第十一章 无穷级数

级数的定义与收敛

$\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots$，部分和 $S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k$

$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$ 存在 → 收敛；不存在 → 发散

必要条件（第一排雷法）

级数收敛 $\Rightarrow$ $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$

逆否：$u_n\not\to 0$ → 直接发散！

注意：$u_n\to 0$ 不能推出收敛（如调和级数 $\sum\frac{1}{n}$ 发散）

两大标杆级数 必背

级数	收敛条件	收敛和
等比级数 $\sum aq^n$	$|q|<1$	$\frac{a}{1-q}$
$p$-级数 $\sum\frac{1}{n^p}$	$p>1$	—

$p=1$ 为调和级数（发散），$p=2$ 收敛（和为 $\frac{\pi^2}{6}$）

级数的基本性质

线性：$\sum u_n,\sum v_n$ 均收 → $\sum(\alpha u_n\pm\beta v_n)$ 收

有限项无关：改有限项不改变敛散性

加括号：收敛级数加括号仍收敛

一收一发之和 → 必发散；双发之和 → 不确定

正项级数四大审敛法 核心

① 比值法（达朗贝尔）

$\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$：$\rho<1$ 收，$\rho>1$ 发，$\rho=1$ 失效

适用：通项含 $n!$、$a^n$、$n^n$

② 根值法（柯西）

$\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}$：$\rho<1$ 收，$\rho>1$ 发，$\rho=1$ 失效

适用：通项含 $(\cdots)^n$ 整体 $n$ 次方形式

③ 比较法（极限形式）

$\lim\frac{u_n}{v_n}=A$，$A\in(0,+\infty)$ → 两级数同敛散

适用：多项式分式，"抓大头"靠拢 $p$-级数

审敛法选择策略

通项特征	推荐方法
$u_n\not\to 0$	直接发散（必要条件）
含 $n!$、$a^n$	比值法
含 $(\cdots)^n$	根值法
多项式分式	比较法（靠 $p$-级数）
正负交替	莱布尼茨判别法

例 1 · 比值法

$\sum\frac{n!}{2^n}$：$\rho=\lim\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n!}=\lim\frac{n+1}{2}=+\infty>1$ → 发散

例 2 · 比较法

$\sum\frac{1}{n^2+n}$：取 $v_n=\frac{1}{n^2}$（$p=2>1$），$\lim\frac{u_n}{v_n}=1$ → 收敛

莱布尼茨判别法 必考

交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$），若同时满足：

① 单调递减：$u_{n+1}\leq u_n$

② 趋于零：$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$

→ 级数收敛

口诀："单调递减趋于零"

例 3 · 交错级数

$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$

$u_n=\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ ✓，$\lim\frac{1}{n}=0$ ✓ → 收敛（和为 $\ln 2$）

例 4 · 判断收敛类型

$\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$：$\sum\frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2$）→ 绝对收敛

$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}$：$\sum\frac{1}{n}$ 发散，但原级数莱布尼茨收敛 → 条件收敛

绝对收敛与条件收敛

类型	定义	性质
绝对收敛	$\sum|u_n|$ 收敛	可随意换序
条件收敛	$\sum u_n$ 收但 $\sum|u_n|$ 发	靠正负抵消

核心定理：绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛（反之不一定）

判断步骤

① 先加绝对值，判 $\sum|u_n|$ 是否收敛

若收 → 绝对收敛（结束）

② 若 $\sum|u_n|$ 发散，再判原级数 $\sum u_n$

若原级数收 → 条件收敛

若原级数也发 → 发散

例 5 · 综合判断

$\sum\frac{(-1)^n\cdot n}{2^n}$：$|u_n|=\frac{n}{2^n}$

$\rho=\lim\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}=\frac{1}{2}<1$ → $\sum|u_n|$ 收 → 绝对收敛

收敛半径 $R$ 必考大题

$\sum a_n x^n$，$|x|R$ 发散，$x=\pm R$ 需单独讨论

求 $R$ 的公式：

$R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

注意：$n$ 项比 $n+1$ 项，与比值审敛法恰好颠倒！

求收敛域四步法 满分模板

① 抽系数 $a_n$，用公式求 $R$

② 写开区间 $(-R,R)$

③ 验端点：$x=\pm R$ 代回原级数，判敛散

④ 合并定论：收→闭括号 $]$，发→开括号 $)$

例 6 · 求收敛域

$\sum\frac{x^n}{n}$，$a_n=\frac{1}{n}$，$R=\lim\frac{1/n}{1/(n+1)}=\lim\frac{n+1}{n}=1$

开区间 $(-1,1)$

$x=1$：$\sum\frac{1}{n}$ 调和级数 → 发散

$x=-1$：$\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 莱布尼茨 → 收敛

收敛域 $[-1,1)$

例 7 · 求收敛域

$\sum\frac{x^n}{n\cdot 2^n}$，$a_n=\frac{1}{n\cdot 2^n}$

$R=\lim\frac{1/(n\cdot 2^n)}{1/((n+1)\cdot 2^{n+1})}=\lim\frac{2(n+1)}{n}=2$

开区间 $(-2,2)$

$x=2$：$\sum\frac{1}{n}$ → 发散

$x=-2$：$\sum\frac{(-1)^n}{n}$ → 收敛

收敛域 $[-2,2)$

幂级数的运算性质

在 $(-R,R)$ 内，幂级数可以：

逐项求导：$S'(x)=\sum na_n x^{n-1}$

逐项积分：$\int_0^x S(t)\mathrm{d}t=\sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$

求导/积分后收敛半径 $R$ 不变，但端点敛散性可能改变。

求和函数思路

观察通项中 $n$ 的位置：

$n$ 在分母（如 $\sum\frac{x^n}{n}$）→ 先求导消分母 → 求和 → 再积分

$n$ 在分子（如 $\sum nx^n$）→ 先积分消分子 → 求和 → 再求导

积分后别忘代 $x=0$ 定常数 $C$！

八大展开式 必背

函数	展开式	收敛域
$e^x$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$	$(-\infty,+\infty)$
$\sin x$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$(-\infty,+\infty)$
$\cos x$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$(-\infty,+\infty)$
$\frac{1}{1-x}$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$	$(-1,1)$
$\frac{1}{1+x}$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$	$(-1,1)$
$\ln(1+x)$	$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$	$(-1,1]$
$\arctan x$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$	$[-1,1]$
$(1+x)^\alpha$	$1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha\!-\!1)\cdots(\alpha\!-\!n\!+\!1)}{n!}x^n$	$(-1,1)$

记忆技巧

$e^x$：全次项，系数 $\frac{1}{n!}$，全正

$\sin x$：只有奇次项，正负交替

$\cos x$：只有偶次项，正负交替

$\frac{1}{1-x}$：等比级数，所有展开的"母公式"

$\ln(1+x)$：对 $\frac{1}{1+x}$ 逐项积分得到

间接展开法 高频题型

① 变量替换：将 $x$ 替为 $-x$、$x^2$、$2x$ 等

② 逐项求导/积分：先展开再运算

③ 四则运算：幂级数相加、相乘

例 8 · 间接展开

展开 $e^{-x^2}$：在 $e^x=\sum\frac{x^n}{n!}$ 中令 $x\to -x^2$

$e^{-x^2}=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$，$x\in(-\infty,+\infty)$

例 9 · 积分展开

展开 $\arctan x$：由 $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$

逐项积分：$\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$，$x\in[-1,1]$

六大易错点

① 忘记讨论端点——收敛域大题必须验 $x=\pm R$！

② 必要条件当充分条件——$u_n\to 0$ 不能推出收敛。

③ 比值法 $\rho=1$ 下结论——$\rho=1$ 失效，需换方法。

④ 收敛半径公式方向搞反——$R=|a_n/a_{n+1}|$，是 $n$ 比 $n+1$。

⑤ 展开式收敛域搞混——$e^x$ 全实数，$\ln(1+x)$ 只在 $(-1,1]$。

⑥ 求和函数积分后忘定 $C$——代 $x=0$ 解常数。