第四章 · 导数的应用 — 第三节
用导数揭示函数的「上坡下坡」与「山顶山谷」
想象你在一条山路上走路。横轴是你的位置，纵轴是你脚下的海拔高度：
• 走在上坡路上时：你每往前一步，海拔都在升高 → 这段路就是"单调递增"的。
• 走在下坡路上时：你每往前一步，海拔都在降低 → 这段路就是"单调递减"的。
现在关键问题来了——我怎么知道某段路是上坡还是下坡？
答案就是看路面的倾斜方向，也就是切线的斜率！
第①步 写定义域——先搞清楚函数在哪些 \(x\) 有意义（比如分母不能为0，根号里面要≥0，\(\ln\) 里面要>0）
第②步 求导数 \(f'(x)\)——用我们学过的求导公式
第③步 令 \(f'(x)=0\)，解方程——找到使导数为零的 \(x\) 值，这些点叫"驻点"
第④步 用驻点分段，逐段判断 \(f'(x)\) 的正负——在每一段里随便取一个点代入 \(f'(x)\)，算出是正还是负
第⑤步 写结论——正的段写"递增"，负的段写"递减"
\(x^3 - 3x\) 是一个多项式（只有加减乘和整数次幂），多项式对任何实数都有意义。
所以定义域是：全体实数，写作 \((-\infty, +\infty)\)。
我们逐项求导。回忆求导公式：\((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\)（把指数拿下来乘，指数减1）
合在一起：
\(\boxed{f'(x) = 3x^2 - 3}\)
这两个值 \(x=-1\) 和 \(x=1\) 就是驻点（使导数等于零的点）。
驻点 \(-1\) 和 \(1\) 把数轴分成了三段：
现在在每段里随便取一个数，代入 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)，只看正负：
第一段 \((-\infty,-1)\)：取 \(x = -2\) → \(f'(-2) = 3 \times (-2)^2 - 3 = 3 \times 4 - 3 = 12 - 3 = 9\) 正数！→ 递增 ↗
第二段 \((-1,1)\)：取 \(x = 0\) → \(f'(0) = 3 \times 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3\) 负数！→ 递减 ↘
第三段 \((1,+\infty)\)：取 \(x = 2\) → \(f'(2) = 3 \times 4 - 3 = 9\) 正数！→ 递增 ↗
递增区间：\((-\infty, -1)\) 和 \((1, +\infty)\)（这两段导数为正，函数在上升）
递减区间：\((-1, 1)\)（这段导数为负，函数在下降）
我们得到的结论是：在 \((-\infty,-1)\) 递增，在 \((-1,1)\) 递减，在 \((1,+\infty)\) 递增。
看右边的图，曲线确实是先升→再降→又升！结论正确 ✓
还可以从图中发现两件事：
① \(x=-1\) 处函数从升变降，像一个"小山顶"→ 这就是后面要学的"极大值"
② \(x=1\) 处函数从降变升，像一个"小山谷"→ 这就是后面要学的"极小值"
我们来算一下这两个点的函数值：
所以山顶在 \((-1, 2)\)，山谷在 \((1, -2)\)。
函数里有 \(\ln x\)。回忆：\(\ln x\) 的要求是 \(x > 0\)（对数的真数必须是正数）。
所以定义域为 \((0, +\infty)\)，也就是说 \(x\) 只能取正数。
用公式：\((x)' = 1\)，\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\)。逐项求导：
合在一起：\(\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{1}{x}\)
为了后面分析正负方便，我们把它通分（化成一个分数）：
\(\displaystyle\boxed{f'(x) = \frac{x-1}{x}}\)
\(\dfrac{x-1}{x} = 0\)。分数什么时候等于零？分子等于零、分母不等于零。
唯一的驻点：\(x = 1\)。
在每段取试验点代入 \(f'(x)=\dfrac{x-1}{x}\)：
第一段 \((0,1)\)：取 \(x = \dfrac{1}{2}\)（取一个0到1之间好算的数）
第二段 \((1,+\infty)\)：取 \(x = 2\)
递减区间：\((0, 1)\)；递增区间：\((1, +\infty)\)。
在 \(x=1\) 处函数从降变升（先下坡后上坡），\(f(1)=1-\ln 1 = 1-0 = 1\)。
所以 \(f'(x) = 3x^2 - 12\)。
取 \(x=-3\)：\(f'(-3) = 3 \times 9 - 12 = 27-12 = 15 > 0\) ↗
取 \(x=0\)：\(f'(0) = 0 - 12 = -12 < 0\) ↘
取 \(x=3\)：\(f'(3) = 3 \times 9 - 12 = 15 > 0\) ↗
这里 \(f(x) = x \cdot e^x\) 是两个函数相乘的形式，必须用乘法求导公式：
令 \(u = x\)，\(v = e^x\)：
提取公因式 \(e^x\)：\(f'(x) = e^x(1 + x)\)
现在 \(f'(x) = e^x(1+x)\) 是两个因子相乘。看每个因子的正负：
当 \(1+x > 0\) 即 \(x > -1\) 时 → \(f'(x) > 0\) → 递增 ↗
当 \(1+x < 0\) 即 \(x < -1\) 时 → \(f'(x) < 0\) → 递减 ↘
日常生活中，一座山有"山顶"（周围最高的点）和"山谷"（周围最低的点）。
在数学里，"极值"就是这个意思——和周围邻居比，它是最高或最低的。
很多同学看到"极值点 → 导数=0"就以为"导数=0 → 极值点"。这是错的！
逻辑上："下雨→地面湿"不代表"地面湿→一定在下雨"（可能洒了水）。
但 \(x=0\) 是极值点吗？我们来检查导数在 \(x=0\) 两侧的正负：
左边正、右边还是正——导数根本没有变号！
这说明什么？\(f'(x)\) 在 \(x=0\) 两侧都是正的，函数一直在上升。\(x=0\) 处虽然导数=0（切线水平了一下），但函数只是"歇了一脚"就继续往上爬了，并没有形成山顶或山谷。
逐项求导：
合在一起：\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
先提取公因式 \(3\)：\(f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3)\)
现在需要把 \(x^2 - 2x - 3\) 分解。方法：找两个数 \(a, b\) 使得 \(a + b = -2\)（一次项系数）且 \(a \times b = -3\)（常数项）。
所以 \(x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)\)
\(\boxed{f'(x) = 3(x-3)(x+1)}\)
\(3(x-3)(x+1) = 0\)。由于 \(3 \neq 0\)，只需 \((x-3)(x+1)=0\)：
驻点：\(x=-1\) 和 \(x=3\)。
驻点 \(-1\) 和 \(3\) 把数轴分三段：\((-\infty,-1)\)、\((-1,3)\)、\((3,+\infty)\)。
第一段 \((-\infty,-1)\)：取 \(x=-2\)
第二段 \((-1,3)\)：取 \(x=0\)（好算）
第三段 \((3,+\infty)\)：取 \(x=4\)
\(x=-1\) 处：左边正、右边负（正→负）→ 极大值！
\(x=3\) 处：左边负、右边正（负→正）→ 极小值！
一阶判别法虽然通用，但每次要列表、分段、代入、比正负，步骤不少。有没有更快的办法？
有！如果我们能求出二阶导数（对导数再求一次导），就能一步到位。
一阶导数（前面已经求过）：\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
二阶导数（对 \(f'(x)\) 再求一次导）：
\(f''(x) = 6x - 6\)
由前面知：\(x=-1\) 和 \(x=3\)（令 \(f'(x)=0\) 得到的）。
驻点 \(x=-1\)：
驻点 \(x=3\)：
\(f'(x) = 6x - 3x^2\)。提公因式 \(3x\)：\(f'(x) = 3x(2 - x)\)
再求二阶：\(f''(x) = 6 - 6x\)
\(3x(2-x)=0\) → \(x=0\) 或 \(2-x=0\) 即 \(x=2\)。
\(f''(0) = 6 - 6 \times 0 = 6\)。\(6 > 0\)（正）→ 极小值。\(f(0)=0\)。
\(f''(2) = 6 - 6 \times 2 = 6 - 12 = -6\)。\(-6 < 0\)（负）→ 极大值。
\(f'(x) = 4x^3\)，\(f''(x) = 12x^2\)。驻点：\(4x^3=0\) → \(x=0\)。
结果是 \(0\)！二阶判别法失效——定理说了"\(f''=0\) 时无法判断"。
检查 \(f'(x)=4x^3\) 在 \(x=0\) 两侧的正负：
左边负、右边正（负→正 = 先降后升 = 山谷）→ 极小值！
\(f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x-2)\) （提取 \(6x\)：\(6x^2÷6x=x\)，\(-12x÷6x=-2\)）
\(f''(x) = 12x - 12\)
取 \(x=-1\)：\(f'(-1)=6(-1)(-3)=18>0\) ↗；取 \(x=1\)：\(f'(1)=6(1)(-1)=-6<0\) ↘；取 \(x=3\)：\(f'(3)=6(3)(1)=18>0\) ↗
递增：\((-\infty,0)\) 和 \((2,+\infty)\)；递减：\((0,2)\)。
把 \(\sqrt{x}\) 转化为幂：\(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)，然后用幂函数求导公式 \((x^n)'=nx^{n-1}\)：
原函数求导：\(\displaystyle f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\)（当 \(x>0\)）
\(0<x<1\)（取 \(x=\frac{1}{4}\)）：\(\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) → \(\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\) → \(1-2=-1<0\) 负 ↘
\(x>1\)（取 \(x=4\)）：\(\sqrt{4}=2\) → \(\frac{1}{2}=0.5\) → \(1-0.5=0.5>0\) 正 ↗
负→正 → 极小值。\(f(1)=1-2\sqrt{1}=1-2=\boxed{-1}\)
\(f(x) = x^2 \cdot e^{-x}\) 是两个函数相乘，用乘法法则 \((uv)'=u'v+uv'\)：
提取公因式 \(e^{-x}\)：\(f'(x) = e^{-x}(2x - x^2)\)。再提取 \(x\)：
\(\boxed{f'(x) = e^{-x} \cdot x(2 - x)}\)
\(f'(x)\) 由三个因子相乘：\(e^{-x}\)、\(x\)、\((2-x)\)。分别看正负：
\(x<0\)：\(x<0\)，\(2-x>0\) → 负×正 = 负 ↘
\(0<x<2\)：\(x>0\)，\(2-x>0\) → 正×正 = 正 ↗
\(x>2\)：\(x>0\)，\(2-x<0\) → 正×负=负 ↘
\(x=0\)：负→正 → 极小值 \(f(0)=0\)。
\(x=2\)：正→负 → 极大值 \(f(2)=4 \cdot e^{-2} = \dfrac{4}{e^2} \approx 0.54\)。
| 一阶判别法 | 二阶判别法 | |
|---|---|---|
| 做法 | 列表看 \(f'(x)\) 变号 | 代入 \(f''(x_0)\) 看正负 |
| 极大值条件 | \(f'\) 从正变负 | \(f''(x_0) < 0\) |
| 极小值条件 | \(f'\) 从负变正 | \(f''(x_0) > 0\) |
| 优点 | 永远能用 | 更快，代入一个数即可 |
| 缺点 | 步骤多 | \(f''=0\) 时失效 |
求导 \(f'(x)\) → 令 \(f'=0\) 找驻点 → 判断（二阶法代入 \(f''\) / 一阶法列表看变号）→ 代入 \(f(x_0)\) 算出极值
① 定义域：\((-\infty,+\infty)\)。
② \(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)，令 \(f'(x)=0\)，得驻点 \(x=-1,\,x=1\)。
③ \(x<-1\) 时 \(f'(x)>0\)（递增）；\(-1<x<1\) 时 \(f'(x)<0\)（递减）；\(x>1\) 时 \(f'(x)>0\)（递增）。
④ 极大值 \(f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2\)；极小值 \(f(1)=1-3=-2\)。
① 定义域：\((-\infty,+\infty)\)。
② \(f'(x)=e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)\)。
③ 令 \(f'(x)=0\)，由 \(e^{-x}>0\) 恒成立，得 \(1-x=0\)，即 \(x=1\)。
④ \(x<1\) 时 \(f'(x)>0\)（递增）；\(x>1\) 时 \(f'(x)<0\)（递减）。\(f'\) 由正变负，\(x=1\) 为极大值点。
⑤ \(f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}\)。
① 单调性定理：\(f'(x)>0\) → 函数递增（上坡）；\(f'(x)<0\) → 函数递减（下坡）。
② 极值概念：局部山顶=极大值，局部山谷=极小值。可导极值点处 \(f'(x_0)=0\)（驻点），但驻点不一定是极值点！
③ 一阶判别法：看 \(f'(x)\) 在驻点两侧的变号——"正→负"是极大（山顶），"负→正"是极小（山谷）。
④ 二阶判别法：代入 \(f''(x_0)\)——"负大正小"（\(f''<0\)=极大，\(f''> 0\)=极小），\(f''=0\) 时退回一阶法。
核心公式
\(f'(x) > 0 \;\Rightarrow\; f(x)\) 递增 \(f'(x) < 0 \;\Rightarrow\; f(x)\) 递减
\(f''(x_0) < 0 \;\Rightarrow\) 极大值 \(f''(x_0)> 0 \;\Rightarrow\) 极小值