决策变量是模型需要选择的行动量，例如产多少、运多少、是否建设。参数是当前已知的成本、需求和资源上限。
变量定义必须包含对象、时间、单位和取值类型。定义模糊会让后续每个公式都失去现实含义。
示例：xij=从仓库 i 运到门店 j 的数量（箱/日），xij≥0；yj=是否启用站点 j，yj∈{0,1}。
变量表中同时写符号、含义、单位、索引范围、连续/整数/0–1。任何公式都只使用已定义符号。
别踩坑把资源上限当变量漏写索引和单位
学完能做什么
可检查的学习目标
01
能从文字题定义变量、目标和约束
能从文字题定义变量、目标和约束
02
能用可行域解释线性规划最优解
能用可行域解释线性规划最优解
03
能判断何时需要整数/0–1 变量并核验求解结果
能判断何时需要整数/0–1 变量并核验求解结果
知识点01
模型能改变什么
先定义决策变量
先猜一猜
“每月最多有 1000 小时机器时间”是变量，还是已经给定的参数？
动手试一试
LIVE变量定义质量
比较含糊符号与可执行变量。
不知道 x 改什么、单位是什么。
跟我算一遍生产计划
决定下周 A/B 产品生产量。
xA=下周 A 生产件数。
xB=下周 B 生产件数。
若产品不可拆分，则 xA,xB 为非负整数。
机器时间、人工时间和利润都是参数，用来评价和限制 xA、xB。
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学一点，马上做 4 题
答案默认隐藏。聚焦题卡后按 ↓ 或 Space，一次只揭晓一道。
01选择未作答
“仓库容量 500 箱”在模型中通常是什么？
它是模型选择还是现实给定？
参考答案
已知参数，用来构成容量约束。
02简答未作答
为“决定 7 天每天安排多少名兼职”定义一个变量。
写对象、时间索引、单位和类型。
参考答案
示例：xt=第 t 天安排的兼职人数（人），t=1,…,7，xt 为非负整数。
03判断未作答
变量取值是否为整数可以在求解后四舍五入，无需提前声明。
可行性依赖取值类型。
参考答案
错误。四舍五入可能破坏约束和最优性，应在模型中显式设置整数。
04选择未作答
“是否建设第 j 个站点”最自然用什么变量？
二选一决策。
参考答案
0–1 变量，1 表示建设、0 表示不建设。
知识点02
最好什么，必须满足什么
目标函数与约束要线性一致
先猜一猜
“成本低、服务好”为什么还不是一个可求解目标？
目标函数把方案好坏压成可比较数值，例如最大利润或最小总成本。约束描述资源、需求、平衡和规则。
线性规划要求目标与约束中变量均以一次线性组合出现，不能包含变量相乘、平方或条件跳变。
标准形式：max/min cᵀx，s.t. Ax≤/=/≥b，x≥0。每条约束左右单位应一致。
先用自然语言写“每单位占用×数量之和≤资源上限”，再翻译公式；逐条在结果上重算。
别踩坑目标没有量化约束两边单位不同
动手试一试
LIVE模型完整度
比较目标和约束的完整程度。
没有量化标准，无法比较。
跟我算一遍两产品资源
A/B 利润 40/30；机器分别用 2/1 小时，总共 100 小时。
目标 max 40xA+30xB。
机器约束 2xA+xB≤100。
再添加人工、需求和非负/整数条件。
目标单位为元，资源约束左右单位均为小时。
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01选择未作答
下列哪个是线性表达式？
线性组合。
参考答案
3x+2y。变量只以一次项出现且不互相相乘。
02计算未作答
每件 A 用 3 小时，生产 x 件，最多 60 小时，约束怎么写？
单位占用×数量≤总资源。
参考答案
3x≤60，并通常有 x≥0；若整件生产则 x 为整数。
03判断未作答
最小成本与最大服务水平可以不经处理同时作为唯一目标函数。
两个方向不同的目标要协调。
参考答案
错误。多目标需要归一化加权、优先级、约束法或 Pareto 分析等明确处理。
04简答未作答
为什么约束两边单位必须一致？
量纲是公式检查器。
参考答案
单位不一致说明关系无法在现实中成立，可能把件、小时、元等错误相加或比较。
知识点03
先可行，再谈最优
可行域与角点最优
先猜一猜
利润最高的组合为什么可能被资源约束排除？
满足全部约束的点组成可行域。线性规划若有有限最优解，至少有一个最优解位于可行域角点。
无可行解表示约束互相冲突；无界表示目标能无限改善，常因漏约束；多个最优解表示一条边上同样好。
二维图解：画每条约束边界→判断可行半平面→找交集角点→代入目标函数比较。
求解器状态必须解释：optimal、infeasible、unbounded。看到异常状态先审模型，而不是换算法碰碰运气。
别踩坑只比较单条约束把不可行点当候选
动手试一试
LIVE求解状态识别
比较三类异常状态。
约束交集为空，应检查冲突或放宽条件。
跟我算一遍角点比较
约束 x+y≤6、x≤4、y≤5、x,y≥0，目标 max 3x+2y。
可行角点含 (0,0),(4,0),(4,2),(1,5),(0,5)。
分别计算目标 0,12,16,13,10。
最大值 16 在 (4,2)。
最优解 x=4,y=2，且同时用满 x+y 资源和 x 上限。
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01计算未作答
点 (4,2) 在目标 3x+2y 下的值是多少？
代入目标函数。
参考答案
3×4+2×2=16。
02判断未作答
线性规划的最优解一定唯一。
可能有多个最优解。
参考答案
错误。目标函数可能与可行域某条边平行，整条边都可达到同一最优值。
03选择未作答
求解器返回 unbounded 最优先检查什么？
无界意味着能一直变好。
参考答案
是否漏了能限制变量增长的上限或资源约束。
04简答未作答
无可行解与无界有什么区别？
一个是交集为空，一个是目标没边界。
参考答案
无可行解是没有点同时满足所有约束；无界是存在可行点且目标可以无限改善，没有有限最优值。
本讲主实验 · 拖一拖再下结论
资源与利润下的可行方案
调整两类资源上限和产品利润，观察最优整数生产组合。
观察结果等待计算
调整左侧参数，观察模型输出怎样变化。
实验后想一想
逐步提高机器资源，最优利润是否每次都增加？什么时候人工资源会成为真正瓶颈？
知识点04
能不能拆、选不选、开不开
整数与 0–1 变量表达现实逻辑
先猜一猜
线性规划给出 2.4 辆车，四舍五入到 2 辆或 3 辆会有什么风险？
计数、班次、车辆等通常要整数；建设/选择/启用用 0–1。整数约束使可行点离散，不能简单对连续解四舍五入。
0–1 变量还能表达“若启用才允许分配”“至少选择一个”“二选一”等逻辑。
联动示例：x≤My，y∈{0,1}。若 y=0，则 x=0；若 y=1，x 可在 0..M。M 要取合理上界，不能无限大。
先求连续松弛作为上/下界参考，再求整数模型；比较差距并解释整数约束带来的现实代价。
别踩坑连续解直接四舍五入Big-M 取得过大
动手试一试
LIVE离散决策
比较连续、取整与整数优化。
数学上好，但可能出现半辆车。
跟我算一遍是否开仓
若不开仓，发货量必须为 0；开仓后最多发 500 箱。
y=是否开仓，y∈{0,1}。
x=发货量，x≥0。
添加 x≤500y。
y=0 强制 x=0；y=1 允许 x≤500。
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01判断未作答
连续最优解四舍五入后一定仍满足约束。
约束不随四舍五入自动修复。
参考答案
错误。取整可能使资源超限、平衡关系破坏或目标大幅变差。
02选择未作答
“是否选择供应商 j”最适合哪种变量？
开/关逻辑。
参考答案
0–1 变量。
03计算未作答
约束 x≤100y，若 y=0，x 最大是多少？
联动约束关闭活动。
参考答案
x≤0，结合 x≥0 得 x=0。
04简答未作答
Big-M 为什么不能随便取极大？
大到有效，但不要大得离谱。
参考答案
过大的 M 会造成松弛很弱、数值不稳定和求解变慢；应使用业务上合理的紧上界。
知识点05
需求、平衡、逻辑与覆盖
把文字规则翻译成约束
先猜一猜
“每个门店至少配送一次”和“总配送次数至少等于门店数”一样吗？
总量约束不能替代逐对象约束。每个门店、每个时段、每名员工通常都需要带索引的独立约束。
常见类型：资源上限、需求下限、流量平衡、覆盖、互斥、先后、联动。
“每个 j”必须写 ∀j。流量平衡：流入−流出=需求或库存变化。至少选 k 个：Σyj≥k；二选一：y1+y2=1。
为每条自然语言规则建一行约束测试，使用一个故意违规的小方案，确认公式能把它判为不可行。
别踩坑用总量掩盖局部缺口漏写对所有 j
动手试一试
LIVE约束颗粒度
比较总量与逐对象约束。
总数够，但局部可能严重缺货。
跟我算一遍门店需求
3 个门店需求分别 20、30、40。
定义 xij 为仓库 i 发往门店 j 数量。
对每个门店 j 写 Σi xij≥dj。
不能只写总发货≥90，否则可能一个门店收不到。
逐门店约束保证局部服务，总代数相同并不够。
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01选择未作答
“A 和 B 恰好选一个”怎样写？
恰好一个。
参考答案
yA+yB=1，且二者为 0–1 变量。
02判断未作答
总供给≥总需求就能保证每个地区都满足需求。
总量够不代表分配对。
参考答案
错误。还需要逐地区的配送/需求约束和网络可达条件。
03简答未作答
流量平衡约束表达什么？
东西不能凭空出现或消失。
参考答案
某节点流入与流出、生产与消耗或期初与期末之间的守恒关系。
04选择未作答
“至少启用 3 个站点”写成？
至少对应 ≥。
参考答案
Σyj≥3，其中 yj 为 0–1。
知识点06
求解器只忠实于你写的模型
结果核验与敏感性
先猜一猜
软件说 optimal，为什么仍可能得到现实中完全错误的方案？
求解器保证的是对输入模型的数学最优，不保证变量含义、单位、数据和约束录入正确。
核验包括可行性重算、目标重算、与基准比较、边界测试和参数敏感性。
至少输出：变量值、目标值、每条约束左值/右值/松弛量。改变成本、需求、资源 ±5%–10%，观察方案变化。
把最优方案转换成业务表并让队友逐条人工检查。对预测输入不确定的优化，使用情景或稳健约束。
别踩坑只贴求解器截图不检查零值与边界
动手试一试
LIVE最优解证据
比较结果截图与完整核验。
模型漏约束也可能显示最优。
跟我算一遍资源松弛
机器上限 100，最优方案使用 100；人工上限 80，只用 52。
机器约束松弛 0，是活跃瓶颈。
人工松弛 28，短期增加人工可能无效。
尝试增加机器资源，观察利润是否提升。
敏感性帮助找到真正值得投资的资源，而非平均增加所有资源。
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01选择未作答
某约束松弛量为 0，通常说明？
左右边界刚好相等。
参考答案
该约束在最优解处活跃，常是当前瓶颈之一。
02判断未作答
optimal 状态证明现实问题已经正确建模。
软件不理解现实。
参考答案
错误。它只证明给定数学模型被求解；模型含义、数据和约束仍需核验。
03简答未作答
优化结果表为何要包含约束左值、右值和松弛？
约束也有结果。
参考答案
可逐条检查可行性，并识别哪些资源用满、哪些约束宽松，为敏感性和建议提供依据。
04选择未作答
需求来自预测且有误差，最适合增加什么分析？
把输入不确定性传给决策。
参考答案
情景或稳健性分析，检查高低需求下方案是否仍可行。
离开前完成
从一段文字建立可审计优化模型
选择生产、运输或选址问题，先手画变量—目标—约束，再使用 Excel/Python/MATLAB 求解。
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