第04章 · 课06｜导数的应用总复习

高等数学 / 第04章·课06

导数的应用

总复习

微分中值定理与导数的应用

复习定理条件与解题方法
综合分析函数性质及其图形

$f(x)=x^3-3x$

知识梳理 · 典型例题 · 课堂练习

依据：课01—课05｜复习课教学重组

复习安排

本章知识结构与复习安排

复习目标：掌握定理的适用条件，选择恰当方法，规范表述结论。

分钟

概念辨析

判定条件

第01—03页

分钟

中值定理

存在性结论

第04—06页

分钟

洛必达法则

未定式类型

第07—11页

分钟

函数综合

函数性质综合

第12—20页

分钟

最值应用

模型与定义域

第21—22页

分钟

检测小结

练习与讲评

第23—28页

复习重点：方法选择、条件检验与结论表述。

选择方法

明确题型

检验条件

核对前提

表述结论

准确完整

依据：课01—课05｜时间安排与课堂活动为本课设计

一、基本概念

概念辨析

判断下列命题是否正确，并说明理由。

驻点一定是极值点。

$f'(x_0)=0$

错误。f(x)=x³ 在0处导数为0，但0不是极值点。

闭区间上的连续函数一定能取得最值。

$f\in C[a,b]$

正确。最大值和最小值都能在该闭区间上取得。

二阶导数为正，原函数就一定递增。

$f''(x)>0$

错误。f″>0 说明 f′ 递增，不能推出 f′>0。

函数连续且二阶导数左右异号，可判为拐点。

$f'' : -\ \longrightarrow\ +$

正确。该点为拐点，答案应写为 (x₀,f(x₀))。

依据：课03·概念与表达；课04·存在性定理；课05·拐点判定

二、微分中值定理

微分中值定理的条件与结论

共同条件：有关函数在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导。

定理

附加条件与应用对象

结论（ξ∈(a,b)）

罗尔

附加条件：f(a)=f(b)

$f'(\xi)=0$

拉格朗日

一个函数的增量与导数

$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西

两个函数的增量与导数

$\Delta f\,g'(\xi)=\Delta g\,f'(\xi)$

$\Delta f=f(b)-f(a),\quad \Delta g=g(b)-g(a),\quad \xi\in(a,b)$

在柯西中值定理中令 g(x)=x，得拉格朗日中值定理；再令 f(a)=f(b)，得罗尔定理。

依据：课01·罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

二、微分中值定理

例1：拉格朗日中值定理的应用

设 f(x)=x²，求区间 [0,2] 内满足拉格朗日中值定理的点 ξ。

① 验证定理条件

多项式在 [0,2] 上连续，在 (0,2) 内可导。

② 计算平均变化率

$k=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=2$

③ 根据定理求 ξ

$f'(x)=2x,\quad 2\xi=2$

$\boxed{\xi=1\in(0,2)}$

切点 t

当前切线斜率 1.20 ｜割线斜率 2.00

依据：课01·拉格朗日“寻找平行切线”｜区间取值为复习重组

二、微分中值定理

中值定理使用中的注意事项

应逐项核对条件；条件不满足时，不能直接引用相应定理。

罗尔定理：应检查可导性

$f(x)=|x|,\quad [-1,1]$

f(−1)=f(1)=1。
函数在 [−1,1] 上连续。

函数在 x=0 处不可导，
不满足罗尔定理的条件。

柯西定理：比值形式有附加条件

$f(x)=x,\quad g(x)=x^2,\quad [-1,1]$

$\Delta f=2,\quad\Delta g=0$

$2\cdot2\xi=0\cdot1\ \Rightarrow\ \xi=0$

此时 Δg=0，且 g′(0)=0，
不能将乘积形式改写为比值形式。

改写为 Δf/Δg = f′(ξ)/g′(ξ) 时，必须保证两个分母均不为零。

依据：课01·基本条件、罗尔尖点反例、柯西原式与比值形式

三、洛必达法则

洛必达法则的适用条件

分别对分子、分母求导，再求导数之商的极限。

① 未定式类型

分子、分母同时趋于零，或同时趋于无穷。

② 可导性与分母条件

在相应去心邻域或无穷远区间内，f、g 可导，且 g′(x)≠0。

③ 导数之商的极限

导数之商的极限存在，或为 +∞、−∞。

法则结论

$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$

注意区分

$\frac{f'(x)}{g'(x)}\ne\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'$

连续使用洛必达法则时，每次都应重新核对未定式类型及适用条件。

依据：课02·定理一、定理二、使用步骤

三、洛必达法则

未定式的类型与转化

将其他类型的未定式转化为 0/0 型或 ∞/∞ 型，再检查法则条件。

未定式类型

转化方法

注意事项

$\frac00,\quad\frac\infty\infty$

核对法则条件

满足条件后分别求导

$0\cdot\infty$

$uv=\frac{u}{1/v}\ \text{or}\ \frac{v}{1/u}$

选择便于求导的分式

$\infty-\infty$

通分、因式分解或有理化

转化后的未定式类型

$0^0,\quad1^\infty,\quad\infty^0$

$y=u^v\ \Rightarrow\ \ln y=v\ln u$

先求 ln y 的极限，再取指数

判断类型 → 必要转化 → 核对条件 → 分别求导 → 计算极限

依据：课02·七种未定式及其转化、本节小结

三、洛必达法则

例2：0/0 型极限

求下列极限。每次使用洛必达法则前，均须核对适用条件。

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

适用条件

x→0 时，分子、分母均趋于0。
在0的去心邻域内可导，且2x≠0。

① 第一次分别求导

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}$

② 所得极限仍为 0/0 型，可再次使用法则。

③ 再次分别求导，计算极限

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12$

最后利用指数函数的连续性，求得极限为 1/2。

依据：课02·例1“0/0型（两次使用法则）”

三、洛必达法则

例3：乘积型与幂指型极限

先求乘积型极限，再利用所得结果计算幂指型极限。

（1）乘积型极限

$\lim_{x\to0^+}x\ln x$

$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$

由 0·∞ 转为 ∞/∞。

$\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0$

（2）幂指型极限

$\lim_{x\to0^+}x^x$

$y=x^x\quad\Rightarrow\quad\ln y=x\ln x$

$\lim_{x\to0^+}\ln y=0$

$\boxed{\lim_{x\to0^+}x^x=e^0=1}$

求得 ln y 的极限后，还须利用指数函数的连续性求出 y 的极限。

依据：课02·例3“0·∞型”、练习3“x^x”

三、洛必达法则

洛必达法则的常见误用

辨析以下两种错误，并说明正确的求解方法。

误用一：对非未定式使用法则

$\lim_{x\to0}\frac{x^2+1}{x+1}$

直接代入即可。

$\frac{1}{1}=1$

此式不是未定式，不能使用洛必达法则。

误用二：由导数商无极限否定原极限

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sin x}{x}$

导数之商 1+cos x 的极限不存在，
但原极限可由下式求出。

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)=1$

法则条件不满足，只能说明不能直接使用该法则，不能据此断定原极限不存在。

依据：课02·三类常见错误

四、函数性质的综合分析

一阶导数与二阶导数的应用

单调性、极值、凹凸性和拐点的判定条件应分别掌握。

单调性的一阶导数判定

$f'>0\ \Rightarrow\ \nearrow\qquad f'<0\ \Rightarrow\ \searrow$

上述符号须在所讨论的区间内成立。

极值的一阶导数判定

函数在候选点连续，考察 f′ 的左右符号：

$+\to-$

极大

$-\to+$

极小

极值的二阶导数判定

$f'(x_0)=0$

二阶可导且满足上述条件时：
f″(x₀)>0，取极小值；f″(x₀)<0，取极大值。
f″(x₀)=0 时，此方法不能判定。

凹凸性的二阶导数判定

区间内 f″>0：斜率递增，曲线为凹。
区间内 f″<0：斜率递减，曲线为凸。

凹凸性与单调性应分别判断。

依据：课03·三个判定定理；课05·凹凸性判定定理

四、函数性质的综合分析

综合例题：函数性质与图形描绘

对下列函数进行分析，完成单调性、极值、最值、凹凸性与拐点的判定。

$f(x)=x^3-3x$

单调性与极值

求单调区间与全部极值。

闭区间 [−2,2] 上的最值

求最大值、最小值及取得位置。

凹凸性与拐点

求凹凸区间与拐点坐标。

函数图形

求零点，判断对称性，并描绘函数图形。

首先确定定义域 D，求出 f′(x) 和 f″(x)，再根据判定条件进行分析。

依据：课03·x³−3x例题；课04·候选点扫描器；课05·完整描图例题

四、函数性质的综合分析

（1）单调区间与极值

求导并确定分界点，列表判断导数符号，再写出结论。

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$

$(-\infty,-1)$

$-1$

$(-1,1)$

$1$

$(1,+\infty)$

f′(x)

＋

−

＋

f(x)

递增 ↗

极大

递减 ↘

极小

递增 ↗

递增区间

$(-\infty,-1),\quad(1,+\infty)$

递减区间

$(-1,1)$

在 x=−1 处取得极大值 f(−1)=2。

在 x=1 处取得极小值 f(1)=−2。

依据：课03·x³−3x的单调区间与极值例题

四、函数性质的综合分析

（2）闭区间上的最大值与最小值

函数 f(x)=x³−3x 在 [−2,2] 上连续，应比较各候选点的函数值。

候选来源：端点 −2、2 + 内部驻点 −1、1

候选点 x

−2

−1

候选点类型

左端点

内部驻点

右端点

函数值 f(x)

−2

最大值为 2

在 x=−1 与 x=2 处取得。

最小值为 −2

在 x=−2 与 x=1 处取得。

依据：课04·闭区间最值判定方法、候选点扫描器｜例题结果重组

四、函数性质的综合分析

变式：不同区间上的最值

函数仍为 f(x)=x³−3x，分别讨论其在指定区间上的最值。

当前比较范围：[−2,2]

最大值 2：在 x=−1、2 处取得。
最小值 −2：在 x=−2、1 处取得。

在 [−2,3] 上，最大值为18，在 x=3 处取得；
最小值为−2，在 x=−2、1 处取得。

依据：课03·极值与整体比较；课04·极值、最值与定义域｜区间变式为本课改编

四、函数性质的综合分析

（3）凹凸区间与拐点

本课沿用前五课的术语：f″>0 时曲线为凹，f″<0 时曲线为凸。

$f''(x)=6x$

$(-\infty,0)$

$(0,+\infty)$

f″(x)

−

＋

曲线形状

凸

凹凸分界

凹

函数连续，且左右凹凸性改变

$f(0)=0\quad\Rightarrow\quad P(0,0)$

f′(0)=−3≠0，因此 x=0 不是驻点；函数在该点也不取得极值。

依据：课05·x³−3x的凹凸区间、完整描图例题

四、函数性质的综合分析

极值点与拐点的区别

比较三个函数在 x=0 处的导数及其两侧的符号，说明判定依据。

$f(x)=x^3$

x=0 不是极值点；(0,0) 是拐点。

f′=3x²，两侧同为正。
f″=6x，两侧变号。

$f(x)=x^4$

x=0 是极小值点；(0,0) 不是拐点。

f′=4x³，左负右正。
f″=12x²，两侧同为正。

$f(x)=\sqrt[3]{x}$

(0,0) 是拐点。

二阶导数在0处不存在，
但函数连续，且左右凹凸性改变。

依据：课03·二阶导数等于零；课05·二阶导数等于零或不存在

四、函数性质的综合分析

（4）函数图形的描绘

根据零点、极值点和拐点的位置，结合单调性与凹凸性描绘图形。

定义域：实数范围；奇函数，关于原点对称。

零点

$x=-\sqrt3,\ 0,\ \sqrt3$

极值点对应的坐标

$(-1,2),\quad(1,-2)$

拐点

$(0,0)$

零点极值位置拐点

观察点

x=0.60 ｜ f′=−1.92：递减｜ f″=3.60：凹

依据：课05·完整描图例题、图形信息读取器

四、函数性质的综合分析

函数图形描绘的基本步骤

依次确定定义域、特殊点、导数符号和变化趋势。

定义域与对称性

确定定义域，
检查奇偶性与周期性。

截距与特殊点

求坐标轴交点，
看必要的边界与无穷远趋势。

一阶导数

写单调区间，
确定极值及取得位置。

二阶导数

确定凹凸区间，
检查连续性并求拐点坐标。

关键点表

将零点、极值点与拐点
按横坐标排序。

按趋势连线

曲线应同时符合
单调性与凹凸性。

依据：课05·函数图形描绘的六步方法

五、函数最值的应用

实际最值问题的解题步骤

建立目标函数，确定变量范围，再利用导数求最值。

明确目标

明确所求最大量或最小量。

设定变量

选择自变量并注明单位。

建立函数

利用约束消去其他变量。

确定范围

根据实际约束确定定义域。

求最值

求导后判号，或比较候选值。

作出结论

说明实际量的取值及单位。

矩形水槽模型

宽 60 cm 的铁皮两侧各垂直折起 x cm，底宽为 (60−2x) cm，故 0<x<30。

依据：课04·实际最值题的流程、定义域先于求导

五、函数最值的应用

例4：矩形水槽截面积的最大值

将宽 60 cm 的铁皮两侧各垂直折起 x cm，求水槽截面积的最大值。

① 建立目标函数与实际范围

$A(x)=x(60-2x),\quad 0<x<30$

② 求驻点并检验变量范围

$A'(x)=60-4x=0\ \Rightarrow\ x=15$

③ 在 (0,30) 内先增后减，故取得最大值

$A_{\max}=15(60-30)=450\ \mathrm{cm}^2$

答：两侧各折起15 cm，底宽30 cm。

x=10.0 cm ｜ A=400.0 cm²

折起高度

依据：课04·矩形水槽“动态建模”与“完整求解”

六、课堂练习与小结

常见错误与规范解法

根据各类题目的判定条件，检查解题过程是否完整。

错误 01

不判断类型，直接使用洛必达法则

先判断未定式类型，逐次核对法则条件。

错误 02

将驻点直接判为极值点

检查 f′ 在候选点两侧是否变号。

错误 03

仅凭 f″(x₀)=0 判断极值或拐点

极值检查 f′ 变号；拐点检查凹凸性改变。

错误 04

求闭区间最值时遗漏候选点

同时检查端点、内部驻点和不可导点。

错误 05

以导数值比较函数最值

应比较各候选点的原函数值。

错误 06

拐点答案只写横坐标

检查连续性，写出完整坐标 (x₀,f(x₀))。

依据：课02·三类常见错误；课03·概念辨析；课04·最值步骤；课05·拐点易错条件

六、课堂练习与小结

随堂练习（一）：条件与极限

独立完成第1—3题，每题1分。

下列函数不满足罗尔定理的哪项条件？

$f(x)=|x|,\quad[-1,1]$

计算下列极限。

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}$

根据下列条件，可作何判断？

$f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)=0$

请选择全部三题，再提交。

依据：课01·连续与可导；课02·练习2；课03·二阶导数等于零

六、课堂练习与小结

随堂练习（二）：最值、拐点与建模

独立完成第4—6题，每题1分；六题共6分。

求函数在给定区间上的最大值及取得位置。

$f(x)=x^3-3x^2+1,\quad[-1,3]$

求下列函数图形的全部拐点。

$f(x)=x^4-6x^2$

宽60 cm的铁皮折成矩形水槽，选择目标函数与变量范围。

请选择全部三题，再提交。

依据：课04·例1与矩形水槽；课05·x⁴−6x²拐点例题

六、课堂练习与小结

参考答案与解析（一）

第1—3题答案：B、A、C。

第1题：开区间内可导的条件不满足

f(x)=|x| 在 x=0 处不可导。端点同值与闭区间连续的条件均满足。

第2题：连续两次使用洛必达法则

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac2{e^x}=0$

第3题：二阶导数等于零，不足以确定极值类型

x⁴、−x⁴、x³ 在0处均满足 f′(0)=f″(0)=0，
但分别取得极小值、极大值或无极值，应进一步检查一阶导数的符号。

依据：课01·基本条件；课02·练习2；课03·二阶导数等于零

六、课堂练习与小结

参考答案与解析（二）

第4—6题答案：B、A、C。

第4题：列出候选点并比较函数值

$f(-1)=-3,\quad f(0)=1,\quad f(2)=-3,\quad f(3)=1$

第5题：检查二阶导数变号并求拐点坐标

$f''(x)=12(x-1)(x+1),\quad f(-1)=f(1)=-5$

第6题：由几何约束确定目标函数与定义域

$A=x(60-2x),\quad x>0,\quad60-2x>0$

由 x>0 且 60−2x>0，得变量范围为 0<x<30。

依据：课04·例1“多候选点”、矩形水槽；课05·例5“两个拐点”

六、课堂练习与小结

本章复习小结

明确条件与定义域，运用导数进行分析，写出完整结论。

中值定理

核对连续性、可导性及附加条件，注明 ξ∈(a,b)。

洛必达法则

逐次核对未定式类型及法则条件；幂指型须求回原函数的极限。

单调与极值

由一阶导数的符号判定；驻点不一定是极值点。

最大值与最小值

确定范围，列全候选点，比较原函数值。

凹凸、拐点与图形

由二阶导数判凹凸；拐点须检查连续性并写出坐标。

第29—32页：补充练习与模型回顾 · 第33页：课后复习要点

依据：课01—课05·各课小结｜回顾顺序为本课整理

补充练习

补充练习1：幂指型极限

先求 ln y 的极限，再利用指数函数的连续性求原极限。

$\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$

① 令 y=(cos x)^(1/x²)，取对数后所得极限为 0/0 型。

$\ln y=\frac{\ln\cos x}{x^2}$

$\lim_{x\to0}\ln y=\lim_{x\to0}\frac{-\tan x}{2x}=-\frac12$

$\boxed{\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}=e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e}}$

依据：课02·例5“幂指型1^∞”

补充练习

补充练习2：含不可导点的最值问题

函数在闭区间上连续；求最值时，内部不可导点也应列入候选集合。

$f(x)=|x-1|+\frac x2,\quad x\in[-2,3]$

候选点

−2

函数值

1/2

7/2

候选点为端点 −2、3 和不可导点 1。

最小值 1/2，在 x=1 处取得。
最大值 7/2，在 x=3 处取得。

依据：课04·例2“不可导点”

应用模型回顾

应用模型（一）：纸盒与圆柱罐

复习约束条件、目标函数、变量范围及最优结果。

模型1：长方形纸板制成无盖纸盒

$V=x(30-2x)(20-2x)$

$0<x<10$

$V'=12x^2-200x+600$

$x_0=\frac{25-5\sqrt7}{3}\approx3.92$

最大容积约 1056.3 cm³。

模型2：容积为 500π cm³ 的封闭圆柱罐

$\pi r^2h=500\pi,\quad h=\frac{500}{r^2}$

$S=2\pi r^2+\frac{1000\pi}{r},\quad r>0$

$r=5\sqrt[3]2,\qquad h=2r$

最小表面积：150π∛4 cm²。
用料最少时，高等于底面直径。

依据：课04·开放纸盒完整求解、圆柱罐完整求解

应用模型回顾

应用模型（二）：取梁与楼层成本

利用几何关系建立函数；变量只能取整数时，应检查整数条件。

模型3：圆木取梁（目标量 W）

$b^2+h^2=d^2,\quad0<b<d$

$W(b)=\frac{b(d^2-b^2)}6$

$b=\frac d{\sqrt3},\quad h=d\sqrt{\frac23}$

最优比例：h:b=√2:1。

模型4：楼层成本（n 为正整数）

$C(n)=2400+12n+\frac{4800}n$

$C'(n)=12-\frac{4800}{n^2}$

$n=20,\quad C(20)=2880$

函数先减后增，本题驻点为正整数。
若驻点不是整数，须比较相邻可行整数。

依据：课04·圆木取梁完整求解、楼层成本完整求解

课后复习

课后复习要点与术语说明

根据课堂练习情况，复习相应知识点及原课例题。

课次

复习主题

重点内容

课01

微分中值定理

定理条件、ξ 的范围、比值形式

课02

洛必达法则

法则条件、未定式转化、幂指型

课03

函数单调性与极值

一阶导数判号、二阶判定条件

课04

函数最值与应用

候选点、定义域、应用模型

课05

凹凸性、拐点与图形描绘

凹凸区间、连续性、拐点坐标

术语说明

本课沿用原课术语：f″>0 为凹，f″<0 为凸。
极值点用横坐标 x₀ 表示；极值为 f(x₀)；曲线上对应点的坐标为 (x₀,f(x₀))。

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