若 $f(x)$ 满足：① 在 $[a,b]$ 连续 ② 在 $(a,b)$ 可导 ③ $f(a)=f(b)$
则 $\exists\,\xi\in(a,b)$，使 $f'(\xi)=0$
几何意义：两端等高的曲线上必有水平切线。
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，则：
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，$\xi\in(a,b)$
几何意义：曲线上必有一点切线平行于弦 $AB$。通俗说：平均速度 $=$ 某一瞬间的速度。
当 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定式时：
$\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$
对分子分母分别求导（不是用商的法则！），再求极限。
① 必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
② $\lim\frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$）
③ 可重复使用，直到不再是未定式
其他类型需转化：
$0\cdot\infty$ → 改写为 $\frac{0}{1/\infty}$ 或 $\frac{\infty}{1/0}$
$\infty-\infty$ → 通分或有理化
$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ → 取对数化为 $0\cdot\infty$
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\xlongequal{\frac{0}{0}}\lim\frac{e^x-1}{2x}\xlongequal{\frac{0}{0}}\lim\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}\xlongequal{\frac{\infty}{\infty}}\lim\frac{2x}{e^x}\xlongequal{\frac{\infty}{\infty}}\lim\frac{2}{e^x}=0$
$\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=\lim\frac{\ln x}{1/x}\xlongequal{\frac{\infty}{\infty}}\lim\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim(-x)=0$
$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导：
$f'(x)>0$ → $f(x)$ 在该区间单调递增 ↗
$f'(x)<0$ → $f(x)$ 在该区间单调递减 ↘
导数就像速度表：正→前进（增），负→后退（减）。
① 求 $f'(x)$
② 令 $f'(x)=0$，解出所有驻点
③ 用驻点将定义域划分为若干子区间
④ 各区间内取试值代入 $f'(x)$，判断正负
方法一（一阶导符号法）：
$f'(x)$ 从 $+$ 变 $-$：极大值（山顶）
$f'(x)$ 从 $-$ 变 $+$：极小值（谷底）
$f'(x)$ 不变号：非极值（如 $x^3$ 在 $x=0$）
方法二（二阶导鉴定法）：
设 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)\neq 0$：
$f''(x_0)<0$ → 极大值（凸顶）
$f''(x_0)>0$ → 极小值（凹底）
注意：驻点只是"嫌疑人"，驻点不一定是极值点！
求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间和极值
$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$
令 $f'(x)=0$：$x=-1$，$x=1$
| $x$ | $(-\infty,-1)$ | $-1$ | $(-1,1)$ | $1$ | $(1,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ 增 | 极大 $2$ | ↘ 减 | 极小 $-2$ | ↗ 增 |
求 $f(x)=x^3-x^2-x+1$ 的极值
$f'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$
驻点 $x=-\frac{1}{3}$，$x=1$
$f''(x)=6x-2$
$f''(-\frac{1}{3})=-4<0$ → 极大值 $f(-\frac{1}{3})=\frac{32}{27}$
$f''(1)=4>0$ → 极小值 $f(1)=0$
$f(x)=xe^{-x}$，$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$
驻点 $x=1$，$f''(x)=(x-2)e^{-x}$，$f''(1)=-e^{-1}<0$
极大值 $f(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}$
$f''(x)>0$ → 曲线是凹的（∪ 形，开口朝上，切线在曲线下方）
$f''(x)<0$ → 曲线是凸的（∩ 形，开口朝下，切线在曲线上方）
一阶导管升降，二阶导管弯曲。$f''>0$ 表示斜率在增大（越来越陡）。
① 求 $f''(x)$
② 令 $f''(x)=0$，解出所有根
③ 用根将定义域划分子区间
④ 各区间取试值判 $f''$ 正负
曲线上凹凸性发生改变的点 $(x_0,f(x_0))$ 叫拐点。
判定：$f''(x_0)=0$（或不存在），且 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧异号。
注意：$f''(x_0)=0$ 只是必要条件，必须验证异号！
几何特征：拐点处的切线会"穿透"曲线（不在单侧）。
求 $y=x^4-2x^3$ 的凹凸区间和拐点
$y'=4x^3-6x^2$，$y''=12x^2-12x=12x(x-1)$
令 $y''=0$：$x=0$，$x=1$
| 区间 | $(-\infty,0)$ | $(0,1)$ | $(1,+\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $+$（凹∪） | $-$（凸∩） | $+$（凹∪） |
拐点：$(0,0)$ 和 $(1,-1)$（$f''$ 异号）
$y''=(x-2)e^{-x}$，令 $y''=0$：$x=2$
$x<2$：$y''<0$（凸∩）；$x>2$：$y''>0$（凹∪）
拐点 $(2,2e^{-2})$
| 类型 | 条件 | 方程 |
|---|---|---|
| 水平渐近线 | $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$ | $y=b$ |
| 铅直渐近线 | $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$ | $x=x_0$ |
本质是极限计算：$x\to\infty$ 找水平，$x\to$ 无定义点找铅直。
(1) $y=\frac{1}{x-1}+2$
$\lim\limits_{x\to 1}=\infty$ → 铅直 $x=1$；$\lim\limits_{x\to\infty}=2$ → 水平 $y=2$
(2) $y=\frac{x}{x^2-1}=\frac{x}{(x-1)(x+1)}$
$\lim\limits_{x\to\pm 1}=\infty$ → 铅直 $x=1$、$x=-1$
$\lim\limits_{x\to\infty}=0$ → 水平 $y=0$
$\lim\limits_{x\to 0^+}e^{1/x}=+\infty$ → 铅直 $x=0$
$\lim\limits_{x\to\infty}e^{1/x}=e^0=1$ → 水平 $y=1$
极值是局部冠军，最值是全场冠军。
求 $[a,b]$ 上最值三步：
① 求区间内所有驻点和不可导点
② 算这些点及两端点 $f(a),f(b)$ 的函数值
③ 比较所有值，最大→最大值，最小→最小值
求 $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ 在 $[-3,4]$ 上的最值
$f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$
驻点 $x=-2$，$x=1$（都在区间内）
$f(-3)=9$，$f(-2)=20$，$f(1)=-7$，$f(4)=128$
最大值 $f(4)=128$，最小值 $f(1)=-7$
实际问题（面积最大、成本最低等）中，若开区间内唯一驻点且最值一定存在，则该驻点处即为最值，无需验算。
将 $12\,\text{m}$ 铁丝弯成矩形，求面积最大的尺寸
设一边 $x$，则另一边 $6-x$，$S=x(6-x)$
$S'=6-2x=0$，$x=3$，唯一驻点 → 最大值
$S_{\max}=3\times 3=9\,\text{m}^2$（正方形）
第一步：求 $f'(x)$、$f''(x)$，分别令 $=0$ 找根
第二步：所有根排序，划分全区间
第三步：列表，逐区间判 $f',f''$ 正负
第四步：从表中读取结论作答
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令 $f'=0$：$x=0,2$
$f''(x)=6x-6=6(x-1)$，令 $f''=0$：$x=1$
根排序：$0,1,2$，划分四段
| $x$ | $(-\infty,0)$ | $0$ | $(0,1)$ | $1$ | $(1,2)$ | $2$ | $(2,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f''$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $f$ | ↗凸 | 极大$0$ | ↘凸 | 拐点$-2$ | ↘凹 | 极小$-4$ | ↗凹 |
单调增：$(-\infty,0)$、$(2,+\infty)$；单调减：$(0,2)$
极大值：$f(0)=0$；极小值：$f(2)=-4$
凸区间：$(-\infty,1)$；凹区间：$(1,+\infty)$
拐点：$(1,-2)$
将 $f'(x)$ 因式分解后，在数轴标根，从右上角画波浪线穿过：
奇次根穿过，偶次根弹回（"奇穿偶不穿"）
线上为正，线下为负，10秒判完所有区间！
$f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$
驻点 $x=0$（偶次），$x=1$（奇次）
$f''(x)=36x^2-24x=12x(3x-2)$
$f''=0$：$x=0$，$x=\frac{2}{3}$
| $x$ | $(-\infty,0)$ | $0$ | $(0,\frac{2}{3})$ | $\frac{2}{3}$ | $(\frac{2}{3},1)$ | $1$ | $(1,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'$ | $-$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f$ | ↘ | 非极值 | ↘ | ↘ | 极小$0$ | ↗ |
$x=0$ 处 $f'$ 不变号（偶次根弹回）→ 非极值！
$x=1$ 处 $f'$ 从 $-$ 变 $+$ → 极小值 $f(1)=0$
拐点：$(0,1)$ 和 $(\frac{2}{3},f(\frac{2}{3}))$
$f'(x)=\ln x+1=0$，$x=e^{-1}=\frac{1}{e}$
$x<\frac{1}{e}$：$f'<0$（↘）；$x>\frac{1}{e}$：$f'>0$（↗）
极小值 $f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}$
$f''(x)=\frac{1}{x}>0$（$x>0$）→ 全区间凹，无拐点
| 工具 | 作用 | 判定规则 |
|---|---|---|
| $f'(x)$ | 单调性 | $>0$ 增，$<0$ 减 |
| $f'(x)=0$ | 极值候选 | 看两侧符号变化 |
| $f''(x)$ | 凹凸性 | $>0$ 凹∪，$<0$ 凸∩ |
| $f''(x)=0$ | 拐点候选 | 看两侧是否异号 |
| 未定式类型 | 处理方式 |
|---|---|
| $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$ | 直接洛必达 |
| $0\cdot\infty$ | 改写为分式 |
| $\infty-\infty$ | 通分或有理化 |
| $1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ | 取对数化为 $0\cdot\infty$ |
① 找驻点 → ② 算驻点+端点函数值 → ③ 比大小
应用题唯一驻点 → 直接最值（无需比端点）
① 驻点 $\neq$ 极值点——$f'(x_0)=0$ 还需看两侧变号（如 $x^3$）。
② 极值 $\neq$ 最值——极值是局部概念，最值需比较端点。
③ $f''(x_0)=0$ $\neq$ 拐点——必须验证两侧异号。
④ 洛必达用商的法则——是分子分母各自求导，不是 $(\frac{f}{g})'$。
⑤ 凹凸记反——$f''>0$ 是凹（∪朝上），不是凸。
⑥ 最值忘比端点——闭区间必须算两端 $f(a),f(b)$。
综合大题：求 $f',f''$ → 列表 → 读结论。
极限题：先代入判型 → $\frac{0}{0}$/$\frac{\infty}{\infty}$ 用洛必达。
最值题：驻点+端点 → 比大小。
应用题：建模 → 求导 → 唯一驻点即最值。
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