第四章导数的应用 课 04
函数的最值
与最优化
颜色约定
目标函数端点 / 范围驻点不可导点最值
图 0 候选点比较拖动横轴上的三角形改变区间
区间—
最大值—
最小值—
§1最值
最值的概念与存在性
极值和附近比，最值和全部比；闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
定义
设 \(x_M\in D\)。若对一切 \(x\in D\) 都有 \(f(x)\le f(x_M)\)，则称 \(f(x_M)\) 为 \(f\) 在 \(D\) 上的最大值。最小值类似。
最值定理只回答“有没有”
若 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上一定取得最大值和最小值。
注意“闭区间”“连续”缺一，最值可能不存在。
图 1 最值一定存在吗？
函数与范围—
最大值—
最小值—
—
§2闭区间上的最值
例 1 求 \(f(x)=x^3-3x^2+1\) 在 \([-1,3]\) 上的最值
最值只可能出现在端点、驻点和不可导点，比较这些点的函数值即可。
端点\(a,\ b\)
驻点\((a,b)\) 内 \(f'=0\)
不可导点\((a,b)\) 内 \(f'\) 不存在
求导
\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，内部驻点 \(x=0,\ x=2\)，无不可导点。
列候选点
\(-1,\ 0,\ 2,\ 3\)。
算函数值
\(f(-1)=-3\)，\(f(0)=1\)，\(f(2)=-3\)，\(f(3)=1\)。
比较作答
最大值 \(1\)，在 \(x=0\) 与 \(x=3\) 处取得；最小值 \(-3\)，在 \(x=-1\) 与 \(x=2\) 处取得。
说明闭区间上直接比较函数值，不必判断极大、极小。
图 2 候选点随步骤出现，柱高为函数值
§2闭区间上的最值
例 2、例 3 不可导点；单调函数
不可导点也要参加比较；函数单调时，最值就在两个端点。
例 2 \(f(x)=|x-1|+\dfrac x2\)，\(x\in[-2,3]\)
分段
\(x\lt1\)：\(f=1-\dfrac x2\)；\(x\ge1\)：\(f=\dfrac{3x}2-1\)。两段都没有驻点。
候选点
端点 \(-2,\ 3\)；不可导点 \(x=1\)（左导数 \(-\tfrac12\)，右导数 \(\tfrac32\)）。
比较
\(f(-2)=2\)，\(f(1)=\tfrac12\)，\(f(3)=\tfrac72\)：最大值 \(\tfrac72\)（\(x=3\)），最小值 \(\tfrac12\)（\(x=1\)）。
例 3 \(f(x)=x^3+x\)，\(x\in[-2,1]\)
判号
\(f'(x)=3x^2+1\gt0\)，\(f\) 在区间上单调增加。
直接看端点
最小值 \(f(-2)=-10\)，最大值 \(f(1)=2\)。
易错漏掉不可导点或端点；比较了导数值而不是函数值。
§3一般区间上的最值
一般区间上的最值
区间内只有一个极值点时，极大值就是最大值，极小值就是最小值。
唯一极值点
设 \(f\) 在区间 \(I\)（任意类型）上连续，在 \(I\) 内部只有一个极值点 \(x_0\)。若 \(f(x_0)\) 是极大值，则它就是 \(f\) 在 \(I\) 上的最大值；极小值时类似。
例 4 求 \(f(x)=x+\dfrac1x\) 在 \((0,+\infty)\) 上的最值
驻点
\(f'(x)=1-\dfrac1{x^2}=0\Rightarrow x=1\)（\(x=-1\) 不在范围内）。
判类型
\((0,1)\) 上 \(f'\lt0\)，\((1,+\infty)\) 上 \(f'\gt0\)：唯一的极小值点。
结论
最小值 \(f(1)=2\)；无最大值（\(x\to0^+\) 或 \(x\to+\infty\) 时 \(f\to+\infty\)）。
图 3 一般区间
—
§4最优化建模
实际问题求最值的步骤
把要优化的量写成一个变量的函数，定出变量范围，再求最值。
① 读目标要最大化或最小化的量是什么
② 设变量选一个量作自变量，写明单位
③ 写函数用约束条件消元，化为一元函数
④ 定范围长度为正、数量受限……得到定义域
⑤ 求最值驻点 + 判定（常用唯一极值点原理）
⑥ 答实际写回尺寸、成本与单位；整数问题比较相邻整数
| 情境 | 自变量 | 目标函数 | 约束 → 定义域 | 跳转 |
|---|---|---|---|---|
| 30×20 纸板剪角折无盖盒 | 剪角边长 \(x\) | \(V=x(30-2x)(20-2x)\) | \(20-2x\gt0\Rightarrow0\lt x\lt10\) | |
| 容积 \(500\pi\) 的封闭圆柱罐 | 底面半径 \(r\) | \(S=2\pi r^2+\dfrac{1000\pi}{r}\) | \(r\gt0\) | |
| 直径 \(d\) 的圆木取矩形梁 | 梁宽 \(b\) | \(W=\dfrac{b(d^2-b^2)}6\) | \(0\lt b\lt d\) | |
| 救生员穿过沙滩与水面 | 入水点 \(x\) | \(T=\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\dfrac{\sqrt{b^2+(L-x)^2}}{v_2}\) | \(0\le x\le L\) | |
| 高层建筑的单位综合成本 | 楼层数 \(n\) | \(C=2400+12n+\dfrac{K}{n}\) | \(n\) 为正整数 |
§4模型 1
模型 1 无盖纸盒容积最大
剪角太小盒子太浅，剪角太大底面太小，容积在中间某处取得最大值。
图 4 展开图（左）与折好的盒子（右）；下：\(V(x)\)
盒子尺寸—
容积 \(V\)—
30 cm × 20 cm 的纸板，四角剪去边长为 \(x\) 的正方形，折成无盖盒。\(x\) 取多少时容积最大？
建模
\(V(x)=x(30-2x)(20-2x)=4x^3-100x^2+600x\)，\(0\lt x\lt10\)。
求驻点
\(V'(x)=12x^2-200x+600=0\Rightarrow3x^2-50x+150=0\)，\(x=\dfrac{25\pm5\sqrt7}{3}\)。
筛选
\(\dfrac{25+5\sqrt7}3\approx12.74\) 超出范围；只剩 \(x_0=\dfrac{25-5\sqrt7}3\approx3.92\)。
判定
\((0,x_0)\) 上 \(V'\gt0\)，\((x_0,10)\) 上 \(V'\lt0\)：唯一极大值点，即最大值点。
答
剪去边长约 \(3.92\ \mathrm{cm}\) 的正方形，最大容积约 \(1056.3\ \mathrm{cm^3}\)。
§4模型 2
模型 2 圆柱罐用料最省
罐太扁，底和盖费料；罐太高，侧面费料；高等于底面直径时用料最省。
图 5 罐的形状（左）与 \(S(r)\)（右）
高 \(h\)—
\(h/r\)—
侧面积—
表面积 \(S\)—
容积为 \(500\pi\ \mathrm{cm^3}\) 的封闭圆柱罐，底面半径 \(r\) 为多少时表面积最小？
消元
\(\pi r^2h=500\pi\Rightarrow h=\dfrac{500}{r^2}\)，\(r\gt0\)。
目标函数
\(S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\dfrac{1000\pi}{r}\)。
求驻点
\(S'(r)=4\pi r-\dfrac{1000\pi}{r^2}=0\Rightarrow r^3=250\)，\(r=5\sqrt[3]{2}\approx6.30\)。
判定
\(S''(r)=4\pi+\dfrac{2000\pi}{r^3}\gt0\)：唯一极小值点，即最小值点。
答
\(r=5\sqrt[3]2\ \mathrm{cm}\)，\(h=\dfrac{500}{r^2}=10\sqrt[3]2\ \mathrm{cm}=2r\)：高等于底面直径，最小表面积 \(150\pi\sqrt[3]4\approx748.1\ \mathrm{cm^2}\)。
§4模型 3
模型 3 圆木截矩形梁
梁越高越抗弯，但圆木直径有限，高与宽之比为 \(\sqrt2:1\) 时抗弯能力最强。
图 6 拖动矩形的右上角（取 \(d=1\)）
宽 \(b\)—
高 \(h\)—
\(h:b\)—
\(W\)—
从直径为 \(d\) 的圆木中截取宽 \(b\)、高 \(h\) 的矩形梁，抗弯截面模量 \(W=\dfrac{bh^2}{6}\)。\(b,h\) 取多少时 \(W\) 最大？
约束
\(b^2+h^2=d^2\Rightarrow h^2=d^2-b^2\)，\(0\lt b\lt d\)。
目标函数
\(W(b)=\dfrac{b(d^2-b^2)}6=\dfrac{d^2b-b^3}6\)。
求驻点
\(W'(b)=\dfrac{d^2-3b^2}{6}=0\Rightarrow b=\dfrac{d}{\sqrt3}\)。
判定
\(W'\) 由正变负：唯一极大值点，即最大值点。
答
\(b=\dfrac{d}{\sqrt3}\)，\(h=\sqrt{\dfrac23}\,d\)，\(h:b=\sqrt2:1\)。
§4模型 4
模型 4 救生员最短用时路线
跑得比游得快，就多跑一段、少游一段；最优点满足 \(\sin\theta_1/v_1=\sin\theta_2/v_2\)。
图 7 拖动入水点 \(P\)
入水点 \(x\)—
用时 \(T\)—
\(\sin\theta_1/v_1\)—
\(\sin\theta_2/v_2\)—
救生员在沙滩上 \(A\) 点，落水者在水中 \(B\) 点。跑速 \(v_1\)，游速 \(v_2\)。从岸边哪一点下水用时最短？
建模
救生员在 \(A(0,a)\)，落水者在 \(B(L,-b)\)，岸线为 \(x\) 轴。\(T(x)=\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\dfrac{\sqrt{b^2+(L-x)^2}}{v_2}\)，\(0\le x\le L\)。
求导
\(T'(x)=\dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}}-\dfrac{L-x}{v_2\sqrt{b^2+(L-x)^2}}\)
即 \(T'(x)=\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}-\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}\)。
即 \(T'(x)=\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}-\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}\)。
唯一驻点
\(T'\) 单调增加（\(T''\gt0\)），且 \(T'(0)\lt0\lt T'(L)\)：恰有一个驻点，是最小值点。
结论
最优入水点满足 \(\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}=\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}\)。这就是光的折射定律。
§4模型 5
模型 5 最优楼层数
层数只能取整数，求出驻点后还要比较它两侧相邻整数的函数值。
图 8 连续模型（曲线）与可取的整数层数（柱）
连续驻点 \(n^*=\sqrt{K/12}\)—
相邻两个整数—
最优层数—
单位面积综合成本 \(C(n)=2400+12n+\dfrac{K}{n}\)（元/m²），\(n\) 为楼层数（正整数）。求 \(C(n)\) 最小时的层数。
连续化
暂把 \(n\) 看作正实数：\(C'(n)=12-\dfrac{K}{n^2}=0\Rightarrow n^*=\sqrt{\dfrac K{12}}\)。
判定
\(C''(n)=\dfrac{2K}{n^3}\gt0\)：\(C\) 先减后增，\(n^*\) 是唯一的最小值点。
回到整数
\(n^*\) 不是整数时，最优整数只可能是 \(\lfloor n^*\rfloor\) 或 \(\lceil n^*\rceil\)（两侧单调），比较这两个函数值。
例：\(K=5000\)
\(n^*\approx20.41\)；\(C(20)=2890\)，\(C(21)\approx2890.1\)：取 20 层。
§5课堂练习
课堂练习
1闭区间
\(f(x)=x^4-2x^2+5\)，\([-2,2]\)
候选点
\(f'=4x(x^2-1)\)：\(-2,-1,0,1,2\)
比较
最大 \(13\)（\(x=\pm2\)），最小 \(4\)（\(x=\pm1\)）
2闭区间
\(f(x)=x+\sqrt{1-x}\)，\([-5,1]\)
驻点
\(f'=1-\dfrac1{2\sqrt{1-x}}=0\Rightarrow x=\dfrac34\)
比较
\(f(\frac34)=\frac54\) 最大；\(f(-5)=-5+\sqrt6\) 最小；\(f(1)=1\)
3无穷区间
\(f(x)=xe^{-x}\)，\([0,+\infty)\)
唯一驻点
\(x=1\)，左增右减
结论
最大 \(\dfrac1e\)；\(f\ge0\) 且 \(f(0)=0\)：最小 \(0\)
4无盖圆柱
容积 \(V\) 的无盖圆柱桶，怎样用料最省？
建模
\(S=\pi r^2+\dfrac{2V}{r}\)，\(r\gt0\)
求解
\(S'=2\pi r-\dfrac{2V}{r^2}=0\Rightarrow r=\sqrt[3]{V/\pi}\)，此时 \(h=r\)
5窗户
矩形上接半圆的窗户，周长 \(P\) 一定，面积最大时尺寸？
建模
半径 \(r\)，矩形高 \(h\)：\(A=Pr-\big(2+\frac\pi2\big)r^2\)
求解
\(r=\dfrac{P}{4+\pi}\)，此时 \(h=r\)
6利润
成本 \(C=200+20q\)，价格 \(p=80-0.1q\)，产量多少利润最大？
利润函数
\(L=pq-C=60q-0.1q^2-200\)
求解
\(L'=60-0.2q=0\Rightarrow q=300\)，\(p=50\)，最大利润 \(8800\)
7最近距离
曲线 \(y=\sqrt x\) 上哪一点离 \((2,0)\) 最近？
距离平方
\(D=(x-2)^2+x\)，\(D'=2x-3=0\)
结论
\(\Big(\dfrac32,\sqrt{\dfrac32}\Big)\)，最近距离 \(\dfrac{\sqrt7}{2}\)
8水槽
宽 \(60\ \mathrm{cm}\) 的铁皮两侧折起成矩形水槽，侧边多高时截面积最大？
建模
\(A=x(60-2x)\)，\(0\lt x\lt30\)
求解
\(A'=60-4x=0\Rightarrow x=15\ \mathrm{cm}\)，最大截面 \(450\ \mathrm{cm^2}\)
§5小结
小结
闭区间
最值一定存在。候选点：端点、内部驻点、内部不可导点。比较原函数值；同一最值的所有取得位置都要写。导数不变号时只比端点。
一般区间
最值不一定存在。唯一极值点原理：区间内只有一个极值点，极大即最大，极小即最小；否则还要看边界与无穷远处的趋势。
实际问题
目标量写成一元函数，定义域来自实际限制；常用唯一驻点判断；答案写回实际量与单位；整数问题比较 \(\lfloor n^*\rfloor\) 与 \(\lceil n^*\rceil\)。
易错漏掉不可导点或端点；把驻点直接当最值点；比较了导数值；开区间上默认最值存在；整数问题四舍五入。