第11章 第03课 任意项级数与交错级数专项练习

任意项快判、莱布尼茨条件、绝对收敛与条件收敛训练

课后巩固 课件 虚拟人 交错实验

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本课练习只做三件事：先用通项极限做最基本的发散快判；若题目符号交替，就检查绝对值单调递减和趋于零；若交错级数收敛，再继续区分它是绝对收敛还是条件收敛。

任意项快判 交错级数 莱布尼茨判别法 绝对收敛 条件收敛

专项训练

任意项

先看通项极限

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n}$ 的敛散性。
参考路径
  1. 先看通项：$\dfrac{n+1}{n}\to 1$。
  2. 通项极限不为 0。
  3. 因此原级数一定发散。
必要条件

趋零不代表收敛

说明为什么 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$ 虽然通项趋于 0，但级数仍发散。
参考路径
  1. 通项趋于 0 只是收敛的必要条件。
  2. 调和级数是反例：通项趋于 0，但部分和无界。
  3. 所以不能由通项趋于 0 反推级数收敛。
莱布尼茨

交错级数判别

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$ 的敛散性。
参考路径
  1. 符号交替。
  2. $1/n$ 单调递减且趋于 0。
  3. 满足莱布尼茨判别法，所以收敛。
误差

余项估计

若把交错调和级数前 4 项相加作近似值，说明余项绝对值的上界是什么。
参考路径
  1. 对满足莱布尼茨条件的交错级数，余项绝对值不超过下一项绝对值。
  2. 这里下一项是 $1/5$。
  3. 所以误差绝对值小于等于 $1/5$。
绝对收敛

先去符号再判断

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n^2}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散。
参考路径
  1. 去掉符号后得到 $\sum 1/n^2$。
  2. $\sum 1/n^2$ 收敛。
  3. 所以原级数绝对收敛。
条件收敛

交错收敛但绝对值发散

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散。
参考路径
  1. 原交错级数满足莱布尼茨条件，故收敛。
  2. 但去掉符号后是调和级数 $\sum 1/n$，它发散。
  3. 所以原级数条件收敛。

教师复核

检查点达标要点教师记录
任意项快判能正确使用“通项极限不为 0 则发散”，并知道它不能反向判收敛。
交错级数条件能按“交替、单调、趋零”三步检查莱布尼茨判别法。
绝对 / 条件收敛能先看绝对值级数，再给出绝对收敛或条件收敛的判断。

回看入口

回主课件继续看任意项快判、交错级数与绝对收敛。 回交错实验继续训练单调、趋零和误差上界。 回课后巩固把绝对收敛和条件收敛写回课后页。 回学生笔记把任意项、交错与绝对收敛压成总表。 回虚拟人再听一遍“先看通项，再分绝对与条件”。 看下一课本课稳定后，再进入函数的幂级数展开与应用。