微分定义 → 不定积分定义

壹

微分的定义 Definition of Differential

从增量说起

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义。当自变量 \(x\) 从 \(x_0\) 变化到 \(x_0 + \Delta x\) 时，函数值相应地从 \(f(x_0)\) 变化到 \(f(x_0 + \Delta x)\)。

函数的增量定义为：

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\]

问题的关键在于：当 \(\Delta x\) 很小时，增量 \(\Delta y\) 能否用一个更简单的形式来近似？

微分的严格定义

如果函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的增量 \(\Delta y\) 可以表示为：

\[\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)\]

其中 \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，\(o(\Delta x)\) 是比 \(\Delta x\) 高阶的无穷小量，则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微，并称 \(A \cdot \Delta x\) 为函数在该点的微分，记作：

\[dy = A \cdot \Delta x\]

展开：理解定义中的每个要素 +

1

关于常数 \(A\)

\(A\) 与 \(\Delta x\) 的取值无关，它完全由函数 \(f\) 和点 \(x_0\) 决定。这意味着 \(A\) 刻画了函数在该点的"本质变化率"。

2

关于 \(o(\Delta x)\)

\(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0\)

这表明 \(o(\Delta x)\) 趋于零的速度比 \(\Delta x\) 更快。当 \(\Delta x\) 很小时，\(o(\Delta x)\) 可以忽略不计。

3

线性主部的意义

\(A \cdot \Delta x\) 是 \(\Delta y\) 的线性主部——它是关于 \(\Delta x\) 的一次函数，完美地"捕捉"了增量的主要部分。微分就是用线性函数来逼近函数的增量！

▼ 微分的几何意义 ▼

贰

微分与导数的关系 Differential and Derivative

推导常数 A 的值

从微分的定义出发，我们来确定常数 \(A\) 的具体表达式。

展开：完整推导过程 +

1

从定义式出发

\(\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)\)

2

两边同除以 \(\Delta x\)（\(\Delta x \neq 0\)）

\(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\)

3

取极限 \(\Delta x \to 0\)

\(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = A + 0 = A\)

4

识别左边的极限

\(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)\)

这正是导数的定义！

结论： 常数 \(A\) 就是导数 \(f'(x_0)\)，即：

\[A = f'(x_0)\]

微分的标准形式

将 \(A = f'(x_0)\) 代入微分的定义，并注意到对于自变量 \(x\)，其微分 \(dx = \Delta x\)，我们得到：

微分的标准形式

\[dy = f'(x) \cdot dx\]

或等价地写为：

\[\frac{dy}{dx} = f'(x)\]

这个公式揭示了一个深刻的事实：微分与导数本质上是同一个东西的不同表达形式。

叁

逆运算的思想 The Idea of Inverse Operation

从已知到未知

我们已经知道：给定函数 \(f(x)\)，可以通过求导得到 \(f'(x)\)。

现在，让我们反过来思考：

如果已知 \(f'(x) = g(x)\)，能否"反推"出 \(f(x)\) 是什么？

这就是逆运算的核心思想——寻找"求导"这一运算的逆过程。

一个具体的例子

展开：从 \(f'(x) = 2x\) 反推 \(f(x)\) +

1

已知条件

\(f'(x) = 2x\)

我们要找一个函数 \(f(x)\)，使得它的导数恰好等于 \(2x\)。

2

猜测与验证

回想求导公式，\((x^2)' = 2x\)，所以 \(f(x) = x^2\) 是一个解。

3

但这是唯一的解吗？

考虑 \(f(x) = x^2 + 1\)，有 \((x^2+1)' = 2x\) ✓

考虑 \(f(x) = x^2 - 5\)，有 \((x^2-5)' = 2x\) ✓

考虑 \(f(x) = x^2 + C\)（任意常数），有 \((x^2+C)' = 2x\) ✓

4

关键发现

满足 \(f'(x) = 2x\) 的函数有无穷多个！

它们构成一个"函数族"：\(f(x) = x^2 + C\)，其中 \(C\) 为任意常数。

▼ 原函数族的可视化 ▼

这些曲线的斜率在同一 \(x\) 值处都相同（都等于 \(2x\)）

肆

原函数的定义 Definition of Antiderivative

正式定义

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义。如果存在函数 \(F(x)\)，使得对于 \(I\) 上的每一点 \(x\)，都有：

\[F'(x) = f(x)\]

则称 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的一个原函数（Antiderivative / Primitive Function）。

原函数的重要性质

展开：证明原函数之间相差常数 +

1

设 \(F(x)\) 和 \(G(x)\) 都是 \(f(x)\) 的原函数

\(F'(x) = f(x), \quad G'(x) = f(x)\)

2

考察它们的差

\([F(x) - G(x)]' = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0\)

3

应用微分学基本定理

如果函数在某区间上的导数恒为零，则该函数在该区间上为常数。

\(F(x) - G(x) = C\)（常数）

4

结论

\(G(x) = F(x) + C\)

定理：如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，则 \(f(x)\) 的所有原函数可以表示为：

\[F(x) + C \quad (C \in \mathbb{R})\]

伍

不定积分的定义 Definition of Indefinite Integral

从原函数到不定积分

既然一个函数 \(f(x)\) 的所有原函数构成一个函数族 \(F(x) + C\)，我们需要一个统一的符号来表示这整个族。

不定积分的定义

函数 \(f(x)\) 的所有原函数的集合称为 \(f(x)\) 的不定积分，记作：

\[\int f(x) \, dx = F(x) + C\]

其中：

\(\displaystyle\int\) — 积分号（elongated S，来自 "Sum"）
\(f(x)\) — 被积函数
\(dx\) — 积分变量的微分
\(F(x)\) — \(f(x)\) 的一个原函数
\(C\) — 任意常数（积分常数）

微分与积分的互逆关系

展开：证明 d 和 ∫ 互为逆运算 +

1

从积分到微分（先积后微）

\(\displaystyle d\left[\int f(x)dx\right] = d[F(x)+C] = F'(x)dx = f(x)dx\)

积分后再微分，回到原来的被积表达式。

2

从微分到积分（先微后积）

\(\displaystyle\int d[F(x)] = \int F'(x)dx = F(x) + C\)

微分后再积分，回到原函数（相差一个常数）。

3

简洁表述

\(\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right] = f(x)\)

\(\displaystyle\int \left[\frac{d}{dx}F(x)\right]dx = F(x) + C\)

核心关系：

微分运算 \(d\) 与积分运算 \(\displaystyle\int\) 互为逆运算

陆

完整推导总结 Complete Summary

推导路径

① 微分定义：\(\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)\)

② 微分标准形式：\(dy = f'(x) \cdot dx\)

③ 逆运算思想：已知 \(f'(x)\)，求 \(f(x)\)

④ 原函数定义：\(F'(x) = f(x)\)

⑤ 不定积分定义：\(\displaystyle\int f(x)dx = F(x) + C\)

核心要义

微分告诉我们如何从函数得到导数——刻画瞬时变化率；
积分则是这一过程的逆向——从变化率恢复原函数。

这正是微积分最深刻的统一性：微分与积分是一对互逆的运算，它们共同构成了分析学的基石。