p-级数快判
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/2}}$ 的敛散性。
参考路径
- 它是 p-级数，p=3/2。
- 因为 p>1，所以收敛。
- 先认模型，再下结论。
本页主线
本课练习只做一件事：看到正项级数，先认像谁，再决定是用 p-级数、比较法、比值法还是根值法。不要把通项趋零误当最终结论，也不要把交错级数的方法提前搬进来。
正项级数
p-级数
比较法
比值法
根值法
专项训练
找上界参照
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2+3n}$ 的敛散性。
参考路径
- $n^2+3n \ge n^2$。
- 所以 $\dfrac{1}{n^2+3n} \le \dfrac{1}{n^2}$。
- 而 $\sum 1/n^2$ 收敛。
看主导项
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^3+2}$ 的敛散性。
参考路径
- 先看主导项：它像 $1/n^2$。
- 算极限比较，结果趋于 1。
- 与 $\sum 1/n^2$ 同敛散，故收敛。
含阶乘先试比值
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ 的敛散性。
参考路径
- 含阶乘，优先考虑比值法。
- $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{2}{n+1}\to 0$。
- 极限小于 1，所以收敛。
整体 n 次幂先开根
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3n}{2n+1}\right)^n$ 的敛散性。
参考路径
- 整体被 n 次幂包住，优先根值法。
- $\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{3n}{2n+1}\to \dfrac32$。
- 极限大于 1，所以发散。
先选法再计算
说明：遇到一个新正项级数时，你怎样决定先试哪一种审敛法？
参考路径
- 像 $1/n^p$：先比较法。
- 有阶乘：先比值法。
- 整体 n 次幂：先根值法。
- 若极限等于 1，该法失效，要换法。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 模型识别 | 能先认 p-级数或主导项，再决定参照对象。 | |
| 方法选择 | 能区分比较法、比值法、根值法的适用题型。 | |
| 失效意识 | 知道“极限等于 1”表示该判别法失效，不等于级数发散。 |