函数图像 · 基础强化课
凹凸性
与拐点
先看弯曲方向，再看二阶导数符号；先确认左右变号，再写拐点坐标。
凹凸性
观察曲线的弯曲方向
知识点一 · 形状与斜率
当前切线斜率
斜率：越来越大
曲线：在切线上方
凹弧开口向上，斜率递增；
凸弧开口向下，斜率递减。
- 凹开口向上；从左向右，切线逐渐向上转。
- 凸开口向下；从左向右，切线逐渐向下转。
观察对象切线斜率不看函数值高低
斜率递增由小变大曲线判为凹
斜率递减由大变小曲线判为凸
记忆：斜率增大看作“凹”，斜率减小看作“凸”。
只判断“凹”或“凸”
1曲线的开口方向向上。凹
2曲线的开口方向向下。凸
3从左向右，斜率为 。凹
4从左向右，斜率为 。凸
5函数 的图像。凹
6函数 的图像。凸
7切线从“向下倾斜”逐渐转为“向上倾斜”。凹
8切线从“向上倾斜”逐渐转为“向下倾斜”。凸
二阶导数符号决定弯曲方向
知识点二 · 正凹负凸
判定结果凹 · 开口向上
二阶导数为正，一阶导数递增，切线斜率由小变大。
正号判凹，负号判凸；某一点等于零，先不下结论。
第 1 项：先读取二阶导数的符号。
依据符号写出结论
1某区间内 。凹
2某区间内 。凸
3某区间内 。凹
4某区间内 。凸
5，判断全体实数上的凹凸性。，凸
6，判断全体实数上的凹凸性。，凹
7只知道 ，能否判定 附近的凹凸性？不能
8在 内 ，该区间是什么区间？凹区间
求 的凹区间与凸区间
知识点三 · 求导—分界—判号—写区间
−
＋
曲线
凸
凹
第 1 步求二阶导数：。
先找出 的正负，再把正号区间写成凹区间，负号区间写成凸区间。
- 1求 。
- 2令 ，找到分界点。
- 3在分界点左右判断正负。
- 4正写凹，负写凸；区间端点使用圆括号。
本例：凸区间 ，凹区间 。
求 的凹区间与凸区间
写出定义域
根据 写凹凸区间
1凸：；凹：
2凹：；凸：
3凸：；凹：
4凸：；凹：
5凸：；凹：
6凹：；凸：
7凹：；凸：
8凹：；凸：
拐点：凹凸性真正改变的点
知识点四 · 先变方向，再写坐标
当前观察位置
此处左右凹凸性不同
因此，原点是拐点。
因此，原点是拐点。
曲线在该处连续，并且左右两侧的凹凸性改变，这个点才是拐点。
- 变左凹右凸，或者左凸右凹，都发生了改变。
- 点拐点必须写成坐标 ，不能只写 。
第一项候选横坐标
第二项代回原函数
最终答案写完整点坐标
不改变，不是拐点；只写横坐标，不是完整答案。
判断候选点是否为拐点
默认函数在分界点处连续
1 左侧 ，右侧 。是，凸变凹
2 左侧 ，右侧 。是，凹变凸
3 左右两侧 都大于 。不是
4 左右两侧 都小于 。不是
5 不存在，但左右凹凸性改变。仍可能是
6函数在 处不连续。不是
7只知道 。无法判断
8 在 处的拐点。
求 的拐点
知识点五 · 候选—变号—坐标
STEP 01
求一阶导数与二阶导数
先由 找到候选横坐标，再确认左右变号，最后计算函数值。
- 候，得到 。
- 变 时为负， 时为正：凸变凹。
- 点，所以拐点是 。
完整答案写“拐点为 ”，不是“拐点为 ”。
求 的凹凸区间与拐点
写出定义域
求 的全部拐点
写出定义域
求出拐点坐标
先判变号，再代回函数
1拐点
2拐点
3拐点
4拐点
5拐点
6拐点
7，考查 。不是拐点
8，考查 。不是拐点
三个条件，逐项检查
知识点六 · 连续、变号、坐标
模拟检查候选点
① 函数在 处连续
② 左侧 的符号
③ 右侧 的符号
是拐点连续，并且左右符号不同：凹凸性发生改变。
拐点不是由“等于零”决定，而是由“左右改变”决定。
- 错“，所以 一定是拐点。”——错误。
- 看即使 不存在，只要曲线连续且左右凹凸改变，仍可能是拐点。
- 写最终写点坐标，不只写候选横坐标。
检查顺序：连续吗？变号吗？坐标写全了吗？
判断下列说法是否正确
1，所以 一定对应拐点。错误；还要检查变号
2函数连续，且 在 两侧异号，则 对应拐点。正确
3 不存在，所以 一定不是拐点。错误
4函数在 处不连续，所以该处不是曲线的拐点。正确
5 在 左右凹凸性相同。正确； 不是拐点
6求得候选横坐标 ，最终只写“拐点为 ”。错误；应写
7左侧 ，右侧 ，说明凹变凸。正确
8 左右两侧 同号， 仍是拐点。错误
求 的凹凸区间与拐点
确定定义域
例题 的定义域为全体实数。先明确在哪些 上讨论。
把凹凸性与拐点连起来
1：凹凸性与拐点。全程凹；无拐点
2：凹凸性与拐点。全程凸；无拐点
3：凹凸区间与拐点。凸：；凹：；拐点
4：求拐点。拐点
5：求拐点。拐点
6： 是否对应拐点？否； 不变号
7连续函数在 左凹右凸，且 。拐点
8连续函数在 左凸右凸。无拐点
核心结论：四项
完成核心结论回顾
正号逻辑链
切线斜率递增
曲线为凹弧
负号逻辑链
切线斜率递减
曲线为凸弧
左右变号
凹凸性改变
候选点才能
成为拐点
写完整坐标
只是位置
代入求
写成一个点
固定路线：求 → 找分界 → 判正负 → 写区间 → 查变号 → 求坐标凹凸性与拐点 · 完成