\x^2,&x\ge0.\end{cases}

若

f

在

0

处可导，求

a,b

。

答案

a=0,\qquad b=0

连续条件：左极限 $b=f(0)=0$ 。
左右导数相等： $a=0$ 。

题目 4

判断：若

f

在

x_0

处可导，则必在该点连续。

答案

正确。

这是可导推出连续的基本定理。
逆命题不成立， $|x|$ 是反例。

题目 5

函数

f(x)=\sqrt{x}

在通常的两侧导数定义下，是否在

x=0

处可导？

答案

不可导。

函数定义域在 $0$ 的左侧没有点，通常的两侧导数无法形成。
即使考察右差商 $1/\sqrt h$ ，也不趋于有限值。

03

KNOWLEDGE BLOCK

公式与四则法则

公式负责局部，四则法则负责拼装；定义域与符号同时检查。

基本公式和差积商化简策略

计算基座

先写骨架，后做化简

复杂计算的正确率来自稳定书写，不来自一步心算。

幂、指数、对数、三角公式必须准确。
和差逐项；乘积两项相加；商式分母平方、分子次序固定。
能先化简的式子可先化简，但不能改变定义域。
求导后再提公因子或通分，方便核对每个贡献项。

(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

讲清这点尤其检查

(a^x)'

的

\ln a

与

(\cos x)'

的负号。

课堂训练 · 先写骨架，后做化简1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=2x^5-3x^{-2}+7

的导数。

答案

y'=10x^4+6x^{-3}

逐项求导。
$(-3x^{-2})'=6x^{-3}$ ，常数项导数为 $0$ 。

题目 2

求

y=\mathrm e^x+\ln x

的导数。

答案

y'=\mathrm e^x+\frac1x,\qquad x>0

分别使用指数与对数公式。
保留 $x>0$ 。

题目 3

求

y=x^2\cos x

的导数。

答案

y'=2x\cos x-x^2\sin x

使用乘积法则。
余弦导数为 $-\sin x$ 。

题目 4

求

y=\dfrac{x^2+1}{x-1}

的导数。

答案

y'=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2},\qquad x\ne1

分子为 $2x(x-1)-(x^2+1)$ 。
展开得 $x^2-2x-1$ 。

题目 5

求

y=\sin x+\cos x-\tan x

的导数。

答案

y'=\cos x-\sin x-\sec^2x

三项逐项求导。
原来的减号保留。

题目 6

求

y=5^x

的导数。

答案

y'=5^x\ln5

一般指数函数公式为 $a^x\ln a$ 。
底数 $5$ 不随 $x$ 变化。

复合强化

复合几层，就追踪几层

外层求导保留内层，再把每层导数因子乘起来。

$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$ 。
多层复合建议标注 $u,v$ ，避免漏层。
对数、指数、三角函数的内层都可能继续复合。
求导完成后用“层数检查”逐个核对因子。

y=f(u),\ u=g(v),\ v=h(x)\quad\Rightarrow\quad y'=f'(u)g'(v)h'(x)

讲清这点括号不是链式法则的充分条件；最外层是乘积或商时应先写相应骨架。

课堂训练 · 复合几层，就追踪几层1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=(1+2x)^6

的导数。

答案

y'=12(1+2x)^5

外层六次幂给出 $6(1+2x)^5$ 。
乘内层导数 $2$ 。

题目 2

求

y=\mathrm e^{\sin x}

的导数。

答案

y'=\mathrm e^{\sin x}\cos x

指数外层保留自身。
乘 $\sin x$ 的导数 $\cos x$ 。

题目 3

求

y=\ln\sqrt{1+x^2}

的导数。

答案

y'=\frac{x}{1+x^2}

先化简 $y=\tfrac12\ln(1+x^2)$ 。
求导得 $\tfrac12\cdot2x/(1+x^2)$ 。

题目 4

求

y=\tan(x^2)

的导数。

答案

y'=2x\sec^2(x^2)

正切外层导数为 $\sec^2(x^2)$ 。
乘内层 $x^2$ 的导数 $2x$ 。

题目 5

求

y=\sin^3(2x)

的导数。

答案

y'=6\sin^2(2x)\cos(2x)

平方记号展开为 $[\sin(2x)]^3$ 。
三层导数因子： $3\sin^2(2x)\cdot\cos(2x)\cdot2$ 。

题目 6

求

y=\sqrt{1+\ln x}

的导数。

答案

y'=\frac1{2x\sqrt{1+\ln x}}

根式外层导数为 $1/[2\sqrt{1+\ln x}]$ 。
乘 $\ln x$ 的导数 $1/x$ 。

04

KNOWLEDGE BLOCK

隐函数与对数求导

遇到关系式，收集 $y'$ ；遇到连乘连除或变量指数，先取对数。

隐式求导对数求导幂指函数

方法整合

两种方法都在追踪变量依赖

方法不同，底层仍是链式法则与代数整理。

隐函数：所有含 $y$ 的项求导都要带 $y'$ 。
对数求导：左边 $(\ln y)'=y'/y$ 。
乘积变对数和、商变差、幂变系数。
$u(x)^{v(x)}$ 先取对数，再对 $v\ln u$ 求导。

u^v\quad\Rightarrow\quad y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right)

讲清这点隐式题先得到一般

y'

再代点；对数题最后一定乘回原函数。

课堂训练 · 两种方法都在追踪变量依赖1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

由

x^2+y^2=9

求

y'

。

答案

y'=-\frac xy

求导： $2x+2yy'=0$ 。
解出 $y'$ 。

题目 2

曲线

x^2+xy+y^2=3

在点

(1,1)

处的切线斜率是多少？

答案

-1

$y'=-(2x+y)/(x+2y)$ 。
代入 $(1,1)$ 得 $-3/3=-1$ 。

题目 3

由

y=x\mathrm e^y

求

y'

。

答案

y'=\frac{\mathrm e^y}{1-x\mathrm e^y}

$y'=\mathrm e^y+x\mathrm e^y y'$ 。
收集 $y'$ 后解出。

题目 4

求

y=x^x

的导数。

答案

y'=x^x(\ln x+1),\qquad x>0

$\ln y=x\ln x$ 。
$y'/y=\ln x+1$ ，乘回 $x^x$ 。

题目 5

求

y=x^{\cos x}

的导数（

x>0

）。

答案

y'=x^{\cos x}\left(-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}\right)

$\ln y=\cos x\ln x$ 。
右边乘积求导，再乘回 $y$ 。

题目 6

设

y=\dfrac{(x-1)^2(x+1)^3}{x^4}

。写出

y'/y

。

答案

\frac{y'}y=\frac2{x-1}+\frac3{x+1}-\frac4x

取对数，把乘积与商拆开。
幂次移到对数前作为系数。

05

KNOWLEDGE BLOCK

参数方程与高阶导数

参数方程先消去 $\mathrm dt$ ；高阶导数则重复应用同一套求导规则。

参数斜率二阶导数

n

阶周期

高阶工具

重复求导也要保持结构意识

高阶导数不是新法则，而是对上一阶结果继续求导。

参数曲线： $\mathrm dy/\mathrm dx=(\mathrm dy/\mathrm dt)/(\mathrm dx/\mathrm dt)$ 。
二阶导数： $y''=\mathrm d(y')/\mathrm dx$ 。
三角函数的高阶导数呈四阶周期。
隐函数求二阶导时， $y$ 与 $y'$ 都仍依赖 $x$ 。

\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\mathrm dy/\mathrm dx)\Big/\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}

讲清这点参数曲线的二阶导数还要再除一次

\mathrm dx/\mathrm dt

。

课堂训练 · 重复求导也要保持结构意识1 / 5　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

参数方程

x=t^2+1

、

y=t^3

，求

t=1

时的切线斜率。

答案

\frac32

$x'(t)=2t$ ， $y'(t)=3t^2$ 。
$dy/dx=3t/2$ ，代 $t=1$ 。

题目 2

参数方程

x=\cos t

、

y=\sin t

，求

t=\pi/4

时的切线斜率。

答案

-1

$dy/dx=\cos t/(-\sin t)=-\cot t$ 。
代入 $\pi/4$ 得 $-1$ 。

题目 3

求

y=\mathrm e^{2x}

的二阶导数。

答案

y''=4\mathrm e^{2x}

第一阶为 $2\mathrm e^{2x}$ 。
再求一阶又乘 $2$ 。

题目 4

写出

y=\sin x

的

n

阶导数。

答案

y^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)

导数序列为 $\sin x,\cos x,-\sin x,-\cos x$ 。
相位每求一阶增加 $\pi/2$ 。

题目 5

圆

x^2+y^2=1

在点

(0,1)

处的二阶导数是多少？

答案

y''=-1

由 $y'=-x/y$ 可得 $y''=-(x^2+y^2)/y^3=-1/y^3$ 。
代入 $y=1$ 得 $-1$ 。

06

KNOWLEDGE BLOCK

微分、近似与误差

微分把导数变成可计算的局部线性模型。

微分公式线性近似相对误差

应用复习

先求导，再乘小增量

$\mathrm dy$ 既能写微分，也能近似 $\Delta y$ 。

$\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ 。
$f(x_0+\mathrm dx)\approx f(x_0)+f'(x_0)\mathrm dx$ 。
常用近似： $\mathrm e^x\approx1+x$ 、 $\ln(1+x)\approx x$ 。
误差估计常用 $|\mathrm dy|$ 与 $|\mathrm dy/y|$ 。

\Delta y\approx\mathrm dy=f'(x_0)\mathrm dx

讲清这点基点要靠近目标且容易计算；角度近似必须使用弧度。

课堂训练 · 先求导，再乘小增量1 / 6　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=\ln(1+x^2)

的微分。

答案

\mathrm dy=\frac{2x}{1+x^2}\mathrm dx

先求导 $y'=2x/(1+x^2)$ 。
再乘 $\mathrm dx$ 。

题目 2

由

x^2+y^2=25

写出

\mathrm dy

与

\mathrm dx

的关系。

答案

\mathrm dy=-\frac xy\mathrm dx

两边微分： $2x\mathrm dx+2y\mathrm dy=0$ 。
解出 $\mathrm dy$ 。

题目 3

用微分估算

\sqrt{25.2}

。

答案

\sqrt{25.2}\approx5.02

取基点 $25$ ， $\mathrm dx=0.2$ 。
$f'(25)=1/10$ ，增加约 $0.02$ 。

题目 4

估算

\mathrm e^{-0.02}

。

答案

\mathrm e^{-0.02}\approx0.98

使用 $\mathrm e^x\approx1+x$ 。
代入 $x=-0.02$ 。

题目 5

估算

\ln0.99

。

答案

\ln0.99\approx-0.01

写成 $\ln(1-0.01)$ 。
使用 $\ln(1+x)\approx x$ 。

题目 6

圆面积

A=\pi r^2

。若半径相对误差约为

0.3\%

，估计面积相对误差。

答案

0.6\%

$\mathrm dA/A=2\mathrm dr/r$ 。
面积相对误差约为半径相对误差的两倍。

几何收束

导数值落地为直线方程

几何题的稳定顺序：核对点 → 求导 → 代点求斜率 → 写点斜式。

切线： $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ 。
法线斜率为 $-1/f'(x_0)$ ，但水平或竖直情形要单独判断。
水平切线满足 $f'(x)=0$ 。
隐函数切线先求 $y'(x,y)$ 再代点。

k_t=f'(x_0),\qquad k_n=-1/k_t

讲清这点题目若问“切点”，最终答案要包含横纵坐标。

课堂训练 · 导数值落地为直线方程1 / 4　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=\mathrm e^x

在

(0,1)

处的切线方程。

答案

y=x+1

$f'(0)=\mathrm e^0=1$ 。
$y-1=1(x-0)$ 。

题目 2

求

y=x^2

在

(1,1)

处的法线方程。

答案

y-1=-\frac12(x-1)

切线斜率 $f'(1)=2$ 。
法线斜率为 $-1/2$ 。

题目 3

函数

f(x)=x^4-4x^2

在哪些横坐标处有水平切线？

答案

x=0,\qquad x=\pm\sqrt2

$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)$ 。
令导数为 $0$ 。

题目 4

若曲线在一点的切线斜率为

0

，其法线方程应如何描述？

答案

法线是通过该点的竖直直线

x=x_0

。

水平切线的斜率为 $0$ 。
其垂线没有有限斜率，方程写作 $x=x_0$ 。

07

KNOWLEDGE BLOCK

综合冲刺：把结构说出来

每题先用一句话说明法则顺序，再计算。

混合运算方法叠加点值综合

最后冲刺

写出法则顺序，就是最好的草稿

压轴题通常不是新知识，只是旧法则按更长的顺序组合。

第一行只做结构判断，不急着化简。
第二行写完整骨架，保证每个因子与层次都有位置。
第三行处理内部导数，再代点或化简。
最后检查定义域、负号、内层因子与题目问法。

\text{结构句}\;\to\;\text{法则骨架}\;\to\;\text{内部求导}\;\to\;\text{检查}

讲清这点如果最终答案非常短，也要保留至少一行关键过程，便于发现漏层。

课堂训练 · 写出法则顺序，就是最好的草稿1 / 8　按 ↓ 或 空格：显示答案

题目 1

求

y=x^2\sin(\mathrm e^x)

的导数。

答案

y'=2x\sin(\mathrm e^x)+x^2\mathrm e^x\cos(\mathrm e^x)

最外层用乘积法则。
$[\sin(\mathrm e^x)]'=\cos(\mathrm e^x)\mathrm e^x$ 。

题目 2

求

y=\ln\dfrac{1+x^2}{1-x^2}

的导数。

答案

y'=\frac{4x}{1-x^4}

先写成 $\ln(1+x^2)-\ln(1-x^2)$ 。
求导得 $2x/(1+x^2)+2x/(1-x^2)$ ，通分化简。

题目 3

求

y=(\sin x)^{\cos x}

的导数（在

\sin x>0

的区间）。

答案

y'=y\left[-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}\right]

$\ln y=\cos x\ln(\sin x)$ 。
右边乘积求导，再乘回 $y=(\sin x)^{\cos x}$ 。

题目 4

由

x^3+y^3=6xy

求

y'

。

答案

y'=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}

求导： $3x^2+3y^2y'=6y+6xy'$ 。
除以 $3$ 后收集 $y'$ 。

题目 5

参数方程

x=t-\ln t

、

y=t^2

。在

t=1

处曲线是水平切线还是竖直切线？

答案

竖直切线。

$x'(t)=1-1/t$ ，故 $x'(1)=0$ 。
$y'(t)=2t$ ，故 $y'(1)=2\ne0$ ；因此 $dy/dx$ 无有限值，为竖直切线。

题目 6

求

y=\ln x

在

x=1

处的二阶导数。

答案

y''(1)=-1

$y'=1/x$ 。
$y''=-1/x^2$ ，代 $x=1$ 。

题目 7

用微分估算

\sqrt[3]{27.3}

。

答案

\sqrt[3]{27.3}\approx3.0111

取 $f(x)=x^{1/3}$ 、 $x_0=27$ 、 $\mathrm dx=0.3$ 。
$f'(27)=1/(3\cdot9)=1/27$ ，所以增加约 $0.3/27=0.0111$ 。

题目 8

设

F(x)=f(g(x))

，已知

g(0)=2

、

g'(0)=-3

、

f'(2)=4

。求

F'(0)

。

答案

F'(0)=-12

$F'(x)=f'(g(x))g'(x)$ 。
代入 $x=0$ ： $4\times(-3)=-12$ 。

LESSON COMPLETE

一张结构图贯通全章

真正的复习完成标志不是“见过题”，而是能在动笔前说清法则顺序，并在结果后主动检查。

01定义题回到差商极限；分段函数先连续、后比较左右导数。

02基本公式负责局部，积商与链式法则负责把局部拼起来。

03隐函数收集

y'

；对数求导拆乘除与幂指，最后乘回原函数。

04参数斜率是

y'(t)/x'(t)

；高阶导数对上一阶结果继续求导。

05微分是增量的一阶线性主部，可用于近似计算与误差估计。

06最后四查：定义域、负号、内层导数、题目究竟要数值还是表达式。

导数与微分
总复习

先建立全章地图

四条主线，彼此相连

定义、连续与可导

差商极限是所有公式的根

公式与四则法则

先写骨架，后做化简

复合几层，就追踪几层

隐函数与对数求导

两种方法都在追踪变量依赖

参数方程与高阶导数

重复求导也要保持结构意识

微分、近似与误差

先求导，再乘小增量

导数值落地为直线方程

综合冲刺：把结构说出来

写出法则顺序，就是最好的草稿

一张结构图贯通全章

课件总览 · 共 27 页

第 03 章 · 导数与微分

导数与微分总复习

先建立全章地图

四条主线，彼此相连

定义、连续与可导

差商极限是所有公式的根

公式与四则法则

先写骨架，后做化简

复合几层，就追踪几层

隐函数与对数求导

两种方法都在追踪变量依赖

参数方程与高阶导数

重复求导也要保持结构意识

微分、近似与误差

先求导，再乘小增量

导数值落地为直线方程

综合冲刺：把结构说出来

写出法则顺序，就是最好的草稿

一张结构图贯通全章

课件总览 · 共 27 页

第 03 章 · 导数与微分

导数与微分
总复习