第九章 定积分及其应用

定积分的定义

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，对区间任意分割，取 $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$，若极限存在且与分割、取点无关，则称该极限为定积分：

$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$

其中 $\lambda=\max\{\Delta x_i\}$。核心思想：分割→近似→求和→取极限。

可积充分条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续则必可积。

几何意义（三种情形）

情形一　$f(x)\geq 0$：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=S$（曲边梯形面积，正值）

情形二　$f(x)\leq 0$：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-S$（积分值为面积的相反数）

情形三　$f(x)$ 变号：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=S_上-S_下$（代数面积，可正可负可零）

四大基本性质 重点

① 交换上下限变号：$\int_a^b f\mathrm{d}x=-\int_b^a f\mathrm{d}x$

② 常数因子提取：$\int_a^b kf\mathrm{d}x=k\int_a^b f\mathrm{d}x$

③ 和差拆分：$\int_a^b(f\pm g)\mathrm{d}x=\int_a^b f\mathrm{d}x\pm\int_a^b g\mathrm{d}x$

④ 区间可加性：$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$（分段积分的基础）

定积分与不定积分辨析

比较	不定积分	定积分
结果	原函数族 $F(x)+C$	确定实数值
符号	$\int f(x)\mathrm{d}x$	$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
联系	先求不定积分得原函数，再代入上下限

$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1 f(t)\mathrm{d}t$，定积分的值与积分变量字母无关。

例 1 · N-L 公式直接计算 基础

(1) $\int_0^1 x^2\mathrm{d}x=[\tfrac{x^3}{3}]_0^1=\tfrac{1}{3}$

(2) $\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^{\pi}=1+1=2$

(3) $\int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{d}x=[\ln x]_1^e=1$

(4) $\int_0^1 e^x\mathrm{d}x=[e^x]_0^1=e-1$

(5) $\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,\mathrm{d}x=[\tan x]_0^{\pi/4}=1$

(6) $\int_1^9\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=[2\sqrt{x}]_1^9=4$

例 2 · 分段函数积分

$f(x)=\begin{cases}2-x^2,&0\leq x\leq 1\\x,&1< x\leq 2\end{cases}$

$\int_0^2 f=\int_0^1(2-x^2)\mathrm{d}x+\int_1^2 x\,\mathrm{d}x=\tfrac{5}{3}+\tfrac{3}{2}=\dfrac{19}{6}$

例 3 · 含绝对值函数

$\int_0^2|1-x|\mathrm{d}x=\int_0^1(1-x)\mathrm{d}x+\int_1^2(x-1)\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1$

牛顿-莱布尼茨公式 核心

若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则：

$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b$

该公式将极限求和转化为原函数代入，极大简化计算。

积分上限函数（了解）

$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$，求导结论：$\Phi'(x)=f(x)$。

复合形式需链式法则：$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t=f[\varphi(x)]\cdot\varphi'(x)$

例：$(\int_0^{x^2}\sin t\,\mathrm{d}t)'=\sin(x^2)\cdot 2x=2x\sin(x^2)$

利用奇偶性简化 高频

积分区间关于原点对称 $[-a,a]$ 时：

• 偶函数：$\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\mathrm{d}x$（加倍）

• 奇函数：$\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x=0$（正负抵消）

例 4 · 奇偶性速算

(1) $\int_{-1}^1 x^3\mathrm{d}x=0$（奇函数）

(2) $\int_{-1}^1 x^2\mathrm{d}x=2\int_0^1 x^2\mathrm{d}x=\tfrac{2}{3}$（偶函数）

(3) $\int_{-2}^{2}(x^3+x^2)\mathrm{d}x=0+2\int_0^2 x^2\mathrm{d}x=\tfrac{16}{3}$

(4) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x=2\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x=2$

定积分的换元积分法

设代换 $x=\varphi(t)$，$\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$，则：

$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t$

关键：赋值 $x=\varphi(t)$ 后，上下限必须放在对应的位置同步转换（$x=a\to t=\alpha$，$x=b\to t=\beta$）；计算完毕无需回代原变量。

例 5 · 直接代换

求 $\int_0^4\sqrt{4-x}\,\mathrm{d}x$，令 $t=4-x$，$\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$

换限：$x=0\to t=4$；$x=4\to t=0$

$=\int_4^0\sqrt{t}(-\mathrm{d}t)=\int_0^4 t^{1/2}\mathrm{d}t=[\tfrac{2}{3}t^{3/2}]_0^4=\dfrac{16}{3}$

例 6 · 凑微分法

求 $\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$，令 $u=1-x^2$，$\mathrm{d}u=-2x\mathrm{d}x$

换限 $1\to 0$：$=-\tfrac{1}{2}\int_1^0\sqrt{u}\,\mathrm{d}u=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

例 7 · 三角代换

求 $\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x$（$a>0$），令 $x=a\sin t$

$=a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\,\mathrm{d}t=a^2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi a^2}{4}$

几何验证：结果恰为半径 $a$ 的四分之一圆面积。

例 8 · 根号整体代换

求 $\int_1^4\frac{1}{1+\sqrt{x}}\mathrm{d}x$，令 $t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$

$=\int_1^2\frac{2t}{1+t}\mathrm{d}t=\int_1^2(2-\frac{2}{1+t})\mathrm{d}t=2-2\ln\tfrac{3}{2}$

定积分的分部积分法

$\displaystyle\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u$

选 $u$ 法则：按反对幂指三（反三角→对数→幂→指数→三角）顺序，排前的优先设为 $u$。

例 9 · 幂 × 指数

$\int_0^1 xe^x\mathrm{d}x$，取 $u=x$，$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$：

$=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$

例 10 · 孤立对数

$\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x$，取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$：

$=[x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$

例 11 · 幂 × 三角

$\int_0^{\pi} x\cos x\,\mathrm{d}x$，取 $u=x$，$\mathrm{d}v=\cos x\,\mathrm{d}x$：

$=[x\sin x]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=0-(-\cos\pi+\cos 0)=-2$

例 12 · 循环积分结构

$I=\int_0^{\pi}e^x\sin x\,\mathrm{d}x$，两次分部积分后重现 $I$：

$I=[e^x\sin x]_0^{\pi}-[e^x\cos x]_0^{\pi}-I$

移项得 $2I=e^{\pi}+1$，故 $I=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}$

计算方法速查

• 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ → 令 $x=a\sin t$

• 含 $\sqrt{x-a}$ → 令 $t=\sqrt{x-a}$ 整体代换

• 被积含导数关联 → 凑微分后换限

• 幂函数乘对数 → 分部积分，对数设 $u$

无穷限反常积分

积分上限或下限为 $\pm\infty$ 时，用极限替代：

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

极限存在则收敛，不存在则发散。

例 13 · 无穷限积分

(1) $\int_0^{+\infty}e^{-x}\mathrm{d}x=\lim\limits_{b\to+\infty}[-e^{-x}]_0^b=1$（收敛）

(2) $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\lim\limits_{b\to+\infty}\ln b=+\infty$（发散）

(3) $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\lim\limits_{b\to+\infty}[-\tfrac{1}{x}]_1^b=1$（收敛）

瑕积分（无界函数）

被积函数在端点或内部某点趋于无穷（瑕点），需用极限绕开：

$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\mathrm{d}x$（$a$ 为瑕点时）

例 14 · 瑕积分计算

(1) $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}[2\sqrt{x}]_\varepsilon^1=2$（收敛）

(2) $\int_0^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}[\ln x]_\varepsilon^1=+\infty$（发散）

警惕：$\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$ 中 $x=0$ 为瑕点，此积分发散。绝不能直接用 N-L 公式代入得 $-2$！计算前必须检查瑕点。

平面图形面积 重点

$A=\displaystyle\int_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$

始终上方曲线减下方曲线；若交叉需找交点分段。

例 15 · 两抛物线围成面积

$y=\sqrt{x}$ 与 $y=x^2$ 交于 $(0,0)$、$(1,1)$，$[0,1]$ 内 $\sqrt{x}\geq x^2$：

$A=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\mathrm{d}x=[\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{x^3}{3}]_0^1=\dfrac{1}{3}$

例 16 · 直线与抛物线

$y=x$ 与 $y=x^2$，交点 $(0,0)$、$(1,1)$：

$A=\int_0^1(x-x^2)\mathrm{d}x=[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}]_0^1=\dfrac{1}{6}$

例 17 · 以 $y$ 为变量求面积

$y^2=x$ 与 $y=x-2$ 围成面积。联立得 $y=-1,\,2$。

以 $y$ 积分（$x=y^2$ 左，$x=y+2$ 右）避免分段：

$A=\int_{-1}^2[(y+2)-y^2]\mathrm{d}y=[\tfrac{y^2}{2}+2y-\tfrac{y^3}{3}]_{-1}^2=\dfrac{9}{2}$

技巧：曲线用 $x=\varphi(y)$ 表达更简单时，优先以 $y$ 为积分变量。

旋转体体积 重点

绕 $x$ 轴（圆盘法）：$V_x=\pi\displaystyle\int_a^b[f(x)]^2\mathrm{d}x$

绕 $y$ 轴：$V_y=\pi\displaystyle\int_c^d[\varphi(y)]^2\mathrm{d}y$

两曲线间：$V=\pi\int_a^b[f^2(x)-g^2(x)]\mathrm{d}x$

例 18 · 抛物线绕 $x$ 轴

$y=\sqrt{x}$ 在 $[0,4]$：$V=\pi\int_0^4 x\,\mathrm{d}x=\pi[\tfrac{x^2}{2}]_0^4=8\pi$

例 19 · 两曲线间绕 $x$ 轴

$y=x$ 与 $y=x^2$，交点 $(0,0)$、$(1,1)$：

$V=\pi\int_0^1(x^2-x^4)\mathrm{d}x=\pi[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^5}{5}]_0^1=\dfrac{2\pi}{15}$

例 20 · 球体体积

$x^2+y^2=R^2$ 绕 $x$ 轴：$V=\pi\int_{-R}^R(R^2-x^2)\mathrm{d}x=\dfrac{4}{3}\pi R^3$

例 21 · 圆锥体积

$x=\tfrac{r}{h}y$ 绕 $y$ 轴：$V=\pi\int_0^h(\tfrac{r}{h}y)^2\mathrm{d}y=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

核心公式汇总

N-L 公式：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

变上限求导：$(\int_a^x f(t)\mathrm{d}t)'=f(x)$

换元公式：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t$

分部公式：$\int_a^b u\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\mathrm{d}u$

面积与体积公式表

场景	公式
两曲线面积	$\int_a^b|f-g|\mathrm{d}x$
绕 $x$ 轴体积	$\pi\int_a^b f^2\mathrm{d}x$
绕 $y$ 轴体积	$\pi\int_c^d \varphi^2\mathrm{d}y$
两曲线绕 $x$ 轴	$\pi\int_a^b(f^2-g^2)\mathrm{d}x$

六大计算易错点

① 代换未换限——换元后上下限必须同步转换。

② 求导漏链式——上限 $\varphi(x)$ 时必乘 $\varphi'(x)$。

③ 面积出负值——面积恒正，需加绝对值或分段。

④ 旋转轴混淆——绕 $x$ 用 $y^2\mathrm{d}x$，绕 $y$ 用 $x^2\mathrm{d}y$。

⑤ 无视瑕点——积分前检查函数是否无界。

⑥ 忽略分段——含绝对值必须依零点拆项。

微元法四步：选取变量→取微元→近似表达→积分累加。