从导数的逆运算到积分的系统方法
不定积分的概念、性质与几何意义
我们知道：$s'(t)=v(t)$
问题：只记录速度 $v(t)$，能否恢复位移 $s(t)$？能。把每一秒的“速度 × 1秒”都加起来，就是总位移；也就是把很多个小位移累加成整体位移。
示例规则：斜率 $=0.35x$
问题：给定每个 $x$ 的斜率，能否反向画出曲线？左图只看“斜率小线段”，右图每次向前走一点、把高度变化累加，再把切点连起来，就得到曲线。
历史转折点
微分与积分在这里实现统一
从“变化率问题”到“累积量问题”，两条路径汇成一条主线。
17 世纪重大突破
Newton & Leibniz
此前
微分专注切线与速度，积分专注面积与体积，长期被视作两门独立工具。
发现
牛顿与莱布尼茨提出微积分基本定理，证明两类问题互为逆运算。
影响
复杂的面积累积问题可转写成逆向求导问题，计算结构被彻底简化。
阶段 1
在 17 世纪之前，“求切线斜率（微分）”与“求面积体积（积分）”被当作互不相干的问题体系。
阶段 2
微积分基本定理揭示两者互逆，建立起统一的理论桥梁。
阶段 3
因而“面积累积”问题可转化为“逆向求导”问题，这正是不定积分方法的出发点。
课堂结论：不定积分 = 逆向求导的系统表达
$\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C,\ \text{其中 }F'(x)=f(x)$
把求导公式表直接当作反推工具
先猜原函数，再求导验算
快速题 1
已知 $f'(x)=2x$，写出一个 $f(x)$。
$f(x)=x^2$
快速题 2
已知 $f'(x)=\cos x$，写出一个 $f(x)$。
$f(x)=\sin x$
快速题 3
已知 $f'(x)=\frac{1}{x}$，写出一个 $f(x)$。
$f(x)=\ln|x|$
课堂动作：每写出一个原函数，马上求导自检，能回到题目就正确。
反推 + 验证
底层规律：原函数幂次加 1，前方乘以新幂次的倒数（抵消求导时的系数降维）。
若导函数为 $x^n \Rightarrow$ 原函数为 $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$
注：这是 $x^n$ 中 $n=-1$ 时的唯一特殊情形。为了保证定义域在正负区间一致，绝对值符号 $|x|$ 不可省略。
若导函数为 $\frac{1}{x} \Rightarrow$ 原函数为 $\ln|x|$
感悟：逆向推导（求积分）时，经常需要用“除以系数”来补偿求导时产生的乘法。
若导函数为 $a^x \Rightarrow$ 原函数为 $\frac{a^x}{\ln a}$
记忆对照：$(\cos x)'=-\sin x$（先看负号）
结论：求导运算如同一个“信息过滤器”，它过滤掉了常数项信息。
因此，逆推找回的原函数是一族函数，而不是单个函数。表示为：$x^2 + C$
深度思考：我们知道 $x^2 + C$ 都可以求导得到 $2x$。但是，会不会存在某个形态完全不同的函数 $G(x)$，它不是 $x^2+C$ 的形式，但导数恰好也是 $2x$？
数学证明回答了这个问题：绝对不会。
假设有两个函数 $F(x)$ 和 $G(x)$，它们的导数完全相同，即 $F'(x) = G'(x)$。
令构造函数 $H(x) = F(x) - G(x)$。
对 $H(x)$ 求导：$H'(x) = F'(x) - G'(x) = 0$。
根据拉格朗日中值定理推论：
在一个区间内，如果一个函数的导数恒为 0，那么这个函数必定是一个常数。
因此 $H(x) = C \implies F(x) = G(x) + C$
原函数
若存在函数 $F(x)$，使得在某区间内任意一点 $x$ 都有：
则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。它代表的是孤立的、具体的一个函数。
全体原函数
若在同一区间 $I$ 上，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 在该区间上的全体原函数为：
它代表的是一个无穷尽的函数家族。在求解普遍规律时，必须携带 $C$。
判断题 1：
如果 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 的原函数，那么必定有 $F(x) = G(x)$。
判断题 2：
因为 $(e^x)' = e^x$，所以 $e^x$ 是 $e^x$ 的全体原函数。
判断题 3：
一个函数的无数多个原函数是否为其不定积分。
讨论题 4：
如果 $f(x)$ 存在原函数，那它的原函数图像在坐标系中会是什么样子？
左图显示原函数族 $F(x)=x^2+C$。拖动下方滑块改变 $C$ 的值，观察红色曲线的移动。
右图是它们共同的导函数 $f(x)=2x$。它代表原函数在各点切线斜率的变化规律。
结论：同一族原函数在任意相同横坐标 $x$ 处，都具有完全相同的切线斜率。常数 $C$ 仅代表图形在纵向上的平行位移，形成“积分曲线族”。
为了统一且简洁地表示同一区间上的“全体原函数”，莱布尼茨引入了如下符号：
S
$\Longrightarrow\ \int$
拉丁语 Summa（总和）
1675年，莱布尼茨在手稿中首次使用了这个符号。微积分的核心思想之一是将无数个无穷小的量“累加”起来，所以他取了“Summa”的首字母 S，将其拉长，就成了我们今天看到的积分号。
积分号 $\int$ 与微分符号 $\mathrm{d}$ 是一对天生的搭档。它们永远成对出现，包裹着中间被处理的函数。
$\int f(x)\,\mathrm{d}x$
微元不仅仅是符号的尾巴，它宣示了谁才是真正的自变量。
比较下面两个极其相似的积分：
$\int 2x \mathrm{d}x$
$\mathrm{d}x$ 告诉你：对 $x$ 积分。
$\int 2x \mathrm{d}t$
$\mathrm{d}t$ 告诉你：对 $t$ 积分，$2x$ 被视为常数。
左图显示被积函数 $f(x)$（例如速度）。蓝色阴影表示从起点累积的“面积”（距离）。
右图显示积分结果 $F(t)$ 如何随时间增长（即总位移图）。
直观结论：左侧函数值（高度）越大，右侧原函数的增长就越陡峭（斜率越大）。
一辆车先记录速度算总位移，再通过位移算速度。结果完好无损地回到了最初的速度。
先求导会丢失常数项，再积分找回时，只能在同一区间上确定到相差常数的一族原函数。
检验一切积分对错的唯一黄金法则
对等式右边计算出的结果求导，看是否完全等于积分号内的被积函数！
例如，你算出了：$\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$
验算：$(\sin x + C)' = \cos x + 0 = \cos x \quad \text{(正确！)}$
$\int f(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \cdot \int g(x)\,\mathrm{d}x$
红线警告：积分绝不具备乘除法分配律！
遇到乘除结构，必须想方设法用代数手段将其化为加减结构。
判断以下操作是否合法？
在工程与科学中，我们寻找的通常不是“曲线族”，而是特定的一条。这就需要引入初始条件来唯一确定 $C$。
已知物体在重力下坠落，加速度 $a(t) = -9.8$。若在 $t=0$ 时，初始速度 $v(0)=0$，初始高度 $s(0)=100$ 米。求物体高度随时间变化的规律 $s(t)$。
1. 速度是加速度的积分：$v(t) = \int -9.8 \mathrm{d}t = -9.8t + C_1$
代入初值：$v(0) = 0 \implies C_1 = 0$。即 $v(t) = -9.8t$
2. 高度是速度的积分：$s(t) = \int -9.8t \mathrm{d}t = -4.9t^2 + C_2$
代入初值：$s(0) = 100 \implies C_2 = 100$。
最终唯一解：$s(t) = -4.9t^2 + 100$
已知一根曲线上任意一点 $(x,y)$ 处的切线斜率恰好等于该点横坐标的 3 倍。并且这根曲线经过点 $(1, 4)$。求这根曲线的方程。
1. 数学翻译：“切线斜率是横坐标的3倍” 意味着导数 $y' = 3x$。
2. 积分还原曲线族：$y = \int 3x \mathrm{d}x = \frac{3}{2}x^2 + C$
3. 寻找特定那条曲线，代入点 $(1,4)$：
代入方程：$4 = \frac{3}{2}(1)^2 + C$
解得：$C = 4 - 1.5 = 2.5$
唯一方程：$y = \frac{3}{2}x^2 + 2.5$
某工厂生产 $x$ 件产品的边际成本（即成本函数的导数）为 $MC = 3x^2 - 6x + 5$。已知固定成本（生产 0 件时的成本）为 $C_0 = 100$。求总成本函数 $TC(x)$。
1. 模型建立：总成本 $TC(x)$ 的导数就是边际成本，即 $TC'(x) = 3x^2 - 6x + 5$。
2. 对边际成本求不定积分：
$TC(x) = \int (3x^2 - 6x + 5) \mathrm{d}x = x^3 - 3x^2 + 5x + K$
3. 代入固定成本条件定常数：当 $x=0$ 时，$TC(0) = 100$。
代入得：$0^3 - 3(0)^2 + 5(0) + K = 100 \implies K = 100$
总成本函数：$TC(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 100$
✓ 积分不是一个孤独的值，而是一个平行的原函数家族（$+C$）。
✓ 验证积分对错的唯一标准，是对结果求导。
✓ 积分具有绝佳的线性性质（加减拆、常数提），但毫无乘除分配能力。
不定积分的基本运算与核心策略
所有的变形技巧，最终目的都是为了能够套用下表中的某一个公式。必须烂熟于心。
不要死记硬背，理解它们的“补偿”关系：
求导是“降维与提权”
$(x^3)' = \color{#dc2626}{3} x^{\color{#dc2626}{2}}$
指数减一，系数乘下来
积分是“升维与补偿”
$\int x^3 \mathrm{d}x = \color{#2563eb}{\frac{1}{4}} x^{\color{#2563eb}{4}} + C$
指数加一，除以新指数抵消
指数函数的对比同理：
求导时乘出 $\ln a$，积分时就要除以 $\ln a$ 来抵消。
幻觉 1：自然对数积分
$\int \ln x \mathrm{d}x = \frac{1}{x} + C$
真相：是 $\ln x$ 的导数才是 $\dfrac{1}{x}$。$\ln x$ 的积分需要分部积分法！
幻觉 2：复合分母
$\int \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \ln|x^2| + C$
真相：公式 $\int \dfrac{1}{x} = \ln|x|$ 只对一次方有效。$\dfrac{1}{x^2}$ 必须用指数法 $x^{-2}$ 算。
幻觉 3：丢掉灵魂的 $+C$
$\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x$
真相：没有 $+C$，你只找到了一个特解，而不是不定积分。考试必定扣分。
化乘除为加减，化异常为标准。
将根号和分母通通改写为 $x^k$ 的平铺形式
遇乘方展开、遇多项式相乘直接相乘打开
利用指数法则提公因式或合并底数
应用平方关系、倍角公式降次提纯
分子加减凑项，化归为多项式+真分式
核心思想：在微积分中，无论多复杂的根号或分数，都只是指数的面具。
入门示例：$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{d}x$
1. 被积函数可以写为 $x^{-1/3}$
2. 套用公式 $(n = -\dfrac{1}{3})$： $= \frac{x^{-1/3 + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C$
3. 计算整理： $= \frac{x^{2/3}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$
典型错误预警：$\displaystyle\int \frac{5}{3x^4} \mathrm{d}x$
新手很容易连带系数一起翻上来，写成 $(3x)^{-4}$，这会导致严重错误。
安全降落法（推荐）：
1. 坚决把常数踢出去：$= \color{#059669}{\frac{5}{3}} \int \frac{1}{x^4} \mathrm{d}x$
2. 指数化归：$= \frac{5}{3} \int x^{-4} \mathrm{d}x$
3. 安全积分：$= \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C$
4. 结果整理：$= -\frac{5}{9x^3} + C$
随堂挑战：求解 $\displaystyle\int x^2 \sqrt{x} \, \mathrm{d}x$
提示：绝对不能分别积分，必须先合并底数！
步骤拆解：
1. 代数化简：$x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2 + 1/2} = x^{5/2}$
2. 写出标准形：$\int x^{5/2} \mathrm{d}x$
3. 积分计算：$= \frac{x^{5/2 + 1}}{\frac{5}{2} + 1} + C = \frac{x^{7/2}}{\frac{7}{2}} + C$
4. 终极形态：$= \frac{2}{7}x^{7/2} + C$
求解：$\displaystyle\int \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x^3} \, \mathrm{d}x$
只要分母是单一项，最快的方法就是强行拆开！
1. 拆分与改写：$= \int \left( \frac{x^2}{x^3} - \frac{x^{1/2}}{x^3} \right) \mathrm{d}x$
2. 指数减法计算：$= \int (x^{-1} - x^{1/2 - 3}) \mathrm{d}x = \int (x^{-1} - x^{-5/2}) \mathrm{d}x$
3. 对号入座积分（小心 $x^{-1}$ 的陷阱）：
$= \ln|x| - \frac{x^{-3/2}}{-\dfrac{3}{2}} + C = \ln|x| + \frac{2}{3}x^{-3/2} + C$
直接面对多项式乘积时，绝不可贪图方便直接对底数积分。
$\int (x^2+1)^2 \mathrm{d}x \neq \frac{(x^2+1)^3}{3}$ (若求导验算，会多出内层导数 $2x$)
正确姿势：$\displaystyle\int (x^2+1)^2 \mathrm{d}x$
1. 暴力展开：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \implies x^4 + 2x^2 + 1$
2. 积分结构重写：$= \int (x^4 + 2x^2 + 1) \mathrm{d}x$
3. 根据线性性质分拆：$= \int x^4 \mathrm{d}x + 2\int x^2 \mathrm{d}x + \int 1 \mathrm{d}x$
4. 完美得分：$= \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x + C$
求解带有分式的展开：$\displaystyle\int \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \mathrm{d}x$
1. 套用 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 进行展开：
被积函数变为 $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2$
2. 化简中间的交叉项，并化归指数：
$= \int (x^2 - 2 + x^{-2}) \mathrm{d}x$
3. 逐项安全积分：
$= \frac{1}{3}x^3 - 2x - x^{-1} + C$
遇到三次方的处理：求解 $\displaystyle\int (x-1)^3 \, \mathrm{d}x$
（在没学凑微分法之前，展开是唯一出路）
1. 复习立方差展开公式：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
2. 展开被积函数：$= \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \mathrm{d}x$
3. 直接逐项积分：
$= \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$
随堂挑战：求解 $\displaystyle\int \frac{(1-x)^2}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x$
1. 展开分子：$= \int \frac{1 - 2x + x^2}{x^{1/2}} \mathrm{d}x$
2. 逐项相除：$= \int \left( \frac{1}{x^{1/2}} - \frac{2x}{x^{1/2}} + \frac{x^2}{x^{1/2}} \right) \mathrm{d}x$
3. 转换指数：$= \int (x^{-1/2} - 2x^{1/2} + x^{3/2}) \mathrm{d}x$
4. 逐一击破：$= 2x^{1/2} - \frac{4}{3}x^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} + C$
技巧 A：底数合并
求解：$\displaystyle\int 3^x \cdot e^x \, \mathrm{d}x$
运算法则：$A^x \cdot B^x = (AB)^x$
合并：被积函数变为 $(3e)^x$
套用公式，此时常数 $a = 3e$：
$= \frac{(3e)^x}{\ln(3e)} + C$
技巧 B：分式拆散
求解：$\displaystyle\int \frac{2 \cdot 3^x - 5 \cdot 2^x}{3^x} \, \mathrm{d}x$
拆散：$\frac{2 \cdot 3^x}{3^x} - \frac{5 \cdot 2^x}{3^x}$
化简：$2 - 5\left(\frac{2}{3}\right)^x$
直接分项积分：
$= 2x - \frac{5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^x}{\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)} + C$
在尚未学习换元法时，如何处理指数上的加减法？
求解：$\displaystyle\int e^{x+2} \, \mathrm{d}x$
1. 利用法则 $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ 将常数部分剥离：
$= \int (e^x \cdot e^2) \mathrm{d}x$
2. 牢记 $e^2$ 只是一个普通的常数，直接提取到积分号外：
$= e^2 \int e^x \mathrm{d}x$
3. 轻松完成积分：
$= e^2 \cdot e^x + C \quad (\text{或者写回 } e^{x+2} + C)$
$\displaystyle\int (e^x - e^{-x})^2 \, \mathrm{d}x$
1. 按照策略二（展开），直接用 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 打开：
$= \int (e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x}) \mathrm{d}x$
2. 发现中间项抵消（$e^x \cdot e^{-x} = 1$）：
$= \int (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) \mathrm{d}x$
3. 遇到系数放前面（相当于把指数上的常数提出来除）：
$= \frac{1}{2}e^{2x} - 2x - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$
典型应用：$\displaystyle\int \tan^2 x \, \mathrm{d}x$
积分表中没有 $\tan^2 x$，但有 $\sec^2 x$！
代换：$= \int (\sec^2 x - 1) \mathrm{d}x$
结果：$= \tan x - x + C$
$\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} \, \mathrm{d}x$
突破口在分子上隐藏的 1。逆用平方关系！
1.将分子写为 $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$
2. 代入积分并强行拆分分式：
$= \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \mathrm{d}x = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) \mathrm{d}x$
3. 识别出标准公式形式：
$= \int (\sec^2 x + \csc^2 x) \mathrm{d}x$
4.结果：$= \tan x - \cot x + C$
经典题型拆解：$\displaystyle\int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} \, \mathrm{d}x$
遇到分母单项、分子多项，直接使用策略五（分项相除）！
1. 拆分：$= \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) \mathrm{d}x$
2. 前一项是标准的 $\sec^2 x$。那后一项呢？
拆开看：$\frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x$
3. 发现两者全在基本公式表内！
$= \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) \mathrm{d}x = \tan x - \sec x + C$
随堂挑战：求解 $\displaystyle\int \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \, \mathrm{d}x$
提示：积分号内最怕高次幂。请使用“降次公式”将其拍平为一次幂。
1. 套用半角降次公式：$\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$
2. 重写积分：$= \int \frac{1 + \cos x}{2} \mathrm{d}x$
3. 提取常数拆分：$= \frac{1}{2} \int 1 \mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int \cos x \mathrm{d}x$
4. 结果：$= \frac{1}{2}(x + \sin x) + C$
核心目标：对付“假分式”
当分子最高次幂 $\ge$ 分母最高次幂时，必须通过加减凑项法或多项式除法，将其拆分为 (多项式 + 真分式)。
【凑项法】 $\int \frac{x^2}{1+x^2} \mathrm{d}x$
分子差个1？无中生有：
$x^2 = (1+x^2) - 1$
原式 $= \int \frac{(1+x^2)-1}{1+x^2} \mathrm{d}x$
$= \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) \mathrm{d}x$
$= x - \arctan x + C$
【长除法替代】 $\int \frac{x^4}{x^2+1} \mathrm{d}x$
分子也可以利用平方差凑项：
$x^4 = (x^4 - 1) + 1$
$= (x^2-1)(x^2+1) + 1$
原式 $= \int \left(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2+1}\right) \mathrm{d}x$
$= \frac{x^3}{3} - x + \arctan x + C$
求解：$\displaystyle\int \frac{x^3 + 3x - 5}{x^2} \, \mathrm{d}x$
只要分母是单项式，毫不犹豫，直接项项相除拆开！
1. 强行拆散：$= \int \left( \frac{x^3}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{5}{x^2} \right) \mathrm{d}x$
2. 化为标准结构：$= \int (x + 3 \cdot \frac{1}{x} - 5x^{-2}) \mathrm{d}x$
3. 逐项套用公式计算：
$= \frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| + \frac{5}{x} + C$
求解：$\displaystyle\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \, \mathrm{d}x$
这也是个假分式（分子分母同阶）。如何快速拆出真分式？让分子长得像分母！
1.分子写为 $x^2 + 1 - 2$
2. 代入并拆开分母：
$= \int \frac{(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} \mathrm{d}x = \int \left( 1 - \frac{2}{x^2+1} \right) \mathrm{d}x$
3. 此刻已经完美契合公式表：
$= x - 2\arctan x + C$
$\displaystyle\int (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \, \mathrm{d}x$
观察结构：如果硬拆，会有 6 项。但仔细看，这是 $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 的形式！
1. 策略二：利用立方和公式极速合并：
原式 $= \int ((\sqrt{x})^3 + 1^3) \mathrm{d}x = \int (x\sqrt{x} + 1) \mathrm{d}x$
2. 策略一：幂指数化归：
$= \int (x^{3/2} + 1) \mathrm{d}x$
3. 一击毙命：$= \frac{2}{5}x^{5/2} + x + C$
题 1：$\displaystyle \int \frac{x^4+1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$
步骤 1：先凑分母，做“多项式拆分”： $x^4+1=(x^2+1)(x^2-1)+2$。
步骤 2：改写积分： $\int \left(x^2-1+\frac{2}{x^2+1}\right)\mathrm{d}x$。
步骤 3：逐项积分： $=\frac{x^3}{3}-x+2\arctan x+C$。
题 2：$\displaystyle \int \frac{1-\cos x}{\sin^2 x}\,\mathrm{d}x$
步骤 1：先拆分： $\int \csc^2 x\,\mathrm{d}x-\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\,\mathrm{d}x$。
步骤 2：识别第二项： $\frac{\cos x}{\sin^2 x}=\cot x\csc x$。
步骤 3：套公式得 $-\cot x+\csc x+C$。
题 1：已知错误答案
$\displaystyle \int \frac{x^2+3x-5}{x^2}\,\mathrm{d}x =x+3\ln|x|-\frac{5}{x}+C$（错）
步骤 1：正确拆分应为 $\int \left(x+\frac{3}{x}-5x^{-2}\right)\mathrm{d}x$。
步骤 2：逐项积分要注意两处： $\int x\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}$，$\int -5x^{-2}\mathrm{d}x=\frac{5}{x}$。
步骤 3：正确结果： $\frac{x^2}{2}+3\ln|x|+\frac{5}{x}+C$。
题 2：符号错误诊断
$\displaystyle \int \sin x\,\mathrm{d}x=\cos x+C$（错）
步骤 1：先反向检查：$(\cos x)'=-\sin x$，符号不对。
步骤 2：应写成 $-\cos x$，再验算： $(-\cos x)'=\sin x$。
步骤 3：正确结果： $\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C$。
题 1：$\displaystyle \int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,\mathrm{d}x$
步骤 1：先展开并除以分母： $\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x}=1+2x^{-1/2}+x^{-1}$。
步骤 2：逐项积分： $\int 1\,\mathrm{d}x+\int 2x^{-1/2}\,\mathrm{d}x+\int x^{-1}\,\mathrm{d}x$。
步骤 3：结果： $x+4\sqrt{x}+\ln|x|+C$。
题 2：$\displaystyle \int \frac{x^3+1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$
步骤 1：先做凑项拆分： $x^3+1=x(x^2+1)+(1-x)$，所以 $\frac{x^3+1}{x^2+1}=x+\frac{1-x}{x^2+1}$。
步骤 2：再把第二项继续拆为标准型： $\int \frac{1-x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x =\int \frac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$。
步骤 3：结果： $\frac{x^2}{2}+\arctan x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$。
在右侧的左半区，你可以像画图软件一样画一条自由连续的速度曲线。
我们的积分引擎会即时响应，在右半区生成其精准的位移轨迹图形。
* 提示：你可以尝试画一个“正弦波”，看看右边会出现什么曲线？（答案：余弦波动）
单一的积分法则
除了加减法分离和提取常数，积分再无别的直接运算律。面对一切复杂结构，唯一出路是代数或三角的“恒等变形”。
五大方法
幂指化简、代数展开、指数拆合、三角降次、凑项化真分式。
下节内容
当这五大策略全部失效时（例如遇到 $\int x \cos x \mathrm{d}x$ 或复合函数嵌套），意味着我们到了必须使用《换元积分法》与《分部积分法》的时候了。这是下章的史诗级内容。