第四章导数的应用 课 05
凹凸性、拐点
与函数图形
本课约定：\(f''\gt0\) 为凹（开口向上），\(f''\lt0\) 为凸（开口向下）
\(f\)切线 / \(f'\)\(f''\) / 凹凸拐点弦 / 渐近线
图 0 凹段切线在曲线下方，凸段切线在曲线上方拖动切点；松手后自动滚动
\(f'(x)\)—
\(f''(x)\)—
此处曲线—
§1凹凸的定义
凹凸的定义
曲线上任意两点之间的弦都在曲线上方，曲线就是凹的；都在下方，就是凸的。
定义
设 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续。若对 \(I\) 上任意两点 \(x_1\ne x_2\)，恒有
\[f\Big(\frac{x_1+x_2}{2}\Big)\lt\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},\]
则称 \(f\) 在 \(I\) 上的图形是凹的；若恒有“\(\gt\)”，则称是凸的。
术语凹：开口向上（\(\smile\)）；凸：开口向下（\(\frown\)）。
图 1 弦与曲线拖动 \(x_1\)、\(x_2\)
曲线高度 \(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\)—
弦的高度—
弦 − 曲线—
—
§1凹凸的判定
凹凸性判定定理
二阶导数为正，切线斜率逐渐增大，曲线是凹的；二阶导数为负，曲线是凸的。
定理（凹凸判定）
设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内二阶可导。
- 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)\gt0\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凹的；
- 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)\lt0\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凸的。
| \(f''\) | \(f'\) | 切线 | 曲线 |
|---|---|---|---|
| \(\gt0\) | 递增 | 在曲线下方 | 凹 \(\smile\) |
| \(\lt0\) | 递减 | 在曲线上方 | 凸 \(\frown\) |
图 2 上：\(f\) 与切线；下：\(f'\)（斜率）拖动切点
切线斜率 \(f'(x)\)—
\(f''(x)\)—
结论—
§1求凹凸区间
例 1 求 \(f(x)=\ln(1+x^2)\) 的凹凸区间
求凹凸区间与求单调区间方法相同，只是改看二阶导数的符号。
定义域
\(D=(-\infty,+\infty)\)，偶函数。
求二阶导数
\(f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\)，\(f''(x)=\dfrac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\)。
找分界点
\(f''(x)=0\Rightarrow x=\pm1\)；分母恒正，没有 \(f''\) 不存在的点。
判号
\(f''\) 的符号只取决于 \(1-x^2\)：见右表。
结论
凹区间 \([-1,1]\)；凸区间 \((-\infty,-1]\) 和 \([1,+\infty)\)。
| \(x\) | \((-\infty,-1)\) | \(-1\) | \((-1,1)\) | \(1\) | \((1,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f''(x)\) | − | 0 | ＋ | 0 | − |
| \(f(x)\) | 凸 \(\frown\) | \(\ln2\) | 凹 \(\smile\) | \(\ln2\) | 凸 \(\frown\) |
\(f\)\(f''\)凹凸分界点（下一节：拐点）
§2拐点
拐点
拐点是曲线由凹变凸或由凸变凹的分界点。
定义
连续曲线 \(y=f(x)\) 上凹弧与凸弧的分界点 \((x_0,f(x_0))\)，称为曲线的拐点。
判定
\(f\) 在 \(x_0\) 连续，\(f''\) 在 \(x_0\) 两侧异号（\(f''(x_0)=0\) 或不存在均可）⇒ \((x_0,f(x_0))\) 是拐点。
\(y=x^3\)是拐点
\(f''=6x\)：左负右正。
\(y=x^4\)不是拐点
\(f''(0)=0\)，但两侧同正。
\(y=\sqrt[3]{x}\)是拐点
\(f''(0)\) 不存在，左凹右凸。
\(y=\dfrac1x\)不是拐点
两侧凹凸不同，但 \(x=0\) 不在定义域内。
表述拐点写成坐标 \((x_0,f(x_0))\)。
§2求拐点
例 2、例 3 求拐点
二阶导数为零或不存在的点，只有两侧二阶导数变号时才是拐点。
例 2 \(f(x)=x^4-2x^3+1\)
二阶导数
\(f'=4x^3-6x^2\)，\(f''=12x^2-12x=12x(x-1)\)。
候选
\(x=0,\ x=1\)。
判号
\(f''\) 依次为 \(+,-,+\)：两处都变号。
坐标
\(f(0)=1\)，\(f(1)=0\)：拐点 \((0,1)\)、\((1,0)\)。凹区间 \((-\infty,0],[1,+\infty)\)，凸区间 \([0,1]\)。
例 3 \(f(x)=(x-2)^{\frac53}\)
二阶导数
\(f'=\dfrac53(x-2)^{\frac23}\)，\(f''=\dfrac{10}{9}(x-2)^{-\frac13}=\dfrac{10}{9\sqrt[3]{x-2}}\)。
候选
\(f''\) 没有零点；\(x=2\) 处 \(f''\) 不存在，但 \(f\) 连续。
判号并写坐标
\(x\lt2\) 时 \(f''\lt0\)（凸），\(x\gt2\) 时 \(f''\gt0\)（凹）：拐点 \((2,0)\)。
易漏\(f''\) 不存在的点也要检查。
§3渐近线
渐近线
曲线伸向无穷远处时越来越贴近的直线，叫做渐近线。
| 类型 | 判断 |
|---|---|
| 水平 | \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b\) 或 \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b\) ⇒ \(y=b\) |
| 铅直 | \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty\) 或 \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty\) ⇒ \(x=x_0\) |
| 斜 | \(k=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\ (\ne0)\)，\(b=\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-kx]\) ⇒ \(y=kx+b\) |
- 铅直渐近线的候选：定义域的断点（分母为零处）、开区间端点。
- 斜渐近线要分 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 两侧分别求，两侧可能不同。
- 水平渐近线是 \(k=0\) 时的特例；同一侧有了水平渐近线，就不会再有斜渐近线。
练一练：写出全部渐近线
\(y=\dfrac{x^2+1}{x}\)
铅直 \(x=0\)；\(y=x+\frac1x\)，斜渐近线 \(y=x\)。
\(y=\ln x\)
铅直 \(x=0\)（\(x\to0^+\) 时 \(\to-\infty\)）；\(\frac{\ln x}x\to0\) 但 \(\ln x\to+\infty\)，无水平、无斜渐近线。
\(y=xe^{-x}\)
\(x\to+\infty\) 时 \(y\to0\)：水平 \(y=0\)（仅右侧）；左侧 \(y\to-\infty\) 且 \(\frac yx\to+\infty\)，无。
\(y=\sqrt{x^2+1}\)
\(x\to+\infty\)：\(k=1,\ b=0\)，\(y=x\)；\(x\to-\infty\)：\(k=-1\)，\(y=-x\)。两侧不同。
图 3
渐近线—
视野右端处的差距 \(|f(x)-(kx+b)|\)—
§3求渐近线
例 4 求 \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+2x-3}\) 的渐近线
铅直渐近线看分母为零的点；斜渐近线先求斜率 \(k\)，再求截距 \(b\)。
找断点
\(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\)，断点 \(x=-3,\ x=1\)。
铅直渐近线
\(\lim\limits_{x\to-3}f(x)=\infty\)，\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\infty\)：\(x=-3\)、\(x=1\)。
求 \(k\)
\(k=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{x(x^2+2x-3)}=1\)。
求 \(b\)
\(b=\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}-x\Big)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{-2x^2+3x}{x^2+2x-3}=-2\)。
结论
铅直渐近线 \(x=-3\)、\(x=1\)；斜渐近线 \(y=x-2\)（两侧相同）；无水平渐近线。
\(f(x)\)\(y=x-2\)\(x=-3,\ x=1\)
§4函数图形的描绘
例 5 描绘 \(y=x^3-x^2-x+1\) 的图形
先由一阶、二阶导数定出升降和弯曲方向，再标出关键点，最后连线。
定义域与零点
\(D=\mathbb R\)，无对称性。\(y=(x-1)^2(x+1)\)：零点 \(x=-1\)、\(x=1\)（二重）；\(y\) 轴截距 \(1\)。
一阶导数 → 单调与极值
\(y'=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)\)：\(\left(-\infty,-\frac13\right)\) 增，\(\left(-\frac13,1\right)\) 减，\((1,+\infty)\) 增。
二阶导数 → 凹凸与拐点
\(y''=6x-2\)：\(x\lt\frac13\) 凸，\(x\gt\frac13\) 凹。
渐近线与两端趋势
多项式无渐近线；\(x\to+\infty\) 时 \(y\to+\infty\)，\(x\to-\infty\) 时 \(y\to-\infty\)。
关键点
极大 \(\left(-\frac13,\frac{32}{27}\right)\)，拐点 \(\left(\frac13,\frac{16}{27}\right)\)，极小 \((1,0)\)，零点 \((-1,0)\)，截距 \((0,1)\)。
连线成图
按表中“升降＋弯曲”的组合，在关键点之间光滑连线。
| \(x\) | \(\left(-\infty,-\frac13\right)\) | \(-\frac13\) | \(\left(-\frac13,\frac13\right)\) | \(\frac13\) | \(\left(\frac13,1\right)\) | \(1\) | \((1,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | ＋ | 0 | − | − | − | 0 | ＋ |
| \(y''\) | − | − | − | 0 | ＋ | ＋ | ＋ |
| \(y\) | ↗ 凸 | 极大 | ↘ 凸 | 拐点 | ↘ 凹 | 极小 | ↗ 凹 |
§4函数图形的描绘
例 6 描绘 \(y=\frac{(x-3)^2}{4(x-1)}\) 的图形
先画出渐近线，确定曲线在断点附近和远处的走向，再分段连线。
定义域与零点
\(D=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。零点 \(x=3\)；\(y\) 轴截距 \(-\frac94\)。
一阶导数
\(y'=\dfrac{(x-3)(x+1)}{4(x-1)^2}\)：驻点 \(x=-1,\ 3\)。\((-\infty,-1)\) 增，\((-1,1)\)、\((1,3)\) 减，\((3,+\infty)\) 增。
二阶导数
\(y''=\dfrac{2}{(x-1)^3}\)：\(x\lt1\) 凸，\(x\gt1\) 凹。\(x=1\) 不在定义域内，没有拐点。
渐近线
铅直 \(x=1\)；\(k=\lim\frac{y}{x}=\frac14\)，\(b=\lim\big(y-\frac x4\big)=-\frac54\)：斜渐近线 \(y=\frac14x-\frac54\)。
关键点
极大 \((-1,-2)\)，极小 \((3,0)\)，截距 \(\left(0,-\frac94\right)\)；再补 \(\left(-3,-\frac{9}{4}\right)\)、\(\left(5,\frac14\right)\) 辅助定形。
连线成图
两支曲线分别贴近渐近线。
| \(x\) | \((-\infty,-1)\) | \(-1\) | \((-1,1)\) | \(1\) | \((1,3)\) | \(3\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | ＋ | 0 | − | 无定义 | − | 0 | ＋ |
| \(y''\) | − | − | − | ＋ | ＋ | ＋ | |
| \(y\) | ↗ 凸 | 极大 \(-2\) | ↘ 凸 | ↘ 凹 | 极小 \(0\) | ↗ 凹 |
§5课堂练习
课堂练习
1凹凸与拐点
\(y=xe^{-x}\)
二阶导数
\(y''=(x-2)e^{-x}\)
结论
凸 \((-\infty,2]\)，凹 \([2,+\infty)\)；拐点 \(\left(2,\dfrac2{e^2}\right)\)
2凹凸与拐点
\(y=\arctan x\)
二阶导数
\(y''=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\)
结论
凹 \((-\infty,0]\)，凸 \([0,+\infty)\)；拐点 \((0,0)\)
3拐点
\(y=\dfrac1{1+x^2}\)
二阶导数
\(y''=\dfrac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\)，\(x=\pm\dfrac1{\sqrt3}\)
结论
拐点 \(\left(\pm\dfrac1{\sqrt3},\dfrac34\right)\)
4含参数
\((1,3)\) 是 \(y=ax^3+bx^2\) 的拐点，求 \(a,b\)
列方程
\(y''(1)=6a+2b=0\)，\(y(1)=a+b=3\)
解得
\(a=-\dfrac32,\ b=\dfrac92\)
5渐近线
\(y=\dfrac{2x^2}{x^2-1}\)
结论
铅直 \(x=\pm1\)；水平 \(y=2\)
6渐近线
\(y=e^{\frac1x}\)
\(x=0\) 两侧
\(x\to0^+\)：\(y\to+\infty\)；\(x\to0^-\)：\(y\to0\)
结论
铅直 \(x=0\)（单侧）；水平 \(y=1\)
7拐点判断
\(y=x^4\) 有拐点吗？
结论
\(y''=12x^2\ge0\) 不变号：处处凹，无拐点
8拐点
\(y=x^3-6x^2+9x+1\)
二阶导数
\(y''=6x-12\)，\(x=2\)
结论
左负右正，拐点 \((2,3)\)
§5小结
小结
| \(f''\gt0\) | \(f''\lt0\) | |
|---|---|---|
| \(f'\gt0\) | 上升，越来越陡 ↗ 凹 | 上升，越来越缓 ↗ 凸 |
| \(f'\lt0\) | 下降，越来越缓 ↘ 凹 | 下降，越来越陡 ↘ 凸 |
定义域、对称性断点、奇偶、周期
→
\(f'\)单调区间与极值
→
\(f''\)凹凸区间与拐点
→
渐近线铅直、水平、斜
→
关键点表零点、截距、极值点、拐点
→
连线同时满足升降与弯曲
易错 1\(f''(x_0)=0\) 不一定是拐点；\(f''\) 不存在处也可能是拐点。
易错 2拐点要写坐标；断点两侧凹凸不同也不是拐点。
易错 3斜渐近线两侧分别求；有了水平渐近线的那一侧就没有斜渐近线。