定积分的分部积分法

突破定积分计算瓶颈的终极武器与解题策略

01 痛点

定积分计算的局限性

在我们面对特定的定积分时，比如含有对数函数与多项式相乘的情况，现有的工具显得捉襟见肘：

$\displaystyle \int_1^e x \cdot \ln x\,\mathrm{d}x$

换元法失效 ❌

不存在复合结构，无法提取内层导数凑出 $\mathrm{d}u$。
若强行设 $t = \ln x$，过程会愈发繁琐。

结论：面对两类截然不同的函数相乘，我们必须沿用“分部积分”的降维打击思想，并将其推广至定积分领域。

02 公式

定积分的分部积分公式

回顾不定积分的分部积分公式：

$\displaystyle \int u\,\mathrm{d}v = u \cdot v - \int v\,\mathrm{d}u$

当引入积分上下限 $a$ 和 $b$ 时，等式两边同时作用于该区间：

$\displaystyle\int_a^b u\,\mathrm{d}v = \Big(u \cdot v\Big)\bigg|_a^b - \int_a^b v\,\mathrm{d}u$

$\displaystyle\int_{\textcolor{gray}{a}}^{\textcolor{gray}{b}}$

$u$

$\mathrm{d}\Big($

$v$

$\Big) \;\;=\;\; \Bigg($

$u$

$\cdot$

$v$

$\Bigg)\bigg|_{\textcolor{gray}{a}}^{\textcolor{gray}{b}}$ $\;\;-\;\;\displaystyle\int_{\textcolor{gray}{a}}^{\textcolor{gray}{b}}$

$v$

$\mathrm{d}\Big($

$u$

$\Big)$

03 核心

定积分分部：前后相乘减互换（带边界）

在定积分中，函数的拆分逻辑（选元原则）与不定积分完全一致：
前项 $u$：留在外面准备求导降次。
后项 $v$：积分后充当互换的桥梁。

执行定积分分部的三个阶段：

1

凑微分选定前后

将易于积分的部分凑入 $\mathrm{d}$ 内部作为 $v$。

2

计算边界常数值

求出 $\Big(u \cdot v\Big)\Big|_a^b$，这部分将直接化为一个具体的数值。

3

求解互换新积分

求出 $\int_a^b v\,\mathrm{d}u$，注意上下限原封不动保留。

04 策略

黄金法则：反对幂指三

避免越算越复杂的选元优先级顺序：反对幂指三

反三角函数

对数函数

幂函数 ($x^n$)

指数函数

三角函数

← 留作前项 $u$ (通过求导简化) 优先作后项 $v$ 塞入 $\mathrm{d}$ 内部 →

定积分专属易错警示：

很多同学在计算 $\Big(u \cdot v\Big)\Big|_a^b$ 时，容易犯以下错误：
• 忘记代入下限，直接写成 $u(b)v(b)$。
• 符号弄错：正确算法必须是严格的 $\Big[u(b)v(b)\Big] - \Big[u(a)v(a)\Big]$。

05 题型一

题型一：单一对数函数的“配一法”

【例 1】计算定积分 $\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x$

策略：将被积函数视作 $\ln x \cdot 1$。利用“配一法”将其转化为乘积形式。

凑微分：将 1 放入 $\mathrm{d}$ 内部

$\displaystyle\int_1^e \textcolor{#E11D48}{\ln x} \cdot 1 \,\mathrm{d}x = \int_1^e \textcolor{#E11D48}{\ln x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{x})$

套用公式：前后相乘减互换

$= \Big(\textcolor{#E11D48}{\ln x} \cdot \textcolor{#2563EB}{x}\Big)\bigg|_1^e - \displaystyle\int_1^e \textcolor{#2563EB}{x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\ln x})$

分别计算常数项与新积分：

边界项：$(e \ln e) - (1 \ln 1) = e - 0 = e$
新积分：$\displaystyle\int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int_1^e 1\,\mathrm{d}x = x\Big|_1^e = e - 1$

最终结果 $= e - (e - 1) = 1$

06 题型二

题型二：多项式与对数函数的组合

【例 2】计算定积分 $\displaystyle\int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x$

依据“反对幂指三”，对数函数优先作 $u$，多项式作 $v$ 凑入微分。

凑入微分：

$\displaystyle \int_1^e \textcolor{#E11D48}{\ln x} \cdot x \,\mathrm{d}x = \int_1^e \textcolor{#E11D48}{\ln x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\frac{1}{2}x^2})$

分部积分展开：

$= \Big(\textcolor{#E11D48}{\ln x} \cdot \textcolor{#2563EB}{\frac{1}{2}x^2}\Big)\bigg|_1^e - \int_1^e \textcolor{#2563EB}{\frac{1}{2}x^2} \,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\ln x})$

$= \Big(\frac{1}{2}e^2 \ln e - \frac{1}{2}1^2 \ln 1\Big) - \int_1^e \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x$

最终化简：

$= \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}\int_1^e x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2}x^2\Big)\bigg|_1^e$

$= \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}(e^2 - 1) = \frac{e^2 + 1}{4}$

07 题型三

题型三：多项式与三角函数（降次求导）

【例 3】计算定积分 $\displaystyle\int_0^\pi x \cos 3x\,\mathrm{d}x$

选元方案

“反对幂指三”，幂函数 $x$ 作 $u$。

$\textcolor{#E11D48}{u = x}$

三角函数作 $\mathrm{d}v$。

$\mathrm{d}v = \cos 3x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\frac{1}{3}\sin 3x)$

代入公式

$\Big(\textcolor{#E11D48}{x} \cdot \textcolor{#2563EB}{\frac{1}{3}\sin 3x}\Big)\bigg|_0^\pi - \int_0^\pi \textcolor{#2563EB}{\frac{1}{3}\sin 3x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{x})$

计算边界项：

$(\frac{\pi}{3}\sin 3\pi) - 0 = 0$

剩余新积分： $- \displaystyle\int_0^\pi \frac{1}{3}\sin 3x\,\mathrm{d}x = \Big(\frac{1}{9}\cos 3x\Big)\bigg|_0^\pi = \frac{1}{9}(-1 - 1) = -\frac{2}{9}$

08 综合

题型四：先换元，再分部

【例 4】计算定积分 $\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$

策略：指数内部包含根号，直接分部行不通。遇到根式，首选换元法消除根号。

第一步：换元法

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$。
换元必换限：当 $x=0$ 时 $t=0$；当 $x=1$ 时 $t=1$。

原积分转化为： $\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^t \cdot 2t\,\mathrm{d}t = 2\int_0^1 t \mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$

第二步：对新积分应用分部积分

$\displaystyle 2\int_0^1 \textcolor{#E11D48}{t}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^t}) = 2\Bigg[\Big(\textcolor{#E11D48}{t}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^t}\Big)\bigg|_0^1 - \int_0^1 \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{t})\Bigg]$

计算结果：

$= 2 \Big[ (1\cdot e^1 - 0) - \mathrm{e}^t\Big|_0^1 \Big] $

$= 2 \Big[ e - (e - 1) \Big] = 2$

09 考核

随堂快练：准确选元与定限

对于定积分的分部积分，第一步至关重要。请迅速判定该如何拆分：

$\displaystyle\int_0^1 x \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x})}$
幂函数遇指数，指数入微分。注意 $\frac{1}{2}$ 系数。

$\displaystyle\int_1^2 \log_2 x\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{\log_2 x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{1\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(x)}$
孤立对数函数，直接使用“配一法”。

$\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2 \sin x\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{x^2}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{\sin x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(-\cos x)}$
多项式降次，需连续两次分部积分。

$\displaystyle\int_0^1 \arctan x\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{\arctan x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{1\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(x)}$
反三角函数优先作 $u$。后结合第一换元法积分。

定积分分部积分精要总结

梳理核心思路，规避计算陷阱

🎯 1. 唯一核心公式

$\displaystyle \int_a^b \textcolor{#E11D48}{u}\,\mathrm{d}\textcolor{#2563EB}{v} = \Big(\textcolor{#E11D48}{u}\textcolor{#2563EB}{v}\Big)\bigg|_a^b - \int_a^b \textcolor{#2563EB}{v}\,\mathrm{d}\textcolor{#E11D48}{u}$

🔑 2. 选元法则与操作步骤

• 选元口诀：反对幂指三，前者作 $u$，后者作 $\mathrm{d}v$。
• 代入边界：务必分别代入上限与下限求差，这是定积分与不定积分唯一的实操区别。

🚀 3. 实战流派总结

① 消灭多项式：遇到多项式乘三角/指数，以多项式为 $u$ 降次剥离。
② 强制配一法：仅有反三角/对数，直接乘以 1 凑微分。
③ 综合换元法：出现复杂根号等结构，首选换元处理，化简后再执行分部。