递增 斜率增大 凹
切线从左到右逐渐向上转，图像呈开口向上的弯曲。
二阶导数与函数图形
凹凸性、拐点
凹凸性、拐点
与图形描绘
二阶导数先判断切线斜率怎样变化，再判断弯曲方向；左右凹凸性发生改变，才得到拐点。
看 →判凹凸→查变号→描图
当前点的导数信息
第 01 部分
二阶导数判凹凸
弯曲方向取决于切线斜率是递增还是递减。
： 递增，曲线凹 ： 递减，曲线凸
01
直观入口
从切线斜率的变化认识凹与凸
沿横轴从左向右观察。
由小变大 凹
由大变小 凸
当前斜率
二阶导数
判断从左向右，切线斜率递增，曲线为凹。
“凹、凸”描述的是一段曲线，不是单独一个点。
判定定理
二阶导数的符号决定凹凸性
前提 在区间 内二阶可导 判断对象整个区间
递减 斜率减小 凸
切线从左到右逐渐向下转，图像呈开口向下的弯曲。
若只知道某一点 ，不能判断这一点附近的凹凸性，也不能直接判为拐点。
三种对照
二阶导数等于零或不存在：都要看左右变化
既不是充分条件，也不是必要条件。
，在 的左右由负变正； 是拐点。
，虽然 ，左右却都为正；不是拐点。
，在 处不存在，但左右由正变负； 是拐点。
标准流程
四步求出凹区间与凸区间
① 写定义域先确定函数在哪些区间有意义。
② 求 连续求两次导数，并化成便于判号的形式。
③ 找分界解 ，再补入二阶导数不存在的点。
④ 判号写区间正号写凹，负号写凸，分界点不写入开区间。
分界点
……
＋
0 或不存在
−
……
例题 1
求 的凹区间与凸区间
1
求二阶导数：，。
2
找分界点：由 得 。
3
左右判号： 时 ； 时 。
4
写区间：凸区间为 ，凹区间为 。
例题 2
求 的凹区间与凸区间
1
求二阶导数：，。
2
找分界点： 得 。
3
三段判号：二阶导数的符号依次为 。
4
写区间：凹区间为 ；凸区间为 。
微练 01
看斜率、看符号、判凹凸
1
斜率依次为 ，曲线判为凹还是凸？斜率递增，曲线为凹。
2
斜率依次为 ，曲线判为凹还是凸？斜率递减，曲线为凸。
3
区间内 ，曲线是什么形状？二阶导数为正，曲线为凹。
4
区间内 ，曲线是什么形状？二阶导数为负，曲线为凸。
5
在实数范围内的凹凸性？，曲线为凹。
6
在实数范围内的凹凸性？，曲线为凸。
7
只知道 ，能判定附近凹凸性吗？不能，必须检查左右区间的符号。
8
在 内 ，这个区间叫什么？凹区间。
微练 02
根据二阶导数写凹凸区间
1
凸：；凹：。
2
凹：；凸：。
3
凸：；凹：。
4
凸：；凹：。
5
凸：；凹：。
6
凹：；凸：。
7
凹：；凸：。
8
凹：；凸：。
第 02 部分
左右变号判拐点
候选位置只是分界，凹凸性真正改变才得到拐点。
连续＋ 左右异号 拐点
02
简明定义
拐点是连续曲线上凹凸性改变的点
先看左右：左凹右凸，或左凸右凹，都说明凹凸性发生改变。
再写坐标：若分界横坐标为 ，必须代回原函数，写成 。
：
：凸 拐点 凹
：凸 拐点 凹
判定定理
连续、左右异号，两个条件缺一不可
候选位置 或 不存在 最终检查 连续且 左右异号
① 函数连续吗
拐点必须是曲线上的点。
② 左右符号
只有异号才表示凹凸性改变。
③ 判定结果
是拐点
最后还要代回原函数求纵坐标。
例题 3
求 的拐点
1
求二阶导数：。
2
找候选位置：由 得 。
3
检查变号： 时为负， 时为正；曲线由凸变凹。
4
求坐标：，所以拐点为 。
例题 4
求 的拐点
1
求二阶导数：，。
2
找候选位置： 得 。
3
检查变号：左侧 ，右侧 ，因此是拐点横坐标。
4
求坐标：，拐点为 。
例题 5
求 的全部拐点
1
求二阶导数：。
2
找候选位置：，把定义域分为三段。
3
检查变号：符号为 ，所以在 与 处都改变。
4
求坐标：，拐点为 与 。
微练 03
候选点是不是拐点
1
函数连续， 左侧 、右侧 。是拐点，曲线由凸变凹。
2
函数连续， 左侧 、右侧 。是拐点，曲线由凹变凸。
3
左右两侧均有 。不是拐点，凹凸性未改变。
4
左右两侧均有 。不是拐点，凹凸性未改变。
5
只知道 。不能判定，还要检查左右符号。
6
不存在，但函数连续且左右凹凸性改变。是拐点；二阶导数存在并不是必要条件。
7
左右异号，但函数在 不连续。不是拐点，因为该处不在连续曲线上。
8
的 。不是拐点；二阶导数没有变号。
微练 04
求拐点坐标
1
拐点 。
2
拐点 。
3
拐点 。
4
拐点 。
5
拐点 与 。
6
拐点 。
7
拐点 与 。
8
拐点 。
易错辨析
四个条件必须分开检查
| 常见做法 | 问题 | 正确处理 |
|---|---|---|
| 解出 就写拐点 | 等于零不保证变号 | 必须检查 左右的凹凸性 |
| 不存在就排除 | 遗漏尖竖切线等情况 | 只要函数连续，仍检查左右凹凸性 |
| 左右异号，不查连续 | 断开的两段不能组成一个拐点 | 确认 存在且曲线连续 |
| 答案只写 | 写的是横坐标，不是点 | 代回原函数，写 |
微练 05
拐点易错辨析
1
是拐点的充分条件吗？不是。
2
是拐点的必要条件吗？也不是，二阶导数可能不存在。
3
函数在 不连续，但 左右异号。不是拐点。
4
函数连续， 不存在且左右异号。是拐点。
5
已判定横坐标 ，且 ，完整答案怎样写？拐点为 。
6
， 是拐点吗？不是；左右均为正。
7
的 两侧凹凸性改变，是拐点吗？不是；函数在 处无定义。
8
在原点的二阶导数不存在，是拐点吗？是；函数连续且左右凹凸性改变。
第 03 部分
把导数信息合成函数图形
一阶导数管升降，二阶导数管弯曲，关键点负责定位。
判单调与极值 ＋ 判凹凸与拐点
03
描图主线
函数图形描绘的六步方法
定义域与对称性
确定可画范围，检查奇偶性与周期性。
截距与特殊点
求与坐标轴交点，必要时看边界或无穷远趋势。
的符号
写单调区间，求极大值点和极小值点。
的符号
写凹凸区间，求所有拐点坐标。
关键点表
把零点、极值点、拐点按横坐标排序。
按趋势连线
同时满足升降与弯曲方向，平滑画出图形。
完整例题
完整描图例题：
1
定义域与零点：；零点为 ，函数为奇函数。
2
求一阶导数：。
3
单调与极值：递增区间 ，递减区间 ；极大值点 ，极小值点 。
4
求二阶导数：。
5
凹凸与拐点：凸区间 ，凹区间 ；拐点 。
6
连接图形：按零点、极值点、拐点的位置，并同时满足单调性和凹凸性连线。
交互合成
同一点同时读取一阶导数与二阶导数
的符号回答“升还是降”； 的符号回答“向哪边弯”。两条信息互不替代。
一阶导数递减
二阶导数凹凸分界
当前横坐标
例如“递减且凹”完全可能：递减说明斜率为负，凹说明斜率正在变大。
微练 06
把一阶、二阶导数合起来
1
某区间 且 。函数递增且为凹。
2
某区间 且 。函数递减且为凸。
3
由正变负。出现极大值点。
4
由负变正。出现极小值点。
5
函数连续， 由负变正。出现由凸变凹的拐点。
6
函数连续， 由正变负。出现由凹变凸的拐点。
7
的零点有哪些？。
8
的三个形状关键点？极大值点 、拐点 、极小值点 。
微练 07
综合判断
1
：凹凸性与拐点。全程为凹；无拐点。
2
：凹凸性与拐点。全程为凸；无拐点。
3
：凹凸区间与拐点。凸：；凹：；拐点 。
4
： 是否为拐点？不是；二阶导数不变号。
5
：凹凸区间与拐点。凹：；凸：；拐点 。
6
：极值点与拐点。极大值点 ，极小值点 ，拐点 。
7
函数在 连续，左凹右凸，且 。拐点为 。
8
在 两侧凹凸性不同。原点不是拐点，因为函数在该处无定义。
总结
两条导数线索，一套完整图形
递增，切线斜率变大，曲线为凹。
递减，切线斜率变小，曲线为凸。
拐点
函数连续且左右凹凸性改变； 只是候选条件，答案必须写完整坐标。
图形描绘
给出升降与极值， 给出弯曲与拐点，再按关键点顺序连线。
定义域→→→关键点→图形