第 04 章 · 课 04

从变化趋势找到最优结果

利用导数求
函数的最值

在给定范围内，先完整列出可能取得最值的位置，再计算函数值并比较大小。

找候选点→算函数值→比较大小

移动观察点，读取函数值\(x=-2.20\)

观察位置−2.20

直观入口

最高、最低，必须在指定范围内判断

拖动横坐标滑块，比较当前点与整段曲线。

当前点\(x=0,\ f(x)=0\)

横坐标0.00

核心逻辑

求最值的三项核心操作

候选点必须完整列出，函数值必须统一比较。

① 找候选点端点、区间内部满足 \(f'(x)=0\) 的点，以及导数不存在但函数有定义的点。

② 计算函数值把每个候选点代回原函数，得到一组可以直接比较的数值。

③ 比较并作答最大函数值就是最大值，最小函数值就是最小值；同时写清取得位置。

在闭区间上，不能只看 \(f'(x)=0\) 的点；两个端点同样必须进入候选名单。

若问题来自实际情境，比较完成后还要把变量结果翻译成长度、面积、容积、成本等实际结论。

先分清概念

极值比较附近，最值比较全区间

两者可能在同一点取得，但含义不同。

同一条曲线局部点与全局点

极

极大值、极小值
只与该点附近的函数值比较，是局部结论。

最

最大值、最小值
与指定区间内所有函数值比较，是全局结论。

端

端点可以取得最值
按本课采用的内点定义，端点不作为极值点讨论。

区间内部取得的最值同时是局部极值；局部极值不一定是整个区间上的最值。

必要练习 1

最值与极值不是同一概念

先判断比较范围：附近，还是整个区间。

1“某点的函数值大于它附近的函数值”说明极大值还是最大值？只能说明极大值。

2“某点的函数值不小于区间内所有函数值”说明极大值还是最大值？说明最大值。

3局部极大值一定是整个区间上的最大值吗？不一定。

4若最大值在区间内部取得，它是否同时是局部极值？是，它同时是局部极大值。

5端点能否取得最大值或最小值？可以。

6按本课的内点定义，端点取得的最值是否称为极值？不称为极值。

7同一个最大值能否在多个点取得？可以。

8判断最值时，比较范围是“附近”还是“整个指定区间”？整个指定区间。

候选位置的来源

最值只可能在端点或区间内部取得

以下三类位置合在一起，构成完整候选名单。

① 区间端点若最值在两端取得，就在 \(a\) 或 \(b\) 处，因此必须计算 \(f(a)\) 与 \(f(b)\)。

② 内点且可导若最值在 \(c\in(a,b)\) 处取得，它同时是局部极值；函数在该点可导时，必须满足 \(f'(c)=0\)。

③ 内点但不可导尖点、折点等位置也可能取得最值；只要函数在该点有定义，就不能遗漏。

两个端点+区间内驻点+区间内不可导点

这些位置只是候选点。只有计算并比较全部候选点的函数值，才能确定最大值和最小值。

交互观察

把候选点放到同一张图上

函数取 \(f(x)=x^3-3x\)，区间取 \([-2,2]\)。

两个端点是 \(x=-2,2\)；由 \(f'(x)=3x^2-3=0\) 得内部驻点 \(x=-1,1\)。

候选点尚未标出。

标准流程

闭区间求最值的四个步骤

适用于连续函数在闭区间上的最值问题。

① 求导写出 \(f'(x)\)，并说明讨论区间。

② 找内部点解 \(f'(x)=0\)，保留落在区间内部的解。

③ 算值计算所有内部候选点与两个端点的函数值。

④ 比较最大者为最大值，最小者为最小值，并写取得位置。

若函数在区间内部存在不可导点，应把这些点补入第三步的候选名单。

写答案时区分“最大值是多少”和“在何处取得最大值”：前者是函数值，后者是自变量。

大例题 1

求 \(f(x)=x^3-3x^2+1\) 在 \([-1,3]\) 上的最值

端点与内部驻点必须放在同一张候选表中比较。

1

求导：由 \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，得到内部驻点 \(x=0,2\)。

2

列候选点：把端点加入，候选点为 \(-1,0,2,3\)。

3

计算函数值：\(f(-1)=-3\)，\(f(0)=1\)，\(f(2)=-3\)，\(f(3)=1\)。

4

比较：最大值为 \(1\)，在 \(x=0,3\) 处取得；最小值为 \(-3\)，在 \(x=-1,2\) 处取得。

大例题 2

求 \(f(x)=|x-1|+\frac{x}{2}\) 在 \([-2,3]\) 上的最值

折点 \(x=1\) 处导数不存在，但函数有定义。

1

分段：当 \(x<1\) 时 \(f(x)=1-\frac{x}{2}\)；当 \(x\ge1\) 时 \(f(x)=\frac{3x}{2}-1\)。

2

列候选点：端点 \(-2,3\) 与不可导点 \(1\) 都进入名单。

3

计算：\(f(-2)=2\)，\(f(1)=\frac12\)，\(f(3)=\frac72\)。

4

结论：最大值为 \(\frac72\)，在 \(x=3\) 处取得；最小值为 \(\frac12\)，在 \(x=1\) 处取得。

快速路线

导数始终同号时，不必求驻点

单调性直接决定两个端点的大小关系。

若在 \((a,b)\) 上始终有 \(f'(x)>0\)，则函数递增，所以最小值为 \(f(a)\)，最大值为 \(f(b)\)。

若在 \((a,b)\) 上始终有 \(f'(x)<0\)，则函数递减，所以最大值为 \(f(a)\)，最小值为 \(f(b)\)。

例如 \(f(x)=x^3+x\) 在 \([-2,1]\) 上满足 \(f'(x)=3x^2+1>0\)，因此最小值为 \(f(-2)=-10\)，最大值为 \(f(1)=2\)。

必要练习 2

完整列出候选点，再比较函数值

每题只检查“候选点是否完整、比较是否正确”。

1在闭区间 \([a,b]\) 上求最值，哪两个位置必须检查？两个端点 \(a,b\)。

2若 \(c\in(a,b)\) 且 \(f'(c)=0\)，能否立即判定 \(f(c)\) 是最大值？不能；\(c\) 只是候选点。

3函数 \(f(x)=|x|\) 在 \([-1,2]\) 上为什么要检查 \(x=0\)？因为函数在该点有定义但不可导，且可能取得最值。

4\(f(x)=x\) 在 \([0,1]\) 上有哪些候选点？只有端点 \(0,1\)。

5\(f(x)=x^2\) 在 \([-2,1]\) 上的候选点及最值是什么？候选点为 \(-2,0,1\)；最大值 \(4\)，最小值 \(0\)。

6\(f(x)=-x^2+4\) 在 \([-1,3]\) 上的候选点及最值是什么？候选点为 \(-1,0,3\)；最大值 \(4\)，最小值 \(-5\)。

7\(f(x)=x^3\) 在 \([-1,2]\) 上，\(x=0\) 是驻点。它取得最值吗？不取得；比较后最大值为 \(8\)，最小值为 \(-1\)。

8为什么列出候选点后还必须比较函数值？因为候选点只表示“可能取得最值”，比较大小才能确定全区间最值。

从文字到函数

实际最值题的六步逻辑

建模正确，后面的导数计算才有意义。

读目标最大面积、最大容积、最小用料或最低成本。

设变量只保留一个核心自变量。

写函数把目标量表示成变量的函数。

定范围由长度、面积或实际限制确定定义域。

求最值求导、找候选点、计算并比较。

翻译答案写回尺寸、容积、成本及单位。

应用题中最容易遗漏的是定义域。函数表达式相同，定义域不同，最优结果可能完全不同。

建模第一关

先写变量范围，再计算导数

范围来自“实际量必须为正”和题目给出的限制。

情境	变量	必须满足	得到的范围
长 \(30\)、宽 \(20\) 的纸板剪角	剪去正方形边长 \(x\)	\(30-2x>0\)，\(20-2x>0\)	\(0<x<10\)
宽 \(60\) 的铁皮折矩形水槽	侧边高度 \(x\)	\(60-2x>0\)	\(0<x<30\)
固定容积的圆柱罐	底面半径 \(r\)	半径与高度均为正	\(r>0\)
直径为 \(d\) 的圆木内取矩形	矩形宽 \(b\)	\(h=\sqrt{d^2-b^2}>0\)	\(0<b<d\)

定义域不仅用来筛掉无效驻点，也用来判断是否需要比较端点或考察函数在边界附近的变化。

模型 1

剪去多大的角，纸盒容积最大？

纸板长 \(30\) cm、宽 \(20\) cm，四角各剪去边长为 \(x\) 的正方形。

纸板从剪角、折叠到成盒的结构变化图 — 同一变量 \(x\) 同时改变盒高、盒底长与盒底宽。

容积函数 \(V=x(30-2x)(20-2x)\)\(x=4.00\)

盒底长22.00 cm

盒底宽12.00 cm

容积1056.0 cm³

剪角边长4.00

模型 1 · 求解

纸盒容积最大值的完整计算

定义域用于排除没有实际意义的驻点。

1

建模：盒底为 \((30-2x)\times(20-2x)\)，高为 \(x\)，所以 \(V(x)=x(30-2x)(20-2x)\)，且 \(0<x<10\)。

2

求导：展开得 \(V(x)=4x^3-100x^2+600x\)，因此 \(V'(x)=12x^2-200x+600\)。

3

筛选驻点：由 \(V'(x)=0\) 得 \(x=\frac{25\pm5\sqrt7}{3}\)，只有 \(x=\frac{25-5\sqrt7}{3}\approx3.92\) 落在定义域内。

4

结论：当剪角边长约为 \(3.92\) cm 时容积最大，盒底约为 \(22.15\text{ cm}\times12.15\text{ cm}\)，最大容积约为 \(1056.3\text{ cm}^3\)。

最终输出剪角边长为 \(x\approx3.92\text{ cm}\)

盒底约为 \(22.15\text{ cm}\times12.15\text{ cm}\)

最大容积约为 \(1056.3\text{ cm}^3\)

模型 2

铁皮怎样折，水槽截面积最大？

宽 \(60\) cm 的铁皮，两侧各向上折起 \(x\) cm。

矩形水槽的水流与截面结构图 — 最大流量对应最大截面积：\(A=x(60-2x)\)。

截面积 \(A=x(60-2x)\)\(x=15\)

槽底宽30.0 cm

侧边高15.0 cm

截面积450.0 cm²

折起高度15.0

模型 2 · 求解

二次函数也可以用导数统一处理

关键仍是“变量—函数—范围—比较”。

1

建模：槽底宽为 \(60-2x\)，所以 \(A(x)=x(60-2x)\)，且 \(0<x<30\)。

2

求导：由 \(A'(x)=60-4x\)，得到唯一驻点 \(x=15\)。

3

判断：当 \(0<x<15\) 时导数为正，当 \(15<x<30\) 时导数为负，因此先增后减。

4

结论：两侧各折起 \(15\) cm、槽底宽为 \(30\) cm 时，截面积最大为 \(450\text{ cm}^2\)。

最终输出两侧各折起 \(15\text{ cm}\)

槽底宽为 \(30\text{ cm}\)

最大截面积为 \(450\text{ cm}^2\)

模型 3

容积固定时，怎样使用料最少？

封闭圆柱罐容积固定为 \(500\pi\text{ cm}^3\)。

封闭圆柱罐的半径、高度与表面组成图 — 固定容积先给出 \(h=500/r^2\)，再比较表面积。

表面积 \(S=2\pi r^2+\frac{1000\pi}{r}\)\(r=6.30\)

半径6.30 cm

高度12.60 cm

表面积748.1 cm²

底面半径6.30

模型 3 · 求解

先用体积条件消去高度

目标函数必须只保留一个自变量。

1

消元：由 \(\pi r^2h=500\pi\)，得 \(h=\frac{500}{r^2}\)，其中 \(r>0\)。

2

写目标函数：封闭圆柱表面积为 \(S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{1000\pi}{r}\)。

3

求驻点：由 \(S'(r)=4\pi r-\frac{1000\pi}{r^2}=0\)，得 \(r^3=250\)，即 \(r=5\sqrt[3]{2}\)。

4

结论：此时 \(h=2r\)。因此封闭圆柱罐用料最少时，高等于底面直径。

最终输出最优半径为 \(r=5\sqrt[3]{2}\text{ cm}\)

对应高度满足 \(h=2r\)

用料最少时，罐高等于底面直径

模型 4

圆木内怎样截取抗弯能力最强的矩形梁？

圆木直径为 \(d\)，矩形梁宽为 \(b\)、高为 \(h\)。

圆木截面中内接矩形梁的几何约束图 — 图中直角三角形给出约束：\(b^2+h^2=d^2\)。

令 \(d=1\)，抗弯指标 \(W=\frac{b(1-b^2)}6\)\(b/d=0.58\)

宽度比0.58

高度比0.82

高宽比1.41

宽度比例0.58

模型 4 · 求解

几何关系先消去 \(h\)

最终比例比具体直径更重要。

1

几何关系：矩形对角线等于圆木直径，所以 \(b^2+h^2=d^2\)，即 \(h=\sqrt{d^2-b^2}\)。

2

写函数：若抗弯指标为 \(W=\frac{bh^2}{6}\)，则 \(W(b)=\frac{b(d^2-b^2)}6\)，其中 \(0<b<d\)。

3

求驻点：由 \(W'(b)=\frac{d^2-3b^2}{6}=0\)，得 \(b=\frac{d}{\sqrt3}\)。

4

结论：此时 \(h=d\sqrt{\frac23}\)，因此最优矩形满足 \(h:b=\sqrt2:1\)。

最终输出最优宽度为 \(b=d/\sqrt3\)

对应高度为 \(h=d\sqrt{2/3}\)

最优比例为 \(h:b=\sqrt2:1\)

模型 5

楼层增加，单位成本为何先降后升？

示例模型取 \(C(n)=2400+12n+\frac{4800}{n}\)，其中 \(n\) 为楼层数。

楼层数量与两类成本变化方向图 — 一项随楼层增加而上升，另一项随楼层增加而下降。

单位综合成本\(n=20\)

楼层数20 层

高度成本项240

单位成本2880

楼层数20

模型 5 · 求解

连续模型求驻点，整数条件再比较

现实中的楼层数只能取正整数。

1

理解模型：常数项 \(2400\) 不随楼层变化，\(12n\) 随楼层增加，\(\frac{4800}{n}\) 随楼层增加而减少。

2

求导：把 \(n\) 暂时看作连续变量，\(C'(n)=12-\frac{4800}{n^2}\)。

3

求驻点：由 \(C'(n)=0\) 得 \(n^2=400\)，在 \(n>0\) 中得到 \(n=20\)。

4

整数确认：若连续驻点不是整数，应比较相邻整数；本题驻点正好为整数，所以 \(20\) 层时单位成本最低，为 \(2880\)。

最终输出最优楼层数为 \(n=20\)

连续驻点恰为整数，无须比较相邻整数

最低单位成本为 \(2880\)

最终复盘

一条主线，两个检查，五类模型

做题前先确认范围，做题后再翻译实际结论。

列候选点→计算函数值→比较并作答

检查 1：范围端点是否加入？驻点是否落在定义域？不可导点是否遗漏？

检查 2：答案是否同时写出最值、取得位置、实际尺寸与单位？

函数题闭区间比较；单调时直接判断端点。

应用题纸盒、水槽、圆柱、圆木与成本模型都服从同一逻辑。

遇到“最大、最小、最省、最多、最优”等表述时，应先明确目标量、自变量与取值范围。

利用导数求函数的最值