04 / 01 THE MEAN VALUE THEOREMS
微分中值定理
一段路程的平均变化，
总会在途中某一点，被瞬时变化命中。
理解条件、图像与应用
一条割线 · 一条平行切线
平均变化瞬时变化
01从条件出发
连续与可导，是定理的入口。
切换曲线，观察条件如何失效
闭区间连续
满足检查范围包含两个端点
整段曲线连贯，包括两端的函数值。
开区间可导
满足只检查区间内部
内部每一点都有确定的有限导数。
01 ROLLE'S THEOREM
两端同高。中间必有水平切线。
一条连续、内部可导的曲线，起点与终点同高，那么至少有一个内部点的导数为零。
在 上连续，在 内可导；并且两端函数值相等：。
同值端点 / 水平切线
水平切线
端点同高，曲线在内部达到一个极值；若函数恒为常数，则内部每点的导数都为零。
存在性：至少有一个，不保证只有一个。几何关键词 端点同值 · 水平切线
02把定理放进运动里
回到同一高度，途中必有一刻停止上升。
抛球实验
简化运动模型 · 观察竖直方向
拖动时间，观察上升、最高点和下降。
03动态实验
曲线可以改变，水平切线依然存在。
调节幅度与偏斜，或切换尖点反例
端点保持同值
函数曲线水平切线内部点
切点随偏斜移动。
02 LAGRANGE'S MEAN VALUE THEOREM
整段的平均。某点的瞬时。
取消“端点同高”的限制，水平切线变成与割线平行的切线。整体变化率，等于某一点的导数。
在 上连续；在 内可导。
割线 / 同斜率切线
割线切线
两条直线斜率相同；切点的位置由函数与区间共同决定。
当 时，割线斜率为零，回到罗尔定理。平均变化率对应某点瞬时变化率
04从平均速度推断瞬时速度
平均速度超限，途中一定超速过吗？
区间测速实验
08:00起点
两个测速点之间的路程
08:40终点
将累计行驶路程视为连续、内部可导的函数。
05同斜率实验
一条割线，对应至少一条平行切线。
切换函数，调整区间
函数割线当前切线
两条直线斜率相同时，切点被命中。
03 CAUCHY'S MEAN VALUE THEOREM
两个函数。同一个内部点。
比较两个函数的总体增量，可以在同一个内部点找到对应的导数关系。
函数 都在 上连续，都在 内可导。
其中 ，。
同步取点 / 比较导数
竖线标记同一个 ，两个导数都必须在这一点取值。
乘积形式不需要除法；改写成比值前，必须核对两个分母。同一个 ，不能各取各的。
06两个变化量，同一个时刻
总增量为两倍，瞬时速度何时也是两倍？
两部手机，充电 30 分钟
比较充电速度，
要看同一个时刻。
A 手机 · 电量增量
B 手机 · 电量增量
两条电量函数连续、可导。柯西定理保证，内部至少有一刻满足：
把右侧两项的差调到零找到 的时刻；下方两个时间按钮可直接定位两个解。
本例中 B 的速度始终为正，速度单位为“百分点 / 分钟”。
A 手机
B 手机
速度单位：百分点 / 分钟
07别急着做除法
乘积形式成立，比值形式还要看分母。
同步取点 · 零分母反例
同一点 乘积两侧：
两条曲线在同一竖线上取点。
总结从比较对象选择定理
三个定理，一条共同的逻辑。
连续、可导，是共同前提