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第四章导数的应用　课 01

微分中值
定理

颜色约定
函数 \(f\)切线割线函数 \(g\)中值点 \(\xi\)
图 0　割线与平行切线拖动 A、B 或切点 T
割线斜率 \(k\)—
切线斜率 \(f'(t)\)—
\(f'(\xi)=k\) 的点—
§1罗尔定理

罗尔定理

两端等高的光滑曲线上，至少有一点的切线是水平的。

罗尔定理
  • \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续；
  • \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导；
  • \(f(a)=f(b)\)。
结论至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f'(\xi)=0\)。

例 1

验证 \(f(x)=x^2-2x-3\) 在 \([-1,3]\) 上满足罗尔定理的条件，并求 \(\xi\)。

验证条件
多项式在 \([-1,3]\) 上连续，在 \((-1,3)\) 内可导；\(f(-1)=0\)，\(f(3)=0\)。
求导
\(f'(x)=2x-2\)。
求 \(\xi\)
\(2\xi-2=0\)，\(\xi=1\in(-1,3)\)。
例 1 模型　\(f(x)=x^2-2x-3,\ x\in[-1,3]\)拖动切点 T
\(f(-1)\)0
\(f(3)\)0
切点 \(t\)—
\(f'(t)=2t-2\)—
§1罗尔定理

例 2　判断是否满足罗尔定理的条件

曲线断开、出现尖点或两端不等高，都可能找不到水平切线。

例 2

判断下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件；满足的，求出 \(\xi\)。

（1）\(f(x)=|x|\)，\([-1,1]\)　　（2）\(f(x)=x\)，\([0,1]\)

（3）\(f(x)=\begin{cases}x,&0\le x\lt1\\0,&x=1\end{cases}\)　　（4）\(f(x)=\sin x\)，\([0,\pi]\)

（1）
\(x=0\) 处不可导，不满足条件②。
（2）
\(f(0)=0\ne f(1)=1\)，不满足条件③。
（3）
\(x=1\) 处不连续，不满足条件①。
（4）
满足。\(f'(\xi)=\cos\xi=0\)，\(\xi=\dfrac\pi2\)。
例 2 模型
① 连续—② 可导—③ \(f(a)=f(b)\)—
§1罗尔定理的应用

例 3　竖直上抛

球回到出发时的高度，途中必有一刻竖直速度为零，这一刻球在最高点。

例 3

小球从 2 m 高处竖直上抛，高度 \(h(t)=2+4t-t^2\)（单位：m，s），4 s 后回到 2 m 高处。用罗尔定理说明途中有竖直速度为零的时刻，并求出这一时刻。

验证条件
\(h(t)\) 在 \([0,4]\) 上连续、在 \((0,4)\) 内可导，\(h(0)=h(4)=2\)。
速度
\(v(t)=h'(t)=4-2t\)。
求 \(\xi\)
\(4-2\xi=0\)，\(\xi=2\ \mathrm s\)，此时 \(h(2)=6\ \mathrm m\)。
例 3 模型　\(h(t)=2+4t-t^2,\ t\in[0,4]\)
高度 \(h(t)\)—
速度 \(v(t)\)—
§1罗尔定理的应用

例 4　判断导数的实根个数

函数的相邻两个零点之间，至少夹着导数的一个零点。

例 4

不求导数，判断 \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) 的导数有几个实根，各在什么区间内。

找等值点
\(f(1)=f(2)=f(3)=0\)。
分段用罗尔定理
\([1,2]\) 上：\(\exists\,\xi_1\in(1,2)\)，\(f'(\xi_1)=0\)；\([2,3]\) 上：\(\exists\,\xi_2\in(2,3)\)，\(f'(\xi_2)=0\)。
看次数
\(f'(x)\) 是二次多项式，最多两个实根。
答
恰有两个实根，分别在 \((1,2)\)、\((2,3)\) 内。
例 4 模型　上：\(f(x)\)；下：\(f'(x)=3x^2-12x+11\)
\(\xi_1\)—
\(\xi_2\)—
§2拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

光滑曲线上，至少有一点的切线与连接两端点的割线平行。

拉格朗日中值定理
  • \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续；
  • \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导。
结论至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

例 5

求 \(f(x)=x^3\) 在 \([0,2]\) 上满足拉格朗日定理的 \(\xi\)。

割线斜率
\(k=\dfrac{8-0}{2-0}=4\)。
求 \(\xi\)
\(3\xi^2=4\)，\(\xi=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx1.155\in(0,2)\)。

例 6

求 \(f(x)=\ln x\) 在 \([1,e]\) 上满足拉格朗日定理的 \(\xi\)。

割线斜率
\(k=\dfrac{1-0}{e-1}=\dfrac1{e-1}\)。
求 \(\xi\)
\(\dfrac1\xi=\dfrac1{e-1}\)，\(\xi=e-1\approx1.718\in(1,e)\)。
例 5、例 6 模型拖动切点 T
割线斜率 \(k\)—
切点 \(t\)—
切线斜率 \(f'(t)\)—
§2拉格朗日中值定理的应用

例 7　区间测速

平均速度一定在途中某一刻等于瞬时速度，所以平均速度超速，途中必定超过速。

例 7

两个测速点相距 20 km。一辆车 8:00 经过第一个测速点，8:10 经过第二个测速点。该路段限速 100 km/h，能否判定超速？

设函数
设 \(s(t)\) 为已行驶的路程，连续、可导，\(s'(t)\) 为瞬时速度。
平均速度
\(\bar v=\dfrac{20\ \mathrm{km}}{\frac{10}{60}\ \mathrm h}=120\ \mathrm{km/h}\)。
用拉格朗日定理
\(\exists\,\xi\)，\(s'(\xi)=120\ \mathrm{km/h}\)。
答
\(120\gt100\)，判定超速。
例 7 模型　20 km，10 min拖动圆点改变行驶过程；拖动竖线看车速
当前车速—
平均速度120.0 km/h
车速为 120 km/h 的时刻 \(\xi\)—
§3柯西中值定理

柯西中值定理

两个函数在区间上的增量之比，一定等于它们在区间内同一点处的导数之比。

柯西中值定理
  • \(f(x)\)、\(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续；
  • 在 \((a,b)\) 内可导；
  • 在 \((a,b)\) 内 \(g'(x)\ne0\)。
结论至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。

两个导数在同一个 \(\xi\) 处取值。\(g(x)=x\) 时就是拉格朗日定理。

例 8

对 \(f(x)=\sin x\)、\(g(x)=\cos x\) 在 \(\left[0,\dfrac\pi2\right]\) 上求柯西中值定理中的 \(\xi\)。

验证 \(g'\ne0\)
\(g'(x)=-\sin x\ne0\)，\(x\in\left(0,\frac\pi2\right)\)。
列方程
\(\dfrac{1-0}{0-1}=\dfrac{\cos\xi}{-\sin\xi}\)，即 \(\cot\xi=1\)。
求 \(\xi\)
\(\xi=\dfrac\pi4\)。
例 8 模型　横坐标 \(g=\cos t\)，纵坐标 \(f=\sin t\)拖动点 T
弦斜率 \(\dfrac{\Delta f}{\Delta g}\)−1
参数 \(t\)—
\(\dfrac{f'(t)}{g'(t)}=-\cot t\)—
§3柯西中值定理的应用

例 9　两部手机充电

A 充进的电量是 B 的 2 倍，途中必有一刻 A 的充电速度恰好是 B 的 2 倍。

例 9

两部手机同时充电 30 min，电量（%）分别为 \[A(t)=20+2t+8\sin\frac{\pi t}{15},\qquad B(t)=20+t.\] 求 A 的充电速度恰为 B 的 2 倍的时刻。

增量之比
\(\Delta A=60\)，\(\Delta B=30\)，\(\dfrac{\Delta A}{\Delta B}=2\)。由柯西定理，存在 \(\xi\) 使 \(\dfrac{A'(\xi)}{B'(\xi)}=2\)。
求导
\(A'(t)=2+\dfrac{8\pi}{15}\cos\dfrac{\pi t}{15}\)，\(B'(t)=1\)。
列方程
\(A'(t)=2B'(t)\Rightarrow\cos\dfrac{\pi t}{15}=0\)。
答
\(t=7.5\ \mathrm{min}\)，\(t=22.5\ \mathrm{min}\)。
例 9 模型　上：电量；下：充电速度
\(A'(t)\)—
\(2B'(t)\)2
§4小结

三个定理对比

罗尔定理是拉格朗日定理在两端等高时的特例，拉格朗日定理是柯西定理在 \(g(x)=x\) 时的特例。

定理条件结论（\(\xi\in(a,b)\)）几何意义例题
罗尔连续、可导、\(f(a)=f(b)\)\(f'(\xi)=0\)有水平切线例 1～例 4
拉格朗日连续、可导\(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)有切线平行于割线例 5～例 7
柯西连续、可导、\(g'(x)\ne0\)\(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)参数曲线的弦与切线平行例 8、例 9
易错连续看闭区间 \([a,b]\)，可导看开区间 \((a,b)\)。
易错求出的 \(\xi\) 要检查是否在 \((a,b)\) 内。
易错条件不满足时不能用定理。
§4课堂练习

课堂练习

1罗尔
验证 \(f(x)=x^2-4x+3\) 在 \([1,3]\) 上满足罗尔定理，求 \(\xi\)。
条件
多项式连续可导，\(f(1)=f(3)=0\)。
求 \(\xi\)
\(2\xi-4=0\)，\(\xi=2\)。
2拉格朗日
求 \(f(x)=x^2\) 在 \([1,3]\) 上的 \(\xi\)。
割线斜率
\(k=\dfrac{9-1}{2}=4\)。
求 \(\xi\)
\(2\xi=4\)，\(\xi=2\)。
3拉格朗日
求 \(f(x)=\sqrt x\) 在 \([1,4]\) 上的 \(\xi\)。
割线斜率
\(k=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac13\)。
求 \(\xi\)
\(\dfrac1{2\sqrt\xi}=\dfrac13\)，\(\xi=\dfrac94\)。
4判断
\(f(x)=\sqrt[3]{x^2}\) 在 \([-1,1]\) 上满足罗尔定理的条件吗？
不满足
\(f'(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]x}\)，\(x=0\) 处不可导。
5根的个数
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\)，不求导判断 \(f'(x)=0\) 的实根个数。
罗尔
\((1,2)\)、\((2,3)\)、\((3,4)\) 内各至少一个。
答
\(f'\) 为三次多项式，恰有 3 个实根。
6柯西
对 \(f(x)=x^2\)、\(g(x)=x^3\) 在 \([1,2]\) 上求 \(\xi\)。
列方程
\(\dfrac{4-1}{8-1}=\dfrac{2\xi}{3\xi^2}\)，即 \(\dfrac37=\dfrac{2}{3\xi}\)。
求 \(\xi\)
\(\xi=\dfrac{14}{9}\approx1.556\in(1,2)\)。