先看定义域
闭区间、开区间、无界区间的边界情况不同；实际问题还要满足尺寸、数量和单位限制。
最值与实际最优化
利用导数求
利用导数求
函数的最值
先锁定定义域，再列出全部候选点；函数值最大的就是最大值，最小的就是最小值。
定范围→列候选点→比函数值
当前观察点
第 01 部分
先确定：比较的是哪里
最大值、最小值都由指定的定义域决定。
附近比较 极值 全范围比较 最值
01
概念
最大值、最小值属于整个定义域
同一个最值可以在多个点取得。
若 ，且对每个 都有 ，那么 是函数在 上的最大值。
若 ，且对每个 都有 ，那么 是函数在 上的最小值。
“最大值”是函数值；“在 处取得”说的是位置。作答时两者都要写。
移动点，观察函数值
辨析
极值看附近，最值看全部
端点能取得最值；按本课采用的内点定义，端点不称为极值点。
极
极大值、极小值
只与这一点附近的函数值比较，是局部结论。
只与这一点附近的函数值比较，是局部结论。
最
最大值、最小值
与指定定义域内所有函数值比较，是全局结论。
与指定定义域内所有函数值比较，是全局结论。
关
两者的关系
内点取得的最大值一定是极大值；极大值不一定是最大值。
内点取得的最大值一定是极大值；极大值不一定是最大值。
换一个定义域，同一点的“最值”结论可能改变。
存在性定理
连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值
条件 在 上连续 结论最大值、最小值都能取得
| 定义域 | 例子 | 最值结论 | 关键原因 |
|---|---|---|---|
| 最小值 ，最大值 | 两个端点都包含 | ||
| 没有最大值，也没有最小值 | 与 都取不到 | ||
| 最小值 ；没有最大值 | 向两侧无限增大 |
“一定存在”只回答有没有；怎样找到最值，还要列候选点并比较。
关键提醒
同样满足 ，结论可以完全不同
| 函数 | 左右的单调性 | 的结论 |
|---|---|---|
| 先减后增 | 极小值点；在 上也是最小值点 | |
| 先增后减 | 极大值点；在 上也是最大值点 | |
| 一直递增 | 既不是极值点，也不是最值点 |
方程 只负责找“可能的位置”，不能替代符号判断或函数值比较。
微练 01
极值、最值与定义域
1
某点函数值大于它附近的函数值，能否断定是最大值？不能，只能说明它可能是极大值。
2
若 对全部 成立， 是什么？是函数在定义域 上的最大值。
3
在 上的最值是什么？最小值为 ，最大值为 。
4
在 上有最大值和最小值吗？都没有，因为边界值没有被取到。
5
在 上有最大值吗？没有；有最小值 。
6
连续函数在闭区间 上是否一定取得最值？一定同时取得最大值和最小值。
7
若 ，能否立即断定 是最值点？不能；它只是候选点。
8
端点能否取得最大值或最小值？能；端点必须参加全区间比较。
第 02 部分
闭区间求最值
完整列出候选点，再把函数值放到一起比较。
＋ ＋
02
核心方法
闭区间最值：三个来源，一次比较
前提 在 上连续 候选集合
| 候选来源 | 要找的位置 | 为什么要算 |
|---|---|---|
| 区间端点 | ， | 最值可能直接在边界取得 |
| 内部驻点 | 且 | 内部可导的最值点一定在这里 |
| 内部不可导点 | 有定义而 不存在 | 尖点、折点也可能取得最值 |
计算所有 ：最大者就是最大值，最小者就是最小值；相同数值可能在多个点取得。
交互观察
把 在 上的候选点放到同一张图
端点：。内部由 得驻点 。
候选点尚未标出。
标准流程
四步完成闭区间最值题
① 求导写出 ，明确讨论的是 。
② 列点解 ，再补入端点和内部不可导点。
③ 算值把全部候选点代回原函数，不比较导数值。
④ 作答比较大小，写出最值及其取得位置。
候选点落在区间外就舍去；同一个最大值或最小值若在多个点取得，位置必须全部写出。
例题 1
求 在 上的最值
1
求导：，内部驻点为 。
2
列点：加入端点，候选点为 。
3
算值：，，，。
4
比较：最大值为 ，在 处取得；最小值为 ，在 处取得。
例题 2
求 在 上的最值
折点有定义但不可导，不能遗漏。
1
分段： 时 ； 时 。
2
列点：端点 与不可导点 都进入名单。
3
算值：，，。
4
比较：最大值为 ，在 处取得；最小值为 ，在 处取得。
快捷路线
导数始终同号时，直接比较两个端点
若 在 上恒成立，则 递增：最小值为 ，最大值为 。
若 在 上恒成立，则 递减：最大值为 ，最小值为 。
例： 在 上有 ，所以最小值为 ，最大值为 。
边界检查
开区间或无界区间：先问边界能不能取到
| 函数与定义域 | 内部情况 | 边界趋势 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 始终递增 | 可无限接近 ，但不能等于它们 | 没有最大值和最小值 | |
| 为驻点 | 时 | 有最小值 ，没有最大值 | |
| 为驻点 | 时 | 有最大值 ，没有最小值 |
判定顺序：找内部候选点 看区间边界与无穷远趋势 确认最优数值是否真的被函数取到。
微练 02
闭区间与非闭区间的最值
1
在 上求最值，哪两个位置一定要计算？端点 。
2
若 且 ，能否直接判定 为最大值？不能；先列为候选值，再统一比较。
3
为什么 在 上要检查 ？因为该点有定义但不可导，并且可能取得最值。
4
在 上的候选点有哪些？候选点为 。
5
上一题的最大值和最小值分别是多少？最大值为 ，最小值为 。
6
在 上，驻点 取得最值吗？不取得；最大值为 ，最小值为 。
7
在 上有最大值吗？没有；当 时函数无限增大。
8
列完候选点后比较什么数值？比较原函数值，不比较导数值。
第 03 部分
把最值用于实际问题
目标量写成一元函数，定义域来自真实限制。
设变量 建函数 定范围 求最优
03
建模主线
六步完成实际最优化
① 读目标确定要最大化或最小化的量。
② 设变量选一个量作为自变量，并写单位。
③ 写函数把目标量表示为一元函数。
④ 定范围由长度为正、数量限制等确定定义域。
⑤ 求最值求导、判符号或比较候选值。
⑥ 回答问题写回尺寸、容积、成本和单位。
建模第一关
变量范围来自实际条件
| 情境 | 变量 | 约束 | 定义域 |
|---|---|---|---|
| 纸板剪角成盒 | 剪角边长 | ， | |
| 宽 的铁皮折水槽 | 侧边高度 | ||
| 固定容积的圆柱罐 | 底面半径 | 半径、高度都为正 | |
| 直径为 的圆木取梁 | 矩形宽 |
定义域用来筛掉无效驻点，也决定端点是否能取到。实际量若只能取整数，连续模型求解后还要比较相邻整数。
模型 1
剪去多大的角，纸盒容积最大？
纸板长 、宽 。
剪角边长盒底容积
盒底长
盒底宽
容积
模型 1 · 求解
纸盒容积的最大值
1
建模：，定义域为 。
2
求驻点：。由 得 ，只有 合法。
3
判最优：在 上 ，在 上 ；容积先增后减，所以 取得全域最大值。
4
写结论：盒底约为 ，最大容积约为 。
模型 1 · 微练
开放纸盒
1
若剪角边长为 ，盒高是多少？盒高为 。
2
盒底长与宽分别是多少？ 和 。
3
容积函数是什么？。
4
为什么 ？三个尺寸都必须为正，其中 给出最紧限制。
5
导函数是什么？。
6
两个驻点都保留吗？不保留；只保留落在实际定义域内的一个。
7
合法驻点左右的导数符号怎样变化？，所以容积先增后减。
8
最优剪角边长约是多少？。
模型 2
铁皮怎样折，水槽截面积最大？
铁皮宽 ，两侧各向上折起 。
侧高槽底截面积
槽底宽
侧边高
截面积
模型 2 · 求解
截面积最大时的折法
1
建模：，且 。
2
求驻点：，由 得 。
3
判最优： 时 ； 时 。截面积先增后减。
4
写结论：两侧各折起 ，槽底宽 ，最大截面积为 。
模型 2 · 微练
矩形水槽
1
侧边高设为 ，槽底宽是多少？。
2
截面积函数是什么？。
3
实际定义域是什么？。
4
导函数是什么？。
5
驻点是多少？。
6
驻点左、右导数的符号是什么？左正、右负。
7
为什么这是全域最大值？截面积在整个定义域上先增后减。
8
最大截面积是多少？。
模型 3
容积固定时，怎样使用料最少？
封闭圆柱罐的容积固定为 。
两个底面 半径罐高表面积
半径
高度
表面积
模型 3 · 求解
表面积最小时，高等于底面直径
1
消元：由 得 ，其中 。
2
求驻点：，；解得 。
3
判最优： 时 ，之后 ；表面积先减后增，所以取得全域最小值。
4
写结论：代回得到 ，即用料最少时罐高等于底面直径。
模型 3 · 微练
封闭圆柱罐
1
容积条件是什么？。
2
怎样用 表示 ？。
3
为什么表面积含有 ？因为封闭圆柱有两个底面。
4
一元表面积函数是什么？。
5
实际定义域是什么？。
6
导函数在最优半径左右怎样变号？。
7
这说明表面积先怎样变化？先减后增，驻点取得最小值。
8
最优高度与半径有什么关系？，高等于底面直径。
模型 4
圆木内怎样截取抗弯能力最强的矩形梁？
圆木直径为 ，矩形梁宽为 、高为 。
约束 宽度比高度比令 ，
宽度比
高度比
高宽比
模型 4 · 求解
抗弯指标最大时的截面比例
1
消元：，所以 ，其中 。
2
求驻点：，；解得 。
3
判最优： 时 ，之后 ；抗弯指标先增后减。
4
写结论：，所以最优截面满足 。
模型 4 · 微练
圆木取梁
1
矩形宽、高、圆木直径满足什么关系？。
2
怎样消去 ？。
3
抗弯指标的一元函数是什么？。
4
实际定义域是什么？。
5
导函数是什么？。
6
合法驻点是什么？。
7
导数怎样变号？，所以抗弯指标取得最大值。
8
最优高宽比是什么？。
模型 5
楼层增加，单位成本为何先降后升？
示例模型 。
楼层数高度项分摊项单位综合成本
楼层数
高度成本项
单位成本
模型 5 · 求解
连续模型求驻点，整数条件再确认
1
看结构： 随 增大而增大， 随 增大而减小。
2
求驻点：暂把 看作连续变量。；由 得 。
3
判最优： 时 ， 时 ；成本先减后增。
4
整数确认：本题驻点正好是整数，所以 时单位成本最低，为 。若驻点不是整数，要比较相邻整数。
模型 5 · 微练
楼层成本
1
模型中的自变量是什么？楼层数 ，且最终必须取正整数。
2
哪一项随楼层数增加而增加？。
3
哪一项随楼层数增加而减小？。
4
导函数是什么？。
5
连续模型的驻点是多少？。
6
驻点左右导数怎样变号？，所以成本先减后增。
7
若连续驻点为 ，整数最优值怎样确认？比较 与 的成本。
8
本题最低单位成本是多少？。
总结
三类问题，共用一条判断主线
候选点必须列全
、 的内部点、导数不存在的内部点都可能取得最值。
判定最优
闭区间可直接比较候选函数值；开区间与无界区间还要看边界趋势；先增后减判最大，先减后增判最小。
答案写完整
函数题写“最值＋取得位置”；应用题再写实际尺寸、成本或容积及单位。
定范围→列候选点→判最优→答实际问题