第1步：整体代入。 把上限 $x^2$ 直接塞到被积函数的 $t$ 的位置里：$\displaystyle f(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{x^2}$。

第2步：上限单独求导。 把上限函数求个导数准备好：$\displaystyle (x^2)' = 2x$。

第3步：组合相乘。 把刚才两步的结果乘起来，这就是完整的导数：
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{x^2}\frac{\ln t}{t}\,\mathrm{d}t = \frac{\ln(x^2)}{x^2} \cdot 2x$。

第4步：约分化简。 分子分母都有 $x$，约掉一个，就变成了 $\displaystyle \frac{2\ln(x^2)}{x}$。

第1步：找变号零点。 让绝对值里面的式子等于零，即 $\displaystyle x^2-1 = 0$，得到 $\displaystyle x = \pm 1$。
我们的积分范围是 $[0,2]$，落在里面的有效分界点只有 $\displaystyle x = 1$。

第2步：判断分段符号。 以 $1$ 为界砍开：
在前半段 $[0,1]$ 里，$x^2-1$ 是负数，所以扒掉绝对值要加个负号变成 $\displaystyle 1-x^2$；
在后半段 $[1,2]$ 里，$x^2-1$ 是正数，扒掉绝对值不变，还是 $\displaystyle x^2-1$。

第3步：拆解积分式。 把原来的长积分拆成两个短的：
$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1|\,\mathrm{d}x = \int_0^1(1-x^2)\,\mathrm{d}x + \int_1^2(x^2-1)\,\mathrm{d}x$。

第4步：算第一段。 $\displaystyle \int_0^1(1-x^2)\,\mathrm{d}x = \left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

第5步：算第二段。 $\displaystyle \int_1^2(x^2-1)\,\mathrm{d}x = \left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_1^2 = \left(\frac{8}{3}-2\right) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = \frac{4}{3}$。

第1步：在分界点切开区间。 题目给的分界点是 $\displaystyle x=1$，所以我们要把 $[0,2]$ 拆成 $[0,1]$ 和 $[1,2]$。
$\displaystyle \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x$。

第2步：代入各自的表达式。
$[0,1]$ 适用上一段，函数是 $2-x^2$；$[1,2]$ 适用下一段，函数是 $x$。所以：
$\displaystyle \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1(2-x^2)\,\mathrm{d}x + \int_1^2 x\,\mathrm{d}x$。

第3步：算左半块。 $\displaystyle \int_0^1(2-x^2)\,\mathrm{d}x = \left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$。

第4步：算右半块。 $\displaystyle \int_1^2 x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\Big|_1^2 = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。

第5步：求和汇总。 把两块加起来：$\displaystyle \frac{5}{3} + \frac{3}{2}$。通分一下，分母变成 6。

第1步：设新变量。 我们设 $\displaystyle u = \cos x$。

第2步：凑出微分。 两边求导，$\displaystyle \mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$，也就是说后面那一串 $\displaystyle \sin x\,\mathrm{d}x$ 可以换成 $\displaystyle -\mathrm{d}u$。

第3步：核心动作——换上下限！
原来 $x$ 的下限是 $0$，代入 $u=\cos 0$，算出新下限 $\displaystyle u=1$；
原来 $x$ 的上限是 $\frac{\pi}{2}$，代入 $u=\cos \frac{\pi}{2}$，算出新上限 $\displaystyle u=0$。

第4步：写出新积分。 把所有东西替换进原式：
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 x\sin x\,\mathrm{d}x = \int_1^0 u^3(-\mathrm{d}u)$。

第5步：顺手调个头。 负号可以让积分的上下限颠倒回来，看起来更顺眼：$\displaystyle \int_1^0 -u^3\,\mathrm{d}u = \int_0^1 u^3\,\mathrm{d}u$。

第6步：纯净版计算。 对 $u^3$ 积分：$\displaystyle \frac{u^4}{4}\Big|_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$。

第1步：实施换元。 设 $\displaystyle x=\sin t$，接着把后面的小尾巴也求出来：$\displaystyle \mathrm{d}x=\cos t\,\mathrm{d}t$。

第2步：破掉根号。 $\displaystyle \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{\cos^2 t} = |\cos t|$。
别急，后面我们会看到，在算出的区间里 $\cos t$ 总是正的，所以直接等于 $\cos t$ 即可。

第3步：同步更换上下限。
原下限 $x=0$，即 $\sin t = 0$，取 $\displaystyle t=0$；
原上限 $x=1$，即 $\sin t = 1$，取 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$。

第4步：组合出新方程。
$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)\cdot(\cos t\,\mathrm{d}t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\,\mathrm{d}t$。

第5步：降次化简。 遇到 $\cos^2 t$ 就用倍角公式降次：$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2t}{2}\,\mathrm{d}t$。

第6步：最终结算。 $\displaystyle \left(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}$。代入 $\frac{\pi}{2}$ 得到 $\frac{\pi}{4} + 0$，代入 $0$ 都是 $0$。

第1步：选兵点将。 按“反对幂指三”规则，$x$ 是幂函数，$\mathrm{e}^x$ 是指数函数，幂在前，所以选 $\displaystyle u=x$。剩下的 $\displaystyle \mathrm{d}v=\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$。

第2步：各自造化。 $u$ 求导变简单了：$\displaystyle \mathrm{d}u=\mathrm{d}x$；$\mathrm{d}v$ 积分求原样：$\displaystyle v=\mathrm{e}^x$。

第3步：按图索骥。 套进公式的大框架里：
$\displaystyle \int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = x\mathrm{e}^x\Big|_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$。

第4步：先啃硬骨头。 把前面的边界项算掉，省得夜长梦多：
$\displaystyle x\mathrm{e}^x\Big|_0^1 = (1\cdot \mathrm{e}^1) - (0\cdot \mathrm{e}^0) = \mathrm{e} - 0 = \mathrm{e}$。

第5步：再扫尾巴。 算后面的简单积分：
$\displaystyle \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x\Big|_0^1 = \mathrm{e}^1 - \mathrm{e}^0 = \mathrm{e}-1$。

第1步：分配角色。 $x$ 是幂函数当老大 $\displaystyle u=x$；剩下的 $\cos x\,\mathrm{d}x$ 当小弟 $\displaystyle \mathrm{d}v$。

第2步：求偏导与积分。 $u$ 求导 $\displaystyle \mathrm{d}u=\mathrm{d}x$；$\mathrm{d}v$ 积分为 $\displaystyle v=\sin x$。

第3步：排兵布阵。 套公式：
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,\mathrm{d}x = x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,\mathrm{d}x$。

第4步：算边界项。 算算前面脱壳的这一半：
$\displaystyle x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2}\cdot \sin\frac{\pi}{2}) - (0\cdot \sin 0) = \frac{\pi}{2}\cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{2}$。

第5步：算积分项。 对后面的 $\sin x$ 动手：
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,\mathrm{d}x = (-\cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}$。
代入得：$\displaystyle (-\cos\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = -0 - (-1) = 1$。

第1步：拆分战场。 把括号里的加号拆开，变成两个独立的积分：
$\displaystyle \int_{-1}^1 (x^3\cos x + x^2)\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^1 x^3\cos x\,\mathrm{d}x + \int_{-1}^1 x^2\,\mathrm{d}x$。

第2步：判定第一项。 我们来盘一下第一项 $x^3\cos x$：
$x^3$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，奇乘偶得到 奇函数。
根据“奇函数在对称区间积分为0”的铁律，这一大坨吓人的式子直接送它归零！$\displaystyle \int_{-1}^1 x^3\cos x\,\mathrm{d}x = 0$。

第3步：判定第二项。 再看第二项 $x^2$：
这是个标准的 偶函数。根据“偶函数算一半乘2”的规则，它可以写成：$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\,\mathrm{d}x = 2\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$。
这下可舒服多了，因为下限变成了 $0$，代入求值时非常爽。

第4步：收割人头。 现在整个复杂的式子就变成了算：
$\displaystyle 2\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{3} - 0\right)$。

第1步：改造方程模样。 我们用 $x$ 积分，所以函数都要写成 $y = ...$ 的样子。把侧向的 $\displaystyle y^2=x$ 开方取上半支得 $\displaystyle y=\sqrt{x}$；另一个天然就是 $\displaystyle y=x^2$。

第2步：揪出交点定边界。 让两兄弟碰个头：令 $\displaystyle \sqrt{x}=x^2$。两边平方得 $\displaystyle x=x^4$，解出相交点为 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$。战场就锁定在 $[0,1]$。

第3步：谁大谁小分清楚。 在 $[0,1]$ 之间（比如代个 0.25），$\displaystyle \sqrt{x}$ 是 0.5，而 $\displaystyle x^2$ 是 0.0625。所以 $\displaystyle \sqrt{x}$ 稳稳压在上面当“上盖”，$\displaystyle x^2$ 是“下底”。

第4步：排兵布阵写积分。 上减下，开始写大式子：
$\displaystyle A=\int_0^1 (\sqrt{x}-x^2)\,\mathrm{d}x$。

第5步：各回各家找原函数。 分别对两部分找祖宗：
$\displaystyle \int_0^1 (\sqrt{x}-x^2)\,\mathrm{d}x = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1$。

第6步：代数清算。
上限 1 代入得 $\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$，下限 0 代入全是 0，所以就是 $\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{1}{3}$。

第1步：改头换面。 把式子都变成 $x = ...$ 的形式。
抛物线保持 $\displaystyle x=y^2$ 不动；把直线 $\displaystyle y=x-2$ 扭身变成 $\displaystyle x=y+2$。

第2步：锁定交火点。 让它们相等求交点：令 $\displaystyle y^2=y+2$，移过去就是 $\displaystyle y^2-y-2=0$，因式分解 $\displaystyle (y-2)(y+1)=0$。所以 $Y$ 轴上的上下边界就是从 $\displaystyle y=-1$ 爬到 $\displaystyle y=2$。

第3步：辨明左右。 在 $y$ 的区间 $[-1,2]$ 里（比如代个 $y=0$），直线 $x=y+2=2$，抛物线 $x=y^2=0$。直线的值更大，所以直线是“右侧护城河”，抛物线是“左侧城墙”。

第4步：架构积分体系。 右边减去左边，开积：
$\displaystyle A=\int_{-1}^{2}\big[(y+2)-y^2\big]\,\mathrm{d}y$。

第5步：原函数降维打击。 一路找原函数：
$\displaystyle \int (y+2-y^2)\,\mathrm{d}y = \frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}$。

第6步：上下限代入搏杀。
代入 2：$\displaystyle \frac{4}{2}+4-\frac{8}{3} = \frac{10}{3}$。
代入 -1：$\displaystyle \frac{1}{2}-2+\frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$。

第1步：提取核武器 $y^2$。 从椭圆方程里把我们要积分的主体 $y^2$ 解出来：
$\displaystyle y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)$。

第2步：布防战线。 椭圆在 $X$ 轴上的范围是 $[-a,a]$。我们耍个滑头，利用对称性，只取右半边 $x\in[0,a]$，最后结果乘 2 完事。

第3步：搭出大框架。 拼接出定积分：
$\displaystyle V=2\pi\int_0^a y^2\,\mathrm{d}x = 2\pi\int_0^a \frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)\,\mathrm{d}x$。

第4步：减负操作。 把那一坨跟积分变量 $x$ 无关的常数丢到积分号外面去凉快：
$\displaystyle V=\frac{2\pi b^2}{a^2}\int_0^a (a^2-x^2)\,\mathrm{d}x$。

第5步：内部爆破。 对里面的式子求积分，注意 $a^2$ 只是个数字：
$\displaystyle \int_0^a (a^2-x^2)\,\mathrm{d}x = \left(a^2 x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^a = a^3 - \frac{a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}$。

第6步：合二为一。 把外面的常数乘回去：
$\displaystyle V=\frac{2\pi b^2}{a^2}\cdot \frac{2a^3}{3} = \frac{4}{3}\pi ab^2$。

第1步：加保护罩。 把不讲理的无穷积分写成带极限的常规积分：
$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to+\infty}\int_0^b \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$。

第2步：闷头算内层。 暂时忘了极限，就在 $[0,b]$ 里算定积分。背过公式的都知道 $\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ 是 $\arctan x$，所以：
$\displaystyle \int_0^b \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x\Big|_0^b$。

第3步：代入边界。
$\displaystyle \arctan x\Big|_0^b = \arctan b-\arctan 0 = \arctan b$。

第4步：脱掉保护罩测极限。 把搁置的极限捡起来算：
当 $b$ 冲向无穷大时，反正切函数会无限逼近水平渐近线，即 $\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\arctan b=\frac{\pi}{2}$。

第1步：挂上避险极限。
$\displaystyle \int_0^1 \ln x\,\mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^1 \ln x\,\mathrm{d}x$。

第2步：挖出原函数。 $\ln x$ 积分靠分部积分法（背下这个结论极其管用）：
$\displaystyle \int \ln x\,\mathrm{d}x=x\ln x-x$。

第3步：套上小界限。 组装定积分体：
$\displaystyle \int_{\varepsilon}^1 \ln x\,\mathrm{d}x = (x\ln x-x)\Big|_{\varepsilon}^1$。

第4步：实测代入。
$\displaystyle (1\cdot\ln 1-1)-(\varepsilon\ln\varepsilon-\varepsilon) = -1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon$。

第5步：终极清算挑战。 现在要算 $\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0^+}(-1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon)$。
$\varepsilon$ 显然趋于 $0$，唯一的难点是 $\displaystyle \varepsilon\ln\varepsilon$。这是一个 $0 \times (-\infty)$ 的较量。但多项式趋于 $0$ 的力道远大于对数趋于 $\infty$ 的力道（用洛必达法则可证），所以它直接被带跑归 $0$。
最后只剩下光杆司令：$-1$。