定积分的几何应用

标准推导步骤：

跨越 $x$ 轴的图形：

当函数 $y = f(x)$ 的图象位于 $x$ 轴下方时（即 $f(x) < 0$），积分 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 的结果将是负数。

直接在整个区间积分会导致正负面积抵消！

正确的处理方式：

计算面积时，应对方程加绝对值，或根据交点分段积分。

令 $\sin x = 0$，在 $[0, 2\pi]$ 内解得 $x = 0, \pi, 2\pi$。

故图形被 $x = \pi$ 划分为两段区域。

在 $(0, \pi)$ 内，$\sin x > 0$，直接积分。

在 $(\pi, 2\pi)$ 内，$\sin x < 0$，积分为负，需加负号纠正。

$A = \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin x \ \mathrm{d}x + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \ \mathrm{d}x$

联立方程组：$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x^2 \end{cases}$

解得交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。因此积分区间为 $x \in [0, 1]$。

在开区间 $(0,1)$ 内，恒有 $\sqrt{x} > x^2$。

故上界函数为 $f(x) = \sqrt{x}$，下界函数为 $g(x) = x^2$。

$A = \displaystyle \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \ \mathrm{d}x$

两指数函数的自然交点：$e^x = e^{-x} \Rightarrow x = 0$。

结合右侧边界线 $x = 1$，得出积分区间为 $x \in [0, 1]$。

在 $(0, 1]$ 区间内，指数增长函数 $e^x > 1$，指数衰减函数 $e^{-x} < 1$。

因此上界为 $y = e^x$，下界为 $y = e^{-x}$。

$A = \displaystyle \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \ \mathrm{d}x$

分析案例：$y^2 = x$ 与 $y = x - 2$ 围成的面积。

若沿 $x$ 轴积分，在 $x=1$ 处下边界从抛物线变为直线，必须拆分为两个积分式！

视角转换（横向微元）：

将函数转化为 $x$ 关于 $y$ 的表达式。提取宽度为 $\mathrm{d}y$ 的横向微元。

此时，右侧边界始终为直线 $x = y + 2$，左侧边界始终为抛物线 $x = y^2$。统一为一个积分，无需分段。

将直线变形为 $x = y + 4$，代入抛物线得 $y^2 = 2(y + 4)$。

化简得 $y^2 - 2y - 8 = 0$，解得 $y = -2$ 和 $y = 4$。即 $y \in [-2, 4]$。

右侧边界（$x$ 较大）为直线，$\varphi(y) = y + 4$。

左侧边界（$x$ 较小）为抛物线，$\psi(y) = \frac{1}{2}y^2$。

$A = \displaystyle \int_{-2}^{4} \left( (y + 4) - \frac{1}{2}y^2 \right) \ \mathrm{d}y$

体积微元构造：

令 $y = 0$，解得 $1 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$。

积分区间为 $x \in [-1, 1]$。

根据圆盘法公式，旋转半径 $R = 1 - x^2$。

$V = \displaystyle \int_{-1}^{1} \pi (1 - x^2)^2 \ \mathrm{d}x$

圆环微元构造：

联立方程组：$x = x^2 \Rightarrow x(1 - x) = 0$。

解得交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。积分区间为 $x \in [0, 1]$。

在开区间 $(0,1)$ 内，$x > x^2$。

外侧旋转面（外径）由直线生成，$R = x$。

内侧挖空面（内径）由抛物线生成，$r = x^2$。

$V = \displaystyle \int_{0}^{1} \pi \big( x^2 - (x^2)^2 \big) \ \mathrm{d}x = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \ \mathrm{d}x$