看右图：上面一条弯曲的线 $y=f(x)$，下面是 $x$ 轴，左右两条竖直线 $x=a$ 和 $x=b$ 围起来，构成了一个曲边梯形。
矩形面积 = 长 × 宽，但这里"高"一直在变，没法直接乘。怎么办？
汽车速度 $v(t)$ 不断变化。匀速时路程 = 速度 × 时间，但速度变了就不能直接乘了。
两个问题本质一样：变量在连续变化，怎么求总量？
把区间切成很多小段，每一小段上变量几乎不变，可以当常量算。全部加起来，再取极限。
分割 → 近似 → 求和 → 取极限
把 $[a,b]$ 切成 $n$ 份，每一份上画一个矩形，高度取该段右端点的函数值。所有矩形面积加起来，就近似于曲线下面积。
矩形很宽，和曲线差距大，误差明显。
矩形变窄，阶梯轮廓贴近曲线，误差大幅缩小。
矩形宽度趋于零，阶梯变成了曲线本身。矩形面积之和的极限 = 精确面积！
把 $[a,b]$ 切成 $n$ 小段，第 $i$ 段宽度记作 $\Delta x_i$。
每小段取一个点 $\xi_i$，用 $f(\xi_i)$ 当矩形高度：
把所有矩形面积加起来：
让最大宽度 $\lambda \to 0$，极限就是精确面积：
不管你怎么切、怎么取点，只要最大宽度 $\lambda \to 0$，黎曼和都趋向同一个值，那这个值就叫 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分：
其中 $a$、$b$ 是上下限，$f(x)$ 是被积函数。结果是一个确定的数，跟用什么字母无关（$x$、$t$、$u$ 都一样）。
$f(x) \ge 0$ 时，积分值 = 面积，是正数。
$f(x) \le 0$ 时，积分值 = 面积取负号。
上方算正，下方算负，最终结果是代数和。
例如右图：$\int = A_1 - A_2 + A_3$
用定义计算定积分 $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$。
$[0,1]$ 等分 $n$ 份，取右端点：
应用数列求和公式 $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，代入化简：
常数可以提到外面，加减运算可以拆开：
中间插一刀，左右分别积分再相加：
遇到分段函数或带有绝对值的函数，就在"拐点"处切一刀进行拆分。
起点和终点重合，区间长度为 0，没有任何横向累积过程。
同一片区域不变，累计方向反过来，积分符号随之变号。
长度为零则积分为零；方向反转则符号反转。
这两条不是计算技巧，而是定积分符号系统的基本约定。
拖动滑块改变公共端点，观察“起点”和“终点”始终重合，蓝色累计区域宽度保持为 0。
切换累计方向，观察阴影区域不变，箭头方向和结果符号同步改变。
谁大积分就大：若 $f \le g$，则 $\int f \le \int g$。
设 $m$、$M$ 分别是函数的最小值和最大值，则积分被"夹"在中间：
如果 $f$ 在区间内连续，必定存在一点 $\xi$，使得：
直观理解：总能找到一个"刚好合适的高度"，画一个矩形，其面积和曲线下的总面积完全相等。
优先观察被积函数是奇函数还是偶函数。
因为正负面积完全对消，左右抵消。
因为左右面积对称且同号。
多项式或混合函数，可类比实数的符号"同号得正，异号得负"乘法法则：
积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称。因此优先利用奇偶性简化运算，免除长串代数代入。
根据积分的线性性质拆分为两项：
$x^4$ 为偶函数；$x^5$ 为奇函数。
奇函数部分积分为 $0$。
原式 $= \displaystyle 2\int_0^1 x^4\,\mathrm{d}x + 0 = 2\cdot\frac{x^5}{5}\bigg|_0^1 = \mathbf{\frac{2}{5}}$
已知两段定积分的值：
求整体 $\int_{0}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x$ 的值。
已知 $a>0$，利用定积分的几何意义计算：
$y=\sqrt{a^2-x^2}$ 可以转换为 $x^2+y^2=a^2$（要求 $y \ge 0$），这是半径为 $a$ 的上半圆。
积分区间 $[-a,a]$ 刚好覆盖了整个上半圆。
$y=|x-1|$ 是一个 V 形折线，最低转折点在 $x=1$。
它与 $x$ 轴围成了两个三角形：
比较 $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ 和 $\int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x$ 的大小？
在 $(0,1)$ 范围内，$0 由于蓝色的 $x^2$ 曲线始终在红色的 $x^3$ 曲线之上，因此蓝线包围的面积必然更大。
已知条件 $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}$，请计算：
$x^5$ 属于奇函数 → 根据性质，在对称区间 $[-1,1]$ 上的积分为 0。
$3x^2$ 属于偶函数 → 根据性质，可以折半计算：$2\times 3\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$。
$y=2-x$ 是一条从坐标点 $(0,2)$ 到 $(2,0)$ 的直线。
它和 $x$ 轴恰好围成了一个直角三角形。其几何参数为：底边长 = 2，高度 = 2。
估计以下积分的数值范围：
$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 在闭区间 $[0,2]$ 上呈现递减状态。
最大值 $M=f(0)=1$，最小值 $m=f(2)=\frac{1}{5}$。积分区间的长度为 2。
将上述参数代入估值公式 $m(b-a) \le \int \le M(b-a)$ 即可得出边界。
分割 → 近似 → 求和 → 取极限
积分运算的最终结果是一个确定的实数，与积分变量选择的字母符号无关。凡连续函数必定可积。
位于 $x$ 轴上方的面积算作正值，位于下方的面积算作负值。
定积分的本质 = 面积的代数和