高等应用数学 · 第5章向量代数与空间解析几何

第一节空间向量及空间直角坐标系

| 一、空间向量概念

向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向。例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量。

在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

向量的表示以

A

为起点、

B

为终点的有向线段所表示的向量记作

\vec{A B}

，向量可用粗体字母表示，如

a

，

r

，

v

，

F

。

自由向量由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量。因此，如果向量

a

和

b

的大小相等，且方向相同，则说向量

a

和

b

是相等的，记为

a = b

，相等的向量经过平移后可以完全重合。

向量的模向量的大小叫做向量的模，向量

a

，

\vec{a}

，

\vec{A B}

的模分别记为

| a)

，

| \vec{a})

，

| \vec{A B})

。

单位向量模等于

1

的向量叫做单位向量。

零向量模等于

0

的向量叫做零向量，记作

0

或

\vec{0}

，零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的。

向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行。向量

a

与

b

平行，记作

a ∥ b

。零向量认为是与任何向量都平行。

当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上，因此，两向量平行又称两向量共线。

类似还有共面的概念。设有

k

（

k \geq 3

）个向量。当把它们的起点放在同一点时，如果

k

个终点和公共起点在一个平面上，就称这

k

个向量共面。

| 二、空间向量的线性运算

1. 向量的加减法

三角形法则平移向量使

b

的起点与

a

的终点重合，此时从

a

的起点到

b

的终点的向量即

a + b

。

图 5-1 三角形法则

平行四边形法则以

a

、

b

为邻边作一平行四边形，对角线向量等于

a + b

。

图 5-2 平行四边形法则

向量加法的运算规律

（1）交换律：

a + b = b + a

；

（2）结合律：

(a + b) + c = a + (b + c)

。

由于向量的加法符合交换律与结合律，故

n

个向量

a_{1}

，

a_{2}

，

\dots

，

a_{n}

（

n \geq 3

）相加可写成

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n},

并按向量相加的三角形法则，可得

n

个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量

a_{1}

，

a_{2}

，

\dots

，

a_{n}

，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和。

负向量设

a

为一向量，与

a

的模相同而方向相反的向量叫做

a

的负向量，记为

- a

。

向量的减法我们规定两个向量

b

与

a

的差为

b - a = b + (- a) .

即把向量

- a

加到向量

b

上，便得

b

与

a

的差

b - a

。

特别地，当

b = a

时，有

a - a = a + (- a) = 0 .

显然，任给一向量

\vec{A B}

及点

O

，有

\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{O B} - \vec{O A} .

因此，若把向量

a

与

b

移到同一起点，则从

a

的终点向

b

的终点所引向量便是向量

b

与

a

的差

b - a

。

图 5-3 向量的减法

三角不等式

| a + b) \leq | a) + | b) 及 | a - b) \leq | a) + | b),

其中等号在

b

与

a

同向或反向时成立。

2. 向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义：

向量与数的乘法

向量

a

与实数

λ

的乘积记作

λ a

，规定

λ a

是一个向量，它的模

| λ a) = | λ) | a)

，它的方向当

λ > 0

时与

a

相同，当

λ < 0

时与

a

相反。

当

λ = 0

时，

| λ a) = 0

，即

λ a

为零向量，这时它的方向可以是任意的。

特别地，当

λ = \pm 1

时，有

1 a = a, (- 1) a = - a .

向量与数的乘法的运算规律

（1）结合律：

λ (μ a) = μ (λ a) = (λ μ) a

；

（2）分配律：

(λ + μ) a = λ a + μ a

；

λ (a + b) = λ a + λ b

。

例 1

在平行四边形

A B C D

中，设

\vec{A B} = a

，

\vec{A D} = b

，

M

是对角线交点，用

a

和

b

表示

\vec{M A}

，

\vec{M B}

，

\vec{M C}

，

\vec{M D}

。

解由于

M

是平行四边形对角线交点，即对角线的中点。

a + b = \vec{A C} = 2 \vec{A M}

，于是

\vec{M A} = - \frac{1}{2} (a + b) .

因为

\vec{M C} = - \vec{M A}

，所以

\vec{M C} = \frac{1}{2} (a + b)

。

又因

- a + b = \vec{B D} = 2 \vec{M D}

，所以

\vec{M D} = \frac{1}{2} (b - a)

。

由于

\vec{M B} = - \vec{M D}

，所以

\vec{M B} = \frac{1}{2} (a - b)

。

单位向量设

a \neq 0

，则向量

\frac{a}{| a)}

是与

a

同方向的单位向量，记为

a^{0}

。于是

a = | a) a^{0} .

定理 5－1

设向量

a \neq 0

，那么，向量

b

平行于

a

的充分必要条件是存在唯一的实数

λ

，使

b = λ a

。

证明从略。

| 三、空间直角坐标系

在空间取定一点

O

和三个两两垂直的单位向量

i

，

j

，

k

，就确定了三条都以

O

为原点的两两垂直的数轴，依次记为

x

轴（横轴）、

y

轴（纵轴）、

z

轴（竖轴），统称为坐标轴，它们构成一个空间直角坐标系，称为

O x y z

坐标系。

注意（1）通常三个数轴应具有相同的长度单位；

（2）通常把

x

轴和

y

轴配置在水平面上，而

z

轴则是铅垂线；

（3）数轴的正向通常符合右手规则。

图 5-3 空间直角坐标系

坐标面任意两个坐标轴可以确定一个平面，称为坐标面。

x

轴及

y

轴所确定的坐标面叫做

x O y

面，另两个坐标面是

y O z

面和

z O x

面。

卦限三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限，它位于

x O y

面的上方，在

x O y

面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限，在

x O y

面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限，八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。

| 习题 5－1

习题 5－1

1. 在空间直角坐标系中指出下列各点的位置：

A (- 1, 3, 2)

，

B (2, 0, 0)

，

C (0, 3, 4)

，

D (1, 2, 1)

。

2. 求点

M (a, b, c)

关于各坐标面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标。

3. 非零向量

a

、

b

满足下列关系式时应具有什么特点：

　（1）

| a + b) = | a - b)

；　（2）

| a + b) = | a) + | b)

。

4. 设

△ A B C

，

M

为

B C

中点，

N

为

C A

中点，

P

为

A B

中点，用

a = \vec{B C}

，

b = \vec{C A}

，

c = \vec{A B}

表示

\vec{A M}

，

\vec{B N}

，

\vec{C P}

。

习题 5－1 详细解析

1. 根据坐标的正负号及是否含零分量判断点的位置：

A (- 1, 3, 2)

：

x < 0

，

y > 0

，

z > 0

，位于第二卦限（

x

负，

y

正，

z

正）。

B (2, 0, 0)

：

y = z = 0

，仅

x = 2 > 0

，点

B

在

x

轴正半轴上。

C (0, 3, 4)

：

x = 0

，

y > 0

，

z > 0

，点

C

在

y O z

坐标面上（

y > 0

，

z > 0

的部分）。

D (1, 2, 1)

：三个坐标均为正，位于第一卦限。

判断技巧：先看是否有零坐标——一个零分量表示在坐标面上，两个零分量表示在坐标轴上，三个零分量即原点。无零分量则根据正负号判定卦限。

2. 对称的基本规则——「改变不属于对称对象的坐标的符号」：

关于

x O y

面对称：

z

轴方向「翻转」，得

(a, b, - c)

。

关于

y O z

面对称：

x

轴方向翻转，得

(- a, b, c)

。

关于

x O z

面对称：

y

轴方向翻转，得

(a, - b, c)

。

关于

x

轴对称：保留

x

（属于

x

轴），翻转

y

、

z

，得

(a, - b, - c)

。

关于

y

轴对称：保留

y

，翻转

x

、

z

，得

(- a, b, - c)

。

关于

z

轴对称：保留

z

，翻转

x

、

y

，得

(- a, - b, c)

。

关于原点对称：全部翻转，得

(- a, - b, - c)

。

记忆口诀：「属于谁就保谁，其余变号」——属于某坐标面的两个坐标不变，属于某坐标轴的一个坐标不变。

3.（1）两边平方展开：

{| a + b)}^{2} = {| a)}^{2} + 2 a \cdot b + {| b)}^{2}

，

{| a - b)}^{2} = {| a)}^{2} - 2 a \cdot b + {| b)}^{2}

。

令二者相等：

{| a)}^{2} + 2 a \cdot b + {| b)}^{2} = {| a)}^{2} - 2 a \cdot b + {| b)}^{2}

，

化简得

4 a \cdot b = 0

，即

a \cdot b = 0

。因此

a ⊥ b

（两向量互相垂直）。

几何直观：

| a + b)

与

| a - b)

分别是以

a

、

b

为邻边的平行四边形的两条对角线长度。两条对角线相等意味着平行四边形是矩形，即

a ⊥ b

。

（2）两边平方：

{| a + b)}^{2} = {(| a) + | b))}^{2}

。

左边展开：

{| a)}^{2} + 2 a \cdot b + {| b)}^{2}

。右边展开：

{| a)}^{2} + 2 | a) | b) + {| b)}^{2}

。

化简得

a \cdot b = | a) | b)

，即

| a) | b) \cos θ = | a) | b)

，因此

\cos θ = 1

，

θ = 0

。

故

a

与

b

方向相同（同向平行）。

几何直观：三角不等式

| a + b) \leq | a) + | b)

取等号

\Leftrightarrow

三角形退化为一条线段

\Leftrightarrow

a

、

b

同向。

易错点：

a ∥ b

包含同向和反向两种情况，但此题条件更强——只有同向才成立（反向时

| a + b) = |) a | -) b |) \neq | a) + | b)

）。

4. 首先建立闭合向量关系：

a + b + c = \vec{B C} + \vec{C A} + \vec{A B} = 0

。

求

\vec{A M}

：

M

为

B C

中点，

\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = c + \frac{1}{2} a

。

（用

c = - a - b

化简：

\vec{A M} = - a - b + \frac{1}{2} a = - \frac{1}{2} a - b

。两种表示等价。）

求

\vec{B N}

：

N

为

C A

中点，

\vec{B N} = \vec{B C} + \vec{C N} = a + \frac{1}{2} b

。

求

\vec{C P}

：

P

为

A B

中点，

\vec{C P} = \vec{C A} + \vec{A P} = b + \frac{1}{2} c

。

验证：

\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = (c + \frac{1}{2} a) + (a + \frac{1}{2} b) + (b + \frac{1}{2} c) = \frac{3}{2} (a + b + c) = 0

✓ 这说明三条中线首尾相接能构成封闭三角形。

解题技巧：向量的线性表示问题，核心是「搭桥」——利用三角形法则

\vec{A B} = \vec{A C} + \vec{C B}

从已知向量逐步拼出目标向量。中点条件提供

\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}

这类「半步」。

第二节向量的坐标表示

| 一、向量的坐标表示

基本单位向量

i

，

j

，

k

分别沿

O x

，

O y

，

O z

轴正方向。对于任一向量

r = \vec{O M}

，有

r = x i + y j + z k \leftrightarrow (x, y, z) .

图 5-4 向量的坐标表示

| 二、向量的代数运算

设

a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})

，

b = (b_{x}, b_{y}, b_{z})

，则

向量的坐标运算公式

a + b = (a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}, a_{z} + b_{z}),

a - b = (a_{x} - b_{x}, a_{y} - b_{y}, a_{z} - b_{z}),

λ a = (λ a_{x}, λ a_{y}, λ a_{z}) .

平行的坐标条件：

b ∥ a \Leftrightarrow \frac{b_{x}}{a_{x}} = \frac{b_{y}}{a_{y}} = \frac{b_{z}}{a_{z}}

。

例 1

求解以向量为未知元的线性方程组

{\begin{matrix} 5 x - 3 y = a \\ 3 x - 2 y = b \end{matrix})

，其中

a = (2, 1, 2)

，

b = (- 1, 1, - 2)

。

解如同解二元一次线性方程组。由第一式

\times 2

减第二式

\times 3

：

10 x - 6 y - (9 x - 6 y) = 2 a - 3 b

，得

x = 2 a - 3 b

。

代入坐标：

x = 2 (2, 1, 2) - 3 (- 1, 1, - 2) = (4, 2, 4) - (- 3, 3, - 6) = (7, - 1, 10)

。

类似地，

y = 3 a - 5 b = 3 (2, 1, 2) - 5 (- 1, 1, - 2) = (6, 3, 6) - (- 5, 5, - 10) = (11, - 2, 16)

。

例 2 定比分点公式

设

M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})

，

M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})

，点

M

在

M_{1} M_{2}

上且

\vec{M_{1} M} = λ \vec{M M_{2}}

，求

M

的坐标。

解设

M (x, y, z)

。由

\vec{M_{1} M} = λ \vec{M M_{2}}

得各分量：

x - x_{1} = λ (x_{2} - x)

，解得

x (1 + λ) = x_{1} + λ x_{2}

，即

x = \frac{x_{1} + λ x_{2}}{1 + λ}, y = \frac{y_{1} + λ y_{2}}{1 + λ}, z = \frac{z_{1} + λ z_{2}}{1 + λ} .

此即定比分点公式。特别地，当

λ = 1

时（即

M

为中点）：

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, z = \frac{z_{1} + z_{2}}{2} .

易错点：

λ < 0

时

M

在

M_{1} M_{2}

延长线上（外分点），此时

1 + λ

可能为零（

λ = - 1

时无意义，即中点不存在外分）。

两点间距离公式

两点距离：

| \vec{A B}) = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} . （公式 5–1）

向量的模：

| a) = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}

。（公式 5－2）

例 3 利用距离公式证明等腰三角形

已知

A (1, 3, 2)

，

B (3, 2, 5)

，

C (2, 0, 4)

，证明

△ A B C

是等腰三角形。

解分别计算三边长：

| A B) = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(2 - 3)}^{2} + {(5 - 2)}^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}

，

| A C) = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(0 - 3)}^{2} + {(4 - 2)}^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}

，

| B C) = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(4 - 5)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

。

因为

| A B) = | A C) = \sqrt{14}

，故

△ A B C

为等腰三角形（

A

为顶角顶点）。

方法总结：证明特殊三角形（等腰、等边、直角）的统一方法是「算三边长，看关系」。

例 4 轴上求等距点

在

z

轴上求一点

M

，使它到

A (1, 0, 2)

和

B (1, 1, 1)

的距离相等。

解

z

轴上的点形如

M (0, 0, z)

。

条件

| M A) = | M B)

，即

{| M A)}^{2} = {| M B)}^{2}

：

{(0 - 1)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = {(0 - 1)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2}

，

1 + z^{2} - 4 z + 4 = 1 + 1 + z^{2} - 2 z + 1

，

5 - 4 z = 3 - 2 z

，解得

z = 1

。

所求点为

M (0, 0, 1)

。验证：

| M A) = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}

，

| M B) = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}

✓。

解题套路：在某轴上求点，先设坐标（令另外两个分量为零），再列等距方程。

例 5

已知

A (4, 0, 5)

，

B (7, 1, 3)

，求与

\vec{A B}

同向的单位向量

e

。

解第一步：求向量。

\vec{A B} = B - A = (7 - 4, 1 - 0, 3 - 5) = (3, 1, - 2)

。

第二步：求模。

| \vec{A B}) = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}

。

第三步：单位向量

e = \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B})} = \frac{1}{\sqrt{14}} (3, 1, - 2)

。

图 5-5 方向角与方向余弦

方向余弦公式

\cos α = \frac{a_{x}}{| a)}, \cos β = \frac{a_{y}}{| a)}, \cos γ = \frac{a_{z}}{| a)} . （公式 5–3）

\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1

。单位向量

a^{0} = (\cos α, \cos β, \cos γ)

。（公式 5－4）

例 6

求

a = i + j - k = (1, 1, - 1)

的长度、方向余弦及

a^{0}

。

解

| a) = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{3}

。

方向余弦：

\cos α = \frac{1}{\sqrt{3}}

，

\cos β = \frac{1}{\sqrt{3}}

，

\cos γ = \frac{- 1}{\sqrt{3}}

。

单位向量：

a^{0} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, - 1) = \frac{1}{\sqrt{3}} a

。

| 习题 5－2

习题 5－2

1. 已知

a = 2 i - j + k

，求：（1）

| a)

；（2）

a

的方向余弦；（3）

a^{0}

。

2. 已知

a = (2, 1, 2)

，

b = (- 1, 1, - 2)

，求：（1）

2 a

；（2）

a - 3 b

；（3）

2 a + b

；（4）

3 a - 2 b

。

3. 三角形

A (2, - 1, 3)

，

B (3, 1, 6)

，

C (1, 2, 4)

，求三边长。

4. 已知

M (1, \sqrt{2}, 1)

，求

\vec{O M}

与坐标轴夹角。

习题 5－2 详细解析

a = (2, - 1, 1)

。

（1）

| a) = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

。

（2）方向余弦：

\cos α = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

，

\cos β = \frac{- 1}{\sqrt{6}} = - \frac{\sqrt{6}}{6}

，

\cos γ = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}

。

（3）单位向量：

a^{0} = (\cos α, \cos β, \cos γ) = \frac{1}{\sqrt{6}} (2, - 1, 1)

。

验证：

\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = \frac{4 + 1 + 1}{6} = 1

✓

a = (2, 1, 2)

，

b = (- 1, 1, - 2)

。

（1）

2 a = 2 (2, 1, 2) = (4, 2, 4)

。

（2）

a - 3 b = (2, 1, 2) - 3 (- 1, 1, - 2) = (2, 1, 2) - (- 3, 3, - 6) = (5, - 2, 8)

。

（3）

2 a + b = (4, 2, 4) + (- 1, 1, - 2) = (3, 3, 2)

。

（4）

3 a - 2 b = 3 (2, 1, 2) - 2 (- 1, 1, - 2) = (6, 3, 6) - (- 2, 2, - 4) = (8, 1, 10)

。

第一步：计算各边向量。

\vec{A B} = B - A = (1, 2, 3)

，

\vec{B C} = C - B = (- 2, 1, - 2)

，

\vec{A C} = C - A = (- 1, 3, 1)

。

第二步：求模。

| A B) = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

，

| B C) = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3

，

| A C) = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}

。

验证（选做）：检查是否满足三角不等式

| A B) - | B C) < | A C) < | A B) + | B C)

，即

\sqrt{14} - 3 \approx 0.74 < \sqrt{11} \approx 3.32 < \sqrt{14} + 3 \approx 6.74

✓

\vec{O M} = (1, \sqrt{2}, 1)

。

第一步：

| \vec{O M}) = \sqrt{1 + 2 + 1} = 2

。

第二步：

\cos α = \frac{1}{2}

，

\cos β = \frac{\sqrt{2}}{2}

，

\cos γ = \frac{1}{2}

。

第三步：

α = \frac{π}{3} = 60 °

，

β = \frac{π}{4} = 45 °

，

γ = \frac{π}{3} = 60 °

。

验证：

\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1

✓

第三节向量的数量积与向量积

| 一、两向量的数量积

实例 1 力所做的功

力

F

沿直线从

A

移动到

B

，位移

s = \vec{A B}

，力做的功

W = | F) | s) \cos θ

。

投影设两向量

a

，

b

的夹角为

θ

，

| b) \cos θ

叫做向量

b

在向量

a

上的投影，记作

{Prj}_{a} b

，即

{Prj}_{a} b = | b) \cos θ .

投影是一个标量（有正负之分）。当

0 \leq θ < \frac{π}{2}

时投影为正；当

θ = \frac{π}{2}

时投影为零；当

\frac{π}{2} < θ \leq π

时投影为负。

图 5-6 数量积的几何意义

数量积

乘积

| a) | b) \cos θ

叫做

a

与

b

的数量积（也称点积、内积），记作

a \cdot b

，即

a \cdot b = | a) | b) \cos θ . （公式 5–5）

数量积的性质

（1）

a \cdot a = {| a)}^{2}

；

（2）

a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0

（垂直判定的充要条件）。

数量积的运算律

（1）交换律：

a \cdot b = b \cdot a

；

（2）分配律：

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

；

（3）

(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b)

。

数量积的坐标公式

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} . （公式 5–6）

利用坐标公式，投影也可以写成坐标形式：

{Prj}_{a} b = \frac{a \cdot b}{| a)} = \frac{a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} .

两向量夹角的余弦

\cos θ = \frac{a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}} . （公式 5–7）

例 1

已知

M (1, 1, 1)

，

A (2, 2, 1)

，

B (2, 1, 2)

，求

∠ A M B

。

解设

a = \vec{M A} = (1, 1, 0)

，

b = \vec{M B} = (1, 0, 1)

，则

∠ A M B

就是向量

a

与

b

的夹角。

a \cdot b = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1

，

| a) = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}

，

| b) = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}

。

\cos ∠ A M B = \frac{a \cdot b}{| a) | b)} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}, ∠ A M B = \frac{π}{3} = 60 ° .

| 二、两向量的向量积

实例 2 力矩

力矩

M = \vec{O P} \times F

，

| M) = | \vec{O P}) \cdot | F) \sin θ

。

向量积

向量

c = a \times b

满足：

| c) = | a) | b) \sin θ

，方向垂直于

a

和

b

所决定的平面，指向按右手规则确定。

图 5-7 向量积及右手定则

向量积的性质

（1）

a \times a = 0

；

（2）

a \times b = 0 \Leftrightarrow a ∥ b

（平行判定的充要条件）。

向量积的运算律

（1）反交换律：

a \times b = - b \times a

（注意：顺序交换要变号！）；

（2）分配律：

(a + b) \times c = a \times c + b \times c

。

向量积的坐标公式

a \times b = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} . （公式 5–8）

例 2 向量积的坐标计算

已知

a = (2, 1, - 1)

，

b = (1, - 1, 2)

，求

a \times b

。

解利用三阶行列式展开：

a \times b = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{matrix}

i

的系数：

∣ \begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix} = 1 \times 2 - (- 1) \times (- 1) = 2 - 1 = 1

。

j

的系数（注意负号！）：

- ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} = - (2 \times 2 - (- 1) \times 1) = - (4 + 1) = - 5

。

k

的系数：

∣ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} = 2 \times (- 1) - 1 \times 1 = - 2 - 1 = - 3

。

因此

a \times b = i - 5 j - 3 k = (1, - 5, - 3)

。

验证垂直性：

a \cdot (a \times b) = 2 \times 1 + 1 \times (- 5) + (- 1) \times (- 3) = 2 - 5 + 3 = 0

✓

b \cdot (a \times b) = 1 \times 1 + (- 1) \times (- 5) + 2 \times (- 3) = 1 + 5 - 6 = 0

✓

此题是后续求法向量的基础：两平面交线的方向向量

s = n_{1} \times n_{2}

，本质就是这个计算。

例 3 利用向量积求三角形面积

已知

A (1, 2, 3)

，

B (3, 4, 5)

，

C (2, 4, 7)

，求

△ A B C

的面积。

解第一步（求面内向量）：

\vec{A B} = (2, 2, 2)

，

\vec{A C} = (1, 2, 4)

。

第二步（求向量积）：

\vec{A B} \times \vec{A C} = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} = (8 - 4) i - (8 - 2) j + (4 - 2) k = (4, - 6, 2) .

第三步（求面积）：

S_{△ A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C}) = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 36 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{56} = \sqrt{14} .

公式总结：三角形面积

S = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C})

；平行四边形面积

S = | \vec{A B} \times \vec{A C})

。

| 习题 5－3

习题 5－3

1. 已知

a = (4, - 3, 4)

，

b = (3, - 1, 2)

，求

a \cdot b

。

2. 设

| a) = 3

，

| b) = 4

，当（1）

a ⊥ b

；（2）

θ = \frac{π}{3}

；（3）

a ∥ b

时，分别求

a \cdot b

。

3. 已知

a = (1, 2, - 2)

，

b = (3, - 4, 0)

，求

a \times b

。

习题 5－3 详细解析

1. 由坐标公式直接计算：

a \cdot b = 4 \times 3 + (- 3) \times (- 1) + 4 \times 2 = 12 + 3 + 8 = 23

。

2. 由定义

a \cdot b = | a) | b) \cos θ

，

| a) = 3

，

| b) = 4

：

（1）

a ⊥ b

时

θ = \frac{π}{2}

，

\cos θ = 0

，所以

a \cdot b = 3 \times 4 \times 0 = 0

。

（2）

θ = \frac{π}{3}

时

\cos θ = \frac{1}{2}

，所以

a \cdot b = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6

。

（3）

a ∥ b

时，

θ = 0

（同向）或

θ = π

（反向）。同向时

a \cdot b = 3 \times 4 \times 1 = 12

；反向时

a \cdot b = 3 \times 4 \times (- 1) = - 12

。故

a \cdot b = \pm 12

。

易错点：平行有「同向」和「反向」两种，不要遗漏反向的情况。

3. 利用行列式展开向量积：

a \times b = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & - 2 \\ 3 & - 4 & 0 \end{matrix}

按第一行展开（余子式法）：

i

的系数：

∣ \begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 4 & 0 \end{matrix} = 2 \times 0 - (- 2) \times (- 4) = 0 - 8 = - 8

。

j

的系数（注意负号！）：

- ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 0 \end{matrix} = - (1 \times 0 - (- 2) \times 3) = - (0 + 6) = - 6

。

k

的系数：

∣ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{matrix} = 1 \times (- 4) - 2 \times 3 = - 4 - 6 = - 10

。

因此

a \times b = - 8 i - 6 j - 10 k = (- 8, - 6, - 10)

。

验证垂直性：

a \cdot (a \times b) = 1 \times (- 8) + 2 \times (- 6) + (- 2) \times (- 10) = - 8 - 12 + 20 = 0

✓

b \cdot (a \times b) = 3 \times (- 8) + (- 4) \times (- 6) + 0 \times (- 10) = - 24 + 24 + 0 = 0

✓

展开技巧：

j

的系数前有个负号是最常见的出错点。可以用口诀「

i

正、

j

负、

k

正」来记忆。

第四节平面及其方程

| 一、平面的点法式方程

设平面

Π

过点

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

，法向量

n = (A, B, C)

。对平面上任意一点

M (x, y, z)

，向量

\vec{M_{0} M}

在平面内，因此必须与法向量垂直：

n \cdot \vec{M_{0} M} = 0

。

图 5-8 平面的法线向量

平面的点法式方程

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0 .

平面的点法式方程，其中

n = (A, B, C)

为法向量，

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

为平面上一点。

例 1

求过点

(2, - 3, 0)

以

n = (1, - 2, 3)

为法向量的平面方程。

解代入点法式：

1 \cdot (x - 2) + (- 2) \cdot (y - (- 3)) + 3 \cdot (z - 0) = 0

，

即

(x - 2) - 2 (y + 3) + 3 z = 0

，展开整理得

x - 2 y + 3 z - 8 = 0

。

例 2

求过三点

M_{1} (2, - 1, 4)

，

M_{2} (- 1, 3, - 2)

，

M_{3} (0, 2, 3)

的平面方程。

解第一步（求面内向量）：

\vec{M_{1} M_{2}} = (- 3, 4, - 6)

，

\vec{M_{1} M_{3}} = (- 2, 3, - 1)

。

第二步（法向量 = 叉积）：

n = \vec{M_{1} M_{2}} \times \vec{M_{1} M_{3}} = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ - 3 & 4 & - 6 \\ - 2 & 3 & - 1 \end{matrix}

= i (4 \times (- 1) - (- 6) \times 3) - j ((- 3) \times (- 1) - (- 6) \times (- 2)) + k ((- 3) \times 3 - 4 \times (- 2))

= i (- 4 + 18) - j (3 - 12) + k (- 9 + 8) = (14, 9, - 1)

。

第三步（代入点法式）：取

M_{1} (2, - 1, 4)

，得

14 (x - 2) + 9 (y + 1) - (z - 4) = 0

。

展开：

14 x - 28 + 9 y + 9 - z + 4 = 0

，即

14 x + 9 y - z - 15 = 0

。

验证：将三点代入验证均满足方程 ✓

| 二、平面的一般方程

平面的一般方程

A x + B y + C z + D = 0

（

A

、

B

、

C

不全为零）为平面的一般方程，法向量

n = (A, B, C)

。

特殊情况：

D = 0

时平面过原点；缺

x

项（

A = 0

）时平面平行于

x

轴；缺

x

、

y

项（

A = B = 0

）时平面平行于

x O y

面。

截距式方程当平面不过原点且与三个坐标轴分别交于

(a, 0, 0)

、

(0, b, 0)

、

(0, 0, c)

时，平面方程可写为截距式

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 .

其中

a

、

b

、

c

分别叫做平面在

x

、

y

、

z

轴上的截距。

两平面的位置关系设

π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0

，

π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0

。

（1）

π_{1} ∥ π_{2} \Leftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}

（法向量平行）；

（2）

π_{1} ⊥ π_{2} \Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0

（法向量垂直）。

例 3 特殊位置平面方程

求过

z

轴和点

M (2, 1, 0)

的平面方程。

解析关键观察：过

z

轴意味着平面包含所有形如

(0, 0, t)

的点。

在一般方程

A x + B y + C z + D = 0

中，将

(0, 0, t)

代入：

C t + D = 0

对一切

t

成立，故

C = 0

，

D = 0

。

因此过

z

轴的平面方程形如

A x + B y = 0

（缺

z

和常数项）。

将

M (2, 1, 0)

代入：

2 A + B = 0

，即

B = - 2 A

。取

A = 1

：方程为

x - 2 y = 0

。

验证：

z

轴上的点

(0, 0, t)

代入

0 - 0 = 0

✓；点

M (2, 1, 0)

代入

2 - 2 = 0

✓。

解题规律：过坐标轴的平面，方程中缺该轴变量和常数项。过

x

轴：

B y + C z = 0

；过

y

轴：

A x + C z = 0

；过

z

轴：

A x + B y = 0

。

两平面的夹角两平面法向量的夹角（或其补角）中不超过

\frac{π}{2}

的那个角叫做两平面的夹角。设两平面的法向量分别为

n_{1} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})

，

n_{2} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})

，则夹角

θ

满足

\cos θ = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2})}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}, θ \in [0, \frac{π}{2}) .

例 4 两平面的夹角

求两平面

π_{1} : 2 x - y + z - 1 = 0

与

π_{2} : x + y - z + 3 = 0

的夹角。

解第一步（读取法向量）：

n_{1} = (2, - 1, 1)

，

n_{2} = (1, 1, - 1)

。

第二步（计算数量积）：

n_{1} \cdot n_{2} = 2 \times 1 + (- 1) \times 1 + 1 \times (- 1) = 2 - 1 - 1 = 0

。

第三步（判定）：因为

n_{1} \cdot n_{2} = 0

，所以

n_{1} ⊥ n_{2}

，即两平面互相垂直，夹角

θ = \frac{π}{2} = 90 °

。

方法总结：两平面夹角公式

\cos θ = \frac{| n_{1} \cdot n_{2})}{| n_{1}) | n_{2})}

，

θ \in [0, \frac{π}{2})

。分子取绝对值保证取锐角。

例 5

一平面过

M_{1} (1, 1, 1)

，

M_{2} (0, 1, - 1)

且垂直于平面

x + y + z = 0

，求方程。

解分析：所求平面的法向量

n

必须同时满足两个垂直条件。

条件 1：

n ⊥ \vec{M_{1} M_{2}} = (- 1, 0, - 2)

（法向量与面内向量垂直）；

条件 2：

n ⊥ n_{2} = (1, 1, 1)

（两平面垂直

\Rightarrow

两法向量垂直）。

设

n = (A, B, C)

：

由条件 1：

- A - 2 C = 0

，即

A = - 2 C

；

由条件 2：

A + B + C = 0

，代入

A = - 2 C

得

- 2 C + B + C = 0

，即

B = C

。

取

C = - 1

：

A = 2

，

B = - 1

，

n = (2, - 1, - 1)

。

过

M_{1} (1, 1, 1)

：

2 (x - 1) - (y - 1) - (z - 1) = 0

，即

2 x - y - z = 0

。

方法总结：法向量 = 两个已知垂直方向的叉积，或利用垂直条件列方程组。

| 三、点到平面的距离

点到平面的距离公式

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D)}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} . （公式 5–10）

例 6

求点

(2, 1, 1)

到平面

x + y - z + 1 = 0

的距离。

解直接代入公式。

A = 1

，

B = 1

，

C = - 1

，

D = 1

，

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (2, 1, 1)

。

d = \frac{| 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 1 + 1)}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{| 2 + 1 - 1 + 1)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

。

| 习题 5－4

习题 5－4

1. 求通过点

(3, - 1, 2)

且与平面

3 x - y + 2 z - 1 = 0

平行的平面方程。

2. 求通过

x

轴与点

(4, - 3, 1)

的平面方程。

3. 求下列两平面的夹角：

x - y + z - 1 = 0

与

x + y - z + 3 = 0

。

4. 求点

(1, 2, - 1)

到平面

2 x - y + 2 z + 1 = 0

的距离。

5. 一平面过点

(1, - 2, 3)

且以

(2, - 3, 4)

为法向量，求方程并求原点到该平面的距离。

6. 将直线

{\begin{matrix} 2 x - y + z - 3 = 0 \\ x + y - z + 1 = 0 \end{matrix})

化为对称式方程和参数方程。

7. 求过点

(1, - 2, 4)

且通过直线

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

的平面方程。

8. 已知直线

L

：

\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

与平面

π

：

A x + 2 y + z = 0

的夹角为

\frac{π}{6}

，求

A

的值。

9. 求点

(1, 2, 1)

到直线

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{1}

的距离。

习题 5－4 详细解析

关键思路：平行平面具有相同的法向量，仅常数项不同。

已知平面法向量

n = (3, - 1, 2)

，设所求平面为

3 x - y + 2 z + D = 0

。

过点

(3, - 1, 2)

：

3 \times 3 - (- 1) + 2 \times 2 + D = 0

，即

9 + 1 + 4 + D = 0

，

D = - 14

。

所求方程为

3 x - y + 2 z - 14 = 0

。

关键思路：过

x

轴的平面包含所有形如

(x, 0, 0)

的点，因此方程中不含

x

项和常数项。

设方程为

B y + C z = 0

（因为

x

轴上所有点

(t, 0, 0)

均满足

B \cdot 0 + C \cdot 0 = 0

）。

过点

(4, - 3, 1)

：

- 3 B + C = 0

，即

C = 3 B

。取

B = 1

：方程为

y + 3 z = 0

。

验证：

x

轴上的点

(t, 0, 0)

代入

0 + 0 = 0

✓；点

(4, - 3, 1)

代入

- 3 + 3 = 0

✓。

第一步：读取法向量。

n_{1} = (1, - 1, 1)

，

n_{2} = (1, 1, - 1)

。

第二步：数量积。

n_{1} \cdot n_{2} = 1 \times 1 + (- 1) \times 1 + 1 \times (- 1) = 1 - 1 - 1 = - 1

。

第三步：模。

| n_{1}) = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

，

| n_{2}) = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

。

第四步：两平面夹角取锐角（或直角），故

\cos θ = \frac{| n_{1} \cdot n_{2})}{| n_{1}) | n_{2})} = \frac{| - 1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}

。

θ = \arccos \frac{1}{3} \approx 70.53 °

。

注意：两平面夹角公式中分子取绝对值，保证

θ \in [0, \frac{π}{2})

。

代入距离公式：

d = \frac{| 2 \times 1 + (- 1) \times 2 + 2 \times (- 1) + 1)}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{| 2 - 2 - 2 + 1)}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{| - 1)}{3} = \frac{1}{3}

。

易错点：分母是法向量的模

\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}

，不要忘记开根号；分子的绝对值不要漏掉。

第一步（求方程）：点法式

2 (x - 1) - 3 (y + 2) + 4 (z - 3) = 0

。

展开：

2 x - 2 - 3 y - 6 + 4 z - 12 = 0

，即

2 x - 3 y + 4 z - 20 = 0

。

第二步（求距离）：原点

(0, 0, 0)

到此平面的距离：

d = \frac{| 2 \times 0 - 3 \times 0 + 4 \times 0 - 20)}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{20}{\sqrt{29}} = \frac{20 \sqrt{29}}{29} \approx 3.71

。

第一步（找点）：令

x = 0

，代入方程组：

{\begin{matrix} - y + z = 3 \\ y - z = - 1 \end{matrix})

。两式相加得

0 = 2

，矛盾。改令

z = 0

：

{\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ x + y = - 1 \end{matrix})

，两式相加得

3 x = 2

，

x = \frac{2}{3}

，

y = - 1 - \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}

。点

M_{0} (\frac{2}{3}, - \frac{5}{3}, 0)

。

第二步（找方向向量）：

n_{1} = (2, - 1, 1)

，

n_{2} = (1, 1, - 1)

。

s = n_{1} \times n_{2} = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix} = (1 - 1) i - (- 2 - 1) j + (2 + 1) k = (0, 3, 3) .

化简方向向量为

(0, 1, 1)

。第三步：对称式

\frac{x - \frac{2}{3}}{0} = \frac{y + \frac{5}{3}}{1} = \frac{z}{1}

（分母为

0

表示

x = \frac{2}{3}

不变）。

参数方程：

{\begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ y = - \frac{5}{3} + t \\ z = t \end{matrix})

。

分析：所求平面过点

A (1, - 2, 4)

且包含直线

L

。直线

L

过点

M_{0} (1, 0, - 1)

，方向向量

s = (2, 3, - 1)

。

面内两个向量：

s = (2, 3, - 1)

和

\vec{M_{0} A} = (0, - 2, 5)

。

法向量

n = s \times \vec{M_{0} A} = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & 3 & - 1 \\ 0 & - 2 & 5 \end{matrix} = (15 - 2) i - (10 - 0) j + (- 4 - 0) k = (13, - 10, - 4)

。

过

M_{0} (1, 0, - 1)

：

13 (x - 1) - 10 y - 4 (z + 1) = 0

，即

13 x - 10 y - 4 z - 17 = 0

。

直线方向向量

s = (1, 1, 1)

，平面法向量

n = (A, 2, 1)

。线面夹角公式：

\sin \frac{π}{6} = \frac{| A + 2 + 1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{A^{2} + 5}}

，即

\frac{1}{2} = \frac{| A + 3)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{A^{2} + 5}}

。

两边平方：

\frac{1}{4} = \frac{{(A + 3)}^{2}}{3 (A^{2} + 5)}

，

3 (A^{2} + 5) = 4 {(A + 3)}^{2} = 4 A^{2} + 24 A + 36

。

3 A^{2} + 15 = 4 A^{2} + 24 A + 36

，

A^{2} + 24 A + 21 = 0

，解得

A = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 84}}{2} = \frac{- 24 \pm \sqrt{492}}{2}

。

A = - 12 \pm \sqrt{123}

。

方法：设

P (1, 2, 1)

，直线过

M_{0} (1, 1, 1)

，方向

s = (1, 0, 1)

。

\vec{M_{0} P} = (0, 1, 0)

。点到直线距离公式

d = \frac{| \vec{M_{0} P} \times s)}{| s)}

。

\vec{M_{0} P} \times s = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} = (1) i - (0) j + (- 1) k = (1, 0, - 1)

。

d = \frac{\sqrt{1 + 0 + 1}}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1

。

第五节空间直线的方程

| 四、空间直线的一般方程

直线为两平面交线：

{\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix})

。

反过来，如果点

M

不在直线

L

上，那么它不可能同时在平面

π_{1}

和

π_{2}

上，所以它的坐标不满足方程组(1)。因此，直线

L

可以用方程组(1)来表示。方程组(1)叫做空间直线的一般方程。

| 五、空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量。

确定直线的条件当直线

L

上一点

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

和它的一个方向向量

s = (m, n, p)

为已知时，直线

L

的位置就完全确定了。

直线方程的确定已知直线

L

通过点

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

且直线的方向向量为

s = (m, n, p)

，求直线

L

的方程。

图 5-9 空间直线的对称式方程

直线的对称式方程与参数方程

直线过点

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

，方向向量

s = (m, n, p)

：

\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p} .

参数方程：

{\begin{matrix} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \\ z = z_{0} + p t \end{matrix})

。

注意（1）当

m

、

n

、

p

中有一个为零，例如

m = 0

，而

n

、

p \neq 0

时，这方程组应理解为

{\begin{matrix} x = x_{0} \\ \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p} \end{matrix})

。

（2）当

m

、

n

、

p

中有两个为零，例如

m = n = 0

，而

p \neq 0

时，这方程组应理解为

{\begin{matrix} x - x_{0} = 0 \\ y - y_{0} = 0 \end{matrix})

。

直线的任一方向向量

s

的坐标

m

，

n

，

p

叫做这条直线的一组方向数，而向量

s

的方向余弦叫做该直线的方向余弦。

例 7 一般式化为对称式（必考题型）

将直线

L

：

{\begin{matrix} x + y + z + 1 = 0 \\ 2 x - y + 3 z + 4 = 0 \end{matrix})

化为对称式方程。

解一般式化对称式「三步法」：

第一步（找点）：令

x = 0

（选择一个简单值），代入方程组：

{\begin{matrix} y + z = - 1 \\ - y + 3 z = - 4 \end{matrix})

。两式相加得

4 z = - 5

，

z = - \frac{5}{4}

；

y = - 1 - z = - 1 + \frac{5}{4} = \frac{1}{4}

。所以

M_{0} (0, \frac{1}{4}, - \frac{5}{4})

在直线上。

第二步（找方向向量）：两平面的法向量分别为

n_{1} = (1, 1, 1)

，

n_{2} = (2, - 1, 3)

。

方向向量

s = n_{1} \times n_{2}

：

s = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix} = (3 - (- 1)) i - (3 - 2) j + (- 1 - 2) k = (4, - 1, - 3) .

第三步（写方程）：代入对称式：

\frac{x - 0}{4} = \frac{y - \frac{1}{4}}{- 1} = \frac{z + \frac{5}{4}}{- 3} .

或消去分数：

\frac{x}{4} = \frac{4 y - 1}{- 4} = \frac{4 z + 5}{- 12}

。

验证：将

M_{0}

代入原方程组：

0 + \frac{1}{4} - \frac{5}{4} + 1 = 0

✓，

0 - \frac{1}{4} - \frac{15}{4} + 4 = 0

✓。

核心技巧总结：一般式→对称式的本质是「找一个点 + 找方向向量」。方向向量一定是两法向量的叉积

s = n_{1} \times n_{2}

。

| 六、两直线的夹角

两直线方向向量的夹角

φ

（

0 \leq φ \leq π

）称为两直线的夹角。设

s_{1} = (m_{1}, n_{1}, p_{1})

，

s_{2} = (m_{2}, n_{2}, p_{2})

，则

\cos φ = \frac{| m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} + p_{1} p_{2})}{\sqrt{m_{1}^{2} + n_{1}^{2} + p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2} + n_{2}^{2} + p_{2}^{2}}} . （公式 5–9）

由两向量垂直、平行的条件可以推得下列结论：

（1）两直线互相垂直的充要条件为

m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} + p_{1} p_{2} = 0

。

（2）两直线互相平行的充要条件为

\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}

。

例 8

求

L_{1}

：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z + 3}{1}

与

L_{2}

：

\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z}{1}

的夹角。

解第一步（读方向向量）：

s_{1} = (1, - 4, 1)

，

s_{2} = (2, - 2, - 1)

。

第二步（求数量积和模）：

s_{1} \cdot s_{2} = 1 \times 2 + (- 4) \times (- 2) + 1 \times (- 1) = 2 + 8 - 1 = 9

。

| s_{1}) = \sqrt{1 + 16 + 1} = 3 \sqrt{2}

，

| s_{2}) = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3

。

第三步（代入夹角公式）：

\cos φ = \frac{| 9)}{3 \sqrt{2} \cdot 3} = \frac{9}{9 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

，

φ = \frac{π}{4} = 45 °

。

| 七、直线与平面的夹角

直线与它在平面上的投影直线的夹角

θ

（

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

）称为直线与平面的夹角。

设直线

L

的方向向量为

s = (m, n, p)

，平面

π

的法向量为

n = (A, B, C)

，那么

\sin θ = \frac{| A m + B n + C p)}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} .

由两向量垂直、平行的条件可以推得下列结论：

（1）直线与平面互相垂直的充要条件为

\frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}

。

（2）直线与平面互相平行的充要条件为

A m + B n + C p = 0

。

例 9

直线

L

：

\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 2}

与平面

π

：

2 x + y + z + 1 = 0

的夹角。

解

s = (- 1, 1, - 2)

，

n = (2, 1, 1)

。

s \cdot n = (- 1) \times 2 + 1 \times 1 + (- 2) \times 1 = - 2 + 1 - 2 = - 3

。

| s) = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}

，

| n) = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

。

\sin θ = \frac{| - 3)}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

，

θ = \frac{π}{6} = 30 °

。

关键区别：两直线夹角和两平面夹角都用

\cos

，但直线与平面夹角用

\sin

。原因：

θ

是直线与平面的夹角（而非与法向量的夹角），

θ + φ = \frac{π}{2}

，所以

\sin θ = | \cos φ)

。

例 10 求与已知直线垂直相交的直线

过点

A (1, 0, 1)

作直线

L

，使

L

与直线

L_{1}

：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

垂直且相交，求

L

的方程。

解这是一道综合题，需要分三步完成。

第一步（作辅助平面）：过

A (1, 0, 1)

且垂直于

L_{1}

的平面为

π

。

L_{1}

的方向向量

s_{1} = (1, 1, 1)

即为

π

的法向量。

π

：

1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 1) = 0

，即

x + y + z - 2 = 0

。

第二步（求交点）：

L_{1}

的参数方程为

{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = t \end{matrix})

，代入

π

：

(1 + t) + t + t - 2 = 0

，

3 t - 1 = 0

，

t = \frac{1}{3}

。

交点

B = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

。

第三步（两点式写方程）：

\vec{A B} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3})

，化简方向向量为

(1, 1, - 2)

。

直线

L

：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 2}

。

验证：

s_{L} \cdot s_{1} = (1) (1) + (1) (1) + (- 2) (1) = 0

✓（垂直）。

B

同时在

L

和

L_{1}

上 ✓（相交）。

方法总结：求垂直相交直线的通用套路——作辅助平面→求交点→两点式写方程。

第六节曲面与空间曲线

| 一、曲面方程的概念

曲面

S

上任一点的坐标都满足方程

F (x, y, z) = 0

；不在曲面

S

上的点的坐标都不满足方程

F (x, y, z) = 0

。

球面方程

球心在

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

、半径为

R

的球面方程：

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2} .

例 1 球面方程推导

建立球面方程。设球心在

M_{0} (a, b, c)

，半径为

R

。

解设

M (x, y, z)

为球面上任一点，则

| M M_{0}) = R

，即

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2} .

展开得

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} = 0

。

令

D = - 2 a

，

E = - 2 b

，

F = - 2 c

，

G = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}

，得一般形式

x^{2} + y^{2} + z^{2} + D x + E y + F z + G = 0,

其中

D^{2} + E^{2} + F^{2} - 4 G > 0

。

例 2

设

A (1, 2, 3)

，

B (2, - 1, 4)

，求线段

A B

垂直平分面方程。

解思路：垂直平分面上任意点

M (x, y, z)

到

A

、

B

等距。

令

{| M A)}^{2} = {| M B)}^{2}

：

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2}

。

展开左边：

x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 + z^{2} - 6 z + 9

。

展开右边：

x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 2 y + 1 + z^{2} - 8 z + 16

。

左右相减：

(- 2 x + 1 - 4 y + 4 - 6 z + 9) - (- 4 x + 4 + 2 y + 1 - 8 z + 16) = 0

。

化简：

2 x - 6 y + 2 z - 7 = 0

。

验证：中点

(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{7}{2})

代入

2 \cdot \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{7}{2} - 7 = 3 - 3 + 7 - 7 = 0

✓。法向量

(2, - 6, 2)

与

\vec{A B} = (1, - 3, 1)

平行 ✓。

例 3

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y = 0

表示什么曲面？

解配方法——将各含相同变量的项合并配方：

(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) + z^{2} = 1 + 4 = 5

。

即

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 5

。

这是球心在

(1, - 2, 0)

、半径

R = \sqrt{5}

的球面。

| 二、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。

旋转曲面方程

曲线

f (y, z) = 0

（在

y O z

面上）：

绕

z

轴旋转：

f (\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) = 0

（保留旋转轴变量

z

不动，

y

替换为离轴距离）。

绕

y

轴旋转：

f (y, \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}}) = 0

（保留旋转轴变量

y

不动，

z

替换为离轴距离）。

口诀：「保留绕谁的变量，另一个换成距离」。

例 4 圆锥面方程推导

在

y O z

平面上，直线

z = y \cot α

（

α

为母线与

z

轴夹角）绕

z

轴旋转，求旋转曲面方程。

解母线方程为

f (y, z) = z - y \cot α = 0

（在

y O z

面上）。

绕

z

轴旋转：保留

z

不动，

y

替换为

\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}

：

z = \pm \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cot α

。

两边平方：

z^{2} = (x^{2} + y^{2}) \cot^{2} α

。

这就是圆锥面方程。当

α = \frac{π}{4}

时，

\cot α = 1

，得

z^{2} = x^{2} + y^{2}

。

几何理解：距

z

轴距离为

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的点，其母线上对应的

| y) = r

，所以

z = r \cot α

。

例 5 双曲面方程

y O z

平面上的双曲线

\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1

分别绕实轴（

y

轴）和虚轴（

z

轴）旋转，求旋转曲面方程。

解 1（绕

y

轴旋转——旋转轴为实轴）：保留

y

不动，

z

替换为

\pm \sqrt{x^{2} + z^{2}}

：

\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2} + z^{2}}{b^{2}} = 1 .

即

\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1

。这是双叶双曲面（

y

轴两侧各一叶，用

y = \pm c

截面检验：

| y) > a

时截线为圆）。

解 2（绕

z

轴旋转——旋转轴为虚轴）：保留

z

不动，

y

替换为

\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}

：

\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1 .

即

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1

。这是单叶双曲面（曲面连为一体，用

z = c

截面为圆/椭圆，始终非空）。

记忆口诀：「绕实轴→双叶，绕虚轴→单叶」。

| 三、柱面

柱面平行于定直线并沿定曲线

C

移动的直线

L

形成的轨迹叫做柱面，定曲线

C

叫做柱面的准线，动直线

L

叫做柱面的母线。

柱面

缺少变量

z

的方程

F (x, y) = 0

在空间直角坐标系中表示母线平行于

z

轴的柱面，准线为

x O y

面上的曲线

C

：

F (x, y) = 0

。

类似地，只含

x

、

z

而缺

y

的方程

G (x, z) = 0

和只含

y

、

z

而缺

x

的方程

H (y, z) = 0

分别表示母线平行于

y

轴和

x

轴的柱面。

例如，方程

y^{2} = 2 x

表示母线平行于

z

轴的柱面，它的准线是

x O y

面上的抛物线

y^{2} = 2 x

，该柱面叫做抛物柱面。

例 6

方程

x^{2} + y^{2} = R^{2}

表示怎样的曲面？

解方程

x^{2} + y^{2} = R^{2}

在

x O y

面上表示圆心在原点

O

、半径为

R

的圆。在空间直角坐标系中，这方程不含竖坐标

z

，即不论空间点的竖坐标

z

怎样，只要它的横坐标

x

和纵坐标

y

能满足这方程，那么这些点就在这曲面上。也就是说，

x O y

面上的圆

x^{2} + y^{2} = R^{2}

上的每一点，且平行于

z

轴的直线一定在

x^{2} + y^{2} = R^{2}

表示的曲面上。所以这个曲面可以看成是由平行于

z

轴的直线

L

沿

x O y

面上的圆

x^{2} + y^{2} = R^{2}

移动而形成的，这个曲面叫做圆柱面，

x O y

面上的圆

x^{2} + y^{2} = R^{2}

叫做它的准线，平行于

z

轴的直线

L

叫做它的母线。

| 四、二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面，把平面叫做一次曲面。

怎样了解三元方程

F (x, y, z) = 0

所表示的曲面的形状呢，方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状，这种方法叫做截痕法。

下面以椭球面和椭圆抛物面为例来说明截痕法：

1. 椭球面

椭球面

方程

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 (a > 0, b > 0, c > 0)

表示的曲面称为椭球面。

用

x O y

坐标面

z = 0

去截曲面，其截痕为椭圆

{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ z = 0 \end{matrix})

。

用平行于

x O y

坐标面的平面

z = z_{1}

（

| z_{1}) < c

）去截曲面，截痕仍是椭圆，且

| z_{1})

越大椭圆越小，

| z_{1})

越小椭圆越大。

2. 椭圆抛物面

椭圆抛物面

方程

\frac{x^{2}}{2 p} + \frac{y^{2}}{2 q} = z

（

p > 0

，

q > 0

）表示的曲面称为椭圆抛物面。

由

\frac{x^{2}}{2 p} + \frac{y^{2}}{2 q} = z

可知

z \geq 0

，故曲面在

x O y

平面的下方无图形。

用平行于

x O y

坐标面的平面

z = z_{1}

（

z_{1} > 0

）截曲面，截痕为中心在

z

轴上的椭圆。

| 五、空间曲线的方程

空间曲线为两曲面交线：

{\begin{matrix} F (x, y, z) = 0 \\ G (x, y, z) = 0 \end{matrix})

。参数方程：

{\begin{matrix} x = x (t) \\ y = y (t) \\ z = z (t) \end{matrix})

。

例 7 螺旋线

螺旋线：动点在圆柱面

x^{2} + y^{2} = a^{2}

上以角速度

ω

绕

z

轴旋转，同时以线速度

v

沿

z

轴上移。

参数方程：

{\begin{matrix} x = a \cos ω t \\ y = a \sin ω t \\ z = v t \end{matrix})

。

| 六、空间曲线在坐标面上的投影

消去

z

得

H (x, y) = 0

，则投影方程为

{\begin{matrix} H (x, y) = 0 \\ z = 0 \end{matrix})

（投影到

x O y

面）。同理可求在其他坐标面上的投影。

例 8 投影曲线计算

上半球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2

（

z \geq 0

）与锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

围成的立体在

x O y

面上的投影。

解第一步（联立方程消去

z

）：

由锥面方程

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

，两边平方得

z^{2} = x^{2} + y^{2}

。

代入球面方程：

x^{2} + y^{2} + (x^{2} + y^{2}) = 2

，即

2 (x^{2} + y^{2}) = 2

。

化简得

x^{2} + y^{2} = 1

。

第二步（确定投影区域）：

在

x O y

面上，锥面与球面交线的投影为圆

x^{2} + y^{2} = 1

。

立体内部的点满足

x^{2} + y^{2} \leq 1

（锥面内侧且在球面内）。

因此投影区域为

x^{2} + y^{2} \leq 1

，即单位圆盘。

第三步（写投影曲线方程）：投影曲线（边界）为

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ z = 0 \end{matrix})

。

⚠ 关键提醒：消去

z

得到的

x^{2} + y^{2} = 1

只是投影柱面（不是投影曲线！），必须附加

z = 0

才构成

x O y

面上的投影曲线。

| 习题 5－5

习题 5－5

1. 球心

(1, 3, - 2)

，球面过原点，求球面方程。

2. 下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么：

　（1）

x = 3

　（2）

x - y + 1 = 0

　（3）

x^{2} + y^{2} = 9

　（4）

x^{2} - y^{2} = 1

3. 指出方程所表示的曲线：（1）

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25 \\ x = 3 \end{matrix})

　（2）

{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{4} = 1 \\ x - 2 = 0 \end{matrix})

4. 求曲线

{\begin{matrix} 2 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 \\ x^{2} - y^{2} + z^{2} = 0 \end{matrix})

在三坐标面上的投影。

习题 5－5 详细解析

第一步：求半径。球心

(1, 3, - 2)

到原点

(0, 0, 0)

的距离即为半径：

R = \sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(3 - 0)}^{2} + {(- 2 - 0)}^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}

。

第二步：写方程。

{(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 14

。

展开（选做）：

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 6 y + 4 z = 0

。

2. 逐一分析——关键原则：「空间中缺少的变量可以取任意值」。

（1）

x = 3

：在平面解析几何（二维）中是一条竖直线（平行于

y

轴）。在空间中，

y

、

z

任意，所有满足

x = 3

的点

(3, y, z)

构成一个垂直于

x

轴的平面。

（2）

x - y + 1 = 0

：在二维中是一条直线。在空间中，

z

任意，所有满足

x - y + 1 = 0

的点

(x, x + 1, z)

构成平行于

z

轴的平面。

（3）

x^{2} + y^{2} = 9

：在二维中是圆心在原点、半径为

3

的圆。在空间中，

z

任意，所有满足条件的点构成母线平行于

z

轴的圆柱面。

（4）

x^{2} - y^{2} = 1

：在二维中是以原点为中心的双曲线。在空间中，

z

任意，构成母线平行于

z

轴的双曲柱面。

（1）将

x = 3

代入球面方程

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25

：

9 + y^{2} + z^{2} = 25

，即

y^{2} + z^{2} = 16

。

这是平面

x = 3

上以

(3, 0, 0)

为圆心、半径为

4

的圆。

（几何理解：用平面

x = 3

截球

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25

，球心到截面距离为

3 < R = 5

，截线是圆。）

（2）将

x = 2

代入

\frac{x^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{4} = 1

：

\frac{4}{9} - \frac{z^{2}}{4} = 1

，即

\frac{z^{2}}{4} = \frac{4}{9} - 1 = - \frac{5}{9} < 0

。

这要求

z^{2} < 0

，无实数解。因此交线为空集——平面

x = 2

与该双曲柱面不相交。

（几何理解：双曲线

\frac{x^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{4} = 1

的实轴半长为

a = 3

，

| x)

至少为

3

才有交点，而

| 2) < 3

，故不相交。）

4. 这是一道综合性较强的投影题。

给定曲线

C

：

{\begin{matrix} 2 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 \dots (I) \\ x^{2} - y^{2} + z^{2} = 0 \dots (I I) \end{matrix})

。

在

x O y

面上的投影（消去

z

）：

由 (II)：

z^{2} = y^{2} - x^{2}

。代入 (I)：

2 x^{2} + y^{2} + (y^{2} - x^{2}) = 16

，化简得

x^{2} + 2 y^{2} = 16

。

投影方程为

{\begin{matrix} x^{2} + 2 y^{2} = 16 \\ z = 0 \end{matrix})

（

x O y

面上的椭圆）。

在

x O z

面上的投影（消去

y

）：

由 (I)

-

(II)：

(2 x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x^{2} - y^{2} + z^{2}) = 16 - 0

，得

x^{2} + 2 y^{2} = 16

，即

y^{2} = \frac{16 - x^{2}}{2}

。

代入 (II)：

x^{2} - \frac{16 - x^{2}}{2} + z^{2} = 0

，化简得

\frac{3 x^{2}}{2} + z^{2} = 8

，即

3 x^{2} + 2 z^{2} = 16

。

投影方程为

{\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 z^{2} = 16 \\ y = 0 \end{matrix})

（

x O z

面上的椭圆）。

在

y O z

面上的投影（消去

x

）：

由 (II)：

x^{2} = y^{2} - z^{2}

（需要

y^{2} \geq z^{2}

）。代入 (I)：

2 (y^{2} - z^{2}) + y^{2} + z^{2} = 16

，即

3 y^{2} - z^{2} = 16

。

投影方程为

{\begin{matrix} 3 y^{2} - z^{2} = 16 \\ x = 0 \end{matrix})

（

y O z

面上的双曲线）。

方法总结：投影三步走——① 从两个曲面方程中消去目标变量；② 得到投影柱面方程；③ 加上目标变量为零的条件即为投影曲线方程。

复习题五

一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）

1. 已知

a = (2, k, - 1)

，

b = (1, 1, 2)

，若

a ⊥ b

，则

k =

______。

2. 向量

a = (1, - 2, 2)

与

b = (2, 1, - 1)

的向量积

a \times b =

______。

3. 点

(2, - 1, 1)

到平面

2 x - 2 y + z - 6 = 0

的距离为 ______。

4. 曲线

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ y = 0 \end{matrix})

在

x O z

面上的投影方程为 ______。

5. 直线

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}

的方向向量为 ______，过点 ______。

6. 平面

3 x - 4 z + 5 = 0

的法向量为 ______，该平面平行于 ______ 轴。

7. 方程

y^{2} + z^{2} = 4

在空间中表示 ______（几何图形名称）。

8. 设

| a) = 2

，

| b) = 3

，

a

与

b

的夹角

θ = \frac{π}{6}

，则

a \cdot b =

______，

| a \times b) =

______。

9. 直线

{\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ x - y + z = 0 \end{matrix})

的方向向量为 ______。

10. 椭球面

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + z^{2} = 1

用平面

z = \frac{1}{2}

所截得的截线方程为 ______。

填空题参考答案

a \cdot b = 2 + k - 2 = k = 0

。故

k = 0

。

a \times b = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & - 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 1 \end{matrix} = (2 - 2) i - (- 1 - 4) j + (1 + 4) k = (0, 5, 5)

。

d = \frac{| 2 \times 2 - 2 \times (- 1) + 1 \times 1 - 6)}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{| 4 + 2 + 1 - 6)}{3} = \frac{1}{3}

。

4. 已经在

x O z

面上（

y = 0

代入得

x^{2} + z^{2} = 1

），投影方程为

{\begin{matrix} x^{2} + z^{2} = 1 \\ y = 0 \end{matrix})

。

5. 方向向量

(2, 1, - 1)

，过点

(1, - 1, 0)

。

6. 法向量

(3, 0, - 4)

，缺

y

项故平行于

y

轴。

7. 圆柱面（母线平行于

x

轴，准线为

y O z

面上的圆

y^{2} + z^{2} = 4

）。

a \cdot b = 2 \times 3 \times \cos \frac{π}{6} = 3 \sqrt{3}

；

| a \times b) = 2 \times 3 \times \sin \frac{π}{6} = 3

。

n_{1} = (1, 1, 1)

，

n_{2} = (1, - 1, 1)

，

s = n_{1} \times n_{2} = (2, 0, - 2)

，化简为

(1, 0, - 1)

。

10. 代入

z = \frac{1}{2}

：

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{1}{4} = 1

，即

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{3}{4}

，即

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{\frac{27}{4}} = 1

（椭圆）。

二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）

1. 向量

a = (1, 2, - 2)

在

b = (2, 1, 2)

方向上的投影为（　）。

　(A)

0

　　(B)

\frac{2}{3}

　　(C)

- \frac{2}{3}

　　(D)

\frac{2}{9}

2. 直线

\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

与平面

x + y + z = 0

的位置关系为（　）。

　(A) 平行　(B) 垂直　(C) 在平面内　(D) 斜交

3. 方程

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0

所表示的曲面是（　）。

　(A) 球面　(B) 椭球面　(C) 圆锥面　(D) 双叶双曲面

4. 过点

(1, 0, - 1)

平行于平面

x + 2 y - z = 1

的平面方程为（　）。

　(A)

x + 2 y - z = 2

　(B)

x + 2 y - z = - 2

　(C)

x + 2 y - z = 0

　(D)

x + 2 y - z = 1

5. 曲线

{\begin{matrix} z = x^{2} + y^{2} \\ z = 4 \end{matrix})

在

x O y

面上的投影为（　）。

　(A)

x^{2} + y^{2} = 4

　(B)

x^{2} + y^{2} \leq 4

　(C)

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 4 \\ z = 0 \end{matrix})

　(D)

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ z = 0 \end{matrix})

选择题参考答案

1. (A)。投影

{Prj}_{b} a = \frac{a \cdot b}{| b)} = \frac{2 + 2 - 4}{3} = 0

。

2. (B)。

s = (1, 1, 1)

，

n = (1, 1, 1)

，

s ∥ n

，故直线垂直于平面。

3. (C)。

x^{2} + y^{2} = z^{2}

即

z^{2} = x^{2} + y^{2}

，这是圆锥面（顶点在原点，轴为

z

轴）。

4. (A)。平行平面法向量相同，设

x + 2 y - z + D = 0

，过

(1, 0, - 1)

：

1 + 0 + 1 + D = 0

，

D = - 2

。

5. (C)。消去

z

：

x^{2} + y^{2} = 4

，但这只是投影柱面。完整投影曲线需附加

z = 0

。

三、解答题（每小题 10 分，共 40 分）

1. 求同时垂直于平面

π_{1} : 2 x - y + z = 0

和

π_{2} : x + y - 2 z + 1 = 0

的平面，且该平面过原点。

2. 求过点

A (1, 0, 0)

且同时平行于平面

π_{1} : x - y + z = 1

和

π_{2} : x + y - z = 2

的直线方程。

3. 求过直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}

且垂直于平面

π : x - y + z = 0

的平面方程。

4. 求过点

(2, 1, - 1)

且与直线

\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

平行且与平面

x + y - z = 0

的交线的直线方程。

解答题详细解析

所求平面同时垂直于

π_{1}

和

π_{2}

，其法向量

n

同时垂直于

n_{1} = (2, - 1, 1)

和

n_{2} = (1, 1, - 2)

。

n = n_{1} \times n_{2} = (2 - 1) i - (- 4 - 1) j + (2 + 1) k = (1, 5, 3)

。

过原点：

x + 5 y + 3 z = 0

。

直线同时平行于

π_{1}

和

π_{2}

，方向向量垂直于两平面的法向量。

s = n_{1} \times n_{2} = (1, - 1, 1) \times (1, 1, - 1) = (1 - 1) i - (- 1 - 1) j + (1 + 1) k = (0, 2, 2)

。化简为

(0, 1, 1)

。

过

A (1, 0, 0)

：

\frac{x - 1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

（即

x = 1

，

y = z

）。

所求平面过直线

L

且垂直于

π

。法向量

n

垂直于

L

的方向向量

s_{L} = (1, 2, 1)

，又垂直于

π

的法向量

n_{π} = (1, - 1, 1)

。

核心公式：

n = s_{L} \times n_{π} = (2 + 1) i - (1 - 1) j + (- 1 - 2) k = (3, 0, - 3)

，化简

(1, 0, - 1)

。

过

L

上的点

(1, 0, - 1)

：

(x - 1) + 0 \cdot y - (z + 1) = 0

，即

x - z - 2 = 0

。

第一步：直线与

\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

平行，方向向量

s = (1, 1, 1)

。

第二步：过

(2, 1, - 1)

且方向

(1, 1, 1)

的直线参数方程为

{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 1 + t \end{matrix})

。

第三步：代入平面

x + y - z = 0

：

(2 + t) + (1 + t) - (- 1 + t) = 0

，

4 + t = 0

，

t = - 4

。

交点

(- 2, - 3, - 5)

。所求直线过

(2, 1, - 1)

和

(- 2, - 3, - 5)

，方向

(4, 4, 4)

，化简

(1, 1, 1)

。

直线方程：

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{1}

。

本章小结

本章知识总结

一、基本概念

空间直角坐标系，向量及其模，单位向量，自由向量，方向余弦，向量的数量积与向量积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式与一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面。

二、基本公式

（1）两点距离：

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}

。

（2）向量模：

| a) = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}

。

（3）方向余弦：

\cos α = \frac{a_{x}}{| a)}

，

\cos β = \frac{a_{y}}{| a)}

，

\cos γ = \frac{a_{z}}{| a)}

，且

\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1

。

（4）数量积：

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} = | a) | b) \cos θ

。

（5）向量积：

a \times b = ∣ \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}

，

| a \times b) = | a) | b) \sin θ

。

（6）点到平面距离：

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D)}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

。

三、核心判定条件

垂直判定：

a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0

。平行判定：

a ∥ b \Leftrightarrow a \times b = 0

（即坐标成比例）。

四、基本方法

坐标法与向量法结合，将几何问题转化为代数计算。求平面方程的关键是找法向量；求直线方程的关键是找方向向量和一个过点。二次曲面用截面法分析。空间曲线投影用消元法。

题型总结与整理

本章涉及的题型可以按知识模块分为五大类。下面逐类梳理各题型的解题方法和注意事项。

📋 一、向量基本运算类

题型 1：向量的线性表示

方法：将目标向量用已知向量的线性组合表示。核心思路是「搭桥」：利用三角形法则 AB⃗ = AC⃗ + CB⃗ 逐步连接。常用技巧：① 闭合条件 a+b+c=0；② 中点条件 BM⃗ = ½BC⃗。

典型例题：例 1（平行四边形对角线表示），习题 5-1 第 4 题（三角形中线表示）

题型 2：求向量的模与单位向量

方法：三步法：① 写出坐标；② 模 = √(ax²+ay²+az²)；③ 单位向量 = 向量/模。必须验证 |a⁰| = 1。

典型例题：例 5，习题 5-2 第 1 题

题型 3：方向余弦与方向角

方法：公式 cosα = ax/|a|，cosβ = ay/|a|，cosγ = az/|a|。验证三余弦平方和 = 1。方向角 ∈ [0, π]。

典型例题：例 6，习题 5-2 第 4 题

题型 4：向量的平行与垂直判定

方法：平行：坐标成比例 bx/ax = by/ay = bz/az（注意零分量情况）。垂直：数量积为零 a·b = 0。「两边平方」是常用技巧。

典型例题：习题 5-1 第 3 题

📋 二、数量积与向量积类

题型 1：计算数量积

方法：坐标公式：a·b = axbx + ayby + azbz。定义公式：a·b = |a||b|cosθ。知道坐标用坐标公式，知道模和角用定义公式。

典型例题：习题 5-3 第 1、2 题

题型 2：求两向量的夹角

方法：cosθ = a·b / (|a|·|b|)。注意 θ ∈ [0, π]，结果一定是非负角。两向量夹角用 cos 公式。

典型例题：例 1（∠AMB）

题型 3：计算向量积

方法：用 3×3 行列式展开。最易错：j 的系数前有负号（「i 正、j 负、k 正」）。验证：结果应同时垂直于两个原向量（数量积为零）。

典型例题：习题 5-3 第 3 题

题型 4：面积与体积计算

方法：三角形面积 = ½|a×b|；平行四边形面积 = |a×b|；平行六面体体积 = |(a×b)·c|（混合积绝对值）。

典型例题：向量积的几何应用（延伸）

📋 三、平面方程类

题型 1：已知点和法向量求平面

方法：直接代入点法式 A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0。这是最基本的类型。

典型例题：例 1

题型 2：过三点求平面方程

方法：三步法：① 求两个面内向量 M₁M₂⃗、M₁M₃⃗；② 叉积得法向量 n = M₁M₂⃗ × M₁M₃⃗；③ 代入点法式。

典型例题：例 2

题型 3：特殊位置平面方程

方法：过坐标轴的平面缺该轴变量和常数项。过 z 轴：Ax+By=0；过 x 轴：By+Cz=0；过 y 轴：Ax+Cz=0。然后利用过某点条件确定系数。

典型例题：例 3（过 z 轴及某点）

题型 4：附加约束条件确定平面

方法：设一般方程 Ax+By+Cz+D=0，根据约束条件（过某点、平行/垂直于某平面、包含某直线等）列方程组解系数。

典型例题：例 5（过两点垂直于已知平面），习题 5-4 第 1、2 题

题型 5：线面混合模型：过直线且垂直于平面的平面

方法：法向量 n = s_线 × n_面（直线方向向量与已知平面法向量的叉积）。理由：所求平面的法向量同时垂直于直线方向和已知平面法向量。

典型例题：复习题五解答题第 3 题

题型 6：求点到平面的距离

方法：公式 d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)。注意：① 分子取绝对值；② 分母开根号；③ 方程先化为一般式。

典型例题：例 6，习题 5-4 第 4、5 题

题型 7：两平面的夹角

方法：cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|)，θ ∈ [0, π/2]（取锐角或直角）。注意分子取绝对值。

典型例题：例 4，习题 5-4 第 3 题

📋 四、直线方程类

题型 1：写出直线的对称式方程

方法：需要一个过点 M₀ 和一个方向向量 s。从两平面交线中求方向向量：s = n₁ × n₂。

典型例题：一般方程 → 对称式的转化

题型 2：一般式 → 对称式的标准流程（必考题型）

方法：三步法：① 令 x（或 y、z）为某定值，解方程组得到直线上一点 M₀；② 法向量叉乘得方向向量 s = n₁ × n₂；③ 代入对称式 (x-x₀)/m = (y-y₀)/n = (z-z₀)/p。注意：分母为零时表示对应坐标不变。

典型例题：例 7（一般式化为对称式），习题 5-4 第 6 题

题型 3：两直线的夹角

方法：cosφ = |s₁·s₂| / (|s₁|·|s₂|)，φ ∈ [0, π/2]。注意分子取绝对值。

典型例题：例 8

题型 4：直线与平面的夹角

方法：sinθ = |Am+Bn+Cp| / (|s|·|n|)。关键区别：线面夹角用 sin 而非 cos！因为 θ 是线与面的夹角（而非线与法线的夹角）。

典型例题：例 9

题型 5：判断直线与平面的位置关系

方法：线面平行：Am+Bn+Cp=0 且该直线上某点不在平面上。线面垂直：A/m=B/n=C/p（方向向量与法向量平行）。

典型例题：相关性质的应用

题型 6：求与已知直线垂直相交的直线

方法：通用套路：① 过点作垂直于已知直线的辅助平面；② 求辅助平面与已知直线的交点；③ 用两点式写出所求直线方程。

典型例题：例 10

📋 五、曲面与曲线类

题型 1：球面方程

方法：标准式 (x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²。隐式方程用配方法识别：将 x²+Dx 配方为 (x+D/2)²-D²/4。

典型例题：习题 5-5 第 1 题，例 3

题型 2：旋转曲面方程（含圆锥面和双曲面）

方法：口诀「保留绕谁不动，另一个换距离」。绕 z 轴旋转：保留 z，将 y 换为 ±√(x²+y²)。绕 y 轴旋转：保留 y，将 z 换为 ±√(x²+z²)。记忆：绕实轴→双叶双曲面，绕虚轴→单叶双曲面。

典型例题：例 4（圆锥面），例 5（双曲面）

题型 3：识别柱面

方法：缺少某变量的方程 → 母线平行于该变量轴的柱面。准线是另外两个变量在对应坐标面上的曲线。

典型例题：习题 5-5 第 2 题

题型 4：二次曲面的截面法（识别曲面类型）

方法：用平行于坐标面的平面截曲面，分析截线方程的类型（圆、椭圆、双曲线、抛物线、空集），从而判断曲面形状。

典型例题：习题 5-5 第 3 题

题型 5：空间曲线的投影（⚠ 易错重点）

方法：三步走：① 消去一个变量（如消 z）得投影柱面 H(x,y)=0；② 写投影曲线方程 H(x,y)=0 ∧ z=0；③ 注意消元可能引入多余解，需验证。⚠ 关键易错点：消去 z 得到的 H(x,y)=0 只是投影柱面（三维曲面），必须写成 {H(x,y)=0, z=0} 才是 xOy 平面上的投影曲线！

典型例题：例 8（上半球与锥面投影），习题 5-5 第 4 题