第四章导数的应用 课 06
导数的应用
总复习
图 0 第四章知识结构点击节点
—
—
- 条件
- —
- 易错
- —
- 出处
- —
§1概念辨析
概念辨析
1
驻点一定是极值点。
✗ 错
\(x^3\) 在 \(0\) 处 \(f'=0\)，两侧同号。
2
极值点一定是驻点。
✗ 错
\(|x|\) 在 \(0\) 处取极小，但不可导。
3
闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
✓ 对
最值定理。
4
若 \(f''(x_0)=0\)，则 \((x_0,f(x_0))\) 是拐点。
✗ 错
\(x^4\) 在 \(0\) 处 \(f''=0\)，但不变号。
5
区间内 \(f''\gt0\)，则 \(f\) 在该区间单调增加。
✗ 错
\(f''\gt0\) 只说明 \(f'\) 增加。\(x^2\) 在 \((-1,0)\) 上凹却递减。
6
若 \(\lim\dfrac{f'}{g'}\) 不存在，则 \(\lim\dfrac fg\) 不存在。
✗ 错
\(\dfrac{x+\sin x}{x}\to1\)，而 \(1+\cos x\) 无极限。
7
罗尔定理的条件缺一个，结论一定不成立。
✗ 错
条件只是充分的；缺条件时结论“不一定”成立。
8
极大值一定大于极小值。
✗ 错
极值是局部比较，极小值可能比另一处的极大值还大。
9
连续函数在区间内只有一个极值点且为极小，则该点是最小值点。
✓ 对
唯一极值点原理，区间类型不限。
10
拉格朗日中值定理中的 \(\xi\) 可以取在端点 \(a\) 或 \(b\)。
✗ 错
\(\xi\in(a,b)\)，开区间，不含端点。
§2中值定理
中值定理
罗尔定理找水平切线，拉格朗日定理找平行于割线的切线，柯西定理比较两个函数的导数。
| 定理 | 附加条件 | 结论（\(\xi\in(a,b)\)） |
|---|---|---|
| 罗尔 | \(f(a)=f(b)\) | \(f'(\xi)=0\) |
| 拉格朗日 | — | \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\) |
| 柯西 | \(g'(x)\ne0\) | \(\dfrac{\Delta f}{\Delta g}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\) |
共同条件：\([a,b]\) 上连续，\((a,b)\) 内可导。
例 1
求 \(f(x)=x^2+x\) 在 \([0,2]\) 上满足拉格朗日定理的 \(\xi\)。
割线斜率
\(k=\dfrac{6-0}{2}=3\)。
求 \(\xi\)
\(2\xi+1=3\)，\(\xi=1\)。
例 2
验证 \(f(x)=x^3-x\) 在 \([-1,1]\) 上满足罗尔定理，求 \(\xi\)。
条件
多项式连续可导，\(f(-1)=f(1)=0\)。
求 \(\xi\)
\(3\xi^2-1=0\)，\(\xi=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\)，两个都在 \((-1,1)\) 内。
§2极限计算
极限计算
先判断类型，能约分、能等价替换的先做，再用洛必达法则。
A\(\frac00\)
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{1-\cos x}\)
方法
分子 \(\sim\frac{x^2}2\)，分母 \(\sim\frac{x^2}2\)（等价无穷小）
答案
\(1\)
B\(\infty-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to0}\Big(\dfrac1{\ln(1+x)}-\dfrac1x\Big)\)
通分
\(\dfrac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)}\)，分母 \(\sim x^2\)，分子 \(\sim\frac{x^2}2\)
答案
\(\dfrac12\)
C\(0\cdot\infty\)
\(\lim\limits_{x\to+\infty}x\Big(\dfrac\pi2-\arctan x\Big)\)
化商求导
\(\lim\dfrac{\frac\pi2-\arctan x}{1/x}=\lim\dfrac{-\frac1{1+x^2}}{-\frac1{x^2}}\)
答案
\(1\)
D\(1^\infty\)
\(\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac2{\sin x}}\)
捷径
\(e^{\lim\frac{2}{\sin x}\cdot3x}\)
答案
\(e^6\)
E\(\frac00\)
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\arctan x}{x^3}\)
求导
\(\lim\dfrac{1-\frac1{1+x^2}}{3x^2}=\lim\dfrac{1}{3(1+x^2)}\)
答案
\(\dfrac13\)
F\(\frac{\infty}{\infty}\)
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^2x}{x}\)
两次
\(\lim\dfrac{2\ln x/x}{1}=\lim\dfrac{2\ln x}{x}=\lim\dfrac2x\)
答案
\(0\)
§3函数性态
判定条件一览
一阶导数管升降和极值，二阶导数管弯曲和拐点。
| 要判断 | 一句话 | 看什么 | 结论 | 失效 / 注意 |
|---|---|---|---|---|
| 单调性 | 导数为正函数上升，为负函数下降。 | 区间内 \(f'\) 的符号 | \(f'\gt0\) 增，\(f'\lt0\) 减 | 个别点 \(f'=0\) 不影响；不能跨越断点合并区间 |
| 极值（必要） | 可导的极值点处切线水平，反之不一定。 | \(f'(x_0)=0\) 或不存在 | 得到候选点 | 只是候选，必须再判定 |
| 极值（一阶） | 导数由正变负是极大，由负变正是极小。 | \(f'\) 在 \(x_0\) 两侧的符号 | \(+\to-\) 极大，\(-\to+\) 极小 | 要求 \(f\) 在 \(x_0\) 连续 |
| 极值（二阶） | 驻点处开口向下是极大，开口向上是极小。 | 驻点处 \(f''(x_0)\) | \(\lt0\) 极大，\(\gt0\) 极小 | \(f''(x_0)=0\) 时失效，回到一阶法 |
| 最值 | 最值只在端点、驻点、不可导点中产生。 | 端点、驻点、不可导点的函数值 | 最大者为最大值 | 非闭区间要看边界趋势；唯一极值点原理 |
| 凹凸性 | 二阶导数为正曲线凹，为负曲线凸。 | 区间内 \(f''\) 的符号 | \(f''\gt0\) 凹，\(f''\lt0\) 凸 | 与单调性互相独立 |
| 拐点 | 凹凸性改变的点是拐点。 | \(f''=0\) 或不存在的点两侧 | 连续且变号 ⇒ 拐点 \((x_0,f(x_0))\) | 写坐标；断点不是拐点 |
| 渐近线 | 曲线伸向远处时贴近的直线。 | 断点处的极限；\(k=\lim\frac fx\)，\(b=\lim(f-kx)\) | 铅直、水平、斜 | 两侧分别求 |
§3综合例题
例 3 \(f(x)=3x^4-4x^3\) 的单调、极值、凹凸、拐点
\(x=0\) 处导数为零但不变号，不是极值点；二阶导数变号，是拐点。
一阶导数
\(f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)\)，驻点 \(x=0\)（二重）、\(x=1\)。
单调与极值
\(x\lt1\)（\(x\ne0\)）时 \(f'\lt0\)，\(x\gt1\) 时 \(f'\gt0\)：\((-\infty,1]\) 减，\([1,+\infty)\) 增。\(x=0\) 两侧同负，不是极值点；极小值 \(f(1)=-1\)。
二阶导数
\(f''(x)=36x^2-24x=12x(3x-2)\)，零点 \(x=0,\ \frac23\)。
凹凸与拐点
\(f''\)：\(+,-,+\)。凹 \((-\infty,0]\)、\(\left[\frac23,+\infty\right)\)；凸 \(\left[0,\frac23\right]\)。拐点 \((0,0)\)、\(\left(\frac23,-\frac{16}{27}\right)\)。
注意 \(x=0\)
\(f'(0)=f''(0)=0\)：二阶法失效；一阶法判断它不是极值点。它是拐点。
| \(x\) | \((-\infty,0)\) | \(0\) | \(\left(0,\frac23\right)\) | \(\frac23\) | \(\left(\frac23,1\right)\) | \(1\) | \((1,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'\) | − | 0 | − | − | − | 0 | ＋ |
| \(f''\) | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | ＋ | ＋ |
| \(f\) | ↘ 凹 | 拐点 0 | ↘ 凸 | 拐点 | ↘ 凹 | 极小 −1 | ↗ 凹 |
\(f\)\(f'/6\)\(f''/12\)
§3综合例题
例 3（续） 不同区间上的最值
区间一变，候选点和最值都会变；不是极值点的驻点也要参加比较。
图 1 候选点与函数值
\([-1,2]\)
候选 \(-1,0,1,2\)：值 \(7,0,-1,16\)。最大 \(16\)（\(x=2\)），最小 \(-1\)（\(x=1\)）。
\([-1,1]\)
候选 \(-1,0,1\)：值 \(7,0,-1\)。最大 \(7\)（\(x=-1\)），最小 \(-1\)（\(x=1\)）。
\([0,2]\)
候选 \(0,1,2\)：值 \(0,-1,16\)。最大 \(16\)（\(x=2\)），最小 \(-1\)（\(x=1\)）。
\([-0.5,0.5]\)
候选 \(-0.5,0,0.5\)：值 \(\frac{11}{16},0,-\frac5{16}\)。最大 \(\frac{11}{16}\)（\(x=-0.5\)），最小 \(-\frac5{16}\)（\(x=0.5\)）。
\(\mathbb R\)
唯一极值点 \(x=1\) 为极小 ⇒ 最小值 \(-1\)；\(x\to\pm\infty\) 时 \(f\to+\infty\)，无最大值。
—
注意驻点 \(x=0\) 不是极值点，但仍是候选点，要参加比较。
§4最优化建模
例 4 利润最大
利润最大时，多生产一单位带来的收入，恰好等于多付出的成本。
图 2 上：\(R\) 与 \(C\)，两者之差为利润；下：利润 \(L(q)\)
收益 \(R(q)=60q-q^2\)，成本 \(C(q)=\dfrac{q^3}{30}-q^2+20q+100\)（千元，\(q\)：百件）。产量多少时利润最大？
边际收益 \(R'(q)\)—
边际成本 \(C'(q)\)—
利润 \(L(q)\)—
利润函数
\(L(q)=R(q)-C(q)=-\dfrac{q^3}{30}+40q-100\)，\(q\ge0\)。
驻点
\(L'(q)=R'(q)-C'(q)=40-\dfrac{q^2}{10}=0\Rightarrow q=20\)。即 \(R'(20)=C'(20)=20\)：边际收益 ＝ 边际成本。
判定
\(L''(q)=-\dfrac{q}{5}\lt0\)：唯一极大值点，即最大值点。
答
产量 \(20\) 百件时利润最大，\(L(20)=\dfrac{1300}{3}\approx433.3\) 千元。此时 \(R\)、\(C\) 的切线平行。
§5综合测试
综合测试
1选择
在 \([-1,1]\) 上满足罗尔定理条件的是（ ）
A. \(|x|\) B. \(x^2\) C. \(\frac1x\) D. \(x^3\)
A. \(|x|\) B. \(x^2\) C. \(\frac1x\) D. \(x^3\)
B
A 不可导；C 不连续；D 两端不等高。
2选择
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\)（ ）
A. 0 B. \(\frac16\) C. \(\frac13\) D. 1
A. 0 B. \(\frac16\) C. \(\frac13\) D. 1
B
\(x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}\)。
3选择
\(y=x^3-3x^2+1\) 的拐点是（ ）
A. \((0,1)\) B. \((1,-1)\) C. \((2,-3)\) D. \((1,0)\)
A. \((0,1)\) B. \((1,-1)\) C. \((2,-3)\) D. \((1,0)\)
B
\(y''=6x-6\) 在 \(x=1\) 处变号，\(y(1)=-1\)。
4选择
\(y=\dfrac{x+1}{x-2}\) 的渐近线是（ ）
A. 仅 \(x=2\) B. 仅 \(y=1\) C. \(x=2\) 与 \(y=1\) D. 无
A. 仅 \(x=2\) B. 仅 \(y=1\) C. \(x=2\) 与 \(y=1\) D. 无
C
\(x\to2\) 时 \(y\to\infty\)；\(x\to\infty\) 时 \(y\to1\)。
5极限
\(\lim\limits_{x\to0}\Big(\dfrac1{x^2}-\dfrac1{x\tan x}\Big)\)
通分
\(\dfrac{\tan x-x}{x^2\tan x}\)，分母 \(\sim x^3\)
答案
\(\tan x-x\sim\frac{x^3}3\)，极限 \(\frac13\)
6最值
求 \(f(x)=x+2\cos x\) 在 \(\left[0,\frac\pi2\right]\) 上的最大值。
驻点
\(f'=1-2\sin x=0\Rightarrow x=\frac\pi6\)
比较
\(f(0)=2\)，\(f(\frac\pi6)=\frac\pi6+\sqrt3\approx2.256\)，\(f(\frac\pi2)=\frac\pi2\)：最大值 \(\frac\pi6+\sqrt3\)
7最值
求 \(f(x)=x^3-3x\) 在 \([0,2]\) 上的最值。
候选点
\(f'=3x^2-3=0\Rightarrow x=1\)；候选 \(0,1,2\)
比较
\(f(0)=0\)，\(f(1)=-2\)，\(f(2)=2\)：最大 \(2\)，最小 \(-2\)
8综合
求 \(y=xe^{-x}\) 的极值、拐点与渐近线。
极值
\(y'=(1-x)e^{-x}\)：极大值 \(y(1)=\frac1e\)
拐点
\(y''=(x-2)e^{-x}\)：拐点 \(\left(2,\frac2{e^2}\right)\)
渐近线
\(x\to+\infty\) 时 \(y\to0\)：水平渐近线 \(y=0\)
§5本章小结
小结
按课次复习
| 课 01 | 中值定理：条件、求 \(\xi\)、\(\xi\in(a,b)\) |
|---|---|
| 课 02 | 洛必达：判型、三个条件、七种转化、失效情形、配合等价替换 |
| 课 03 | 单调与极值：列表判号、候选点两类、两个充分条件 |
| 课 04 | 最值：三类候选点、唯一极值点原理、建模六步、整数检验 |
| 课 05 | 凹凸、拐点、渐近线、描图六步 |
易错清单
- 用中值定理前没有核对条件（连续、可导、端点等值、\(g'\ne0\)）。
- 洛必达前没判型；把“法则失效”当成“极限不存在”；幂指型忘记取指数。
- 在代数和中做等价无穷小替换。
- 把驻点当极值点，漏掉不可导点；单调区间用 \(\cup\) 合并。
- \(f''(x_0)=0\) 就判为拐点，或据此断言“无极值”。
- 求最值漏了端点，比较了导数值，开区间上默认最值存在。
- 拐点只写横坐标；极值只写点不写值。
- 应用题定义域不写，答案不回到实际量与单位。