第四章导数的应用 课 02
洛必达
法则
颜色约定
分子 \(f\)分母 \(g\)切线 / 导数比值 \(f/g\)极限 / 关键点
图 0 \(f(x)=e^{2x}-1\) 与 \(g(x)=\sin x+0.3x^2\) 在 \(x=0\) 附近窗口自动缩小；也可拖动滑块
\(f(h)\)—
\(g(h)\)—
比值 \(f(h)/g(h)\)—
切线斜率之比 \(f'(0)/g'(0)\)—
§1未定式
未定式
分子、分母同时趋于 \(0\) 或同时趋于 \(\infty\) 时，结果要看两者谁变得快，不能直接确定，所以叫未定式。
定义（未定式）
如果当 \(x\to a\)（或 \(x\to\infty\)）时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 都趋于零，或都趋于无穷大，那么 \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 可能存在，也可能不存在。这类极限称为 \(\dfrac00\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型未定式。
七种未定式
\(\dfrac00,\quad\dfrac{\infty}{\infty},\quad 0\cdot\infty,\quad\infty-\infty,\quad 0^0,\quad 1^{\infty},\quad\infty^0\)
前两种可以直接用洛必达法则；其余五种先化为前两种（§4）。
图 1 比值 \(f(x)/g(x)\) 在 \(x\to0\) 时的走向
| \(x\) | \(f(x)\) | \(g(x)\) | \(f(x)/g(x)\) |
|---|
—
§2原理
洛必达法则的直观理解
放大到零点附近，分子、分母的图像都近似于切线，比值就近似于两条切线的斜率之比。
在 \(x=a\) 附近（\(f(a)=g(a)=0\)）
\(f(x)\approx f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g'(a)(x-a)\)
\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\approx\dfrac{f'(a)}{g'(a)}\)
注意若 \(f'(a)=g'(a)=0\)（第 4 组），要再求一次导。
图 2 放大镜
\(f(h)\)—
\(g(h)\)—
\(f(h)/g(h)\)—
\(f'(0)/g'(0)\)—
§2定理
洛必达法则
\(0/0\) 型或 \(\infty/\infty\) 型的极限，可以把分子、分母分别求导后再求极限，而不是对整个分式求导。
定理 1（\(\dfrac00\) 型）
- \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=0\)，\(\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\)；
- 在 \(a\) 的某去心邻域内，\(f'(x)\) 与 \(g'(x)\) 都存在，且 \(g'(x)\ne0\)；
- \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（或为 \(\infty\)），
结论\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。
定理 2（\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型）只改条件①
- \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\)，\(\lim\limits_{x\to a}g(x)=\infty\)（不要求同号）；
- 同定理 1。
结论同定理 1。
误用是对分子、分母分别求导，不是对整个分式求导：\(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\ne\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'\)。
单向\(\lim\dfrac{f'}{g'}\) 不存在（且不是 \(\infty\)）时，不能说原极限不存在，只能换方法。
可重复仍是未定式时可以再用，每次用前都要判型。
§2方法
使用步骤：判型 → 化简 → 求导 → 再判型
每次求导之前，都要先确认仍是 \(0/0\) 型或 \(\infty/\infty\) 型。
① 判型代入极限过程，确认是 \(\frac00\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\)；其他类型先转化
→
② 化简约分、提出极限非零的因子、等价无穷小替换乘除因子
→
③ 分别求导得到 \(\frac{f'}{g'}\)，不是 \(\left(\frac fg\right)'\)
→
④ 再判型能算出结果就停；仍是未定式回到①；极限不存在则换方法
A
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+1}{x+1}\)
不能用
不是未定式，直接代入得 \(1\)。若硬用法则得 \(\lim\dfrac{2x}{1}=0\)，错误。
B
\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}\)
\(\frac00\) 型，可用
\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1/x}{1}=1\)。
C
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2}\)
\(\frac{\infty}{\infty}\) 型，用两次
\(=\lim\dfrac{e^x}{2x}=\lim\dfrac{e^x}{2}=+\infty\)。
D
\(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x\)
\(0\cdot\infty\) 型，先转化
写成 \(\dfrac{\ln x}{1/x}\)（\(\frac{\infty}{\infty}\)）后再用，结果为 \(0\)（例 3）。
E
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}\)
\(\frac{\infty}{\infty}\) 型，但条件③不满足
\(\dfrac{1+\cos x}{1}\) 无极限，法则失效。直接化简：\(1+\dfrac{\sin x}{x}\to1\)。
F
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x^2}\)
\(\frac00\) 型，一次后不再是未定式
\(=\lim\dfrac{\cos x}{2x}\)，这是 \(\frac10\) 型：极限为 \(\infty\)，不能再求导。
§3\(\frac00\) 型
例 1 \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)
法则可以连续使用，直到式子不再是未定式、能直接算出结果为止。
判型
\(x\to0\) 时 \(e^x-1-x\to0\)，\(x^2\to0\)，是 \(\dfrac00\) 型。
第一次求导
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\)。
再判型
分子 \(\to0\)，分母 \(\to0\)，仍是 \(\dfrac00\) 型。（也可直接用 \(e^x-1\sim x\) 得 \(\tfrac12\)。）
第二次求导
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x}{2}\)，这已不是未定式。
答案
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=\dfrac12\)。
注意每次求导前都要先判型。
图 4 \(\dfrac fg,\ \dfrac{f'}{g'},\ \dfrac{f''}{g''}\) 在 \(x=0\) 附近
\(\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\)\(\dfrac{e^x-1}{2x}\)\(\dfrac{e^x}{2}\)\(y=\frac12\)
§3\(\frac{\infty}{\infty}\) 型
例 2、例 3 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型
\(x\to+\infty\) 时，对数函数比幂函数增长慢，幂函数比指数函数增长慢。
例 2
求 \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}}\)（\(\alpha\gt0\)）。
判型
\(\ln x\to+\infty\)，\(x^\alpha\to+\infty\)，\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型。
求导
\(\lim\dfrac{1/x}{\alpha x^{\alpha-1}}=\lim\dfrac{1}{\alpha x^{\alpha}}\)。
答案
\(=0\)。无论 \(\alpha\) 多小（如 \(0.01\)），幂函数终将超过对数。
例 3
求 \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{\lambda x}}\)（\(n\) 为正整数，\(\lambda\gt0\)）。
判型
\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型。
连续求导 \(n\) 次
\(\lim\dfrac{nx^{n-1}}{\lambda e^{\lambda x}}=\lim\dfrac{n(n-1)x^{n-2}}{\lambda^2e^{\lambda x}}=\cdots=\lim\dfrac{n!}{\lambda^ne^{\lambda x}}\)，每次都仍是 \(\frac{\infty}{\infty}\)。
答案
\(=0\)。若 \(n\) 不是整数，求导 \([n]+1\) 次后分子趋于 \(0\)，结论不变。
结论
\(x\to+\infty:\quad \ln x\ \ll\ x^{\alpha}\ \ll\ a^{x}\qquad(\alpha\gt0,\ a\gt1)\)
记号 \(u\ll v\) 表示 \(\lim\dfrac uv=0\)。
§3增长速度
增长速度比较
幂函数追上对数函数，可能要等到 \(x\) 非常大，但最终一定会超过。
图 5 \(\lg y\) 随 \(\lg x\) 的变化
\(x^\alpha\) 超过 \(\ln x\) 之后的位置—
\(a^x\) 超过 \(x^\alpha\) 之后的位置—
\(\lg(\ln x)\)\(\lg(x^\alpha)=\alpha\lg x\)\(\lg(a^x)=x\lg a\)
§4未定式的转化
其他未定式的转化
其余五种未定式，都先化成 \(0/0\) 型或 \(\infty/\infty\) 型，再用洛必达法则。
\(0^0\)
\(1^{\infty}\)
\(\infty^0\)
取对数 →
\(u^v=e^{v\ln u}\)
\(u^v=e^{v\ln u}\)
\(0\cdot\infty\)
一个因子取倒数
放到分母 →
放到分母 →
\(\infty-\infty\)
通分、有理化
提公因子 →
提公因子 →
\(\dfrac00\)或\(\dfrac{\infty}{\infty}\)洛必达法则
- 特征
- 底 \(\to0^+\)，指数 \(\to0\)
- 做法
- \(y=u^v\Rightarrow\ln y=v\ln u\)，这是 \(0\cdot\infty\) 型
- 示例
- \(\lim\limits_{x\to0^+}x^x=e^{\lim x\ln x}=e^0=1\)
- 特征
- 底 \(\to1\)，指数 \(\to\infty\)
- 做法
- 取对数得 \(v\ln u\)（\(\infty\cdot0\)）；常用捷径：\(\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}\)
- 示例
- \(\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{\frac1{x^2}}=e^{\lim\frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{-\frac12}\)
- 特征
- 底 \(\to+\infty\)，指数 \(\to0\)
- 做法
- 取对数得 \(v\ln u\)（\(0\cdot\infty\)）
- 示例
- \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=e^{\lim\frac{\ln x}{x}}=e^0=1\)
- 特征
- 一个因子 \(\to0\)，另一个 \(\to\infty\)
- 做法
- \(uv=\dfrac{u}{1/v}\) 或 \(\dfrac{v}{1/u}\)；选求导后更简单的一种，通常把 \(\ln\)、反三角留在分子
- 示例
- \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=\lim\dfrac{\ln x}{1/x}=0\)
- 特征
- 两个同号无穷大相减
- 做法
- 通分、根式有理化、或提出公因子，化成一个分式
- 示例
- \(\lim\limits_{x\to0}\Big(\dfrac1x-\dfrac1{\sin x}\Big)=\lim\dfrac{\sin x-x}{x\sin x}=0\)
点击左侧任一类型查看转化方法与示例。
关键幂指型求出 \(\lim\ln y\) 后要取指数：\(\lim y=e^{\lim\ln y}\)。
练一练：判型并转化
\(\lim\limits_{x\to\infty}\Big(1+\dfrac2x\Big)^{x}\)
\(1^\infty\)：\(e^{\lim x\cdot\frac2x}=e^2\)。
\(\lim\limits_{x\to1}x^{\frac1{1-x}}\)
\(1^\infty\)：\(e^{\lim\frac{x-1}{1-x}}=e^{-1}\)。
\(\lim\limits_{x\to0^+}(\sin x)^{x}\)
\(0^0\)：\(\ln y=x\ln\sin x\)，\(\sin x\sim x\) 后同 \(x\ln x\to0\)，故 \(y\to1\)。
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+x}-x\big)\)
\(\infty-\infty\)：有理化得 \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\to\dfrac12\)，无需洛必达。
§4\(0\cdot\infty\) 型
例 4 \(\lim_{x\to0^+}x\ln x\)
把一个因子取倒数放到分母；通常让 \(\ln x\) 留在分子，求导后式子更简单。
写法甲 \(\dfrac{\ln x}{1/x}\)（\(\frac{\infty}{\infty}\)）
求导
\(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1/x}{-1/x^2}\)。
化简
\(\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-x\)。
答案
\(\lim\limits_{x\to0^+}(-x)=0\)。
写法乙 \(\dfrac{x}{1/\ln x}\)（\(\frac00\)）
求导
\(\left(\dfrac1{\ln x}\right)'=-\dfrac{1}{x\ln^2x}\)，得 \(\lim\dfrac{1}{-1/(x\ln^2x)}=\lim(-x\ln^2x)\)。
更难了
\(-x\ln^2x\) 仍是 \(0\cdot\infty\)，比原式多了一个 \(\ln x\) 因子，越算越复杂。
结论
把 \(\ln x\) 留在分子。
图 6 \(y=x\ln x\)，\(x\gt0\)
\(x\to0^+\) 时 \(x\ln x\to0\)。
§4\(\infty-\infty\) 型
例 5 \(\lim_{x\to0}\Big(\frac1x-\frac1{\sin x}\Big)\)
两个无穷大相减，先通分化成一个分式，就变成了 \(0/0\) 型。
判型
\(x\to0^+\) 时两项都 \(\to+\infty\)，\(x\to0^-\) 时都 \(\to-\infty\)：同号无穷大相减。
通分
\(\dfrac1x-\dfrac1{\sin x}=\dfrac{\sin x-x}{x\sin x}\)，\(\dfrac00\) 型。
先替换分母因子
\(x\sin x\sim x^2\)（乘积因子可替换），原式 \(=\lim\dfrac{\sin x-x}{x^2}\)。
求导
\(=\lim\dfrac{\cos x-1}{2x}=\lim\dfrac{-x^2/2}{2x}=\lim\Big(-\dfrac x4\Big)\)。
答案
\(0\)。
技巧乘积因子可先做等价替换；加减中的项不能替换。
图 7 \(\dfrac1x\)、\(\dfrac1{\sin x}\) 及其差
\(\frac1x\)\(\frac1{\sin x}\)\(\frac1x-\frac1{\sin x}\approx-\frac x6\)
§4幂指型
例 6 \(\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac1{x^2}}\)
先取对数把幂化成乘积，求出 \(\ln y\) 的极限后，还要取指数才是 \(y\) 的极限。
判型
底 \(\cos x\to1\)，指数 \(\dfrac1{x^2}\to+\infty\)：\(1^\infty\) 型。
取对数
令 \(y=(\cos x)^{\frac1{x^2}}\)，\(\ln y=\dfrac{\ln\cos x}{x^2}\)，\(\dfrac00\) 型。
求导
\((\ln\cos x)'=-\tan x\)，所以 \(\lim\ln y=\lim\dfrac{-\tan x}{2x}=-\dfrac12\)。
还原
\(\lim y=e^{\lim\ln y}=e^{-\frac12}=\dfrac1{\sqrt e}\approx0.607\)。
常见错误求的是 \(y\) 的极限，不是 \(\ln y\) 的极限。
捷径\(1^\infty\) 型：\(\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}\)。
图 8 上：\(y=(\cos x)^{1/x^2}\)；下：\(\ln y=\dfrac{\ln\cos x}{x^2}\)
\(\ln y\)—
\(y\)—
§5失效情形
洛必达法则失效的情形
导数之比没有极限时，法则不能用，但原极限仍可能存在。
情形一 导数之比极限不存在
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}\)
硬用法则
\(\dfrac{1+\cos x}{1}\) 在 \(0\) 与 \(2\) 之间振荡，无极限。条件③不满足。
换方法
\(\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\to1\)。原极限存在。
情形二 求导后循环
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}\)
硬用法则
\(=\lim\dfrac{x/\sqrt{1+x^2}}{1}=\lim\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，再用一次又回到 \(\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}\)。
换方法
\(\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\sqrt{\dfrac1{x^2}+1}\to1\)。
图 9 原比值（琥珀）收敛于 1；导数之比（品红）永远振荡
结论导数之比无极限时，只能说法则不适用，原极限可能存在。
§5与等价无穷小配合
例 7 \(\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)
等价无穷小只能替换乘除中的因子，不能替换加减中的项。
错误替换
若把分子中的 \(\sin x\) 换成 \(x\)，分子变成 \(0\)，得到“极限为 0”，错误。
先求一次导
\(\lim\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\)。现在 \(1-\cos x\) 是乘积因子了。
再替换
\(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}\)：\(\lim\dfrac{x^2/2}{3x^2}=\dfrac16\)。
原因
\(\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\)，把 \(\sin x\) 换成 \(x\) 会丢掉分子的主要部分。
规则等价替换只用于乘除中的因子。
图 10
—
§5数列极限
例 8 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\)
数列只在正整数处有定义，不能求导，要先把 \(n\) 换成 \(x\)，按函数求极限。
为什么不能直接用
\(n\) 只取正整数，\(n^{1/n}\) 对 \(n\) 没有导数可言。
换成函数
考虑 \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}\)，\(\infty^0\) 型。\(\ln y=\dfrac{\ln x}{x}\to0\)（\(\frac{\infty}{\infty}\)，例 2）。
还原
\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=e^0=1\)。
回到数列
由海涅定理，取 \(x=n\)，得 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)。
图 11 函数 \(y=x^{1/x}\) 与数列 \(\sqrt[n]{n}\)
最大值在 \(x=e\) 处，数列中最大的项是 \(\sqrt[3]{3}\approx1.442\)。
§5方法选择
方法选择
先约分、等价替换，式子变简单后再决定是否求导。
| 情形 | 优先方法 | 理由 |
|---|---|---|
| 含 \(\ln x\)、\(e^x\)、幂指式，\(x\to\infty\) | 洛必达 | 求导后明显变简单 |
| 分子分母是若干无穷小的代数和 | 泰勒 | 展开后主部一目了然 |
| 含乘积因子 \(\sin x,\ \tan x,\ e^x-1\) 等 | 等价替换 | 先换掉，减少求导次数 |
| 求导后循环或振荡 | 代数变形 | 法则不适用 |
| 数列极限 | 先化为函数 | 数列不能求导 |
常用展开与等价无穷小（\(x\to0\)）
| \(\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\) | \(x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}\) |
| \(\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\) | \(\tan x-x\sim\dfrac{x^3}{3}\) |
| \(\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)\) | \(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}\) |
| \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\) | \(e^x-1-x\sim\dfrac{x^2}{2}\) |
| \(\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\) | \(x-\ln(1+x)\sim\dfrac{x^2}{2}\) |
§6课堂练习
课堂练习
1\(\frac00\)
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\tan5x}\)
求导
\(\lim\dfrac{3\cos3x}{5\sec^25x}\)
答案
\(\dfrac35\)
2两次
\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}\)
第一次
\(\lim\dfrac{3x^2-3}{3x^2-2x-1}\)，仍为 \(\frac00\)
第二次
\(\lim\dfrac{6x}{6x-2}\)
答案
\(\dfrac32\)
3\(\frac{\infty}{\infty}\)
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{e^{2x}}\)
求导三次
\(\lim\dfrac{3x^2}{2e^{2x}}=\lim\dfrac{6x}{4e^{2x}}=\lim\dfrac{6}{8e^{2x}}\)
答案
\(0\)
4\(0^0\)
\(\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x}\)
取对数
\(\ln y=\sin x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/\sin x}\)
求导
\(\lim\dfrac{1/x}{-\cos x/\sin^2x}=\lim\Big(-\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}\Big)=0\)
还原
\(e^0=1\)
5\(\infty-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to0}\Big(\dfrac1x-\dfrac1{e^x-1}\Big)\)
通分
\(\dfrac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}\)，分母 \(\sim x^2\)
化为例 1
\(\lim\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\)
答案
\(\dfrac12\)
6\(\infty\cdot0\)
\(\lim\limits_{x\to\infty}x\big(e^{\frac1x}-1\big)\)
换元
令 \(t=\dfrac1x\to0\)：\(\lim\dfrac{e^t-1}{t}\)
答案
\(1\)
7\(\infty^0\)
\(\lim\limits_{x\to0^+}(\cot x)^{\frac1{\ln x}}\)
取对数
\(\ln y=\dfrac{\ln\cot x}{\ln x}\)，\(\frac{\infty}{\infty}\)
求导
\(\lim\dfrac{-\csc^2x/\cot x}{1/x}=\lim\dfrac{-x}{\sin x\cos x}=-1\)
还原
\(e^{-1}\)
8综合
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x-\sin x}\)
求导
\(\lim\dfrac{\sec^2x-1}{1-\cos x}=\lim\dfrac{\tan^2x}{1-\cos x}\)
等价替换
\(\dfrac{x^2}{x^2/2}\)
答案
\(2\)
§6小结
小结
使用条件
- 是 \(\frac00\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型；
- 去心邻域内可导，\(g'(x)\ne0\)；
- \(\lim\dfrac{f'}{g'}\) 存在或为 \(\infty\)。
七种类型
\(0\cdot\infty\) 化为商；\(\infty-\infty\) 通分；\(0^0,1^\infty,\infty^0\) 取对数，最后取指数还原。
三类常见错误
- 没判型就求导（对非未定式用法则）；
- 把“导数比无极限”当成“原极限不存在”；
- 在代数和中做等价替换；幂指型忘记还原。
常用结论
\(\ln x\ll x^\alpha\ll a^x\)（\(x\to+\infty\)）；\(x^\alpha\ln x\to0\)（\(x\to0^+\)）；\(x-\sin x\sim\frac{x^3}6\)，\(\tan x-x\sim\frac{x^3}3\)，\(1-\cos x\sim\frac{x^2}2\)。