先分清四个对象
某工厂想了解整批灯泡寿命。写出这个场景中的总体、样本、总体参数和样本统计量各是什么。
参考路径
- 总体：整批灯泡寿命。
- 样本：抽测的若干只灯泡寿命。
- 总体参数：总体均值、总体方差等。
- 样本统计量：样本均值、样本方差等。
训练主线
这组题只练五件事：先分清总体、样本、参数和统计量；再算样本均值；再算样本方差并解释为什么除以 $n-1$；然后把样本结果写成点估计；最后把样本比例估计放回真实场景解释。
总体与样本
参数与统计量
样本均值
样本方差
点估计
专项训练
计算样本均值
样本数据为 $98,101,100,103,99$。求样本均值 $\\bar{x}$。
参考路径
- 先把 5 个数据相加得到 501。
- 再除以样本容量 5。
- 所以 $\\bar{x}=100.2$。
计算样本方差
继续用上题样本数据，求样本方差 $S^2$，并说明为什么分母是 $n-1$。
参考路径
- 先用每个数据减去样本均值，再平方并求和。
- 样本方差 $S^2=\\dfrac{1}{n-1}\\sum (x_i-\\bar{x})^2$。
- 除以 $n-1$ 是为了让方差估计保持无偏。
把样本结果写成点估计
已知某批零件长度样本均值为 $15.02$ mm，样本方差为 $0.09$ mm²。写出对总体均值和总体方差的点估计。
参考路径
- 总体均值的点估计写成 $\\hat{\\mu}=15.02$ mm。
- 总体方差的点估计写成 $\\hat{\\sigma}^2=0.09$ mm²。
- 表述里要写“估计为”，不能说“总体均值就是”。
样本比例估计
抽检 200 件产品，发现 6 件不合格。用样本比例估计总体不合格率，并解释这个值的意义。
参考路径
- 样本比例 $\\hat{p}=6/200=0.03$。
- 说明：总体不合格率可估计为 3%。
- 它来自样本，仍然可能和总体真值存在抽样误差。
你最容易错在哪
用自己的话写出本课最容易混淆的 2 个点。
参考路径
- 把总体参数和样本统计量写反。
- 样本方差忘记除以 $n-1$。
- 把点估计误写成总体真值。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 概念区分 | 能分清总体、样本、参数与统计量的归属。 | |
| 统计量计算 | 能正确计算样本均值和样本方差，并说明 n-1。 | |
| 估计口径 | 能把样本结果写成点估计并解释误差来源。 |