第 十 二 章 · 多 元 函 数 的 积 分 学

二重积分的概念与性质

第一节 · 从面积到体积的飞跃
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本节学习路线

1
从定积分到二重积分 — 为什么需要它？
≈10min
2
曲顶柱体的体积 — 二重积分的几何背景
≈15min
3
二重积分的精确定义
≈15min
4
二重积分的六大性质
≈25min
5
典型例题精讲与课堂小结
≈25min
引入

回顾：定积分解决了什么问题？

在一元微积分中，我们学过定积分。它的核心思想是：

把一个复杂的量（如曲边梯形面积）
→ 分割成许多小块
→ 用简单的量近似每一小块
→ 求和所有近似值
→ 取极限得到精确值

定积分 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) 处理的是一个变量在一段区间上的积分，几何上对应平面曲边梯形的面积。

现在问题来了：如果函数有两个变量 \(f(x,y)\)，积分区域从区间变成了平面区域，怎么办？这就是二重积分要解决的问题！
x y O a b y = f(x) 定积分 → 平面面积 S ↓ 升维到三维空间
引入

从一重到二重：维度的提升

一元定积分（已学）

积分区域：区间 \([a,b]\)（一维）

被积函数：\(f(x)\)（一个变量）

积分元素：\(\mathrm{d}x\)（长度微元）

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

几何意义：曲边梯形的面积

二重积分（本节新内容）

积分区域：平面区域 \(D\)（二维）

被积函数：\(f(x,y)\)（两个变量）

积分元素：\(\mathrm{d}\sigma\)（面积微元）

\(\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\)

几何意义：曲顶柱体的体积

核心类比：定积分是在区间上对一元函数积分 → 面积；二重积分是在平面区域上对二元函数积分 → 体积。思想方法完全一致：分割、近似、求和、取极限。
概念

曲顶柱体 — 二重积分的几何模型

想象一个特殊的立体（空间体）\(\Omega\)，它有三个特征：

底 底面
在 \(xOy\) 平面上的有界闭区域 \(D\)
侧 侧面
以 \(D\) 的边界曲线为准线，母线平行于 \(z\) 轴的柱面
顶 顶面
曲面 \(z = f(x,y) \geqslant 0\)
这样的立体称为曲顶柱体。它的"底是平的，侧面是直的，顶是弯的"。二重积分的几何问题就是：如何求它的体积 \(V\)？
y z x O D z = f(x,y) 侧面 顶面 底面 V = ?
方法

求曲顶柱体体积的四步法

与求曲边梯形面积的方法完全类似，我们用"分割、近似、求和、取极限"来求体积 \(V\)：
1 分割
用一组曲线网将区域 \(D\) 分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n\)，对应地将曲顶柱体 \(\Omega\) 分成 \(n\) 个小曲顶柱体。这里 \(\Delta\sigma_i\) 既表示第 \(i\) 个小区域，也表示它的面积。
2 近似
在每个 \(\Delta\sigma_i\) 上任取一点 \((\xi_i, \eta_i)\)，由于 \(f(x,y)\) 连续，在小区域上函数值变化不大。小曲顶柱体可以近似看作小平顶柱体（底面积 \(\Delta\sigma_i\)、高 \(f(\xi_i, \eta_i)\) 的柱体），其体积近似为 \[\Delta V_i \approx f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\]
3 求和
将所有小柱体的近似体积加起来，得到总体积的近似值 \[V \approx \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\]
4 取极限
让分割越来越细（每个小区域的直径趋于0），上面的和式趋于一个确定的极限值，即为体积的精确值 \[V = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\] 其中 \(\lambda = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\{\lambda_i\}\) 是所有小区域直径中的最大者。
可视化

分割过程的直观理解

D (ξᵢ,ηᵢ) Δσᵢ 用曲线网将区域 D 分成许多小区域

左图展示了分割过程：将平面区域 \(D\) 用一组曲线（这里用直线网格简化展示）分成许多小区域。

小区域的直径 \(\lambda_i\)：小区域上任意两点间距离的最大值。通俗地说，就是这个小区域"有多大"。

\(\lambda = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\{\lambda_i\}\) 表示所有小区域中最大的那个直径。

当 \(\lambda \to 0\) 时，意味着每个小区域都缩向一个点，分割越来越细。

你可以这样想象：把一块饼（区域 \(D\)）切成越来越小的碎片，碎片越小，用"碎片面积 × 该处函数值"来近似体积就越精确。
注意区别：定积分分割的是一维区间，微元是 \(\Delta x_i\)（小段长度）；二重积分分割的是二维区域，微元是 \(\Delta\sigma_i\)（小块面积）。
定义

二重积分的严格定义

设 \(f(x,y)\) 是闭区域 \(D\) 上的有界函数，将 \(D\) 分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n\)。其中 \(\Delta\sigma_i\) 既表示第 \(i\) 个小区域，也表示它的面积。\(\lambda_i\) 表示 \(\Delta\sigma_i\) 的直径，\(\lambda = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\{\lambda_i\}\)。在 \(\Delta\sigma_i\) 上任取一点 \((\xi_i, \eta_i)\)，作乘积 \(f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\)，再求和 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\)。 若极限 \(\displaystyle\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\) 存在，则称此极限值为 \(f(x,y)\) 在区域 \(D\) 上的二重积分，记作
\[\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i\]
各符号的名称
\(f(x,y)\) — 被积函数
\(f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\) — 被积表达式
\(\mathrm{d}\sigma\) — 面积元素（微元）
\(x, y\) — 积分变量
\(D\) — 积分区域
存在性条件
当 \(f(x,y)\) 在闭区域 \(D\) 上连续时，二重积分一定存在。我们课程中遇到的函数都满足这个条件，可以放心使用。
在直角坐标系中，面积元素也常写成 \(\mathrm{d}\sigma = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)。
理解

二重积分的几何意义

当 \(f(x,y) \geqslant 0\) 时，\(\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\) 在几何上表示以 \(D\) 为底、以 \(z = f(x,y)\) 为顶的曲顶柱体的体积。

更一般地：

• 若 \(f(x,y) > 0\)，积分值为正，对应 \(xOy\) 面上方的体积
• 若 \(f(x,y) < 0\)，积分值为负，对应 \(xOy\) 面下方体积的负值
• 若 \(f(x,y)\) 有正有负，积分值为上方体积减去下方体积
类比一元情形：定积分 \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) 当 \(f(x) \geqslant 0\) 时表示曲线下方面积，当 \(f(x)\) 变号时表示"上方面积 − 下方面积"。二重积分完全类似，只是从面积升级到了体积。
y z x D V ＋ z = f(x,y) f(x,y) ≥ 0 时 积分 = 体积

二重积分的性质

二重积分与定积分有着相似的性质
掌握这些性质对后续计算至关重要

性质 1

线性性（可拆、可提常数）

1 线性性
设 \(\alpha, \beta\) 为常数，则
\[\iint\limits_{D} [\alpha f(x,y) + \beta g(x,y)]\,\mathrm{d}\sigma = \alpha\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma + \beta\iint\limits_{D} g(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\]

这个性质包含两层含义：

① 常数可提到积分号外面
\(\displaystyle\iint\limits_{D} \alpha f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = \alpha\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\)
例如：\(\displaystyle\iint\limits_{D} 3x^2y\,\mathrm{d}\sigma = 3\iint\limits_{D} x^2y\,\mathrm{d}\sigma\)
② 和（差）的积分 = 积分的和（差）
\(\displaystyle\iint\limits_{D} [f \pm g]\,\mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma \pm \iint\limits_{D} g\,\mathrm{d}\sigma\)
例如：\(\displaystyle\iint\limits_{D} (x+y)\,\mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} x\,\mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{D} y\,\mathrm{d}\sigma\)
与定积分完全类似！你可以理解为：积分就像一个"线性运算"，和加法、数乘都能"穿过"积分号。
性质 2

区域可加性

2 对区域的可加性
若区域 \(D\) 分为两个部分区域 \(D_1\) 和 \(D_2\)（即 \(D = D_1 \cup D_2\)，且 \(D_1, D_2\) 无公共内点），则
\[\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D_1} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{D_2} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\]

这个性质可以推广到多个区域。如果 \(D = D_1 \cup D_2 \cup D_3\)，则积分可以拆成三部分之和。

好比计算一个不规则形状游泳池的水量，可以把它分成几块分别算，再加起来。整体体积 = 各部分体积之和。
实际用途：当积分区域形状复杂时，可以把它拆成几个简单的区域分别积分，这在后续计算二重积分时非常常用！
x y O D₁ D₂ D
性质 3 & 4

面积性质与保号性

3 面积性质
若在 \(D\) 上 \(f(x,y) \equiv 1\)，\(\sigma\) 为区域 \(D\) 的面积，则 \[\iint\limits_{D} 1\,\mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} \mathrm{d}\sigma = \sigma\]
几何理解：被积函数 \(\equiv 1\) 时，曲顶柱体变成了高为 1 的平顶柱体，其体积在数值上等于底面积。所以"\(\displaystyle\iint\limits_{D}\mathrm{d}\sigma\) = 区域 \(D\) 的面积"。这个结论在后续估值和中值定理中非常重要！
4 保号性（比较性质）
若在 \(D\) 上 \(f(x,y) \leqslant \varphi(x,y)\)，则 \[\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma \leqslant \iint\limits_{D} \varphi(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\]
特别地，由 \(-|f(x,y)| \leqslant f(x,y) \leqslant |f(x,y)|\)，可得 \[\left|\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\right| \leqslant \iint\limits_{D} |f(x,y)|\,\mathrm{d}\sigma\]
直观理解：如果一个曲面处处不高于另一个曲面，那它下方的体积也不会更大。"小函数的积分 ≤ 大函数的积分"。
性质 5 & 6

估值定理与中值定理

5 估值定理
设 \(M, m\) 分别是 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的最大值和最小值，\(\sigma\) 为 \(D\) 的面积，则 \[m\sigma \leqslant \iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma \leqslant M\sigma\]
几何直观：曲顶柱体的体积夹在两个平顶柱体之间——最矮的（高 \(m\)）和最高的（高 \(M\)），底面积都是 \(\sigma\)。
6 二重积分中值定理
设 \(f(x,y)\) 在闭区域 \(D\) 上连续，\(\sigma\) 为 \(D\) 的面积，则在 \(D\) 上至少存在一点 \((\xi, \eta)\)，使得 \[\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma\]
这说明二重积分的值 = 某点的函数值 × 区域面积。也就是说，\(\displaystyle\frac{1}{\sigma}\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = f(\xi,\eta)\)，左边可以理解为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的"平均值"。这和一元的积分中值定理一模一样！
推导思路：由估值定理 \(m \leqslant \dfrac{1}{\sigma}\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma \leqslant M\)，再由连续函数的介值定理，必存在 \((\xi,\eta) \in D\) 使等式成立。
总结

六大性质一览 — 类比定积分记忆

1 线性性
\(\displaystyle\iint\limits_{D} [\alpha f + \beta g]\,\mathrm{d}\sigma = \alpha\iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma + \beta\iint\limits_{D} g\,\mathrm{d}\sigma\)
2 区域可加性
\(D = D_1 \cup D_2 \Rightarrow \displaystyle\iint\limits_{D} = \iint\limits_{D_1} + \iint\limits_{D_2}\)
3 面积性质
\(\displaystyle\iint\limits_{D} 1\,\mathrm{d}\sigma = \sigma\)（\(D\) 的面积）
4 保号性
\(f \leqslant \varphi \Rightarrow \displaystyle\iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma \leqslant \iint\limits_{D} \varphi\,\mathrm{d}\sigma\)
5 估值定理
\(m\sigma \leqslant \displaystyle\iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma \leqslant M\sigma\)
6 中值定理
\(\exists\,(\xi,\eta) \in D\)：\(\displaystyle\iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma = f(\xi,\eta)\cdot\sigma\)
记忆技巧：这六条性质与一元定积分的性质一一对应。只需把"\(\int_a^b\)"换成"\(\iint\limits_{D}\)"，把"区间 \([a,b]\)"换成"区域 \(D\)"，把"\(\mathrm{d}x\)"换成"\(\mathrm{d}\sigma\)"，把"区间长度 \(b-a\)"换成"区域面积 \(\sigma\)"即可！

典型例题精讲

运用性质进行估值与判断
结合定义理解二重积分含义

例题 1

利用性质比较积分大小

题目
设 \(D\) 为 \(x^2 + y^2 \leqslant 1\)（单位圆盘），比较 \(\displaystyle\iint\limits_{D} (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}\sigma\) 与 \(\displaystyle\iint\limits_{D} (x^2 + y^2)^2\,\mathrm{d}\sigma\) 的大小。
思路分析
要比较两个积分的大小，可以用性质 4（保号性）：如果能证明被积函数的大小关系，就能推出积分的大小关系。
第 1 步：分析函数在 D 上的范围
在 \(D\) 上，\(x^2 + y^2 \leqslant 1\)，因此 \(0 \leqslant x^2 + y^2 \leqslant 1\)。
第 2 步：利用不等式性质
设 \(t = x^2 + y^2\)，则 \(0 \leqslant t \leqslant 1\)。当 \(0 \leqslant t \leqslant 1\) 时，有 \(t^2 \leqslant t\)（因为 \(t^2 - t = t(t-1) \leqslant 0\)）。
所以在 \(D\) 上：\((x^2 + y^2)^2 \leqslant (x^2 + y^2)\)。
第 3 步：由保号性得出结论
由性质 4，\(\displaystyle\iint\limits_{D} (x^2 + y^2)^2\,\mathrm{d}\sigma \leqslant \iint\limits_{D} (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}\sigma\)。
例题 2

利用估值定理估计积分值

题目
估计 \(\displaystyle\iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 + 9)\,\mathrm{d}\sigma\) 的值，其中 \(D\) 为圆域 \(x^2 + y^2 \leqslant 4\)。
思路
用估值定理（性质 5）：先在 \(D\) 上找出 \(f(x,y) = x^2 + 4y^2 + 9\) 的最小值 \(m\) 和最大值 \(M\)，然后用 \(m\sigma \leqslant I \leqslant M\sigma\)。
第 1 步：求区域面积
\(D\) 是半径为 2 的圆盘，面积 \(\sigma = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\)。
第 2 步：求最小值 m
在 \(D\) 上，\(x^2 \geqslant 0\)，\(4y^2 \geqslant 0\)，所以 \(f(x,y) = x^2 + 4y^2 + 9 \geqslant 9\)，当 \(x = y = 0\) 时取等。因此 \(m = 9\)。
第 3 步：求最大值 M
在 \(D\) 上，\(x^2 \leqslant 4\)，\(4y^2 \leqslant 16\)，所以 \(f \leqslant 4 + 16 + 9 = 29\)。但注意 \(x^2 = 4\) 和 \(y^2 = 4\) 不能同时成立（因为 \(x^2 + y^2 \leqslant 4\)）。实际最大值在 \((0, \pm 2)\) 处取得：\(f(0,2) = 0 + 16 + 9 = 25\)。因此 \(M = 25\)。
结论
\(9 \times 4\pi \leqslant \displaystyle\iint\limits_{D}(x^2 + 4y^2 + 9)\,\mathrm{d}\sigma \leqslant 25 \times 4\pi\)，即 \(36\pi \leqslant I \leqslant 100\pi\)。
例题 3

利用性质简化计算

题目
设 \(D\) 为矩形区域 \(0 \leqslant x \leqslant 1\)，\(0 \leqslant y \leqslant 1\)，求 \(\displaystyle\iint\limits_{D} (x^3 + 3x^2y + y^3)\,\mathrm{d}\sigma\)。
思路
利用线性性（性质 1），将被积函数拆开。虽然这节课不计算具体的二重积分（计算方法在下一节），但可以展示如何用性质进行分拆。
运用线性性
\[\iint\limits_{D} (x^3 + 3x^2y + y^3)\,\mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} x^3\,\mathrm{d}\sigma + 3\iint\limits_{D} x^2y\,\mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{D} y^3\,\mathrm{d}\sigma\] 常数 3 提到了积分号外面，加法拆成了三个积分。每一个单独的积分都比原来更简单。
要点
线性性让我们可以"化整为零"。复杂的被积函数可以拆成简单项分别处理。具体计算每个积分的方法（化为累次积分），我们将在下一节学习。
例题 4

理解二重积分的定义

题目
利用二重积分的定义，求 \(\displaystyle\iint\limits_{D} k\,\mathrm{d}\sigma\)（\(k\) 为常数），其中 \(D\) 为面积为 \(\sigma\) 的有界闭区域。
分析
被积函数 \(f(x,y) = k\) 是常数，这是最简单的二重积分。我们可以直接回到定义来计算。
回到定义
\[\iint\limits_{D} k\,\mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} k \cdot \Delta\sigma_i = k\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n}\Delta\sigma_i\] 注意到 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\Delta\sigma_i\) 就是所有小区域面积之和，即区域 \(D\) 的总面积 \(\sigma\)。
结论
\[\iint\limits_{D} k\,\mathrm{d}\sigma = k\sigma\] 特别地，当 \(k = 1\) 时，\(\displaystyle\iint\limits_{D}\mathrm{d}\sigma = \sigma\)，这就是性质 3。
小结

本节课知识要点

一、二重积分的概念
背景：求曲顶柱体的体积 → 分割、近似、求和、取极限
定义：\(\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta\sigma_i\)
几何意义：当 \(f(x,y) \geqslant 0\) 时，表示以 \(D\) 为底、\(z = f(x,y)\) 为顶的曲顶柱体体积
二、二重积分的性质
性质 1 线性性：常数可提出，加法可拆分
性质 2 区域可加性：区域拆开积分也拆开
性质 3 面积性质：\(\displaystyle\iint\limits_{D}\mathrm{d}\sigma = \sigma\)
性质 4 保号性：被积函数大 → 积分值大
性质 5 估值定理：\(m\sigma \leqslant \displaystyle\iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma \leqslant M\sigma\)
性质 6 中值定理：\(\displaystyle\iint\limits_{D} f\,\mathrm{d}\sigma = f(\xi,\eta)\cdot\sigma\)
三、学习方法提示
与定积分类比记忆：区间 → 区域，\(\mathrm{d}x\) → \(\mathrm{d}\sigma\)，\(b-a\) → \(\sigma\)。下节课我们将学习如何将二重积分化为累次积分进行具体计算。
练习

课后思考题

1 概念辨析
比较 \(\displaystyle\iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}\sigma\) 与 \(\displaystyle\iint\limits_{D} (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}\sigma\) 的大小，其中 \(D: x^2 + y^2 \leqslant 1\)。
提示：在 \(D\) 上 \(0 \leqslant t \leqslant 1\) 时，\(\sqrt{t}\) 与 \(t\) 哪个大？
2 估值应用
估计 \(\displaystyle\iint\limits_{D} (x + y + 1)\,\mathrm{d}\sigma\) 的范围，其中 \(D\) 为矩形 \(0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 2\)。
提示：先求 \(D\) 上 \(f = x+y+1\) 的最大值、最小值和面积。
3 利用性质
已知 \(\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = 5\)，\(\displaystyle\iint\limits_{D} g(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = -3\)，求 \(\displaystyle\iint\limits_{D} [2f(x,y) - 3g(x,y)]\,\mathrm{d}\sigma\)。
提示：利用线性性直接拆分计算。
4 中值定理理解
设 \(f(x,y)\) 在圆域 \(D: x^2 + y^2 \leqslant 4\) 上连续，且 \(\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = 8\pi\)，由中值定理可知 \(D\) 上存在点 \((\xi,\eta)\) 使 \(f(\xi,\eta)\) 等于多少？
提示：\(\sigma = 4\pi\)，由中值定理 \(f(\xi,\eta) = \dfrac{\text{积分值}}{\sigma}\)。
补充例题

例题 1 — 二重积分的几何意义

题目：利用二重积分的几何意义，说明 \(\displaystyle\iint_D 1\,\mathrm{d}A\) 等于区域 \(D\) 的面积。
解：由二重积分的几何意义，\(\displaystyle\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A\) 表示以 \(D\) 为底、\(z = f(x,y)\) 为顶的曲顶柱体的体积。

当 \(f(x,y) \equiv 1\) 时，曲顶柱体退化为高度恒为 \(1\) 的平顶柱体。

其体积 \(= \text{底面积} \times \text{高} = S_D \times 1 = S_D\)。

因此 \(\displaystyle\iint_D 1\,\mathrm{d}A = S_D\)，即区域 \(D\) 的面积。
这个结论非常实用：在后续计算中，凡遇到求平面区域面积的问题，都可以用二重积分 \(\iint_D 1\,\mathrm{d}A\) 来表达。
补充例题

例题 2 — 利用对称性

题目：利用对称性，说明 \(\displaystyle\iint_D x\,\mathrm{d}A = 0\)（其中 \(D\) 关于 \(y\) 轴对称）。
解：设区域 \(D\) 关于 \(y\) 轴对称，被积函数 \(f(x,y) = x\)。

验证奇偶性：\(f(-x, y) = -x = -f(x, y)\)，即 \(f\) 关于 \(x\) 是奇函数。

由二重积分的对称性性质：若 \(D\) 关于 \(y\) 轴对称，且 \(f(-x,y) = -f(x,y)\)，则 \[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A = 0\] 因此 \(\displaystyle\iint_D x\,\mathrm{d}A = 0\)。
直观理解：\(D\) 关于 \(y\) 轴对称时，左半部分 \(x < 0\) 的贡献与右半部分 \(x > 0\) 的贡献恰好相消。利用对称性可以大幅简化计算。

本节课结束

下节预告：二重积分的计算 — 化为累次积分

核心收获：分割 · 近似 · 求和 · 取极限 → 二重积分的定义与六大性质

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