第四章 · 导数的应用

函数的最值与应用

学会用导数求闭区间上连续函数的最大值、最小值，并解决实际优化问题

📐

求最值的方法

掌握"两步法"，在闭区间上求函数的最大值和最小值

🔧

应用问题建模

把实际的"最省""最多"问题，转化为数学的求最值问题

💡

分类练习

分题型掌握：基本最值、含特殊函数、应用建模、概念辨析

1什么是最大值和最小值？

🏔️ 先用生活来理解

想象你沿着一条山路，从起点 $A$ 走到终点 $B$。一路上有上坡有下坡，你经过了好几个"山顶"和"山谷"。

现在问你：整条路上最高的位置在哪？最低的位置在哪？

——这个"整条路上最高"就是最大值，"整条路上最低"就是最小值。

📖 严格的数学说法

设函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续（就是说曲线不断、不跳），那么：

$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一定存在最大值和最小值。

什么是"闭区间 $[a,b]$"？ 就是从 $a$ 到 $b$ 的所有数，包含 $a$ 和 $b$ 两个端点。比如 $[1, 5]$ 就是 $1 \leqslant x \leqslant 5$ 的所有数。方括号"[" 表示"包含端点"。

⚠️ 极值和最值的区别——这个很重要！

极大值：在某个小范围内是最高的（"局部山顶"），但在整条路上不一定是最高的。
最大值：在整个区间 $[a,b]$ 上是最高的（"全局冠军"）。

关系：最大值 $\geqslant$ 所有的极大值，最小值 $\leqslant$ 所有的极小值。
但是极大值不一定比极小值大！（后面会有例子）

🔑 最值可能出现在哪里？

最大值和最小值，只可能在以下三种地方取到：

① 驻点——就是 $f'(x)=0$ 的那些 $x$ 值（导数等于零的点）
② 不可导点——$f'(x)$ 不存在的点（比如尖角点）
③ 端点—— $x = a$ 或 $x = b$

为什么是这三种？ 回想上节课学的极值：函数从升到降（或降到升）的转折处，导数为零或不存在。最值要么出现在这些转折处，要么出现在路的起点和终点（端点）。没有第四种可能。

💡 所以求最值的核心思路就是：把所有"可能是最值"的点都找出来，算出它们的函数值，然后比一比——最大的就是最大值，最小的就是最小值。

2求最值的方法——"两步法"

📋 求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上最值的完整步骤

1

找出所有"候选点"

第 ① 小步：对 $f(x)$ 求导，得到 $f'(x)$。
第 ② 小步：令 $f'(x) = 0$，解这个方程，得到的解就是"驻点"。
第 ③ 小步：检查有没有 $f'(x)$ 不存在的点（大多数题目没有，跳过即可）。
第 ④ 小步：别忘了两个端点 $x = a$ 和 $x = b$！

2

逐个算函数值，比出大小

把第 1 步找到的所有候选点（驻点 + 端点），一个一个代入 $f(x)$，算出它们各自的函数值。
然后把这些值排排队：最大的 = 最大值，最小的 = 最小值。完成！

⚠️ 三个最容易犯的错误

错误 ①：忘了算端点——很多同学只算驻点就交卷了，必须把 $f(a)$ 和 $f(b)$ 也算出来！端点经常是最值所在的地方。
错误 ②：去判断极值类型——求最值不需要用二阶导数判断极大极小！直接算值比大小就行。
错误 ③：把区间外的驻点算进来——$f'(x)=0$ 可能解出多个根，只有在 $(a,b)$ 内的才要算，端点外的不管。

一句话总结：求最值就是"求导→找驻点→算端点→比大小"。整个过程机械化、不用动脑判断，只要计算准确就一定能做对。

3例题 1 · 基本多项式求最值

例题

求函数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ 在 $[-3, 4]$ 上的最大值和最小值。

第一步 · 求导 $f'(x)$

用求导公式：$(x^n)' = nx^{n-1}$，逐项求导：

$(2x^3)' = 2 \times 3x^2 = 6x^2$，$(3x^2)' = 3 \times 2x = 6x$，$(-12x)' = -12$

所以 $f'(x) = 6x^2 + 6x - 12$

化简一下（提公因式）

$6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$
怎么因式分解的？ $x^2 + x - 2$，找两个数相乘得 $-2$、相加得 $1$，那就是 $+2$ 和 $-1$。所以 $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$。

即 $f'(x) = 6(x+2)(x-1)$

第二步 · 令 $f'(x) = 0$，找驻点

$6(x+2)(x-1) = 0$

乘积为零，则至少一个因子为零：$x+2=0$ 得 $x = -2$；$x-1=0$ 得 $x = 1$。
检查：$x=-2$ 在开区间 $(-3, 4)$ 内吗？$-3 < -2 < 4$✓。$x=1$ 呢？$-3 < 1 < 4$✓。
两个驻点都在区间内，都要算。

第三步 · 逐个计算函数值（驻点 + 端点，共 4 个点）

现在要算的点有：端点 $x=-3$、驻点 $x=-2$、驻点 $x=1$、端点 $x=4$

① $f(-3)$：$= 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3)$
$= 2 \times (-27) + 3 \times 9 - 12 \times (-3)$
$= -54 + 27 + 36 = \boldsymbol{9}$

② $f(-2)$：$= 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2)$
$= 2 \times (-8) + 3 \times 4 - 12 \times (-2)$
$= -16 + 12 + 24 = \boldsymbol{20}$

③ $f(1)$：$= 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1)$
$= 2 + 3 - 12 = \boldsymbol{-7}$

④ $f(4)$：$= 2(4)^3 + 3(4)^2 - 12(4)$
$= 2 \times 64 + 3 \times 16 - 12 \times 4$
$= 128 + 48 - 48 = \boldsymbol{128}$

第四步 · 比较大小

$x$	$-3$（端点）	$-2$（驻点）	$1$（驻点）	$4$（端点）
$f(x)$	$9$	$20$	$-7$ 🔻	$128$ 🔺

$f(x)$ 在 $[-3, 4]$ 上的最大值 $= f(4) = 128$（在右端点取到）

$f(x)$ 在 $[-3, 4]$ 上的最小值 $= f(1) = -7$（在驻点取到）

🔍 注意观察

最大值 $128$ 是在端点 $x=4$ 取到的，而不是驻点！这说明端点真的可能是最值，所以一定不能忘记计算端点的值。

4例题 2 · 含根号的函数求最值

练习

求函数 $y = x + \sqrt{1-x}$ 在 $[-1, 1]$ 上的最大值和最小值。

第一步 · 求导

先把 $\sqrt{1-x}$ 写成幂的形式：$\sqrt{1-x} = (1-x)^{\frac{1}{2}}$
然后用链式法则求导：先对外层求导 $\frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}}$，再乘内层的导数 $(1-x)' = -1$

$$y' = 1 + \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

第二步 · 令 $y' = 0$

$1 - \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0$

移项：$1 = \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}$
交叉相乘：$2\sqrt{1-x} = 1$
两边除以 $2$：$\sqrt{1-x} = \dfrac{1}{2}$
两边平方（去掉根号）：$1-x = \dfrac{1}{4}$
解出 $x$：$x = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

检查：$\dfrac{3}{4}$ 是否在开区间 $(-1, 1)$ 内？ $-1 < \dfrac{3}{4} < 1$✓
所以 $x = \dfrac{3}{4}$ 是驻点。

注意

⚠️ $x=1$ 处导数不存在

当 $x=1$ 时，$\sqrt{1-x} = \sqrt{0} = 0$，此时 $y' = 1 - \dfrac{1}{0}$，分母为零，导数不存在。但 $x=1$ 本身是端点，我们本来就要算它的函数值，所以不影响。

第三步 · 计算函数值（1 个驻点 + 2 个端点 = 3 个点）

① $f(-1)$：$= (-1) + \sqrt{1-(-1)} = -1 + \sqrt{2} \approx -1 + 1.414 = \boldsymbol{0.414}$

② $f\!\left(\dfrac{3}{4}\right)$：$= \dfrac{3}{4} + \sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{3}{4} + \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \boldsymbol{\dfrac{5}{4}} = 1.25$

③ $f(1)$：$= 1 + \sqrt{1-1} = 1 + 0 = \boldsymbol{1}$

第四步 · 比较大小

$x$	$-1$（端点）	$\dfrac{3}{4}$（驻点）	$1$（端点）
$f(x)$	$\sqrt{2}-1 \approx 0.41$ 🔻	$\dfrac{5}{4} = 1.25$ 🔺	$1$

最大值 $= f\!\left(\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{5}{4}$（在驻点取到）

最小值 $= f(-1) = \sqrt{2} - 1$（在左端点取到）

题型小结：含根号的函数，求导时注意使用链式法则，令导数为零后通过移项→平方去掉根号，其余步骤和多项式一样。

5应用题怎么做？——建模四步法

🎯 什么是应用题？

工农业生产和日常生活中常遇到"怎样最省钱""怎样产量最大""怎样用料最少"这类问题。

这类问题的本质就是求最值——只不过需要先把文字翻译成数学公式（建模），然后再用导数来解。

📋 解应用题的四步法

1

读题，明确"优化什么"

弄清楚要求"最大"还是"最小"的量是什么（面积？体积？费用？功率？）

2

设变量，建立目标函数

设一个自变量（比如 $x$），用它一个变量把要优化的量表示出来。如果出现两个变量，用题给的约束条件消掉一个。

3

求导，令导数为零，找驻点

和前面求最值的方法完全一样。

4

回答实际问题

把数学结果翻译回实际含义。别忘了写单位！

💡 实际问题中的简化：唯一驻点判定法

如果实际中明确知道最大值（或最小值）一定存在（比如盒子的容积不可能无限大），而且在定义区间内 $f'(x)=0$ 只解出一个驻点，那就不用比较端点了——这个唯一的驻点就是最值点。

为什么？ 最值一定存在，而在区间内部唯一可能是极值的就这一个点。如果这个点不是最值，那最值只能在端点取，但端点处（比如 $x=0$ 时盒子体积为 $0$，$x$ 极大时体积也为 $0$）函数值通常是最小的。所以这个唯一的极值点就是最值点。

⚠️ 建模的关键技巧

最难的一步是第 2 步——建立目标函数。技巧如下：
① 画图：把题意画成图，标上已知量和未知量。
② 找约束：题目中有哪些等式关系？比如"面积 = 150"就是约束条件。
③ 消变量：用约束条件把多余的变量用自变量 $x$ 表示出来。
④ 确定定义域：$x$ 的取值范围是什么？（由实际意义决定，比如长度 > 0）

接下来用三道具体的应用题来演示这个方法——每道题都有不同的背景，但解题思路完全一样。

6应用题 1 · 折盒子（体积最大）

应用题

从长 $12$ cm、宽 $8$ cm 的矩形纸板的四角剪去相同的小正方形，折成无盖盒子。要使容积最大，剪去的正方形边长应为多少？

第 1 步 · 画图理解题意

理解关键：从四个角各剪掉一个边长为 $x$ 的正方形后，沿虚线折起来，就形成一个长方体盒子。
· 底面的长 $= 12 - 2x$（原来 $12$ cm 左右各减去 $x$）
· 底面的宽 $= 8 - 2x$（原来 $8$ cm 上下各减去 $x$）
· 盒子的高 $= x$（折起来的部分就是 $x$）

第 2 步 · 确定 $x$ 的范围

$x > 0$（边长不能是 $0$ 或负数）
$8 - 2x > 0$（宽度必须为正），即 $x < 4$
$12 - 2x > 0$（长度必须为正），即 $x < 6$
取交集：$\boldsymbol{0 < x < 4}$

第 3 步 · 建立目标函数

长方体的体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高：

$V(x) = (12 - 2x)(8 - 2x) \cdot x$

展开：先算 $(12-2x)(8-2x) = 96 - 24x - 16x + 4x^2 = 4x^2 - 40x + 96$
再乘 $x$：$V(x) = 4x^3 - 40x^2 + 96x$

第 4 步 · 求导

$V'(x) = 12x^2 - 80x + 96$

提公因式 $4$：$V'(x) = 4(3x^2 - 20x + 24)$

第 5 步 · 令 $V'(x) = 0$

$3x^2 - 20x + 24 = 0$

用求根公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=3, b=-20, c=24$：

$\Delta = (-20)^2 - 4 \times 3 \times 24 = 400 - 288 = 112$
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7} \approx 10.58$

$x = \dfrac{20 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{3}$

算出两个根：
$x_1 = \dfrac{10 - 2\sqrt{7}}{3} = \dfrac{10 - 5.29}{3} \approx \dfrac{4.71}{3} \approx \boldsymbol{1.57}$

$x_2 = \dfrac{10 + 2\sqrt{7}}{3} = \dfrac{10 + 5.29}{3} \approx \dfrac{15.29}{3} \approx 5.10$

检查范围：$x_1 \approx 1.57$，在 $(0, 4)$ 内✓；$x_2 \approx 5.10 > 4$，不在范围内，舍去。

第 6 步 · 判断最值

在 $(0, 4)$ 内只有一个驻点 $x_1 \approx 1.57$。
盒子的容积显然存在最大值（$x$ 太小或太大时容积都趋向 $0$），而且只有这一个驻点，所以直接断定：$x_1$ 就是使容积最大的点。

第 7 步 · 计算最大容积

$x \approx 1.57$ 时：
长 $= 12 - 2 \times 1.57 = 8.86$ cm
宽 $= 8 - 2 \times 1.57 = 4.86$ cm
高 $= 1.57$ cm
$V_{\max} \approx 8.86 \times 4.86 \times 1.57 \approx \boldsymbol{67.6}$ cm³

答：剪去的正方形边长为 $\dfrac{10 - 2\sqrt{7}}{3} \approx 1.57$ cm 时，盒子容积最大，约为 $67.6$ cm³。

建模过程回顾：设剪去边长为 $x$ → 写出长、宽、高 → 体积 $V = $ 长$\times$宽$\times$高 → 定义域 → 求导解方程 → 唯一驻点即为最值。

7应用题 2 · 最大输出功率

应用题

电路中电源电压为 $E$，内阻为 $r$，负载电阻为 $R$。问 $R$ 取何值时，$R$ 上的输出功率最大？

第 1 步 · 理解题意

这是一个简单电路：电源（电压 $E$，内阻 $r$）连接一个负载电阻 $R$。
要优化的量：负载电阻 $R$ 上消耗的功率 $P$。
自变量：负载电阻 $R$（$R > 0$）。

第 2 步 · 建立目标函数

由欧姆定律：电路中的电流 $I = \dfrac{E}{R + r}$（总电压除以总电阻）

功率公式：$P = I^2 \cdot R$（电流的平方乘以电阻）

代入 $I$：$P = \left(\dfrac{E}{R+r}\right)^2 \cdot R = \dfrac{E^2 R}{(R+r)^2}$

这就是目标函数，自变量是 $R$，范围 $R > 0$（即 $0 < R < +\infty$）。

第 3 步 · 求导

$P = E^2 \cdot \dfrac{R}{(R+r)^2}$，对 $R$ 求导，用商的求导法则 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$：

这里 $u = R$，$v = (R+r)^2$
$u' = 1$，$v' = 2(R+r)$

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}\dfrac{R}{(R+r)^2} = \dfrac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4}$

分子提公因式 $(R+r)$：$= \dfrac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = \dfrac{r - R}{(R+r)^3}$

所以 $P' = E^2 \cdot \dfrac{r - R}{(R+r)^3}$

第 4 步 · 令 $P' = 0$

分母 $(R+r)^3 > 0$ 恒成立（因为 $R > 0, r > 0$），$E^2 > 0$，所以只需：
分子 $= 0$：$r - R = 0$，即 $R = r$

在 $(0, +\infty)$ 内只有唯一一个驻点 $R = r$。

第 5 步 · 判断最值

实际中输出功率的最大值一定存在（$R$ 很小时功率趋向 $0$，$R$ 很大时功率也趋向 $0$）。
唯一驻点 $R = r$，所以 $R = r$ 时取到最大值。

代入算最大功率

$P_{\max} = \dfrac{E^2 \cdot r}{(r+r)^2} = \dfrac{E^2 r}{4r^2} = \dfrac{E^2}{4r}$

答：当 $R = r$（负载电阻等于内阻）时，输出功率最大，$P_{\max} = \dfrac{E^2}{4r}$

物理意义：这就是著名的"阻抗匹配"原理——负载电阻等于电源内阻时，负载获得最大功率。音响、通信、电力系统中都会用到这个结论。

8应用题 3 · 围场地（费用最省）

应用题

欲围一个面积为 $150$ m² 的矩形场地。正面围墙造价 $6$ 元/m²，其余三面造价 $3$ 元/m²。求长、宽各为多少时材料费最省？

第 1 步 · 画图、设变量

设矩形的正面长为 $x$ m，宽（侧面）为 $y$ m。
约束条件：面积 $= xy = 150$
所以 $y = \dfrac{150}{x}$

第 2 步 · 建立费用函数

四面围墙的费用分别是：
· 正面（1面）：长 $x$，造价 $6$ 元/m² → 费用 $= 6x$
· 背面（1面）：长 $x$，造价 $3$ 元/m² → 费用 $= 3x$
· 左右两侧（2面）：每面长 $y$，造价 $3$ 元/m² → 费用 $= 2 \times 3y = 6y$

总费用：$C = 6x + 3x + 6y = 9x + 6y$

消去 $y$，变成一元函数

用约束条件 $y = \dfrac{150}{x}$ 代入：

$C(x) = 9x + 6 \cdot \dfrac{150}{x} = 9x + \dfrac{900}{x}$

定义域：$x > 0$

第 3 步 · 求导

$C'(x) = 9 + 900 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = 9 - \dfrac{900}{x^2}$

（这里用到 $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$，所以 $\left(\dfrac{900}{x}\right)' = 900 \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{900}{x^2}$）

第 4 步 · 令 $C'(x) = 0$

$9 - \dfrac{900}{x^2} = 0$
$\dfrac{900}{x^2} = 9$
$x^2 = \dfrac{900}{9} = 100$
$x = 10$（取正值，因为 $x$ 是长度）

此时 $y$ 是多少？

$y = \dfrac{150}{x} = \dfrac{150}{10} = 15$ m

第 5 步 · 验证确实是最小值

方法一（唯一驻点法）：在 $(0, +\infty)$ 内只有一个驻点 $x=10$，而实际上围墙费用的最小值一定存在（$x$ 太小或太大费用都会无穷大），所以 $x=10$ 处取最小值。

方法二（二阶导数）：$C''(x) = \dfrac{1800}{x^3}$，$C''(10) = \dfrac{1800}{1000} = 1.8 > 0$，确认是极小值。

计算最低费用

$C_{\min} = 9 \times 10 + \dfrac{900}{10} = 90 + 90 = \boldsymbol{180}$ 元

答：当正面长 $x = 10$ m、宽 $y = 15$ m 时，材料费最省，最低为 $180$ 元。

9概念辨析 · 极值与最值的关系

选择题

如果连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，判断下列哪个结论正确：

(1) 极大值一定是最大值
(2) 极小值一定是最小值
(3) 极大值一定大于极小值
(4) 前三种说法都不一定成立

逐项分析

(1) 极大值一定是最大值吗？
不一定。极大值只是"在附近的小范围内最高"，但端点的函数值可能比它更大。
比如 $f(x)$ 在 $x=2$ 处有极大值 $10$，但如果 $f(5)=100$（端点），那最大值是 $100$，不是 $10$。

(2) 极小值一定是最小值吗？
同理不一定。端点的函数值可能比极小值还小。

(3) 极大值一定大于极小值吗？
不一定！这是最反直觉的一点。看下面这个图：

如果函数整体呈下降趋势（像下楼梯），那后面出现的"小山峰"（极大值）的高度，可能比前面出现的"小山谷"（极小值）还要低！所以极大值不一定大于极小值。

答案：(4) 前三种说法都不一定成立

🎯 总结记忆

· 极值 = 局部冠军，最值 = 全局冠军
· 最大值 ≥ 所有极大值，最小值 ≤ 所有极小值
· 但不同的极大值和极小值之间没有固定大小关系
· 求最值时必须把端点也纳入比较，不能只看极值

10题型 · 由极值条件求参数

练习

设 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，在 $x=2$ 处取极大值 $3$，在 $x=3$ 处取极小值。求 $a, b, c$ 及极小值。

思路分析——读懂条件

条件 1："$x=2$ 处取极值" → $x=2$ 是极值点 → 极值点处导数为零 → $f'(2) = 0$
条件 2："$x=3$ 处取极值" → 同理 → $f'(3) = 0$
条件 3："$x=2$ 处取极大值 $3$" → 函数值等于 $3$ → $f(2) = 3$

三个条件，三个未知数 $a, b, c$，刚好够用！

第一步 · 求 $f'(x)$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

这是关于 $x$ 的二次函数。而 $x=2$ 和 $x=3$ 都使 $f'(x)=0$，所以 $2$ 和 $3$ 是方程 $3x^2 + 2ax + b = 0$ 的两个根。

第二步 · 用韦达定理求 $a$ 和 $b$

对于方程 $3x^2 + 2ax + b = 0$，两个根是 $x_1=2$ 和 $x_2=3$。

韦达定理（两根之和 $= -\dfrac{\text{一次项系数}}{\text{二次项系数}}$）：
$2 + 3 = -\dfrac{2a}{3}$，即 $5 = -\dfrac{2a}{3}$
两边乘 $3$：$15 = -2a$，得 $a = -\dfrac{15}{2}$

韦达定理（两根之积 $= \dfrac{\text{常数项}}{\text{二次项系数}}$）：
$2 \times 3 = \dfrac{b}{3}$，即 $6 = \dfrac{b}{3}$
得 $b = 18$

第三步 · 由 $f(2) = 3$ 求 $c$

$f(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 8 + 4a + 2b + c$

代入 $a = -\dfrac{15}{2}$，$b = 18$：
$= 8 + 4 \times \left(-\dfrac{15}{2}\right) + 2 \times 18 + c$
$= 8 + (-30) + 36 + c$
$= 14 + c$

令 $14 + c = 3$，得 $c = -11$

第四步 · 求极小值 $f(3)$

$f(3) = 3^3 + a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$
$= 27 + 9 \times \left(-\dfrac{15}{2}\right) + 18 \times 3 + (-11)$
$= 27 - \dfrac{135}{2} + 54 - 11$
$= 70 - 67.5 = 2.5 = \dfrac{5}{2}$

$a = -\dfrac{15}{2}$，$b = 18$，$c = -11$，极小值 $= f(3) = \dfrac{5}{2}$

这类题的通用套路：
① 极值点 → $f'(x_0) = 0$（导数为零条件）
② 极值 → $f(x_0) = $ 给定值（函数值条件）
用这两类条件列方程组，解出参数即可。

11应用题 4 · 吊装问题

应用题

某厂有圆柱形油罐（直径 $6$ m，高 $2$ m），用吊臂长 $15$ m、车身高 $1.5$ m 的吊车，把油罐吊到 $6.5$ m 高的平台上，能否做到？

第 1 步 · 审题——到底求什么？

核心问题：吊车最高能把油罐吊到多高？
如果最大吊起高度足够，就能吊上去；否则不能。

需要达到的高度：平台高 $6.5$ m，减去车身高 $1.5$ m，油罐底面需要从车顶升起 $6.5 - 1.5 = 5$ m。

第 2 步 · 建模

设吊杆与水平方向的夹角为 $l$。由几何关系推导：
· 吊臂端点离水平面的高度 $= 15\sin l$
· 油罐半径 $3$ m 占据水平方向宽度导致下降的高度 $= 3\tan l$
· 油罐自身高度 $= 2$ m

所以油罐从车顶算起的吊起高度：
$H(l) = 15\sin l - 3\tan l - 2 \quad \left(0 < l < \dfrac{\pi}{2}\right)$

第 3 步 · 求导

$H'(l) = 15\cos l - 3\sec^2 l = 15\cos l - \dfrac{3}{\cos^2 l}$

第 4 步 · 令 $H'(l) = 0$

$15\cos l = \dfrac{3}{\cos^2 l}$
两边乘 $\cos^2 l$：$15\cos^3 l = 3$
$\cos^3 l = \dfrac{1}{5}$
$\cos l = \sqrt[3]{\dfrac{1}{5}} \approx 0.585$
$l \approx 54°$

第 5 步 · 计算最大高度

唯一驻点，实际最大值存在，所以 $l \approx 54°$ 时取最大值：

$\sin 54° \approx 0.809$，$\tan 54° \approx 1.376$

$H_{\max} \approx 15 \times 0.809 - 3 \times 1.376 - 2 = 12.135 - 4.128 - 2 = \boldsymbol{6.007}$ m

第 6 步 · 回答问题

吊车从车顶能吊起的最大高度约 $6$ m，加上车身高 $1.5$ m，即油罐底面能到达约 $7.5$ m。
而油罐底面只需到达平台高度 $6.5$ m。$7.5 > 6.5$ ✓

答：可以吊上去。吊车能将油罐吊到约 $7.5$ m 高，超过了平台高度 $6.5$ m。

+1补充例题 1：闭区间上求最值

题目

求 $f(x)=x^3-3x+1$ 在 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值。

解题过程

① $f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=-1,\,x=1$，均在 $(-2,2)$ 内。

② 计算各关键点函数值：$f(-2)=-1$，$f(-1)=3$，$f(1)=-1$，$f(2)=3$。

最大值为 $3$（在 $x=-1$ 和 $x=2$ 处取到），最小值为 $-1$（在 $x=-2$ 和 $x=1$ 处取到）。

+2补充例题 2：面积最大的矩形

题目

将周长为 $2p$ 的绳子围成矩形，问怎样围才能使面积最大？

解题过程

① 设矩形一边长为 $x$，则另一边为 $p-x$（$0<x<p$）。面积 $S(x)=x(p-x)=px-x^2$。

② $S'(x)=p-2x$，令 $S'(x)=0$，得 $x=\dfrac{p}{2}$；且 $S''(x)=-2<0$，所以这是极大值点。

当矩形为正方形（边长 $\dfrac{p}{2}$）时，面积最大，最大面积为 $\dfrac{p^2}{4}$。

✦课堂总结

📐 两步法求最值

① 求导 → 令 $f'(x)=0$ → 找驻点
② 算驻点和端点的函数值 → 比大小
最大 = 最大值，最小 = 最小值
⚠️ 千万别忘端点！

🔧 应用题四步法

① 读题 → 明确优化目标
② 设变量 → 建立一元函数
③ 求导 → 令导数为零
④ 唯一驻点 → 直接判定最值

⚡ 常见应用场景

· 体积/面积 → 最大
· 材料/费用 → 最省
· 功率/效率 → 最大
· 距离/时间 → 最短

📋 本节六大题型一览

题型一：多项式在闭区间上求最值
题型二：含根号/分式函数求最值
题型三：由极值条件反求参数

题型四：几何优化（折盒子等）
题型五：费用/成本最优化
题型六：物理量优化（功率等）

🔑 解题核心口诀

求导找零点，端点不能忘；
算值比大小，最值在其中。
应用先建模，一元是关键；
唯一驻点处，直接定答案。

掌握"两步法"＋学会"四步建模"＝解决一切最值问题 ✨