指派问题把人员与任务配对。xij=1 表示人员 i 执行任务 j，否则为 0。
标准一对一指派要求每人恰好一个任务、每项任务恰好一人。规模增加时组合数迅速增长。
min ΣiΣj cijxij；对每个 i：Σj xij=1；对每个 j：Σi xij=1；xij∈{0,1}。
先列成本/时间矩阵并确认行列含义。禁配任务用显式约束 xij=0，不要只写一个巨大成本而不说明。
别踩坑行列含义写反漏掉任务唯一性
第 10 讲 · 从“最省”走向“可用且公平”
第 10 讲 · 排班指派与多目标优化
用 0–1 变量完成任务指派与班次覆盖，把硬约束、软约束、公平性和多目标权衡放进同一套可解释方案。
学完能做什么
可检查的学习目标
01
能建立标准 0–1 指派模型
能建立标准 0–1 指派模型
02
能把覆盖、工时、休息与偏好写成硬/软约束
能把覆盖、工时、休息与偏好写成硬/软约束
03
能用归一化、权重或 Pareto 解释多目标取舍
能用归一化、权重或 Pareto 解释多目标取舍
知识点01
谁做哪个任务
指派模型的 0–1 矩阵
先猜一猜
4 个人做 4 项任务，一共有多少种分配？为什么不能靠眼睛选？
动手试一试
LIVE指派完整性
比较局部贪心与整体匹配。
同一人可能被选中多个任务。
跟我算一遍三人三任务
成本矩阵行=人员、列=任务。
定义 9 个 xij。
每行和=1，保证每人一项。
每列和=1，保证每任务一人。
目标把被选单元格成本相加，求总成本最小。
立即练习
学一点，马上做 4 题
答案默认隐藏。聚焦题卡后按 ↓ 或 Space，一次只揭晓一道。
01计算未作答
4 人 4 任务的一对一指派共有多少种完整排列？
一对一排列数量是阶乘。
参考答案
4!=4×3×2×1=24 种。
02选择未作答
约束 Σj xij=1 表示？
固定 i，对 j 求和。
参考答案
人员 i 恰好分配一项任务。
03判断未作答
对每项任务选成本最低的人，就一定得到可行最优指派。
局部最小会冲突。
参考答案
错误。同一人可能成为多项任务最低者，违反一人一任务，需整体优化。
04简答未作答
某人没有资格做任务 j，应怎样建模？
硬资格最好写硬约束。
参考答案
直接添加 xij=0 的禁配约束；若使用大成本替代，必须确保不会造成数值问题并说明。
知识点02
整体最低不是逐格最低
读懂成本矩阵与匈牙利思路
先猜一猜
为什么每行减去最小值不会改变最佳指派？
成本矩阵 cij 可以是时间、费用、损失或不匹配度。匈牙利算法通过行列约简寻找零元素覆盖，利用的是每个指派恰好选每行每列一个。
给某一行所有元素减同一常数，会使每个完整指派总成本都减少同样常数，因此最优相对顺序不变。
行/列约简保留最优解结构。实际使用可交给求解器，但要能用小矩阵枚举核对。
先检查成本是否可加、单位是否一致。时间与满意度不能直接相加，除非先转成统一损失或多目标。
别踩坑不同单位直接相加只报算法名不核对原成本
动手试一试
LIVE成本矩阵解释
比较混合量纲与统一损失。
单位不同，总和含义不清。
跟我算一遍行约简
某行成本 [7,4,6]。
该行最小值为 4。
每项减 4 得 [3,0,2]。
任何完整指派都会从该行选一次，因此总成本统一减 4。
最优指派不变，但零元素帮助寻找候选匹配。
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01计算未作答
成本行 [7,4,6] 做行约简后是？
每项减行最小。
参考答案
减去最小值 4，得到 [3,0,2]。
02判断未作答
给一整行成本都加 10，会改变最优一对一指派。
标准一对一条件很关键。
参考答案
不会。每个完整指派都从该行选一个，所有方案总成本同加 10，相对顺序不变。
03选择未作答
成本矩阵的单元格 cij 表示？
行列交叉。
参考答案
人员 i 执行任务 j 所产生的代价或损失。
04简答未作答
为什么应在原始成本矩阵上重算最终方案？
转换后的 0 不是免费。
参考答案
约简矩阵只用于求解结构，最终业务成本必须回到原单位矩阵，才能解释和核验。
知识点03
每个时段都要有人
排班核心是覆盖约束
先猜一猜
一天总人数够，为什么午高峰仍可能缺员？
排班要在每个时间段满足最低需求，而不是只满足总人数。班次覆盖矩阵表示某班次是否覆盖某时段。
还要限制每人总工时、连续工作、休息、技能和可用时间。
若 akt=1 表示班次 k 覆盖时段 t，xk 为班次数，则对每个 t：Σk aktxk≥dt。个人排班再用 xikt 细化。
把 24 小时按 30/60 分钟离散，先画需求曲线，再设计候选班次。覆盖结果用热力表逐时段核验。
别踩坑只约束全天总人数忽略班次跨越时段
动手试一试
LIVE覆盖颗粒度
比较全天总量与逐时段约束。
人员可能集中在低峰，高峰仍缺。
跟我算一遍午高峰覆盖
11–12 点需 4 人，12–13 点需 6 人。早班覆盖两段，短班只覆盖第二段。
11–12：早班数≥4。
12–13：早班数+短班数≥6。
目标可最小总工时或工资。
若安排 4 个早班、2 个短班，两段需求都刚好满足。
立即练习
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01选择未作答
排班最基本的需求约束应该按什么写？
局部高峰不能被全天平均掩盖。
参考答案
每个时段写覆盖约束。
02计算未作答
某时段需 6 人，已有 4 个长班覆盖，还需多少短班至少覆盖？
覆盖总数≥6。
参考答案
至少 2 个短班。
03判断未作答
总工时满足需求总工时，就一定不存在缺员时段。
总量不保证局部。
参考答案
错误。工时可能分布在错误时段，必须逐时段检查覆盖。
04简答未作答
技能型岗位怎样加入覆盖？
人数与资质都要覆盖。
参考答案
对每个时段分别约束具备该技能的在岗人数不低于需求，例如 Σ skill_i x_it≥d_skill,t。
本讲主实验 · 拖一拖再下结论
成本与公平的权衡
提高公平权重，观察推荐方案如何从最低成本转向更均衡。
观察结果等待计算
调整左侧参数，观察模型输出怎样变化。
实验后想一想
在哪个权重附近推荐方案发生变化？这个临界点比“取 0.5”更能告诉管理者什么？
知识点04
不能违反与尽量满足
硬约束与软约束
先猜一猜
员工希望周末休息，应该像法律休息时长一样绝对禁止违反吗？
硬约束必须满足，例如资质、安全、法定工时；软约束是偏好或服务目标，允许付出惩罚后少量违反。
若把所有偏好都写成硬约束，模型可能无可行解；软约束用偏差变量量化违反程度。
需求软化示例：覆盖+缺员量≥需求，缺员量≥0；在目标中加入 M×缺员量惩罚。M 应反映真实代价和优先级。
列一张硬/软规则表及依据。模型无解时先看哪些软偏好被误设为硬约束。
别踩坑偏好全部硬化惩罚系数没有业务含义
动手试一试
LIVE规则弹性
比较全硬、全软与分层处理。
可能无解，且偏好被过度放大。
跟我算一遍周末偏好
员工 A 希望周日不上班，但必要时可安排。
安全资质仍是硬约束。
定义 vA=1 表示违反周日偏好。
目标加入适度惩罚，并报告最终违反情况。
模型在无替代人员时仍可行，但会优先避免安排 A。
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01选择未作答
法定最长连续工时更适合设为？
违反是否被允许？
参考答案
硬约束。法律与安全底线不应被普通成本抵消。
02判断未作答
软约束表示可以不记录违反情况。
允许违反不等于不可见。
参考答案
错误。软约束应通过偏差变量量化，并在结果中报告违反数量和代价。
03简答未作答
为什么所有偏好都设硬约束容易无解？
硬条件交集可能为空。
参考答案
不同员工偏好和覆盖需求可能互相冲突，没有任何排班同时满足全部条件。
04选择未作答
惩罚系数 M 太小可能导致什么？
惩罚代表违反代价。
参考答案
模型可能觉得违反很便宜，从而频繁牺牲软目标。
知识点05
成本、公平、满意度不能直接相加
多目标先统一尺度
先猜一猜
成本 10000 元与不公平度 3 分直接相加，谁会天然占主导？
多目标常有不同方向和单位。加权和前应正向/负向统一并归一化，否则大尺度目标压倒其他目标。
权重表达偏好，不是计算出来就永远正确；可使用加权和、ε 约束、词典序或目标规划。
归一化损失 f'=(f−fmin)/(fmax−fmin)。加权目标 min Σwk f'k，Σwk=1。目标范围应来自可行情景而非随意常数。
先分别优化每个单目标，得到理想与最差参考，再构建归一化多目标；展示权重变化图。
别踩坑原单位直接加权权重只算一个组合
动手试一试
LIVE多目标可比性
比较直接相加与归一化权衡。
万元尺度会吞掉 0–10 的公平分。
跟我算一遍成本与公平
方案 A 成本低但夜班集中，B 成本高 5% 但更均衡。
分别定义总成本与最大夜班差。
对两目标用各自范围归一化。
改变公平权重，找推荐方案切换点。
管理者可以根据愿意为公平多付多少成本做选择。
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01判断未作答
不同单位的目标乘权重后可以直接相加，无需归一化。
先统一方向与尺度。
参考答案
错误。权重不能自动消除尺度影响，大数值目标可能仍主导。
02计算未作答
两个归一化损失为 0.2、0.8，权重 0.6、0.4，加权损失是多少？
归一化后加权。
参考答案
0.6×0.2+0.4×0.8=0.12+0.32=0.44。
03选择未作答
若安全优先级绝对高于成本，更适合哪种方式？
不可补偿的优先级不宜普通加权。
参考答案
词典序或把安全设硬约束，先保证安全，再优化成本。
04简答未作答
为什么应先分别优化每个单目标？
先认识每个端点。
参考答案
得到各目标可达范围和理想参考，用于归一化，也能看出目标之间是否真正冲突。
知识点06
给选择，不伪装唯一答案
Pareto 前沿与稳健排班
先猜一猜
如果不存在一个方案在成本、公平、满意度上都最好，什么叫“非劣方案”？
Pareto 最优方案无法在不损害至少一个目标的情况下改进另一个目标。前沿展示真实取舍，而不是强行说某个权重下的结果是唯一真理。
排班还要面对需求、请假和服务时间不确定，可用高低情景、缓冲或滚动重排提高稳健性。
方案 B 支配 A：B 所有目标不差于 A，且至少一项更好。被支配方案可淘汰；非支配方案构成 Pareto 集。
提供 3–5 个代表性非劣方案：最低成本、最公平、折中、最稳健，并给每个方案的代价表。
别踩坑把一个权重结果称绝对最优只对平均需求排班
动手试一试
LIVE决策输出
比较单方案与前沿情景。
隐藏偏好与不确定性。
跟我算一遍三排班方案
A(成本100,不公平8)，B(105,5)，C(110,6)，均越小越好。
B 比 C 成本更低且更公平，因此 B 支配 C。
A 成本更低但不公平更高，与 B 互不支配。
Pareto 集为 A、B。
决策者在 A 的省钱与 B 的公平之间选择，C 可直接淘汰。
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答案默认隐藏。聚焦题卡后按 ↓ 或 Space，一次只揭晓一道。
01选择未作答
A(成本100,不公平8)，B(105,5)，谁支配谁？
支配要求所有目标都不差。
参考答案
互不支配。A 成本更低，B 更公平，各有一项优势。
02判断未作答
Pareto 集中的每个方案都同样适合所有决策者。
前沿提供选择，不替代价值判断。
参考答案
错误。它们都是非劣，但具体选择取决于偏好、风险和可接受代价。
03简答未作答
怎样让排班对临时请假更稳健？
平均情景外还要看冲击。
参考答案
设置人员缓冲、关键技能冗余，使用高缺勤情景检验，并设计滚动重排或替补规则。
04选择未作答
被另一方案在所有目标上不差且至少一项更好的方案称为？
所有目标都不占优。
参考答案
被支配方案，可从 Pareto 候选中剔除。
离开前完成
做一张兼顾成本与公平的周排班
为 4–8 人、7 天、多个时段建立小型排班模型，重点是规则分层和结果解释。
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