写出部分和
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 的前四项为 $1,\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18$，写出前四个部分和。
参考路径
- $s_1=1$。
- $s_2=1+\dfrac12=\dfrac32$。
- $s_3=\dfrac32+\dfrac14=\dfrac74$。
- $s_4=\dfrac74+\dfrac18=\dfrac{15}{8}$。
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本课练习要把“级数问题转成部分和极限问题”这句话真正写出来。判断时先看能否直接得到部分和，若是等比级数先认首项和公比；若只是做快判，就看一般项极限能不能直接排除收敛。
部分和
收敛与发散
等比级数
必要条件
反例意识
专项训练
收敛还是发散
用定义解释：为什么“部分和有极限”就叫收敛，而“部分和没有极限”就叫发散？
参考路径
- 级数的“和”不是一口气加完，而是看前 n 项和 s_n 的变化。
- 如果 s_n 趋向某个固定值 s，就说整个级数收敛到 s。
- 若 s_n 不趋向固定值，则这个无限加和没有稳定结果，所以发散。
判断公比
判断级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac23\right)^n$ 是否收敛，并求和。
参考路径
- 它是等比级数，首项 a=1，公比 q=-2/3。
- 因为 |q|=2/3 小于 1，所以收敛。
- 和为 a/(1-q)=1/(1+2/3)=3/5。
快判发散
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}$ 的敛散性。
参考路径
- 一般项 $u_n=\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac1n$。
- lim u_n = 1，不等于 0。
- 由必要条件的逆否命题，级数一定发散。
为什么不能反推
说明调和级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ 为什么能作为“通项趋零但级数发散”的反例。
参考路径
- 它的一般项满足 lim 1/n = 0。
- 但调和级数的部分和会持续增长，不趋向固定值。
- 因此它说明“通项趋零”只是必要条件，不是充分条件。
有限项不改敛散性
已知 $\sum u_n$ 收敛，说明为什么去掉前两项后的级数仍收敛。
参考路径
- 收敛性看的是“尾巴”的行为，不是前面有限项。
- 去掉前两项只是把和改成 s-u_1-u_2。
- 因此收敛性不变，但和的数值会改变。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 部分和意识 | 能把级数问题转成部分和问题。 | |
| 典型级数 | 能认出等比级数并正确使用收敛条件与求和公式。 | |
| 必要条件 | 能用逆否命题快判发散，并知道它不能反推收敛。 |