第四章导数的应用 课 03
函数的单调性
与极值
颜色约定
原函数 \(f\)\(f'\) / 切线\(f'\gt0\)：递增\(f'\lt0\)：递减 / 极值点
图 0 切线斜率的正负，对应函数的升降拖动切点；松手后自动扫描
\(x\)—
\(f'(x)\)—
函数此刻—
§1单调性判定
单调性判定定理
切线向上倾斜（导数为正），函数上升；切线向下倾斜（导数为负），函数下降。
图 2
定理（单调性判定）
设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导。
- 若在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\gt0\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单调增加；
- 若在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\lt0\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单调减少。
当前函数
单调区间（自动判定）
—
游标 \(x\)—
\(f'(x)\)—
注意个别点 \(f'=0\)（如 \(x^3\)）不影响单调性；断点两侧的区间不能合并（如 \(\frac1x\)）。
§1求单调区间
例 1 求 \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) 的单调区间
用导数等于零的点把定义域分段，逐段看导数的符号。
定义域
\(D=(-\infty,+\infty)\)。
求导并因式分解
\(f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\)。
找分界点
\(f'(x)=0\Rightarrow x=1,\ x=2\)；没有不可导点。两点把定义域分成三段。
逐段判号
在每段内取一点检验，或看因式符号：右表第二行。
写结论
单调增加区间 \((-\infty,1]\)、\([2,+\infty)\)；单调减少区间 \([1,2]\)。
注意两个递增区间之间用“，”隔开，不能用 \(\cup\) 合并。
| \(x\) | \((-\infty,1)\) | \(1\) | \((1,2)\) | \(2\) | \((2,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-1\) | − | 0 | ＋ | ＋ | ＋ |
| \(x-2\) | − | − | − | 0 | ＋ |
| \(f'(x)\) | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ |
| \(f(x)\) | ↗ | \(2\) | ↘ | \(1\) | ↗ |
\(f\)\(f'\)
§1求单调区间
例 2 不可导点、断点也是分界点
导数不存在的点和定义域的断点，同样是单调区间的分界点。
例 2（1） \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}\)
求导
\(f'(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)（\(x\ne0\)），\(x=0\) 处导数不存在。
判号
\(x\lt0\) 时 \(f'\lt0\)；\(x\gt0\) 时 \(f'\gt0\)。
结论
\((-\infty,0]\) 上单调减少，\([0,+\infty)\) 上单调增加。尖点 \(x=0\) 是分界点。
例 2（2） \(f(x)=\dfrac1x\)
定义域
\(D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。
判号
\(f'(x)=-\dfrac1{x^2}\lt0\)，在每一段上都成立。
结论
\((-\infty,0)\) 与 \((0,+\infty)\) 都是单调减少区间。不能说“在 \(D\) 上单调减少”：\(-1\lt1\)，却有 \(f(-1)=-1\lt f(1)=1\)。
§2单调性的应用
例 3 讨论方程 \(\ln x=ax\) 的实根个数
方程 \(a=g(x)\) 的根的个数，就是水平线 \(y=a\) 与曲线 \(y=g(x)\) 的交点个数。
分离参数
\(x\gt0\) 时方程等价于 \(g(x)=\dfrac{\ln x}{x}=a\)。
求单调性
\(g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)：\((0,e)\) 上 \(g'\gt0\) 递增，\((e,+\infty)\) 上 \(g'\lt0\) 递减。最大值 \(g(e)=\dfrac1e\)。
看两端趋势
\(x\to0^+\) 时 \(g\to-\infty\)；\(x\to+\infty\) 时 \(g\to0^+\)（洛必达）。
分类计数
\(a\gt\dfrac1e\)：无实根；\(a=\dfrac1e\)：1 个（\(x=e\)）；\(0\lt a\lt\dfrac1e\)：2 个；\(a\le0\)：1 个。
关键要看两端趋势：\(x\to0^+\) 时 \(g\to-\infty\)，\(x\to+\infty\) 时 \(g\to0^+\)。
图 4 上：\(y=\ln x\) 与 \(y=ax\)；下：\(y=g(x)\) 与 \(y=a\)
实根个数—
实根—
§3极值
极值的定义
极值只和附近的点比较，不和整个定义域比较。
定义（极值）
设 \(f\) 在 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义。如果对去心邻域内任一 \(x\)，都有 \(f(x)\lt f(x_0)\)（或 \(f(x)\gt f(x_0)\)），则称 \(f(x_0)\) 是函数的一个极大值（或极小值），\(x_0\) 为极大值点（或极小值点）。
| 极值 | 最值 | |
|---|---|---|
| 比较范围 | \(x_0\) 附近 | 整个定义域 |
| 个数 | 可以有多个 | 最大、最小值各至多一个（数值） |
| 大小关系 | 极小值可能比极大值还大 | |
| 端点 | 不能是极值点 | 可以取得最值 |
表述“极值点”是横坐标 \(x_0\)，“极值”是函数值 \(f(x_0)\)，作答时两者都要写。
图 5 邻域检验拖动点 \(P\)
—
§3极值的必要条件
极值的必要条件
可导的极值点处切线一定水平，但切线水平的点不一定是极值点。
定理 1（必要条件）即费马引理
设 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，且在 \(x_0\) 处取得极值，则 \(f'(x_0)=0\)。使 \(f'(x)=0\) 的点称为函数的驻点。
\(f(x)=x^2\)驻点·极小
\(f'(0)=0\)，左负右正。
\(f(x)=x^3\)驻点·非极值
\(f'(0)=0\)，但两侧同正。
\(f(x)=|x|\)不可导·极小
\(f'(0)\) 不存在，左减右增。
\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)不可导·非极值
竖直切线，函数一直递增。
逻辑驻点和不可导点都只是候选点，还要判定。
§4极值的第一充分条件
极值的第一充分条件
经过一点时导数由正变负是极大值，由负变正是极小值，不变号就不是极值。
定理 2（第一充分条件）
设 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续，在 \(x_0\) 的某去心邻域内可导。
- \(x\lt x_0\) 时 \(f'\gt0\)，\(x\gt x_0\) 时 \(f'\lt0\)：\(f(x_0)\) 为极大值；
- \(x\lt x_0\) 时 \(f'\lt0\)，\(x\gt x_0\) 时 \(f'\gt0\)：\(f(x_0)\) 为极小值；
- 两侧 \(f'\) 同号：\(f(x_0)\) 不是极值。
不要求 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，所以尖点也能用。但“连续”不能少。
图 6 符号组合 → 局部形状
左侧 \(f'\)
右侧 \(f'\)
\(x_0\) 处
—
§4第一充分条件的应用
例 4 求 \(f(x)=(x-1)\sqrt[3]{x^2}\) 的极值
尖点处没有导数，也可能是极值点，要和驻点一起检查。
求导
\(f(x)=x^{\frac53}-x^{\frac23}\)，\(f'(x)=\dfrac53x^{\frac23}-\dfrac23x^{-\frac13}=\dfrac{5x-2}{3\sqrt[3]{x}}\)（\(x\ne0\)）。
找候选点
驻点 \(x=\dfrac25\)；不可导点 \(x=0\)（\(f\) 在此连续）。
列表判号
分子 \(5x-2\) 与分母 \(\sqrt[3]{x}\) 分别判号，见右表。
\(x=0\)
左正右负：极大值 \(f(0)=0\)。
\(x=\tfrac25\)
左负右正：极小值 \(f\big(\tfrac25\big)=-\dfrac35\sqrt[3]{\dfrac{4}{25}}\approx-0.326\)。
| \(x\) | \((-\infty,0)\) | \(0\) | \(\left(0,\frac25\right)\) | \(\frac25\) | \(\left(\frac25,+\infty\right)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(5x-2\) | − | − | − | 0 | ＋ |
| \(\sqrt[3]{x}\) | − | 0 | ＋ | ＋ | ＋ |
| \(f'(x)\) | ＋ | 不存在 | − | 0 | ＋ |
| \(f(x)\) | ↗ | 极大 \(0\) | ↘ | 极小 | ↗ |
§4极值的第二充分条件
极值的第二充分条件
在驻点处，曲线开口向下（\(f''\lt0\)）是极大值，开口向上（\(f''\gt0\)）是极小值。
定理 3（第二充分条件）
设 \(f\) 在 \(x_0\) 处二阶可导，且 \(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0)\ne0\)。
- \(f''(x_0)\lt0\) 时，\(f(x_0)\) 为极大值；
- \(f''(x_0)\gt0\) 时，\(f(x_0)\) 为极小值。
失效\(f''(x_0)=0\) 时不能判定，改用第一充分条件（如 \(x^4\)、\(-x^4\)、\(x^3\)）。
图 7 \(f(x)=\dfrac{k}{2}x^2+h(x)\)：\(f'(0)=0\)，\(f''(0)=k\)
—
§4第二充分条件的应用
例 5、例 6 用二阶导数判定极值
驻点代入 \(f''\) 看符号定极大极小；已知极值点求参数时，先用 \(f'(x_0)=0\) 列方程。
例 5
求 \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) 的极值。
驻点
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)，驻点 \(x=1,3\)。
二阶导数
\(f''(x)=6x-12\)。
\(x=1\)
\(f''(1)=-6\lt0\)：极大值 \(f(1)=4\)。
\(x=3\)
\(f''(3)=6\gt0\)：极小值 \(f(3)=0\)。
例 6
已知 \(f(x)=a\sin x+\dfrac13\sin3x\) 在 \(x=\dfrac\pi3\) 处取得极值，求 \(a\)，并判断是极大还是极小。
必要条件定 \(a\)
\(f'(x)=a\cos x+\cos3x\)；\(f'\big(\tfrac\pi3\big)=\dfrac a2-1=0\Rightarrow a=2\)。
二阶导数
\(f''(x)=-2\sin x-3\sin3x\)，\(f''\big(\tfrac\pi3\big)=-\sqrt3-0\lt0\)。
结论
\(a=2\)，\(x=\tfrac\pi3\) 处取极大值 \(f\big(\tfrac\pi3\big)=2\cdot\dfrac{\sqrt3}2+0=\sqrt3\)。
例 5
\(f\)\(f''=6x-12\)
例 6（\(a=2\)）
§5方法选择
两种判定方法的比较
一阶判别法对任何候选点都能用；二阶判别法只用于驻点，且二阶导数不能为零。
| 第一充分条件 | 第二充分条件 | |
|---|---|---|
| 看什么 | \(f'\) 在两侧的符号 | \(f''(x_0)\) 的符号 |
| 适用候选点 | 驻点与不可导点 | 只限驻点 |
| 要求 | \(f\) 在 \(x_0\) 连续 | \(x_0\) 处二阶可导 |
| 失效情形 | 无（总能下结论） | \(f''(x_0)=0\) |
| 附带收获 | 同时得到单调区间 | 计算量小 |
求极值的完整步骤
- 定义域；
- 求 \(f'\)，找驻点与不可导点；
- 对每个候选点判定（一阶或二阶）；
- 代回原函数求极值，写“在 \(x=\cdots\) 处取极大值 \(\cdots\)”。
选法判断
\(f(x)=x^4-4x^3\) 的驻点 \(x=0\)？
\(f''(0)=0\)，二阶法失效；用一阶法：\(f'=4x^2(x-3)\)，\(0\) 两侧同负，非极值。
\(f(x)=x-\tfrac32x^{\frac23}\) 的候选点 \(x=0\)？
不可导点，只能用一阶法：\(f'=1-x^{-\frac13}\)，左正右负，极大值 \(0\)。
\(f(x)=\sin x+\cos x\) 在 \([0,2\pi]\) 内？
驻点 \(\frac\pi4,\frac{5\pi}4\)；\(f''=-f\)：\(f''\big(\frac\pi4\big)=-\sqrt2\lt0\) 极大 \(\sqrt2\)，\(f''\big(\frac{5\pi}4\big)=\sqrt2\gt0\) 极小 \(-\sqrt2\)。
判出极值点之后？
一定要代回原函数求极值，不要代入 \(f'\) 或 \(f''\)。
§5课堂练习
课堂练习
1单调区间
\(f(x)=x-\ln(1+x)\)
求导
\(D=(-1,+\infty)\)，\(f'=\dfrac{x}{1+x}\)
结论
\((-1,0]\) 减，\([0,+\infty)\) 增
2单调与极值
\(f(x)=xe^{-x}\)
求导
\(f'=(1-x)e^{-x}\)
结论
\((-\infty,1]\) 增，\([1,+\infty)\) 减；极大值 \(f(1)=\dfrac1e\)
3极值
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)
驻点
\(f'=3(x+1)(x-3)\)
结论
极大 \(f(-1)=10\)，极小 \(f(3)=-22\)
4极值
\(f(x)=x^2e^{-x}\)
驻点
\(f'=x(2-x)e^{-x}\)，\(x=0,2\)
结论
极小 \(f(0)=0\)，极大 \(f(2)=\dfrac4{e^2}\)
5单调区间
\(f(x)=2x^2-\ln x\)
求导
\(D=(0,+\infty)\)，\(f'=4x-\dfrac1x=\dfrac{4x^2-1}{x}\)
结论
\(\left(0,\frac12\right]\) 减，\(\left[\frac12,+\infty\right)\) 增
6尖点
\(f(x)=2-\sqrt[3]{(x-1)^2}\)
候选点
\(f'=-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}\)，\(x=1\) 不可导
结论
左正右负：极大值 \(f(1)=2\)
7二阶失效
判断 \(x=0\) 是否为 \(f(x)=x^4\) 的极值点
二阶法
\(f'(0)=f''(0)=0\)，不能判定
一阶法
\(f'=4x^3\) 左负右正：极小值点
8极值
\(f(x)=x-e^x\)
驻点
\(f'=1-e^x=0\Rightarrow x=0\)
结论
左正右负：极大值 \(f(0)=-1\)
§5小结
小结
定义域先确定讨论范围与断点
→
求 \(f'\)，因式分解找 \(f'=0\) 的点与 \(f'\) 不存在的点
→
列表判号得到单调区间
→
判定极值变号法，或驻点处的二阶法
→
代回原函数写出极值点与极值
易错 1驻点不一定是极值点；极值点也不一定是驻点（尖点）。
易错 2单调区间不能跨越断点，不能用 \(\cup\) 合并。
易错 3\(f''(x_0)=0\) 时二阶法失效，要回到一阶法，而不是说“没有极值”。