高等应用数学 · 第1章代数与函数基础

本章介绍高等数学所需的代数基础和函数基本概念，包括指数与对数运算、函数的定义与性质、基本初等函数等内容，为后续极限、导数、积分的学习奠定基础。

第一节代数基础（指数与对数运算）

| 一、指数

1. 整数指数幂

设

a

为实数，

n

为正整数，则

n

个

a

连乘的积称为

a

的

n

次幂，记为

a^{n} = a \cdot a \cdot a \dots \underset{}{a}

其中

a

称为底数，

n

称为指数，

a^{n}

称为幂。

定义 1－1 零指数幂与负整数指数幂

设

a \neq 0

，则：

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} (n 为正整数)

2. 有理指数幂

在整数指数幂的基础上，我们可以将指数推广到有理数。

定义 1－2 有理指数幂

设

a > 0

，

m

为整数，

n

为正整数（

n \geq 2

），则规定：

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}

特别地，

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

表示

a

的

n

次算术根。

3. 实数指数幂

当指数推广到一般实数时，对于任意实数

α

和正实数

a

（

a \neq 1

），

a^{α}

都有确定的含义。无理指数幂可以用有理指数幂的极限来定义。

4. 指数运算法则

性质 1－1 指数运算法则

设

a > 0

，

b > 0

，

m

、

n

为任意实数，则：

法则 1（同底数幂相乘）：

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

法则 2（同底数幂相除）：

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

法则 3（幂的乘方）：

{(a^{m})}^{n} = a^{mn}

法则 4（积的乘方）：

{(ab)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

法则 5（商的乘方）：

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

例 1

计算下列各式：

（1）

2^{3} \cdot 2^{5}

；（2）

{(3^{2})}^{4}

；（3）

\frac{a^{5}}{a^{2}}

；（4）

8^{\frac{2}{3}}

；（5）

{(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}}

。

解

（1）

2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{3 + 5} = 2^{8} = 256

。

（2）

{(3^{2})}^{4} = 3^{2 \times 4} = 3^{8} = 6561

。

（3）

\frac{a^{5}}{a^{2}} = a^{5 - 2} = a^{3}

。

（4）

8^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4

。

（5）

{(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

。

例 2

化简：

\frac{a^{\frac{3}{2}} b^{- 1}}{a^{\frac{1}{2}} b^{- \frac{1}{2}}}

。

解运用同底数幂相除法则：

\frac{a^{\frac{3}{2}} b^{- 1}}{a^{\frac{1}{2}} b^{- \frac{1}{2}}} = a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot b^{- 1 - (- \frac{1}{2})} = a \cdot b^{- \frac{1}{2}} = \frac{a}{\sqrt{b}}

| 二、对数

1. 对数的定义

定义 1－3 对数

设

a > 0

且

a \neq 1

，如果

a^{b} = N

（

N > 0

），则

b

叫做以

a

为底

N

的对数，记作

b = \log_{a} N

其中

a

称为底数，

N

称为真数。

由对数的定义，对数式

b = \log_{a} N

与指数式

a^{b} = N

是等价的，两者可以互相转换。

注意

（1）以

10

为底的对数称为常用对数，记为

\lg N

，即

\lg N = \log_{10} N

。

（2）以无理数

e \approx 2.71828 \dots

为底的对数称为自然对数，记为

\ln N

，即

\ln N = \log_{e} N

。

（3）负数和零没有对数。

2. 对数的基本性质

性质 1－2 对数的基本性质

设

a > 0

且

a \neq 1

，则：

（1）

\log_{a} 1 = 0

（1 的对数等于零）；

（2）

\log_{a} a = 1

（底数的对数等于 1）；

（3）

a^{\log_{a} N} = N

（对数恒等式）；

（4）

\log_{a} a^{n} = n

（指数与对数互逆）。

3. 对数运算法则

性质 1－3 对数运算法则

设

a > 0

且

a \neq 1

，

M > 0

，

N > 0

，则：

法则 1（积的对数）：

\log_{a} (MN) = \log_{a} M + \log_{a} N

法则 2（商的对数）：

\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

法则 3（幂的对数）：

\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M

（

n

为任意实数）

例 3

用

\log_{a} x

、

\log_{a} y

、

\log_{a} z

表示下列各式：

（1）

\log_{a} \frac{xy}{z}

；（2）

\log_{a} \frac{\sqrt{x}}{y^{2} z^{3}}

。

解

（1）

\log_{a} \frac{xy}{z} = \log_{a} (xy) - \log_{a} z = \log_{a} x + \log_{a} y - \log_{a} z

。

（2）运用对数运算法则，逐步展开：

\log_{a} \frac{\sqrt{x}}{y^{2} z^{3}} = \log_{a} \sqrt{x} - \log_{a} (y^{2} z^{3})

= \log_{a} x^{\frac{1}{2}} - (\log_{a} y^{2} + \log_{a} z^{3})

= \frac{1}{2} \log_{a} x - 2 \log_{a} y - 3 \log_{a} z

4. 换底公式

定理 1－1 换底公式

设

a > 0

，

a \neq 1

，

c > 0

，

c \neq 1

，

N > 0

，则

\log_{a} N = \frac{\log_{c} N}{\log_{c} a}

特别地，当

c = 10

时，

\log_{a} N = \frac{\lg N}{\lg a}

；当

c = e

时，

\log_{a} N = \frac{\ln N}{\ln a}

。

推论

由换底公式可得推论：

\log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1

。

证明：

\log_{a} b \cdot \log_{b} a = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln a}{\ln b} = 1

。

例 4

计算下列各式：

（1）

\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 8

；（2）

\lg 2 + \lg 5

；（3）

\lg 25 + \lg 2 \cdot \lg 50

。

解

（1）

\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 8 = \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 2^{3} = \log_{2} 3 \cdot 3 \log_{3} 2

= 3 (\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 2) = 3 \times 1 = 3

。

（2）

\lg 2 + \lg 5 = \lg (2 \times 5) = \lg 10 = 1

。

（3）

\lg 25 + \lg 2 \cdot \lg 50 = \lg 5^{2} + \lg 2 \cdot \lg (5 \times 10)

= 2 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + 1)

= 2 \lg 5 + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 2

= \lg 5 (2 + \lg 2) + \lg 2

注意到

\lg 5 = \lg \frac{10}{2} = 1 - \lg 2

，代入得

= (1 - \lg 2) (2 + \lg 2) + \lg 2 = 2 + \lg 2 - 2 \lg 2 - {(\lg 2)}^{2} + \lg 2

= 2 - {(\lg 2)}^{2}

。

图 1-1 指数函数图形

图 1-2 对数函数图形

| 习题 1－1

习题 1－1

1. 计算题

（1）

{(- 2)}^{3} \cdot {(- 2)}^{4}

（2）

{(a^{3})}^{2} \cdot a^{- 4}

（3）

16^{\frac{3}{4}}

（4）

{(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}

（5）

\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}}

2. 用

\lg x

、

\lg y

表示下列各式

（1）

\lg x^{2} y

（2）

\lg \frac{\sqrt{x}}{y^{3}}

（3）

\lg \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y}}

3. 计算题

（1）

\lg 4 + \lg 25

（2）

\log_{3} 27

（3）

\log_{4} 2

（4）

\log_{9} 3

（5）

\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 8

习题 1－1 详细解析

1. 计算题解析

（1）

{(- 2)}^{3} \cdot {(- 2)}^{4} = {(- 2)}^{3 + 4} = {(- 2)}^{7} = - 128

。

要点：同底数幂相乘，指数相加。底数为负数时，注意奇数次幂为负，偶数次幂为正。

（2）

{(a^{3})}^{2} \cdot a^{- 4} = a^{6} \cdot a^{- 4} = a^{2}

。

要点：先用「幂的乘方」法则，再用「同底数幂相乘」法则。

（3）

16^{\frac{3}{4}} = {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8

。

要点：先将底数分解为素数的幂，再运用「幂的乘方」法则。

（4）

{(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} = \frac{{(\sqrt[3]{27})}^{2}}{{(\sqrt[3]{8})}^{2}} = \frac{9}{4}

。

要点：负指数先取倒数，再按有理指数幂计算。

（5）

\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}} = \frac{a^{\frac{7}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{7}{6} - \frac{1}{6}} = a

。

要点：分数指数先通分再运算。

2. 对数展开解析

（1）

\lg x^{2} y = \lg x^{2} + \lg y = 2 \lg x + \lg y

。

（2）

\lg \frac{\sqrt{x}}{y^{3}} = \lg \sqrt{x} - \lg y^{3} = \frac{1}{2} \lg x - 3 \lg y

。

（3）

\lg \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y}} = \frac{1}{3} \lg \frac{x^{2}}{y} = \frac{1}{3} (2 \lg x - \lg y) = \frac{2}{3} \lg x - \frac{1}{3} \lg y

。

3. 计算题解析

（1）

\lg 4 + \lg 25 = \lg (4 \times 25) = \lg 100 = 2

。

（2）

\log_{3} 27 = \log_{3} 3^{3} = 3

。

（3）

\log_{4} 2 = \log_{4} 4^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。

（4）

\log_{9} 3 = \log_{9} 9^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。

（5）方法一（换底公式）：

\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 8 = \frac{\ln 4}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 8}{\ln 4} = \frac{\ln 8}{\ln 2} = \log_{2} 8 = 3

方法二：

\log_{2} 4 = 2

，

\log_{4} 8 = \frac{3}{2}

，故原式

= 2 \times \frac{3}{2} = 3

。

第一节题型总结

题型一：指数幂的化简与计算

方法：(1) 将底数分解为素数的幂；(2) 运用指数运算法则统一底数；(3) 合并指数。常见技巧：负指数先取倒数，分数指数先化为根式。

题型二：对数的展开与合并

方法：积的对数拆和、商的对数拆差、幂的对数提指数。反向使用可将多个对数合并为一个。

题型三：换底公式的应用

方法：当对数连乘或底数不统一时，用换底公式

\log_{a} N = \frac{\ln N}{\ln a}

统一底数。典型结论：

\log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c

。

第二节函数

| 一、常量与变量

1. 变量的定义

我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。

2. 变量的表示

如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体，见表 1－1。

表 1-1 区间分类

区间的名称	区间满足的不等式	区间的记号
闭区间	$a \leq x \leq b$	$[a, b]$
开区间	$a < x < b$	$(a, b)$
半开区间	$a < x \leq b$	$(a, b]$
半开区间	$a \leq x < b$	$[a, b)$

图 1-3 区间在数轴上的表示

表 1－1 所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：

[a, + \infty)

：表示不小于

a

的实数的全体；

(- \infty, b)

：表示小于

b

的实数的全体；

(- \infty, + \infty)

：表示全体实数。

注意

- \infty

和

+ \infty

分别读作「负无穷大」和「正无穷大」，它们不是数，仅仅是记号。

3. 邻域

定义 1－4 邻域

设

a

与

δ

是两个实数，且

δ > 0

。满足不等式

| x - a | < δ

的实数

x

的全体称为点

a

的

δ

邻域，点

a

称为此邻域的中心，

δ

称为此邻域的半径。

图 1-4 邻域示意图

| 二、函数的概念

实例 1 汽车租赁

某汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为每天的基本租金 200 元加每千米收费 15 元。

（1）试建立租用一辆该种汽车一天的租车费与行车路程之间的函数关系；

（2）若某人某天付了 400 元租车费，问他开了多少千米？

解（1）设租车费为

y

（元），行车

x

（千米），则

y = 200 + 15 x .

（2）将 400 代入，得

400 = 200 + 15 x

，解之得

x \approx 13.3

千米。

实例 2 电压波

考察脉冲发生器所产生的一个单三角脉冲电压波（图 1－5），其电压

U

（伏）与时间

t

（微秒）之间的关系为：

当

0 \leq t \leq \frac{τ}{2}

时，

U = \frac{2 E}{τ} t

；当

\frac{τ}{2} < t \leq τ

时，

U = - \frac{2 E}{τ} (t - τ)

；当

t > τ

时，

U = 0

。

U = {\begin{matrix} \frac{2 E}{τ} t, & 0 \leq t \leq \frac{τ}{2} \\ - \frac{2 E}{τ} (t - τ), & \frac{τ}{2} < t \leq τ \\ 0, & t > τ \end{matrix}

图 1-5 单三角脉冲电压波

定义 1－5 函数

如果当变量

x

在其变化范围内任意取定一个数值时，变量

y

按照一定的法则

f

总有确定的数值与它对应，则称

y

是

x

的函数。变量

x

的变化范围叫做这个函数的定义域，通常

x

叫做自变量，

y

叫做函数值，变量

y

的变化范围叫做这个函数的值域。

注意

为了表明

y

是

x

的函数，我们用记号

y = f (x)

来表示。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。

1. 函数相等

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

2. 函数的表示方法

（1）解析法：用数学式子来表示自变量和因变量之间的对应关系。

（2）表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表。

（3）图示法：用坐标平面上曲线来表示函数。

注意

（1）在实例 2 中，

U

在定义域的不同区间上用不同的解析式来表示，这种函数称为分段函数。

（2）

y = C

（

C

为常数）也符合函数的定义，称其为常数函数。

| 三、函数的性质

1. 有界性

定义 1－6 有界性

如果对属于某一区间

I

的所有值都有

| f (x) | \leq M

成立，其中

M

是一个与

x

无关的常数，那么我们就称

f (x)

在区间

I

有界，否则就称无界。

例 1 函数

\cos x

在

(- \infty, + \infty)

内是有界的。因为对任意

x

，都有

| \cos x | \leq 1

。

2. 单调性

定义 1－7 单调性

如果函数

f (x)

在区间

(a, b)

内随着

x

增大而增大，即对于

(a, b)

内任意两点

x_{1}

及

x_{2}

，当

x_{1} < x_{2}

时有

f (x_{1}) < f (x_{2})

，则称函数

f (x)

在区间

(a, b)

内是单调增加的。

如果函数

f (x)

在区间

(a, b)

内随着

x

增大而减小，即当

x_{1} < x_{2}

时有

f (x_{1}) > f (x_{2})

，则称函数

f (x)

在区间

(a, b)

内是单调减少的。

例 2 函数

f (x) = x^{2}

在

(- \infty, 0)

上单调减少，在

(0, + \infty)

上单调增加。

图 1-10 单调性示意图

3. 奇偶性

定义 1－8 奇偶性

如果函数

f (x)

对于定义域内的任意

x

都满足

f (- x) = f (x)

，则

f (x)

叫做偶函数。

如果函数

f (x)

对于定义域内的任意

x

都满足

f (- x) = - f (x)

，则

f (x)

叫做奇函数。

注意

偶函数的图形关于

y

轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

图 1-9 奇偶函数对比图

4. 周期性

定义 1－9 周期性

对于函数

f (x)

，如果存在一个不为零的数

T

，使得

f (x + T) = f (x)

对于定义域内任何

x

都成立，则

f (x)

叫做周期函数，

T

是

f (x)

的周期。

注意

我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

例 3

\sin x

、

\cos x

是以

2 π

为周期的周期函数；

\tan x

是以

π

为周期的周期函数。

| 四、反函数

定义 1－10 反函数

设有函数

y = f (x)

，若变量

y

在函数的值域内任取值

y_{0}

时，变量

x

在函数的定义域内必有一值

x_{0}

与之对应，即

f (x_{0}) = y_{0}

，那么变量

x

是变量

y

的函数，称为函数

y = f (x)

的反函数，记作

x = φ (y)

。

定理 1－2 反函数的存在定理

若

y = f (x)

在

(a, b)

上严格增（减），其值域为

R

，则它的反函数必然在

R

上确定，且严格增（减）。

例 4

y = x^{2}

在

(- \infty, + \infty)

上不是严格增（减）的，故没有反函数。若限制

x \geq 0

，则

x = \sqrt{y}

就是其反函数。

在同一坐标平面内，

y = f (x)

与其反函数的图形关于直线

y = x

对称。

例 5 函数

y = 2^{x}

与

y = \log_{2} x

互为反函数，图形关于

y = x

对称，如图 1－6 所示。

图 1-6 互为反函数的图形

| 五、复合函数

定义 1－11 复合函数

若

y

是

u

的函数：

y = f (u)

，而

u

又是

x

的函数：

u = φ (x)

，且

φ (x)

的函数值的全部或部分在

f (u)

的定义域内，那么

y

通过

u

的联系也是

x

的函数，称为复合函数，记作

y = f [φ (x)]

。其中

u

叫做中间变量。

注意

并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

例 6 函数

y = \arcsin u

与

u = 2 + x^{2}

不能复合。因为对于

u = 2 + x^{2}

的任何

x

，

u \geq 2

，使

y = \arcsin u

无定义。

| 六、初等函数

1. 基本初等函数

五种基本初等函数如表 1－2 所示。

表 1-2 基本初等函数

函数名称	函数的记号	函数的性质
指数函数	$y = a^{x}$ ( $a > 0, a \neq 1$ )	不论 $x$ 为何值， $y$ 总为正数； $x = 0$ 时 $y = 1$
对数函数	$y = \log_{a} x$ ( $a > 0, a \neq 1$ )	图形在 $y$ 轴右侧，过 $(1, 0)$ 点
幂函数	$y = x^{a}$ , $a \in R$	$a$ 为正奇数时为奇函数； $a$ 为正偶数时为偶函数
三角函数	$y = \sin x$ （正弦函数）	以 $2 π$ 为周期；奇函数且 $\| \sin x \| \leq 1$
反三角函数	$y = \arcsin x$	函数值限制在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ （主值）

图 1-7 基本初等函数图形

2. 初等函数

定义 1－12 初等函数

由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数。

例 7

y = 2^{\cos x} + \ln (\sqrt[3]{4^{3 x} + 3} + \sin 8 x)

是初等函数，

y = | x |

不是初等函数。

| 复习题一

复习题一

1. 填空题。

（1）函数

y = f (x)

与其反函数

y = φ (x)

的图形关于 ______ 对称。

（2）若

f (x)

的定义域是

[0, 1]

，则

f (x + 1)

的定义域是 ______。

（3）

y = \sqrt{x}

的反函数是 ______。

（4）

f (x) = x + 1

，

g (x) = x^{2} - 1

，则

f [g (x) + 1] =

______。

（5）

y = \log_{2} (\sin x + 2)

是由简单函数 ______ 复合而成。

（6）

f (x) = x^{2} + 1

，

g (x) = \sin 2 x

，则

f [g (x)] =

______。

2. 选择题。

（1）下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）

\sin x

x + 1

x + x^{3}

x^{2}

（2）设

f (x) = 4 x^{2} + bx + 5

，若

f (x + 1) - f (x) = 8 x + 3

，则

b

应为（）

A. 1 　 B.

- 1

　 C. 2 　 D.

- 2

（3）

f (x) = \sin (x - π)

是（）

A. 有界函数　 B. 周期函数　 C. 奇函数　 D. 偶函数

3. 求定义域：

y = \sqrt{3 - x} + \arcsin \frac{x}{4}

。

4. 求下列函数的定义域：

（1）

y = \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}

（2）

y = \frac{1}{\ln (1 - x)}

（3）

y = \sqrt{\lg (x + 2) + 1}

（4）

y = lgsin x

5. 设

f (x) = x^{2}

，

g (x) = e^{x}

，求

f [g (x)]

，

g [f (x)]

，

f [f (x)]

，

g [g (x)]

。

复习题一详细解析

1. 填空题解析

（1）答案：直线

y = x

。若点

(a, b)

在

y = f (x)

图形上，则

(b, a)

在反函数图形上，

(a, b)

与

(b, a)

关于

y = x

对称。

（2）答案：

[- 1, 0]

。需

x + 1 \in [0, 1]

，即

- 1 \leq x \leq 0

。

（3）答案：

y = x^{2}

（

x \geq 0

）。由

y = \sqrt{x}

得

x = y^{2}

（

y \geq 0

），交换得

y = x^{2}

（

x \geq 0

）。

（4）答案：

x^{2} + 1

。

g (x) + 1 = x^{2}

，故

f [g (x) + 1] = f (x^{2}) = x^{2} + 1

。

（5）答案：

y = \log_{2} u

与

u = \sin x + 2

。

（6）答案：

\sin^{2} 2 x + 1

。

f [g (x)] = {(\sin 2 x)}^{2} + 1

。

2. 选择题解析

（1）答案：C。

f (x) = x + x^{3}

，

f (- x) = - f (x)

且

f' (x) = 1 + 3 x^{2} > 0

。

（2）答案：B（

b = - 1

）。

f (x + 1) - f (x) = 8 x + 4 + b = 8 x + 3

，故

b = - 1

。

（3）答案：A、B、C 均正确（单选取 C）。

f (x) = \sin (x - π) = - \sin x

。

3. 定义域：

3 - x \geq 0

且

- 1 \leq \frac{x}{4} \leq 1

，交集

[- 4, 3]

。

4.（1）

(x - 1) (x - 3) \geq 0

，定义域

(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)

。

（2）

1 - x > 0

且

\ln (1 - x) \neq 0

，定义域

(- \infty, 0) \cup (0, 1)

。

（3）

\lg (x + 2) \geq - 1

且

x + 2 > 0

，定义域

[- 1.9, + \infty)

。

（4）

\sin x > 0

，定义域

(2 kπ, (2 k + 1) π)

，

k

为整数。

f [g (x)] = e^{2 x}

，

g [f (x)] = e^{x^{2}}

，

f [f (x)] = x^{4}

，

g [g (x)] = e^{e^{x}}

。

第二节题型总结

题型一：求函数的定义域

方法：列限制条件取交集。分母

\neq 0

、偶次根号下

\geq 0

、对数真数

> 0

、

\arcsin

自变量

\in [- 1, 1]

。

题型二：判断函数的奇偶性

方法：验证

f (- x) = f (x)

（偶）或

f (- x) = - f (x)

（奇）。前提是定义域关于原点对称。

题型三：求反函数

步骤：(1) 由

y = f (x)

解出

x = φ (y)

；(2) 交换

x

、

y

；(3) 确定反函数定义域。

题型四：复合函数的分解与求值

方法：识别外层和内层函数，逐层代入。注意内层值域须在外层定义域内。

题型五：函数相等的判断

方法：定义域相同且对应关系相同。注意化简后再比较。

本章小结

一、基本概念

指数运算、对数运算、函数、基本初等函数、初等函数、反函数、复合函数。

二、核心公式

指数运算法则：

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

，

{(a^{m})}^{n} = a^{mn}

，

{(ab)}^{n} = a^{n} b^{n}

。

对数运算法则：

\log_{a} (MN) = \log_{a} M + \log_{a} N

，

\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

，

\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M

。

换底公式：

\log_{a} N = \frac{\log_{c} N}{\log_{c} a}

。

三、函数的四大性质

（1）有界性：

| f (x) | \leq M

。（2）单调性：

x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})

或

f (x_{1}) > f (x_{2})

。

（3）奇偶性：

f (- x) = f (x)

（偶）或

f (- x) = - f (x)

（奇）。（4）周期性：

f (x + T) = f (x)

。

四、五种基本初等函数

指数函数

y = a^{x}

、对数函数

y = \log_{a} x

、幂函数

y = x^{a}

、三角函数、反三角函数。

五、基本方法

(1) 求定义域：列限制条件取交集。(2) 判断奇偶性。(3) 求反函数。(4) 复合函数分析。(5) 指数与对数互转。