高等应用数学 · 第3章导数与微分

第一节导数的概念

| 一、两个实例

在历史上，导数的概念主要起源于两个著名的问题：一个是求非匀变速运动的瞬时速度问题；另一个是求曲线的切线问题。

1. 瞬时速度问题

实例 1 瞬时速度问题

设一物体作变速直线运动，位移

s

是时间

t

的函数，记作

s = s (t)

，求

t = t_{0}

时的瞬时速度

v (t_{0})

。

设一质点作变速直线运动，取运动的直线为数轴，数轴正方向代表运动的方向，计时刻

t = 0

质点所在的位置为坐标原点。

当

t = t_{0}

时，质点位于

s (t_{0})

，当

t = t_{0} + Δt

时，质点位于

s (t_{0} + Δt)

，在这段时间间隔内，质点的平均速度为

\overset{´}{v} = \frac{Δs}{Δt} = \frac{s (t_{0} + Δt) - s (t_{0})}{Δt}

由于质点作变速直线运动，不同时刻对应的速度不同，但速度是连续变化的，当时间间隔

Δt

很小时，速度变化也很小，平均速度越接近时刻

t_{0}

的瞬时速度

v (t_{0})

，从而有

v (t_{0}) = \lim_{Δt \to 0} \overset{´}{v} = \frac{\lim_{Δt \to 0} Δs}{Δt} = \frac{\lim_{Δt \to 0} s (t_{0} + Δt) - s (t_{0})}{Δt}

图 3-1 直线运动位移

2. 曲线的切线斜率问题

实例 2 曲线的切线斜率问题

设平面曲线

L

的方程

y = f (x)

，求其在点

x = x_{0}

处切线的斜率。

设平面曲线

L

的方程

y = f (x)

，

M_{0} (x_{0}, y_{0})

是曲线上的一个定点，点

N (x_{0} + Δx, y_{0} + Δy)

是曲线上任意一点，作曲线的割线

M_{0} N

，设

β

是割线

M_{0} N

与

x

轴的夹角，则割线

M_{0} N

的斜率为

k = \tan β = \frac{Δy}{Δx} = \frac{f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

当点

N

沿曲线

L

无限趋近点

M_{0}

，即

Δx \to 0

，割线绕点

M_{0}

转动，而无限趋近它的极限位置

M_{0} T

，称直线

M_{0} T

为曲线

L

在点

M_{0}

的切线。

这时，割线的斜率的极限值为切线的斜率。设切线

M_{0} T

与

x

轴的夹角为

α

，则切线的斜率为

k = \tan α = \frac{\lim_{Δx \to 0} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

图 3-2 割线与切线

| 二、导数的定义

从以上两个实例可以看出，瞬时速度和切线斜率虽然分属于不同领域，但两者在数学上具有完全相同的结构，即对函数增量与自变量增量之比（也叫差商），求当自变量增量趋于零时的极限。这就引出了导数的概念。

定义 3－1 导数

设函数

y = f (x)

在点

x_{0}

的某邻域内有定义，当自变量

x

在

x_{0}

处取得增量

Δx

（点

x_{0} + Δx

仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量

Δy = f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})

；如果

Δy

与

Δx

之比当

Δx \to 0

时的极限存在，则称函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处可导，并称这个极限为函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处的导数，记为

f' (x_{0})

，即

f' (x_{0}) = \frac{\lim_{Δx \to 0} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

也可记为

y' |_{x = x_{0}}

，

\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}

或

\frac{d f (x)}{d x} |_{x = x_{0}}

。

如果令

x = x_{0} + Δx

，则

Δx = x - x_{0}

，当

Δx \to 0

时，

x \to x_{0}

，导数也可以写为

f' (x_{0}) = \frac{\lim_{x \to x_{0}} f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

如果上述极限不存在，就说函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处不可导。

如果函数

y = f (x)

在开区间

(a, b)

内的每点处都可导，就称函数

f (x)

在开区间

(a, b)

内可导。此时对于

(a, b)

内每一个

x

值，都对应着一个确定的导数值

f' (x)

，这就构成了一个新的函数，称为

f (x)

的导函数，记为

f' (x)

、

y'

、

\frac{d y}{d x}

或

\frac{d f (x)}{d x}

。

导函数的定义为

f' (x) = \frac{\lim_{Δx \to 0} f (x + Δx) - f (x)}{Δx}

注意

（1）在定义（1）式中，设

x = x_{0} + Δx

，则

Δx = x - x_{0}

，当

Δx \to 0

时，

x

趋近于

x_{0}

，因此，导数的定义式可写成

f' (x_{0}) = \frac{\lim_{x \to x_{0}} f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

。

（2）如果

\frac{\lim_{Δx \to 0} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

不存在，则称函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处不可导。

（3）

\frac{Δy}{Δx}

为函数

y = f (x)

在区间

[x_{0}, x_{0} + Δx]

或

[x_{0} + Δx, x_{0}]

上的平均变化率；而导数

f' (x_{0})

是因变量

y

在点

x_{0}

对于

\frac{d y}{d x}

的瞬时变化率，反映因变量

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}}

随自变量

f' (x) = \frac{1}{φ' (y)}

的变化而变化的快慢程度。

定义 3－2 左导数与右导数

如果函数

y = f (x)

在点

x_{0}

的某一邻域内有定义，极限

\frac{\lim_{Δx \to 0^{+}} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0^{+}} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx} 或 \frac{\lim_{Δx \to 0^{-}} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0^{-}} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

存在，则把此极限值称为函数

f (x)

在点

x_{0}

处的右导数或左导数，记为

f'_{+} (x_{0})

或

f'_{-} (x_{0})

，即

f'_{+} (x_{0}) = \frac{\lim_{Δx \to 0^{+}} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0^{+}} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

f'_{-} (x_{0}) = \frac{\lim_{Δx \to 0^{-}} Δy}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0^{-}} f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})}{Δx}

定理 3－1

函数

f (x)

在点

x_{0}

处可导的充要条件是左右导数都存在且相等，即

f'_{+} (x_{0}) = f'_{-} (x_{0})

注意

分段函数在分段点处的可导性，常需要利用左右导数加以讨论。

2. 函数在区间内的导数

定义 3－3 导函数

如果函数

y = f (x)

在开区间

I

内每一点处导数都存在，则称函数

f (x)

在开区间

I

内可导。此时，对于任一

x \in I

，都对应着

f (x)

一个确定的导数值。从而就构成了一个新的函数。称这个函数叫做原来函数

I_{x} = (- 1, 1)

在开区间

I

内的导函数，简称导数，记作：

y'

，

f' (x)

，

\frac{d y}{d x}

或

\frac{d f (x)}{d x}

。

例 1

求函数

f (x) = x^{2}

在

x = 1

处的导数。

解由导数定义，

f' (1) = \frac{\lim_{Δx \to 0} f (1 + Δx) - f (1)}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} {(1 + Δx)}^{2} - 1}{Δx}

= \frac{\lim_{Δx \to 0} 1 + 2 Δx + {(Δx)}^{2} - 1}{Δx} = \lim_{Δx \to 0} (2 + Δx) = 2

例 2

求函数

f (x) = \frac{1}{x}

的导数。

解由导数定义，

f' (x) = \frac{\lim_{Δx \to 0} f (x + Δx) - f (x)}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} \frac{1}{x + Δx} - \frac{1}{x}}{Δx}

= \frac{\lim_{Δx \to 0} x - (x + Δx)}{x (x + Δx) \cdot Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} - 1}{x (x + Δx)} = - \frac{1}{x^{2}}

例 3

求函数

f (x) = \sin x

的导数。

解由导数定义，

f' (x) = \frac{\lim_{Δx \to 0} \sin (x + Δx) - \sin x}{Δx}

利用和差化积公式

\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}

，得

f' (x) = \frac{\lim_{Δx \to 0} 2 \cos (x + \frac{Δx}{2}) \sin \frac{Δx}{2}}{Δx}

= \lim_{Δx \to 0} \cos (x + \frac{Δx}{2}) \cdot \frac{\lim_{Δx \to 0} \sin \frac{Δx}{2}}{\frac{Δx}{2}} = \cos x \cdot 1 = \cos x

例 4

求函数

y = e^{x}

的导数。

解由导数定义，

y' = \frac{\lim_{Δx \to 0} e^{x + Δx} - e^{x}}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} e^{x} (e^{Δx} - 1)}{Δx}

= e^{x} \frac{\lim_{Δx \to 0} e^{Δx} - 1}{Δx} = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

例 5

求函数

y = \ln x

（

x > 0

）的导数。

解由导数定义，

y' = \frac{\lim_{Δx \to 0} \ln (x + Δx) - \ln x}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} 1}{Δx} \ln \frac{x + Δx}{x}

= \frac{\lim_{Δx \to 0} 1}{Δx} \ln (1 + \frac{Δx}{x}) = \frac{\lim_{Δx \to 0} 1}{x} \cdot \frac{x}{Δx} \ln (1 + \frac{Δx}{x})

令

t = \frac{Δx}{x}

，当

Δx \to 0

时，

t \to 0

，

y' = \frac{1}{x} \frac{\lim_{t \to 0} 1}{t} \ln (1 + t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \ln {(1 + t)}^{1 / t} = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x}

| 三、导数的几何意义

函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处的导数

f' (x_{0})

在几何上表示曲线

y = f (x)

在点

M_{0} (x_{0}, f (x_{0}))

处的切线斜率，即

k = f' (x_{0}) = \tan α

其中

α

是切线与

x

轴正方向的夹角。

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线

y = f (x)

在点

M_{0} (x_{0}, f (x_{0}))

处的切线方程为

y - y_{0} = f' (x_{0}) (x - x_{0})

过切点

M_{0} (x_{0}, f (x_{0}))

且与切线垂直的直线叫做曲线

y = f (x)

在点

M_{0} (x_{0}, f (x_{0}))

处的法线。如果

f' (x_{0}) \neq 0

，法线的斜率为

- \frac{1}{f' (x_{0})}

，从而法线方程为

y - y_{0} = - \frac{1}{f' (x_{0})} (x - x_{0})

图 3-3

y = \sqrt[3]{x}

的图形

例 6

求曲线

y = \frac{1}{x}

在点

P (2, \frac{1}{2})

处的切线方程和法线方程。

解由导数的几何意义及例 2 知，曲线

y = \frac{1}{x}

在点

P (2, \frac{1}{2})

处切线的斜率为

k = y' |_{x = 2} = - \frac{1}{x^{2}} |_{x = 2} = - \frac{1}{4}

于是所求切线方程为

y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} (x - 2)

，即

x + 4 y - 4 = 0

。

又法线的斜率为

k' = - \frac{1}{k} = 4

所以法线方程为

y - \frac{1}{2} = 4 (x - 2)

，即

8 x - 2 y - 15 = 0

。

| 四、可导与连续的关系

定理 3－2

如果函数

y = f (x)

在点

x

可导，则函数在该点必连续。

证明因为

y = f (x)

在点

x

可导，由导数的定义有

\frac{\lim_{Δx \to 0} Δy}{Δx} = f' (x)

成立。根据极限与无穷小的关系就有

\frac{Δy}{Δx} = f' (x) + α

（其中

α

是当

Δx \to 0

时的无穷小量）。

对上式两边同乘以

Δx

，得

Δy = f' (x) Δx + αΔx

显然，当

Δx \to 0

时，

Δy \to 0

。根据连续的定义知，函数

y = f (x)

在点

x

是连续的。

注意

定理 3－2 表明了连续是可导的必要条件，但应注意连续不是可导的充分条件。

例如，函数

f (x) = | x |

在

x = 0

处连续，但在

x = 0

处不可导。事实上

f'_{+} (0) = \frac{\lim_{Δx \to 0^{+}} f (0 + Δx) - f (0)}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0^{+}} Δx}{Δx} = 1

f'_{-} (0) = \frac{\lim_{Δx \to 0^{-}} f (0 + Δx) - f (0)}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0^{-}} - Δx}{Δx} = - 1

所以

f'_{+} (0) \neq f'_{-} (0)

，函数

y = | x |

在点

x = 0

处不可导。

图 3-4

y = | x |

的图形

| 习题 3－1

习题 3－1

1. 用导数定义求下列函数的导数。

（1）

f (x) = x^{3}

；

（2）

f (x) = \sqrt{x}

；

（3）

f (x) = \cos x

。

2. 求曲线

y = x^{3}

在点

(1, 1)

处的切线方程和法线方程。

3. 讨论函数

f (x) = | x - 1 |

在

x = 1

处的连续性与可导性。

习题 3－1 详细解析

1.（1）

【思路】用导数定义直接求导，需展开

{(x + Δx)}^{3}

后化简差商。

【步骤】 Step 1: 写出差商；Step 2: 展开立方

f' (x) = \frac{\lim_{Δx \to 0} 3 x^{2} Δx + 3 x {(Δx)}^{2} + {(Δx)}^{3}}{Δx} = 3 x^{2}

【点拨】立方展开系数为 1,3,3,1，不要遗漏交叉项。

（2）

【思路】根号差需分子有理化。

【步骤】分子分母同乘

\sqrt{x + Δx} + \sqrt{x}

f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

【点拨】遇到根号差必用有理化，这是标准套路。

（3）

【思路】利用和差化积公式处理余弦差。

【步骤】

f' (x) = - \sin x

【点拨】公式：

\cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}

。

【思路】先求导得斜率，再用点斜式。

【步骤】

y' = 3 x^{2}

，

k = 3

。切线：

3 x - y - 2 = 0

。法线：

x + 3 y - 4 = 0

。

【点拨】法线斜率

= - 1 / k

，别忘取负倒数。

【思路】分别验证连续性和左右导数。

【步骤】连续✓（极限=函数值=0）。

f'_{+} (1) = 1

，

f'_{-} (1) = - 1

，不等，不可导。

【点拨】绝对值函数在尖角点一定不可导但连续。

第二节导数的运算法则

| 一、基本初等函数的导数公式

在上一节中，我们用导数定义求出了一些简单函数的导数。下面给出基本初等函数的导数公式表。

表 3-0 基本初等函数导数公式表

序号	函数	导数
1	$C$ （常数）	$0$
2	$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
3	$\sin x$	$\cos x$
4	$\cos x$	$- \sin x$
5	$\tan x$	$\sec^{2} x$
6	$\cot x$	$- \csc^{2} x$
7	$\sec x$	$\sec x \tan x$
8	$\csc x$	$- \csc x \cot x$
9	$a^{x}$	$a^{x} \ln a$
10	$e^{x}$	$e^{x}$
11	$\log_{a} x$	$\frac{1}{x \ln a}$
12	$\ln x$	$\frac{1}{x}$
13	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
14	$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
15	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$
16	$arccot x$	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$

| 二、函数的四则运算求导法则

定理 3－4 四则运算求导法则

如果函数

u = u (x)

和

v = v (x)

在点

x

处都可导，则：

（1）

[u (x) \pm v (x)]' = u' (x) \pm v' (x)

；

（2）

[u (x) \cdot v (x)]' = u' (x) v (x) + u (x) v' (x)

；

（3）

[\frac{u (x)}{v (x)}]' = \frac{u' (x) v (x) - u (x) v' (x)}{{[v (x)]}^{2}}

（

v (x) \neq 0

）。

由法则（2）可推得：

[Cu (x)]' = Cu' (x)

（

C

为常数）。

例 7

求函数

y = x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 9

的导数

y'

。

解

y' = (x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 9)' = (x^{3})' + (5 x^{2})' - (4 x)' + (9)'

= 3 x^{2} + 5 \times 2 x - 4 \times 1 + 0 = 3 x^{2} + 10 x - 4

例 8

设函数

f (x) = 3 \ln x - 4 \cos x + e^{x}

，求

f' (x)

及

f' (\frac{π}{2})

。

解

f' (x) = (3 \ln x - 4 \cos x + e^{x})' = 3 (\ln x)' - 4 (\cos x)' + (e^{x})' = \frac{3}{x} + 4 \sin x + e^{x}

f' (\frac{π}{2}) = (\frac{3}{x} + 4 \sin x + e^{x}) |_{x = \frac{π}{2}} = \frac{6}{π} + 4 + e^{\frac{π}{2}}

例 9

求

y = \tan x

的导数。

解

y = \frac{\sin x}{\cos x}

，由商的求导法则，

y' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x

| 三、复合函数求导法则（链式法则）

定理 3－5 复合函数求导法则（链式法则）

如果

u = g (x)

在点

x

处可导，而

y = f (u)

在对应点

u = g (x)

处可导，则复合函数

y = f [g (x)]

在点

x

处可导，且

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = f' (u) \cdot g' (x)

链式法则可以推广到多层复合函数的情形。例如

y = f (u)

，

u = φ (v)

，

v = g (x)

，则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}

例 10

求函数

y = \tan^{3} x

的导数。

解因为

y = \tan^{3} x

是由

y = u^{3}

，

u = \tan x

复合而成，依据链式法则得

y' = 3 u^{2} \sec^{2} x = 3 \tan^{2} x \sec^{2} x

例 11（三层复合函数）

求函数

y = \ln (\sin x^{3})

的导数。

解因为

y = \ln (\sin x^{3})

是由

y = \ln u

，

u = \sin v

，

v = x^{3}

复合而成，得

y' = (\ln u)' \cdot (\sin v)' \cdot (x^{3})' = \frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot 3 x^{2} = \frac{3 x^{2} \cos x^{3}}{\sin x^{3}} = 3 x^{2} \cot x^{3}

例 12（复合函数）

求函数

y = e^{\tan \frac{2}{x}}

的导数。

解

y' = e^{\tan \frac{2}{x}} \cdot \sec^{2} \frac{2}{x} \cdot (- \frac{2}{x^{2}}) = - \frac{2}{x^{2}} e^{\tan \frac{2}{x}} \sec^{2} \frac{2}{x}

例 13

求

y = e^{- x^{2}}

的导数。

解令

u = - x^{2}

，则

y = e^{u}

。

y' = e^{u} \cdot (- x^{2})' = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}

三、反函数求导法则

定理 3－6 反函数求导法则

如果函数

x = f (y)

在

I_{y}

内单调、可导且

φ' (y) \neq 0

，则它的反函数

y = f^{- 1} (x)

在区间

I_{x} = {x ∣ x = f (y), y \in I_{y}}

内也可导，并且

[f^{- 1} (x)]' = \frac{1}{f' (y)} 或 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

简单地说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

反函数求导推导 — arcsin x

推导

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

。

解设

x = \sin y

，

y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

为直接函数，

y = \arcsin x

是它的反函数。

因为

(\sin y)' = \cos y > 0

，依据定理 3－6，在

I_{x} = (- 1, 1)

内有

(\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'} = \frac{1}{\cos y}

但

\cos y = \sqrt{1 - \sin^{2} y} = \sqrt{1 - x^{2}}

，所以

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

类似地，

(\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

。

反函数求导推导 — arctan x

推导

(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^{2}}

。

解设

x = \tan y

，

y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

为直接函数。

(\tan y)' = \sec^{2} y \neq 0

，依据定理 3－6，

(\arctan x)' = \frac{1}{\sec^{2} y} = \frac{1}{1 + \tan^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}}

类似地，

(arccot x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}}

。

反函数求导推导 — a^x

推导

(a^{x})' = a^{x} \ln a

（

a > 0, a \neq 1

）。

解设

x = \log_{a} y

，

y \in (0, + \infty)

为直接函数。

(\log_{a} y)' = \frac{1}{y \ln a} \neq 0

，依据定理 3－6，

(a^{x})' = \frac{1}{\frac{1}{y \ln a}} = y \ln a = a^{x} \ln a

特别地，当

a = e

时，

(e^{x})' = e^{x}

。

四、初等函数的求导

至此，利用导数定义、四则运算求导法则、复合函数求导法则及反函数求导法则，推导得到了全部基本初等函数的导数公式（见上表 3-0），从而解决了初等函数的求导问题。

2. 初等函数求导举例

初等函数求导举例 — ln(x+√(x²+1))

求函数

f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

的导数。

解

y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 1})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} [1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}]

= \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

初等函数求导举例 — sin(nx)·sin^n(x)

求函数

y = \sin nx \cdot \sin^{n} x

（

n

为常数）的导数。

解

y' = n \cos nx \cdot \sin^{n} x + \sin nx \cdot n \sin^{n - 1} x \cdot \cos x

= n \sin^{n - 1} x (\cos nx \cdot \sin x + \sin nx \cdot \cos x) = n \sin^{n - 1} x \cdot \sin (n + 1) x

| 习题 3－2

习题 3－2

1. 求下列函数的导数。

（1）

y = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x - 5

；

（2）

y = x^{2} e^{x}

；

（3）

y = \frac{x}{1 + x}

；

（4）

y = e^{x} \cos x

。

2. 求下列复合函数的导数。

（1）

y = {(2 x + 3)}^{5}

；

（2）

y = \sqrt{1 - 2 x}

；

（3）

y = \sin^{2} x

；

（4）

y = lncos x

。

习题 3－2 详细解析

1.（1）

【思路】和差求导法则，逐项求导。

【步骤】

y' = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1

【点拨】常数项

(- 5)' = 0

，不要多写。

（2）

【思路】积的求导法则。

【步骤】

y' = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = (x^{2} + 2 x) e^{x}

【点拨】提公因式

e^{x}

简化结果。

（3）

【思路】商的求导法则。

【步骤】

y' = \frac{(1 + x) - x}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}

（4）

【思路】积的求导法则。

【步骤】

y' = e^{x} (\cos x - \sin x)

2.（1）

【思路】链式法则，外层幂函数，内层线性函数。

【步骤】

y' = 5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2 = 10 {(2 x + 3)}^{4}

【点拨】链式法则一定要乘内层导数（这里是2）。

（2）

y' = - \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}}

（3）

y' = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x

（4）

y' = - \tan x

第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

| 一、隐函数求导法

1. 显函数与隐函数

定义 3－4 显函数

把形如

y = f (x)

的函数，称为显函数。

例如，

y = x^{2} + 1

，

y = \cos x + \ln x

等都是显函数，其特点是式子左端是因变量，右端是仅关于自变量的表达式。

定义 3－5 隐函数

由方程

F (x, y) = 0

所确定的函数，称为隐函数。

例如，在方程

x - y + 3 = 0

中，给

x

一个确定的值，相应地有唯一确定的

y

值与之对应，所以

y

是

x

的函数，事实上，由该方程解出

y

，便得到显函数

y = x + 3

。

又如，方程

xy = e^{x + y}

就无法把

y

表示成

x

的显函数。

由以上两例我们知道，有些隐函数可以化为显函数，叫做隐函数的显化。另外我们还知道有些隐函数是不易显化或无法显化，因此，我们就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。

2. 隐函数的求导方法

求方程

F (x, y) = 0

所确定的函数

y = f (x)

的导数的步骤：

隐函数求导法：将方程

F (x, y) = 0

的两端对

x

求导，注意

y

是

x

的函数，含

y

的项用复合函数求导法则，然后解出

y'

。

例 14

设

y = y (x)

由方程

x^{2} + y^{2} = 1

确定，求

y'

。

解方程两端对

x

求导：

2 x + 2 y \cdot y' = 0

解出

y'

：

y' = - \frac{x}{y}

例 15

设

y = y (x)

由方程

e^{y} + xy - e = 0

确定，求

y'

。

解方程两端对

x

求导：

e^{y} \cdot y' + y + xy' = 0

整理得

(e^{y} + x) y' = - y

，故

y' = - \frac{y}{e^{y} + x}

| 二、对数求导法

对于某些复杂的函数，特别是幂指函数或多个因式相乘相除的函数，先取对数再求导往往能简化运算。这种方法叫做对数求导法。

例 16

求

y = x^{x}

（

x > 0

）的导数。

解两端取对数：

\ln y = x \ln x

。

两端对

x

求导：

\frac{y'}{y} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

故

y' = y (\ln x + 1) = x^{x} (\ln x + 1)

。

例 17

求

y = \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}

的导数。

解两端取对数：

\ln | y | = \ln | x | + \frac{1}{2} \ln (1 - x^{2}) - 2 \ln (1 + x^{2})

两端对

x

求导：

\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{2 (1 - x^{2})} - \frac{4 x}{1 + x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1 - x^{2}} - \frac{4 x}{1 + x^{2}}

故

y' = y (\frac{1}{x} - \frac{x}{1 - x^{2}} - \frac{4 x}{1 + x^{2}})

。

| 三、参数方程确定的函数求导法

1. 参数方程所确定的函数定义

定义 3－6 参数方程

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点

M (x, y)

中的

x

、

y

都是某个变量

t

的函数，即

{\begin{matrix} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{matrix}

，并且对应的每一个允许值，由方程组所确定的点

M (x, y)

都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系

x

、

y

之间关系的变量

t

叫做参变量，简称参数。

定义 3－7 参数方程确定的函数

如果变量

x

、

y

之间的函数关系是通过参数

t

由参数方程

{\begin{matrix} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{matrix}

所确定的函数，则这种函数关系叫做参数方程所确定的函数。

2. 参数方程所确定的函数的求导公式

设函数

y = f (x)

由参数方程

{\begin{matrix} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{matrix}

确定，其中

φ (t)

和

ψ (t)

都可导，且

φ' (t) \neq 0

，则

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)}

例 18

设

{\begin{matrix} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{matrix}

，求

\frac{d y}{d x}

。

解

\frac{d y}{d x} = \frac{(b \sin t)'_{t}}{(a \cos t)'_{t}} = \frac{b \cos t}{- a \sin t} = - \frac{b}{a} \cot t

| 四、高阶导数

1. 高阶导数的概念

定义 3－8 二阶导数

如果函数

y = f (x)

的导数

f' (x)

在

x

点仍可导，则称

f' (x)

在

x

点的导数

[f' (x)]'

为函数

y = f (x)

在

x

点处的二阶导数，记作

y ″, f ″ (x), \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}}

即

f ″ (x) = [f' (x)]' = \frac{\lim_{Δx \to 0} f' (x + Δx) - f' (x)}{Δx}

类似地，若

y = f (x)

的二阶导数仍可导，称二阶导数的导数为

y = f (x)

的三阶导数；三阶导数的导数称为四阶导数；……；一般地，

(n - 1)

阶导数的导数叫做

n

阶导数，分别记作

y^{(3)}, y^{(4)}, \dots, y^{(n)}; f^{(3)} (x), f^{(4)} (x), \dots, f^{(n)} (x); 或 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \frac{d^{4} y}{d x^{4}}, \dots, \frac{d^{n} y}{d x^{n}}

定义 3－9 高阶导数

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。称

y = f (x)

的导数

f' (x)

为函数的一阶导数。

若函数

y = f (x)

在

x

处具有

n

阶导数，也称

y = f (x)

在

x

处

n

阶可导，而且由

n

阶导数的定义可知，在点

x

的某邻域内低于

n

阶的所有阶的导数都存在，并可由一阶导数开始逐阶求到

n

阶导数。因此，基本求导公式和求导法则、求导方法仍适用于计算函数的高阶导数。

2. 显函数的高阶导数

函数

y = f (x)

的导数

y' = f' (x)

仍然是

x

的函数。如果

f' (x)

仍然可导，则它的导数称为

f (x)

的二阶导数，记为

y ″

、

f ″ (x)

或

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，……一般地，

y

的

n - 1

阶导数的导数叫做

y

的

n

阶导数，记为

y^{(n)}

或

\frac{d^{n} y}{d x^{n}}

。二阶及以上的导数统称为高阶导数。

例 19

求

y = x e^{x}

的二阶导数。

解

y' = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}

y ″ = e^{x} + (1 + x) e^{x} = (2 + x) e^{x}

例 20

求

y = \sin x

的

n

阶导数。

解

y' = \cos x = \sin (x + \frac{π}{2})

y ″ = - \sin x = \sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2})

y ‴ = - \cos x = \sin (x + 3 \cdot \frac{π}{2})

由此可得

y^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{π}{2})

例 21（隐函数二阶导 — 重点难题）

求由方程

x - y + \frac{1}{2} \sin y = 0

所确定的隐函数

y

的二阶导数

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

解应用隐函数的求导方法，方程两端对

x

求导得

1 - \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cos y \cdot \frac{d y}{d x} = 0

于是

\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 - \cos y}

对上式两边再关于

x

求导，得

- \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{1}{2} \sin y \cdot {(\frac{d y}{d x})}^{2} + \frac{1}{2} \cos y \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0

关键步骤：把

\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 - \cos y}

代入，得

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 4 \sin y}{{(2 - \cos y)}^{3}}

例 22（参数方程二阶导 — 重点难题）

求由参数方程

{\begin{matrix} x = \ln (1 + t^{2}) \\ y = t - \arctan t \end{matrix}

所确定的函数

y = f (x)

的二阶导数。

解因为

\frac{d y}{d x} = \frac{(t - \arctan t)'}{[\ln (1 + t^{2})]'} = \frac{1 - \frac{1}{1 + t^{2}}}{\frac{2 t}{1 + t^{2}}} = \frac{t}{2}

关键步骤：对一阶导数再应用参数方程求导公式（除以

x'_{t}

），得

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{(\frac{t}{2})'}{[\ln (1 + t^{2})]'} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 t}{1 + t^{2}}} = \frac{1 + t^{2}}{4 t}

⚠️ 易错警示

参数方程求二阶导易错警示：

二阶导数

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

≠

\frac{y ″_{tt}}{x ″_{tt}}

！正确公式是：

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{(\frac{d y}{d x})'_{t}}{φ' (t)}

即：一阶导数对

t

求导后，再除以

x'_{t} = φ' (t)

。

| 习题 3－3

习题 3－3

1. 求由下列方程确定的隐函数

y

的导数

y'

。

（1）

x^{2} + xy + y^{2} = 3

；

（2）

e^{y} - e^{x} + xy = 0

。

2. 用对数求导法求下列函数的导数。

（1）

y = x^{\sin x}

（

x > 0

）；

（2）

y = \sqrt[3]{\frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 4)}}

。

3. 求下列参数方程确定的函数的导数

\frac{d y}{d x}

。

（1）

{\begin{matrix} x = t^{2} \\ y = t^{3} \end{matrix}

；

（2）

{\begin{matrix} x = a (t - \sin t) \\ y = a (1 - \cos t) \end{matrix}

。

4. 求下列函数的二阶导数。

（1）

y = x^{3} e^{x}

；

（2）

y = \ln (1 + x^{2})

。

习题 3－3 详细解析

1.（1）

【思路】隐函数求导，方程两边对

x

求导。

【步骤】

2 x + y + xy' + 2 yy' = 0

，解出

y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}

。

【点拨】

(xy)' = y + xy'

，积的求导不能漏掉

y

这一项！

（2）

e^{y} y' - e^{x} + y + xy' = 0

，故

y' = \frac{e^{x} - y}{e^{y} + x}

。

2.（1）

【思路】幂指函数

x^{\sin x}

，必用对数求导法。

【步骤】取对数

\ln y = \sin x \cdot \ln x

，求导得

y' = x^{\sin x} (\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x})

。

【点拨】看到

u {(x)}^{v (x)}

→ 必用对数求导法。

（2）取对数后分别求导，

y' = y \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4})

。

3.（1）

【思路】参数方程求导公式。

【步骤】

\frac{d y}{d x} = \frac{3 t^{2}}{2 t} = \frac{3 t}{2}

。

（2）

\frac{d y}{d x} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}

。

4.（1）

y ″ = (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x) e^{x}

。

（2）

y ″ = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}

。

【点拨】求二阶导数时，先把一阶导数化简再求导，可减少计算量。

第四节微分

| 一、微分的概念

1. 引例

实例 1 正方形面积增量

一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由

x_{0}

变为

x_{0} + Δx

（即边长增加了

Δx

），问此薄片的面积改变了多少？

解设此薄片的边长为

x

，面积为

A

，则

A

与

x

的函数关系为

A = x^{2}

。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量

x

自

x_{0}

取得增量

Δx

时，函数

A = x^{2}

相应的增量

ΔA

，即

ΔA = {(x_{0} + Δx)}^{2} - x_{0}^{2} = 2 x_{0} Δx + {(Δx)}^{2}

从图 3-5 中可以看出，

ΔA

为阴影部分面积之和。当

Δx

很小时，

ΔA

的值主要是由

2 x_{0} Δx

决定。

图 3-5 正方形面积增量

表 3-1

x_{0} = 1

附近

2 x_{0} Δx

、

{(Δx)}^{2}

和

ΔA

的值

$Δx$	$2 x_{0} Δx$	${(Δx)}^{2}$	$ΔA$
$0.001$	$0.002$	$0.000 001$	$0.002 001$
$0.002$	$0.004$	$0.000 004$	$0.004 004$
$0.003$	$0.006$	$0.000 009$	$0.006 009$
$0.004$	$0.008$	$0.000 016$	$0.008 016$
$0.005$	$0.010$	$0.000 025$	$0.010 025$

从表 3-1 中可以看出：

（1）

ΔA \approx 2 x_{0} Δx

，而

2 x_{0} Δx

是

Δx

的线性函数；

（2）

{(Δx)}^{2} = ΔA - 2 x_{0} Δx

，

{(Δx)}^{2}

是比

Δx

高阶的无穷小量（

Δx \to 0

）。

2. 实例 2

实例 2 自由落体运动

求自由落体运动中，物体由时刻

t

到

t + Δt

所经过路程的近似值。

解我们知道自由落体运动中，位移

s

与时间

t

的函数关系是

s = \frac{1}{2} g t^{2}

，当时间从

t_{0}

变化到

t_{0} + Δt

时，位移

s

相应的增量为

Δs

，即

Δs = \frac{1}{2} g {(t_{0} + Δt)}^{2} - \frac{1}{2} g t_{0}^{2} = g t_{0} Δt + \frac{1}{2} g {(Δt)}^{2}

上式表明，当

Δt

很小时，

Δs

的值主要是由

g t_{0} Δt

决定。

表 3-2

t_{0} = 1

，

g = 9.8

附近

g t_{0} Δt

、

{(Δt)}^{2}

和

Δs

的值

$Δt$	$g t_{0} Δt$	$\frac{1}{2} g {(Δt)}^{2}$	$Δs$
$0.001$	$0.009 8$	$0.000 0049$	$0.009 8049$
$0.002$	$0.019 6$	$0.000 0196$	$0.019 6196$
$0.003$	$0.029 4$	$0.000 0441$	$0.029 4441$
$0.004$	$0.039 2$	$0.000 0784$	$0.039 2784$
$0.005$	$0.049 0$	$0.000 1225$	$0.049 1225$

从以上两个实例可以看出，函数增量

Δy

可以分为两部分：其中一部分是

Δx

的线性函数（即

A \cdot Δx

，

A

为不依赖于

Δx

的常数），它是

Δy

的主要部分；另一部分是

Δx

的高阶无穷小量

o (Δx)

。

定义 3－10 微分

设函数

y = f (x)

在某区间内有定义，

x_{0}

及

x_{0} + Δx

在该区间内，如果函数的增量

Δy = f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})

可以表示为

Δy = A \cdot Δx + o (Δx)

其中

A

是不依赖于

Δx

的常数，

o (Δx)

是比

Δx

高阶的无穷小量，则称函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处可微，而

A \cdot Δx

叫做函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处对应于自变量增量

Δx

的微分，记为

d y

，即

d y = A \cdot Δx

| 二、可微与可导的关系

定理 3－7

函数

f (x)

在点

x

处可微的充要条件是函数

f (x)

在点

x

处可导。且

d y = f' (x) Δx

当

y = x

时，

d y = d x = (x)' \cdot Δx = Δx

，即自变量

x

的改变量

Δx

就是

x

的微分

d x

，所以函数

y = f (x)

在点

x

处微分又可写成

d y = f' (x) d x

，从而有

f' (x) = \frac{d y}{d x}

。这表明函数

f (x)

在点

x

处的导数就是在该点处函数的微分于自变量的微分的商，所以有时称导数为微商。

由于

f' (x) = \frac{d y}{d x}

可以看成

d y

除以

d x

，这是一种商的运算，因此有

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

，这正是反函数的求导法则。

例 23

求函数

y = x^{2}

在

x = 1

，

Δx = 0.001

时的增量与微分。

解函数增量

Δy |_{\begin{matrix} x = 1 \\ Δx = 0.001 \end{matrix}} = {(1 + 0.001)}^{2} - 1^{2} = 1.002 001 - 1 = 0.002 001

函数微分

d y = f' (x) d x = 2 x d x

d y |_{\begin{matrix} x = 1 \\ Δx = 0.001 \end{matrix}} = 2 \times 1 \times 0.001 = 0.002

| 三、微分的几何意义

一般地，在直角坐标系中，函数

y = f (x)

的图形是一条曲线。对于曲线上一点

M (x, y)

，当自变量

x

有微小增量

Δx

时，就得到曲线上另一点

N (x + Δx, y + Δy)

。从图 3-6 可知：

MQ = Δx

，

QN = Δy

。

过点

M

作曲线的切线

MT

，它的倾角为

α

，则

QP = MQ \cdot \tan α = Δx \cdot f' (x)

，即

d y = QP

即微分

d y

就是切线上对应于

Δx

的纵坐标的增量。当

Δx

很小时，

d y \approx Δy

，即可以用切线的纵增量来近似代替曲线的纵增量。

图 3-6 微分的几何意义

| 四、微分公式与微分运算法则

由

d y = f' (x) d x

，只要把导数公式和求导法则中的

f' (x)

乘以

d x

，即得微分公式和微分运算法则。

表 3-3 常用微分公式

函数	微分公式
$x^{n}$	$d (x^{n}) = n x^{n - 1} d x$
$\sin x$	$d (\sin x) = \cos x d x$
$\cos x$	$d (\cos x) = - \sin x d x$
$e^{x}$	$d (e^{x}) = e^{x} d x$
$\ln x$	$d (\ln x) = \frac{1}{x} d x$

微分运算法则

（1）

d (u \pm v) = d u \pm d v

（2）

d (uv) = v d u + u d v

（3）

d (\frac{u}{v}) = \frac{v d u - u d v}{v^{2}}

（

v \neq 0

）

| 五、微分在近似计算中的应用

由于

Δy \approx d y = f' (x) d x

，即

f (x_{0} + Δx) - f (x_{0}) \approx f' (x_{0}) Δx

，所以

f (x_{0} + Δx) \approx f (x_{0}) + f' (x_{0}) Δx

这个公式叫做微分近似公式，它是微分在近似计算中的基本公式。

由此可得几个常用的近似公式（当

| x |

很小时）：

\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{2} x

\sqrt[n]{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{n} x

{(1 + x)}^{α} \approx 1 + αx

\sin x \approx x ， \tan x \approx x

e^{x} \approx 1 + x

\ln (1 + x) \approx x

例 24

求

\sqrt{1.02}

的近似值。

解令

f (x) = \sqrt{x}

，

x_{0} = 1

，

Δx = 0.02

，则

\sqrt{1.02} = f (1 + 0.02) \approx f (1) + f' (1) \times 0.02

= 1 + \frac{1}{2 \sqrt{1}} \times 0.02 = 1 + 0.01 = 1.01

例 25

计算

\sin 31 °

的近似值。

解令

f (x) = \sin x

，

x_{0} = 30 ° = \frac{π}{6}

，

Δx = 1 ° = \frac{π}{180}

，则

\sin 31 ° \approx \sin 30 ° + \cos 30 ° \times \frac{π}{180}

= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{π}{180} \approx 0.5 + 0.8660 \times 0.01745 \approx 0.5151

| 习题 3－4

习题 3－4

1. 求下列函数的微分。

（1）

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 5

；

（2）

y = e^{- x} \sin x

；

（3）

y = \ln (1 + e^{x})

；

（4）

y = \arctan \sqrt{x}

。

2. 求下列函数的微分。

（5）

y = \frac{e^{2 x}}{x}

；

（6）

y = \arctan e^{x}

；

（7）

y = \arcsin \sqrt{1 - x^{2}}

；

（8）

y = \ln (\sec t - \tan t)

。

3. 求下列各式的近似值。

（1）

\sin 45 ° 30'

；

（2）

\arcsin 0.4992

；

（3）

\ln 0.995

；

（4）

\sqrt[4]{1010}

。

4. 利用微分，求由

{\begin{matrix} x = \ln t \\ y = t^{3} \end{matrix}

所确定的函数

y = f (x)

的一阶导数

\frac{d y}{d x}

及二阶导数

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

5. 水管壁的横切面是一个圆环，设它的内半径为 3 米，壁厚为 0.07 米，利用微分求圆环横切面的面积的近似值。

习题 3－4 详细解析

1.（1）

d y = (3 x^{2} - 6 x + 2) d x

（2）

y' = - e^{- x} \sin x + e^{- x} \cos x = e^{- x} (\cos x - \sin x)

，故

d y = e^{- x} (\cos x - \sin x) d x

。

（3）

y' = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}

，故

d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x

。

（4）

y' = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + x)}

，故

d y = \frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + x)} d x

。

2.（5）

y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot x - e^{2 x}}{x^{2}} = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{x^{2}}

，故

d y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{x^{2}} d x

。

（6）

d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x

。

（7）

d y = \frac{- x}{| x | \sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} d x

。

（8）

y' = \frac{\sec t \tan t - \sec^{2} t}{\sec t - \tan t} = \frac{\sec t (\tan t - \sec t)}{\sec t - \tan t} = - \sec t

，故

d y = - \sec t d t

。

3.（1）

\sin 45 ° 30' \approx \sin 45 ° + \cos 45 ° \cdot \frac{π}{360} \approx \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + \frac{π}{360}) \approx 0.7133

。

（2）令

f (x) = \arcsin x

，

x_{0} = 0.5

，

Δx = - 0.0008

，

\arcsin 0.4992 \approx \frac{π}{6} + \frac{1}{\sqrt{1 - 0.25}} \cdot (- 0.0008) \approx 0.5234

。

（3）

\ln 0.995 = \ln (1 - 0.005) \approx - 0.005

。

（4）

\sqrt[4]{1010} = \sqrt[4]{1000 (1 + 0.01)} \approx \sqrt[4]{1000} (1 + \frac{0.01}{4}) \approx 5.6234 \times 1.0025 \approx 5.6375

。

\frac{d y}{d x} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} = \frac{3 t^{2}}{1 / t} = 3 t^{3}

。

二阶导数：

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{(3 t^{3})'_{t}}{x'_{t}} = \frac{9 t^{2}}{1 / t} = 9 t^{3}

。

A = π r^{2}

，

d A = 2 πr d r

。取

r = 3

，

d r = 0.07

，

ΔA \approx 2 π \times 3 \times 0.07 = 0.42 π \approx 1.319

平方米。

附录核心题型与解题策略

🔧 求导工具箱

策略一：求导工具箱（怎么选方法？）

• 看到幂指函数

x^{x}

、

x^{\sin x}

→ 必用对数求导法

• 看到连乘连除（多个因式相乘除开方）→ 必用对数求导法

• 看到方程

F (x, y) = 0

→ 隐函数求导（两边对

x

求导）

• 看到参数方程 → 参数方程求导公式

• 多层嵌套函数 → 链式法则由外向里逐层求导

• 求近似值 → 微分近似公式

f (x_{0} + Δx) \approx f (x_{0}) + f' (x_{0}) Δx

⚠️ 避坑指南

策略二：避坑指南（哪里容易错？）

坑1：参数方程二阶导 — 千万别直接用

y ″_{tt} / x ″_{tt}

！要用链式法则。

坑2：积的求导 —

(xy)' \neq y'

，正确结果是

y + xy'

。

坑3：隐函数二阶导 — 结果中含

y'

时，必须代回一阶导数的结果。

坑4：常数项求导 —

(e)' = 0

（常数），

(e^{x})' = e^{x}

（指数函数）。

坑5：复合函数漏乘内层导数 —

(\sin 2 x)' = 2 \cos 2 x

，不是

\cos 2 x

。

复习题三

1. 判断题。

（1）设

y = f (x)

在

x_{0}

处可导，则

f' (x) = [f (x_{0})]'

。（）

（2）

(5^{x})' = x 5^{x - 1}

。（）

（3）函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处不可导，则

f (x)

在点

x_{0}

处一定不连续。（）

（4）若

y = \arctan (- x)

，则

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

。（）

（5）

f' (x_{0}) = [f (x_{0})]'

。（）

（6）若

y = f (x)

在

x_{0}

处可微，则

f (x)

在

x_{0}

处也一定可导。（）

2. 选择题。

（1）设

f (x)

在

x = x_{0}

处可导，则

f' (x_{0}) =

（）。

\frac{\lim_{Δx \to 0} f (x_{0} - Δx) - f (x_{0})}{Δx}

\frac{\lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{2 h}

\frac{\lim_{x \to 0} f (x_{0}) - f (x_{0} + 2 x)}{2 x}

\frac{\lim_{x \to 0} f (x) - f (0)}{x}

（2）函数

f (x)

在

x = x_{0}

处连续是函数

f (x)

在

x = x_{0}

处可导的（）。

A. 必要但非充分条件　　B. 充分但非必要条件　　C. 充分必要条件　　D. 即非充分又非必要条件

（3）若

f (x)

在

x = x_{0}

处可导，则

| f (x) |

在

x = x_{0}

（）。

A. 可导　　B. 不可导　　C. 连续但未必可导　　D. 不连续

（4）设函数

f (x)

在

x = 0

处可导，则

\frac{\lim_{h \to 0} f (2 h) - f (- 3 h)}{h} =

（）。

- f' (0)

f' (0)

5 f' (0)

2 f' (0)

（5）设

y = \ln | x |

，则

d y =

（）。

\frac{1}{| x |} d x

- \frac{1}{| x |} d x

\frac{1}{x} d x

　　D. 以上都不对

（6）函数的微分

d y = f' (x) d x

（）。

A. 只与

x

有关　　B. 只与

d x

有关　　C. 与

x

和

d x

都无关　　D. 与

x

和

d x

都有关

（7）设

f (x)

可导，则

\frac{\lim_{Δx \to 0} f^{2} (x + Δx) - f^{2} (x)}{Δx} =

（）。

0

2 f (x)

2 f' (x)

2 f (x) \cdot f' (x)

（8）函数

f (x) = {\begin{matrix} x, & x < 0 \\ x e^{x}, & x \geq 0 \end{matrix}

在

x = 0

处（）。

A. 连续　　B. 可导　　C. 可微　　D. 连续但不可导

（9）设

y = x \sin 3 x

，则

d y =

（）

d x

。

3 x \sin 3 x

\sin 3 x + 3 x \cos 3 x

- \sin 3 x + 3 \cos 3 x

\cos 3 x + 3 x \sin 3 x

（10）

y = | \sin x |

在

(0, 0)

点的切线方程为（）。

y = x

x = 0

y = 0

　　D. 不存在

3. 计算下列函数的导数。

（1）

y = (x \sqrt{x} + 3) e^{2 x}

。　　（2）

y = \frac{x^{5}}{\ln x}

。　　（3）

y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}

。

（4）

y = e^{\sin^{2} \frac{1}{x}}

。　　（5）

y = \frac{4}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x - 1}}

。　　（6）

y = \ln \sin^{2} x

。

4. 已知

{\begin{matrix} x = \ln t \\ y = t^{3} \end{matrix}

，求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{t = 1}

。

5. 已知

x + \arctan y = y

，求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

6. 已知

y = {(\frac{\sin x}{x})}^{x}

，求

y'

。

7. 试确定常数

a

、

b

的值，使函数

f (x) = {\begin{matrix} b (1 + \sin x) + a + 2, & x \geq 0 \\ e^{ax} - 1, & x < 0 \end{matrix}

处处可导。

8. 利用微分计算

\tan 45 ° 30'

的近似值。

复习题三详细解析

1. 判断题解析

【思路】判断题需紧扣定义，注意区分"导数"与"导数值"、"可导"与"连续"等易混概念。

（1）✗。

【分析】

f' (x)

是导函数，

f' (x_{0})

是

f (x)

在

x_{0}

处的导数值（一个常数）；而

[f (x_{0})]'

表示对常数

f (x_{0})

求导，结果为

0

。两者含义完全不同。

（2）✗。

【分析】

5^{x}

是指数函数，不是幂函数。正确公式：

(5^{x})' = 5^{x} \ln 5

。而

(x^{5})' = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}

才用幂函数公式。混淆指数函数与幂函数是常见错误。

（3）✗。

【分析】不可导不一定不连续。反例：

y = | x |

在

x = 0

处连续但不可导（左导数

= - 1

，右导数

= 1

）。正确关系：可导

\Rightarrow

连续，但连续

\Rightarrow ̸

可导。

（4）✗。

【分析】设

u = - x

，由链式法则：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + {(- x)}^{2}} \cdot (- x)' = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (- 1) = - \frac{1}{1 + x^{2}}

题目遗漏了复合函数的内层导数

(- x)' = - 1

。

（5）✗。

【分析】同（1），

f' (x_{0})

是函数在

x_{0}

处的导数值，而

[f (x_{0})]' = 0

。

f (x_{0})

是一个确定的常数，其导数为零。

（6）✓。

【分析】由定理 3－7：

f (x)

在点

x_{0}

处可微的充要条件是

f (x)

在

x_{0}

处可导，且

d y = f' (x_{0}) Δx

。因此可微

\Leftrightarrow

可导。

2. 选择题解析

（1）选 B。

【分析】由导数定义

f' (x_{0}) = \frac{\lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

，逐项检验：

A：

\frac{\lim_{Δx \to 0} f (x_{0} - Δx) - f (x_{0})}{Δx}

，令

h = - Δx

，得

\frac{\lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{- h} = - f' (x_{0})

，错。

B：

\frac{\lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{2 h} = \frac{\lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) - f (x_{0}) + f (x_{0}) - f (x_{0} - h)}{2 h} = \frac{f' (x_{0}) + f' (x_{0})}{2} = f' (x_{0})

，正确。

C：令

t = 2 x

，

\frac{\lim_{x \to 0} f (x_{0}) - f (x_{0} + 2 x)}{2 x} = - f' (x_{0})

，错。

D：仅当

x_{0} = 0

时才等于

f' (0)

，一般不对。

（2）选 A。

【分析】可导必连续，但连续不一定可导（如

| x |

在

x = 0

），故连续是可导的必要但非充分条件。

（3）选 C。

【分析】

f (x)

可导

\Rightarrow

f (x)

连续

\Rightarrow

| f (x) |

连续。但

| f (x) |

未必可导。反例：

f (x) = x

在

x = 0

可导，但

| f (x) | = | x |

在

x = 0

不可导。故选"连续但未必可导"。

（4）选 C。

【步骤】

\frac{\lim_{h \to 0} f (2 h) - f (- 3 h)}{h} = \lim_{h \to 0} [\frac{f (2 h) - f (0)}{h} + \frac{f (0) - f (- 3 h)}{h}]

= \lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{f (2 h) - f (0)}{2 h} + \lim_{h \to 0} 3 \cdot \frac{f (- 3 h) - f (0)}{- 3 h} \cdot (- 1) \cdot (- 1)

= 2 f' (0) + 3 f' (0) = 5 f' (0)

（5）选 C。

【分析】当

x > 0

时，

y = \ln x

，

d y = \frac{1}{x} d x

；当

x < 0

时，

y = \ln (- x)

，

d y = \frac{- 1}{- x} d x = \frac{1}{x} d x

。综合得

d y = \frac{1}{x} d x

（

x \neq 0

）。

（6）选 D。

【分析】

d y = f' (x) d x

中，

f' (x)

取决于

x

，且微分还包含

d x

作为因子，因此

d y

与

x

和

d x

都有关。

（7）选 D。

【步骤】利用导数定义：

\frac{\lim_{Δx \to 0} f^{2} (x + Δx) - f^{2} (x)}{Δx} = \frac{\lim_{Δx \to 0} [f (x + Δx) - f (x)] [f (x + Δx) + f (x)]}{Δx}

= \frac{\lim_{Δx \to 0} f (x + Δx) - f (x)}{Δx} \cdot \lim_{Δx \to 0} [f (x + Δx) + f (x)] = f' (x) \cdot 2 f (x)

【点拨】也可视为

[f^{2} (x)]' = 2 f (x) \cdot f' (x)

（复合函数求导）。

（8）选 B。

【步骤】检验

x = 0

处的连续性和可导性：

连续性：

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0

，

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 \cdot e^{0} = 0 = f (0)

，连续。

左导数：

f'_{-} (0) = \frac{\lim_{h \to 0^{-}} h - 0}{h} = 1

。

右导数：

f'_{+} (0) = \frac{\lim_{h \to 0^{+}} h e^{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} e^{h} = 1

。

左导数

=

右导数

= 1

，故

f (x)

在

x = 0

可导，

f' (0) = 1

。可导必可微，选 B。

（9）选 B。

【步骤】

y = x \sin 3 x

，由乘积法则：

y' = \sin 3 x + x \cdot 3 \cos 3 x = \sin 3 x + 3 x \cos 3 x

故

d y = (\sin 3 x + 3 x \cos 3 x) d x

。

（10）选 D。

【分析】

y = | \sin x |

在

x = 0

处：

左导数：

f'_{-} (0) = \frac{\lim_{h \to 0^{-}} | \sin h |}{h} = \frac{\lim_{h \to 0^{-}} - \sin h}{h} = - 1

。

右导数：

f'_{+} (0) = \frac{\lim_{h \to 0^{+}} | \sin h |}{h} = \frac{\lim_{h \to 0^{+}} \sin h}{h} = 1

。

左右导数不相等，

f (x)

在

x = 0

不可导，故切线不存在。

3. 计算下列函数的导数

（1）

y = (x \sqrt{x} + 3) e^{2 x}

。

【步骤】先化简

x \sqrt{x} = x^{3 / 2}

，然后用乘积法则：

y' = (x^{3 / 2} + 3)' \cdot e^{2 x} + (x^{3 / 2} + 3) \cdot (e^{2 x})'

= \frac{3}{2} x^{1 / 2} \cdot e^{2 x} + (x^{3 / 2} + 3) \cdot 2 e^{2 x}

= e^{2 x} (\frac{3}{2} \sqrt{x} + 2 x \sqrt{x} + 6) = e^{2 x} (2 x \sqrt{x} + \frac{3}{2} \sqrt{x} + 6)

（2）

y = \frac{x^{5}}{\ln x}

。

【步骤】用商法则：

y' = \frac{(x^{5})' \cdot \ln x - x^{5} \cdot (\ln x)'}{{(\ln x)}^{2}} = \frac{5 x^{4} \ln x - x^{5} \cdot \frac{1}{x}}{{(\ln x)}^{2}} = \frac{5 x^{4} \ln x - x^{4}}{{(\ln x)}^{2}} = \frac{x^{4} (5 \ln x - 1)}{{(\ln x)}^{2}}

（3）

y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}

。

【步骤】先化简为幂函数。从内到外：

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

，

x \sqrt{x} = x \cdot x^{1 / 2} = x^{3 / 2}

，

\sqrt{x \sqrt{x}} = x^{3 / 4}

，

x \sqrt{x \sqrt{x}} = x \cdot x^{3 / 4} = x^{7 / 4}

，

y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} = x^{7 / 8}

。

y' = \frac{7}{8} x^{- 1 / 8} = \frac{7}{8 \sqrt[8]{x}}

（4）

y = e^{\sin^{2} \frac{1}{x}}

。

【步骤】三层复合函数，逐层求导：

y' = e^{\sin^{2} \frac{1}{x}} \cdot 2 \sin \frac{1}{x} \cdot \cos \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})

= - \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{2}{x} \cdot e^{\sin^{2} \frac{1}{x}}

【点拨】利用

2 \sin u \cos u = \sin 2 u

化简。

（5）

y = \frac{4}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x - 1}}

。

【步骤】先有理化分母：

y = \frac{4 (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x - 1})}{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x - 1}) (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x - 1})} = \frac{4 (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x - 1})}{(1 + x) - (x - 1)} = 2 (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x - 1})

y' = 2 (\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}

（6）

y = \ln \sin^{2} x

。

【步骤】化简

y = 2 \ln | \sin x |

，则

y' = 2 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \cot x

【点拨】也可不化简，直接链式法则：

y' = \frac{1}{\sin^{2} x} \cdot 2 \sin x \cos x = \frac{2 \cos x}{\sin x} = 2 \cot x

。

4. 已知

{\begin{matrix} x = \ln t \\ y = t^{3} \end{matrix}

，求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 1}

。

【步骤】

一阶导数：

\frac{d y}{d x} = \frac{y'_{t}}{x'_{t}} = \frac{3 t^{2}}{1 / t} = 3 t^{3}

。

二阶导数：

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{(\frac{d y}{d x})'_{t}}{x'_{t}} = \frac{(3 t^{3})'_{t}}{1 / t} = \frac{9 t^{2}}{1 / t} = 9 t^{3}

当

t = 1

时：

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 1} = 9 \times 1^{3} = 9

。

5. 已知

x + \arctan y = y

，求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

【步骤】两边对

x

求导：

1 + \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot y' = y'

1 = y' - \frac{y'}{1 + y^{2}} = y' \cdot \frac{(1 + y^{2}) - 1}{1 + y^{2}} = \frac{y^{2} y'}{1 + y^{2}}

y' = \frac{1 + y^{2}}{y^{2}}

再对

x

求导得二阶导数：

y ″ = \frac{2 yy' \cdot y^{2} - (1 + y^{2}) \cdot 2 yy'}{y^{4}} = \frac{2 yy' [y^{2} - (1 + y^{2})]}{y^{4}} = \frac{2 yy' \cdot (- 1)}{y^{4}} = \frac{- 2 y'}{y^{3}}

将

y' = \frac{1 + y^{2}}{y^{2}}

代入：

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 2}{y^{3}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y^{2}} = - \frac{2 (1 + y^{2})}{y^{5}}

6. 已知

y = {(\frac{\sin x}{x})}^{x}

，求

y'

。

【步骤】取对数：

\ln y = x \ln \frac{\sin x}{x} = x (lnsin x - \ln x)

。

两边对

x

求导：

\frac{y'}{y} = (lnsin x - \ln x) + x (\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x})

= \ln \frac{\sin x}{x} + x \cot x - 1

因此：

y' = {(\frac{\sin x}{x})}^{x} (\ln \frac{\sin x}{x} + x \cot x - 1)

7. 试确定常数

a

、

b

的值，使函数

f (x) = {\begin{matrix} b (1 + \sin x) + a + 2, & x \geq 0 \\ e^{ax} - 1, & x < 0 \end{matrix}

处处可导。

【思路】处处可导要求在分段点

x = 0

处连续且左右导数相等。

连续性条件（

x \to 0

时左右极限相等）：

左极限：

\lim_{x \to 0^{-}} (e^{ax} - 1) = e^{0} - 1 = 0

。

右极限（即

f (0)

）：

f (0) = b (1 + \sin 0) + a + 2 = b + a + 2

。

由连续性：

b + a + 2 = 0

，即

a + b = - 2

……①

可导性条件（左右导数相等）：

左导数：

f'_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} (e^{ax})' |_{x = 0} = a \cdot e^{0} = a

。

右导数：

f'_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} [b (1 + \sin x) + a + 2]' |_{x = 0} = b \cos 0 = b

。

由

a = b

……②

联立①②：

a = b

，

2 a = - 2

，解得

a = b = - 1

。

8. 利用微分计算

\tan 45 ° 30'

的近似值。

【步骤】设

f (x) = \tan x

，则

f' (x) = \sec^{2} x

。

取

x_{0} = 45 ° = \frac{π}{4}

，

Δx = 30' = \frac{π}{360}

。

由近似公式

f (x_{0} + Δx) \approx f (x_{0}) + f' (x_{0}) Δx

：

\tan 45 ° 30' \approx \tan \frac{π}{4} + \sec^{2} \frac{π}{4} \cdot \frac{π}{360} = 1 + 2 \times \frac{π}{360} = 1 + \frac{π}{180} \approx 1.0175

本章小结

一、基本概念

导数，高阶导数，线性主部，微分。

二、基本公式

导数公式，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式。

三、基本方法

1. 导数定义求导数。

2. 利用导数公式与求导法则求导数。

3. 利用复合函数求导法则求导数。

4. 隐函数求导法。

5. 参数方程所确定函数求导法。

6. 对数求导法。

7. 利用微分运算法则求微分或导数。

四、要点解析

1. 复合函数求导法是函数求导的核心：利用复合函数求导法既可解决复合函数的求导问题，它又是隐函数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础。

2. 微分与导数的区别：导数与微分是本质上的两个不同的概念，在点

x

处的导数

f' (x)

是关于自变量的变化率，反映了函数

y

在点随自变量变化的快慢程度；而微分是以

x

和

x + Δx

为端点的微小区间上以函数

y

在点

x

的变化率

f' (x)

代替该小区间上任意点的变化率所带来的

y

的近似改变量。