高等数学标准化课程

第一换元积分法

把复合积分拆回可计算形态：按“识别 $t$、找 $dt$ 与 $dx$ 的关系、代入整理成 $a\int f(t)\,dt$”建立稳定流程
课02：第一换元积分法 识别 $t$ · 找 $dt$ 与 $dx$ 的关系 · 代入整理
01

引入：为什么不能直接套公式了？

核心痛点
能直接套 完全一致
$\displaystyle \int \cos x\,dx$
函数里面
$x$
$d$ 后变量
$dx$
结构对齐，直接套基本积分表：$\sin x + C$
暂时不能套 结构不匹配
$\displaystyle \int \cos(x^2)\,dx$
函数里面
$x^2$
$d$ 后变量
$dx$
若硬套会写成 $\sin(x^2)+C$，但这是错的，因为内外结构还没对齐。
里面是 $x^2$，$d$ 后面却还是 $dx$，结构没对上，所以不能直接套。
02

本质揭秘：到底怎样才算“能套公式”？

突破难点
判定口诀
先看函数里面，再看 $d$ 后面括号里。两处完全一样，就能直接套；不一样，就还要继续凑微分。
逐项对照
① 看函数内部
$\cos(\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}})$
同一结构
② 看 $d$ 后内部
$d(\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}})$
基础形态
$\displaystyle \int \cos(\color{#059669}x\color{#1E293B})\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \sin(\color{#059669}x\color{#1E293B}) + C$
把 $x$ 换成任意内部结构，结果形式保持不变
复合形态
$\displaystyle \int \cos(\color{#0F766E}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})\,d(\color{#0F766E}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \sin(\color{#0F766E}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) + C$
立即代入一个真例子
把内部结构换成 $x^2+1$，结果形式保持不变：
$\displaystyle \int \cos(\color{#D97706}x^2+1\color{#1E293B})\,d(\color{#D97706}x^2+1\color{#1E293B}) = \sin(\color{#D97706}x^2+1\color{#1E293B})+C$
同一结构，就套；不是同一结构，先别套。
F01

公式卡 1：把复合结构塞进“正弦”公式

套公式训练
只要 $d$ 后面和 $\sin$ 内部完全一致，直接当成 $x$ 来处理。
基础公式：$\displaystyle \int \sin(\color{#059669}x\color{#1E293B})\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = -\cos(\color{#059669}x\color{#1E293B}) + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int \sin(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = -\cos(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) + C$
例 A
当结构为 $x^2+1$ 时，求：
$\displaystyle\int \sin(\color{#D97706}x^2+1\color{black})\,d(\color{#D97706}x^2+1\color{black})$
答案
$\displaystyle-\cos(\color{#D97706}x^2+1\color{black}) + C$
例 B
当结构为 $e^x$ 时，求：
$\displaystyle\int \sin(\color{#D97706}e^x\color{black})\,d(\color{#D97706}e^x\color{black})$
答案
$\displaystyle-\cos(\color{#D97706}e^x\color{black}) + C$
F02

公式卡 2：把复合结构塞进“指数 $e^t$”公式

套公式训练
无论指数上方包裹着怎样的结构，只要 $d$ 后面与它一致，就可以把它视作 $e^x$ 的同构形式。
基础公式：$\displaystyle \int e^{\color{#059669}x}\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = e^{\color{#059669}x} + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int e^{\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}}\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = e^{\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}} + C$
例 A
当结构为 $3x$ 时，求：
$\displaystyle\int e^{\color{#D97706}3x}\,d(\color{#D97706}3x\color{black})$
答案
$\displaystyle e^{\color{#D97706}3x} + C$
例 B
当结构为 $\sin x$ 时，求：
$\displaystyle\int e^{\color{#D97706}\sin x}\,d(\color{#D97706}\sin x\color{black})$
答案
$\displaystyle e^{\color{#D97706}\sin x} + C$
F03

公式卡 3：把复合结构塞进“指数 $a^t$”公式

套公式训练
基础公式：$\displaystyle \int a^{\color{#059669}x}\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \frac{a^{\color{#059669}x}}{\ln a} + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int a^{\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}}\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \frac{a^{\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}}}{\ln a} + C$
例 A
当底数为 $3$、结构为 $x^2$ 时，求：
$\displaystyle\int 3^{\color{#D97706}x^2}\,d(\color{#D97706}x^2\color{black})$
答案
$\displaystyle\frac{3^{\color{#D97706}x^2}}{\ln 3} + C$
例 B
当底数为 $5$、结构为 $\tan x$ 时，求：
$\displaystyle\int 5^{\color{#D97706}\tan x}\,d(\color{#D97706}\tan x\color{black})$
答案
$\displaystyle\frac{5^{\color{#D97706}\tan x}}{\ln 5} + C$
F04

公式卡 4：把复合结构塞进“对数”公式

套公式训练
对数公式最容易认：只要分子是 $d(\text{分母})$，直接出 $\ln|\text{分母}|$。
基础公式：$\displaystyle \int \frac{1}{\color{#059669}x}\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \ln|\color{#059669}x\color{#1E293B}| + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int \frac{1}{\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}}\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \ln|\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}| + C$
例 A
当结构为 $x^2+3$ 时，求：
$\displaystyle\int \frac{1}{\color{#D97706}x^2+3}\,d(\color{#D97706}x^2+3\color{black})$
答案
$\displaystyle\ln(\color{#D97706}x^2+3\color{black}) + C$ (正数可去绝对值)
例 B
当结构为 $\cos x$ 时，求：
$\displaystyle\int \frac{1}{\color{#D97706}\cos x}\,d(\color{#D97706}\cos x\color{black})$
答案
$\displaystyle\ln|\color{#D97706}\cos x\color{black}| + C$
F05

公式卡 5：把复合结构塞进“幂函数”公式

套公式训练
基础公式：$\displaystyle \int (\color{#059669}x\color{#1E293B})^n\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \frac{(\color{#059669}x\color{#1E293B})^{n+1}}{n+1} + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int (\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})^n\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \frac{(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})^{n+1}}{n+1} + C$
例 A
当结构为 $x^3+1$、次数 $n=5$ 时，求：
$\displaystyle\int (\color{#D97706}x^3+1\color{black})^5\,d(\color{#D97706}x^3+1\color{black})$
答案
$\displaystyle\frac{(\color{#D97706}x^3+1\color{black})^6}{6} + C$
例 B
当结构为 $\ln x$、根号即 $n=\frac{1}{2}$ 时，求：
$\displaystyle\int (\color{#D97706}\ln x\color{black})^{\frac{1}{2}}\,d(\color{#D97706}\ln x\color{black})$
答案
$\displaystyle\frac{2}{3}(\color{#D97706}\ln x\color{black})^{\frac{3}{2}} + C$
F06

公式卡 6：把复合结构塞进 $\sec^2$ 公式

套公式训练
基础公式：$\displaystyle \int \sec^2(\color{#059669}x\color{#1E293B})\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \tan(\color{#059669}x\color{#1E293B}) + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int \sec^2(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \tan(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) + C$
例 A
当结构为 $3x$ 时，求：
$\displaystyle\int \sec^2(\color{#D97706}3x\color{black})\,d(\color{#D97706}3x\color{black})$
答案
$\displaystyle\tan(\color{#D97706}3x\color{black}) + C$
例 B
当结构为 $e^x$ 时，求：
$\displaystyle\int \sec^2(\color{#D97706}e^x\color{black})\,d(\color{#D97706}e^x\color{black})$
答案
$\displaystyle\tan(\color{#D97706}e^x\color{black}) + C$
F07

公式卡 7：把复合结构塞进 $\arctan$ 专属公式

套公式训练
基础公式：$\displaystyle \int \frac{1}{1+(\color{#059669}x\color{#1E293B})^2}\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \arctan(\color{#059669}x\color{#1E293B}) + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int \frac{1}{1+(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})^2}\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \arctan(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) + C$
例 A
当结构为 $x^2$（此时分母是 $1+x^4$）时，求：
$\displaystyle\int \frac{1}{1+(\color{#D97706}x^2\color{black})^2}\,d(\color{#D97706}x^2\color{black})$
答案
$\displaystyle\arctan(\color{#D97706}x^2\color{black}) + C$
例 B
当结构为 $\ln x$ 时，求：
$\displaystyle\int \frac{1}{1+(\color{#D97706}\ln x\color{black})^2}\,d(\color{#D97706}\ln x\color{black})$
答案
$\displaystyle\arctan(\color{#D97706}\ln x\color{black}) + C$
F08

公式卡 8：把复合结构塞进 $\arcsin$ 专属公式

套公式训练
基础公式：$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-(\color{#059669}x\color{#1E293B})^2}}\,d(\color{#059669}x\color{#1E293B}) = \arcsin(\color{#059669}x\color{#1E293B}) + C$
⬇ 变量等价替换 ⬇
复合结构：$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B})^2}}\,d(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) = \arcsin(\color{#D97706}\htmlClass{math-ui-glyph}{\text{结构}}\color{#1E293B}) + C$
例 A
当结构为 $x^2$（此时根号内是 $1-x^4$）时，求：
$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-(\color{#D97706}x^2\color{black})^2}}\,d(\color{#D97706}x^2\color{black})$
答案
$\displaystyle\arcsin(\color{#D97706}x^2\color{black}) + C$
例 B
当结构为 $e^x$（此时根号内是 $1-e^{2x}$）时，求：
$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-(\color{#D97706}e^x\color{black})^2}}\,d(\color{#D97706}e^x\color{black})$
答案
$\displaystyle\arcsin(\color{#D97706}e^x\color{black}) + C$
03

第一道真题：$dx$ 不匹配时，先把微分补出来

核心难点
前面公式卡里的 $d(\text{结构})$ 都是现成的；真实题目不是。先别急着背，先把完整动作走一遍。
演示题
求 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,\mathrm{d}x$
找
先不看前面的 $2x$，直接识别余弦里面的 $x^2$，把它记作 $t$。
写
接着找 $dt$ 与 $dx$ 的关系：$dt=d(x^2)=2x\,dx$。这一步一写，题目里的 $2x\,dx$ 就正好整体换成 $dt$。
代
于是原式立刻整理成：$\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos t\,dt$。
套
现在已经是标准的 $\int f(t)\,dt$ 了。原公式：$\int \cos t\,dt=\sin t+C$，再代回得 $\sin(x^2)+C$。
承
所以这一类题的核心动作就是：识别 $t$，写出 $dt$ 与 $dx$ 的关系，再代入整理。下一页专门把这一步拆开练熟。
04

承接上页：写出 $dt$ 与 $dx$ 的关系（1-6）

练好内功
刚才那道题能做出来，关键就是两步：先识别内层，把它记作 $t$；再写出 $dt$ 与 $dx$ 的关系。很多同学不是不会求导，而是顺手把“微分”这一步漏掉了。这一页不急着积分，只把这一步练熟。
如果内层是: $ax+b$
微分
改写
如果内层是: $5x^2$
微分
改写
如果内层是: $1-x^3$
微分
改写
如果内层是: $\ln x$
微分
改写
如果内层是: $\sqrt{x}$
微分
改写
如果内层是: $e^x$
微分
改写
05

练习巩固：写出 $dt$ 与 $dx$ 的关系（7-12）

如果内层是: $\sin x$
微分
改写
如果内层是: $\cos x$
微分
改写
如果内层是: $\tan x$
微分
改写
如果内层是: $\frac{1}{x}$
微分
改写
如果内层是: $\arctan x$
微分
改写
如果内层是: $\arcsin x$
微分
改写
06

方法判定：能否完全化为新元积分

直击本质
第一类换元法不是万能的。它能不能用，取决于你写出 $dt$ 与 $dx$ 的关系后，原式能不能整理成只含 $t$ 的 $a\int f(t)\,dt$。
✅ 成功案例：能约干净
原题：$\displaystyle \int \color{#0F766E}{x} \cdot \cos(x^2) dx$
若取 $t=x^2$，则 $dt=2x\,dx$。
于是 $\displaystyle dx=\frac{1}{2x}dt$。
外面的 $x$ 刚好把分母里的 $x$ 约掉，原式化为 $\displaystyle {\color{#059669}\frac{1}{2}} \int \cos t\,dt$，这就已经是标准的换元形态。
❌ 失败案例：约不干净
原题：$\displaystyle \int \cos(\sqrt{x}) dx$
若取 $t=\sqrt{x}$，则 $dt=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$。
于是 $\displaystyle dx=2\sqrt{x}\,dt$。
代入后反而会多出变量：$\displaystyle \int \cos(\sqrt{x})\,dx=\int 2\sqrt{x}\cos t\,dt$。
含有 $x$ 的项无法消去，这说明第一类换元不适用，需要换一种方法（下一节讲）。
07

注意事项：不要把变量 $x$ 提出去

化简后的提项原则

$\displaystyle \int$ 这个符号有明确边界，只有“常数”能提到积分号外。
⚠️ 提取时的常见误区
✅ 只有常数能提出来
$\displaystyle \int x \cos(x^2) \color{#059669}{d(x^2)}$
↓
代回 $\frac{1}{2x}$，约掉 $x$，剩下纯数字 $\frac{1}{2}$
↓
纯数字可以提取到积分号外！
$\displaystyle {\color{#059669}\frac{1}{2}} \int \cos(x^2) d(x^2)$
❌ 含有变量 $x$ 不能直接提出
$\displaystyle \int \cos(x^2) \color{#DC2626}{d(x^2)}$
↓
代回 $\frac{1}{2x}$，外面没有 $x$ 跟你约分。
↓
错误地把 $\frac{1}{2x}$ 提到积分号外！
这是错误做法：变量不能跨越 $\int$ 的边界。
08

进阶题型一：线性结构代回约分

例 1
求 $\displaystyle\int 3\mathrm{e}^{3x}\,\mathrm{d}x$
找
无视前面的 $3$，直接识别躲在指数最上面的内层 $3x$，记作 $t$。
关系
先写微分关系：$d(3x)=3\,dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{3}d(3x)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int 3e^{3x}\,dx=\int 3e^{3x}\cdot\dfrac{1}{3}d(3x) =\int e^{3x}d(3x)$。
套
结构图示结构已经就位。原公式：$\int e^t\,dt=e^t+C$，所以 $e^{3x}+C$。
09

进阶题型一：线性结构代回约分（续）

例 2
求 $\displaystyle\int (4x+5)^{99}\,\mathrm{d}x$
找
底座 $(4x+5)$ 就是要记作 $t$ 的结构。
关系
先写微分关系：$d(4x+5)=4\,dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{4}d(4x+5)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int (4x+5)^{99}\,dx =\int (4x+5)^{99}\cdot\dfrac{1}{4}d(4x+5) =\dfrac{1}{4}\int (4x+5)^{99}d(4x+5)$。
套
这就是公式卡里的 $t^{99}$！原公式：$\int t^{99}\,dt=\dfrac{t^{100}}{100}+C$，所以 $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(4x+5)^{100}}{100}+C$，合并得 $\dfrac{(4x+5)^{100}}{400}+C$。
10

进阶题型二：多项式降次约分

特征：你会发现外面站着的那个 $x$，比内层的次方刚好低一次！这说明它恰好提供了一个可以约分的一次因子。
例 3
求 $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x$
找
不管分子的 $x$，锁定分母整个结构 $x^2+a^2$ 为内层，记作 $t$。
关系
先写微分关系：$d(x^2+a^2)=2x\,dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{2x}d(x^2+a^2)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+a^2}\,dx =\int \dfrac{x}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{1}{2x}d(x^2+a^2) =\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{x^2+a^2}d(x^2+a^2)$。
套
剩下了干净的 $\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{t}\,dt$。原公式：$\int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C$，代回得 $\dfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2)+C$。
11

进阶题型二：多项式降次约分（续）

例 4
求 $\displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$
找
锁定根号里面的 $1-x^2$，记作 $t$，先不用管外面的 $x$。
关系
先写微分关系：$d(1-x^2)=-2x\,dx$，所以 $dx=-\dfrac{1}{2x}d(1-x^2)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}\,dx =\int x\sqrt{1-x^2}\left(-\dfrac{1}{2x}\right)d(1-x^2) =-\dfrac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}d(1-x^2)$。
套
变成了 $-\dfrac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}dt$。原公式：$\int t^{\frac{1}{2}}dt=\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C$，代回得 $-\dfrac{1}{3}(1-x^2)^{\dfrac{3}{2}}+C$。
12

进阶题型三：导数因子精准匹配

特征：这题看似复杂，但只要盯住“最核心的结构”，写出 $dt$ 与 $dx$ 的关系并代入整理后，相关因子往往会自然约分。
例 5
求 $\displaystyle\int \dfrac{1}{x(1+2\ln x)}\,\mathrm{d}x$
找
最复杂的地方在括号里，直接锁定 $1+2\ln x$ 为内层，记作 $t$。
关系
先写微分关系：$d(1+2\ln x)=\dfrac{2}{x}dx$，所以 $dx=\dfrac{x}{2}d(1+2\ln x)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int \dfrac{1}{x(1+2\ln x)}\,dx =\int \dfrac{1}{x(1+2\ln x)}\cdot\dfrac{x}{2}d(1+2\ln x) =\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{1+2\ln x}d(1+2\ln x)$。
套
化简完成后，剩 $\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{t}\,dt$。原公式：$\int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C$，代回得 $\dfrac{1}{2}\ln|1+2\ln x|+C$。
结
这一题真正起作用的关键，不是“看见对数就硬套”，而是先把 $d(1+2\ln x)=\dfrac{2}{x}dx$ 写出来。只要微分一写清，外面的 $\dfrac{1}{x}$ 就能顺势约掉。下一页只是把外壳换成指数，动作完全一样。
13

进阶题型三：导数因子精准匹配（续）

承接上一页：上一题是“对数壳”，这一题换成“指数壳”，但方法不变。照样先把内层记作 $t$，再写微分，看外面的因子能不能整块消掉。
例 6
求 $\displaystyle\int \dfrac{2^{\arctan x}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$
找
承接上一页的思路，先不看外壳 $2^{(\cdot)}$，直接锁定头顶上的 $\arctan x$ 为内层，记作 $t$。
关系
先把微分写全：$d(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^2}dx$。这一步一写出来，你就能看见分母里的 $1+x^2$ 正好就是要被消掉的那部分，所以也可写成 $dx=(1+x^2)d(\arctan x)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int \dfrac{2^{\arctan x}}{1+x^2}\,dx =\int \dfrac{2^{\arctan x}}{1+x^2}(1+x^2)d(\arctan x) =\int 2^{\arctan x}d(\arctan x)$。
套
现在只剩下纯正的 $\int 2^t dt$。原公式：$\int a^t\,dt=\dfrac{a^t}{\ln a}+C$，这里 $a=2$，代回得 $\dfrac{2^{\arctan x}}{\ln 2}+C$。
14

常见失误：只设内层，却忘了把微分一起换掉

提醒：第一类换元不是只给内层起个新名字。你一旦设了内层，就必须立刻把 $d(\text{内层})$ 或 $dx$ 的关系写出来，否则换元只完成了一半。
易错点
还拿上一页的题看：$\displaystyle\int \dfrac{2^{\arctan x}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$
误
很多同学只写“令 $t=\arctan x$”，然后就停住了。这样原式里的 $\dfrac{1}{1+x^2}dx$ 还没有被整体替换掉，后面根本没法顺利变成只含 $t$ 的积分。
补
正确动作必须紧跟着写：$dt=\dfrac{1}{1+x^2}dx$。这才说明原题里的 $\dfrac{1}{1+x^2}dx$ 可以整体改写成 $dt$。
记
记住一句话：先写 $d(\text{内层})$，再谈换元；只设内层不写微分，第一类换元就走不下去。
15

进阶题型四：常数提取变形（调整后匹配）

例 8
求 $\displaystyle\int \dfrac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x$
变
前边的反正切公式卡是 $1+t^2$，这里却是 $a^2$。先提取分母中的 $a^2$，化为标准形式：$\displaystyle\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{1+(\dfrac{x}{a})^2} dx$。
找
此时结构图示模型显现，内层必须为 $\frac{x}{a}$，记作 $t$。
关系
先写微分关系：$d\!\left(\dfrac{x}{a}\right)=\dfrac{1}{a}dx$，所以 $dx=a\,d\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{1+(\dfrac{x}{a})^2}dx =\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{1+(\dfrac{x}{a})^2}\cdot a\,d\!\left(\dfrac{x}{a}\right) =\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+(\dfrac{x}{a})^2}d\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$。
套
结构图示匹配成功。原公式：$\int \dfrac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan t+C$，所以 $\displaystyle\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$。
16

进阶题型四：常数提取变形（续）

例 9
求 $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x$
变
反正弦公式卡是 $\sqrt{1-t^2}$。我们在根号内提取 $a^2$（开出来是 $a$），先化出 $1$：$\displaystyle\int\frac{1}{a\sqrt{1-(\dfrac{x}{a})^2}}dx$。
关系
确认内层就是 $\dfrac{x}{a}$。先写微分关系：$d\!\left(\dfrac{x}{a}\right)=\dfrac{1}{a}dx$，所以 $dx=a\,d\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int\frac{1}{a\sqrt{1-(\dfrac{x}{a})^2}}dx =\int\frac{1}{a\sqrt{1-(\dfrac{x}{a})^2}}\cdot a\,d\!\left(\dfrac{x}{a}\right) =\int\frac{1}{\sqrt{1-(\dfrac{x}{a})^2}}d\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$。
套
完美契合。原公式：$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt=\arcsin t+C$，所以 $\displaystyle\arcsin\frac{x}{a}+C$。
17

三角专属方法一：正切与余切的思路

例 10
求 $\displaystyle\int \tan x\,\mathrm{d}x$
变
没有直接公式，第一步先展露原形：$\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$。
找
现在变成了分式，毫不犹豫锁定分母 $\cos x$ 作为内层，记作 $t$。
关系
先写微分关系：$d(\cos x)=-\sin x\,dx$，所以 $dx=-\dfrac{1}{\sin x}d(\cos x)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx =\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\left(-\dfrac{1}{\sin x}\right)d(\cos x) =-\int \dfrac{1}{\cos x}d(\cos x)$。
套
这就变成了 $-\int \dfrac{1}{t}\,dt$。原公式：$\int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C$，所以得 $-\ln|\cos x|+C$。
同理可证余切
$\displaystyle\int\cot x\,dx = \int\dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx$。先写 $d(\sin x)=\cos x\,dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{\cos x}d(\sin x)$；代回原式后得 $\ln|\sin x|+C$。
请当做公式记住
$\displaystyle\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C$
请当做公式记住
$\displaystyle\int\cot x\,dx = \ln|\sin x|+C$
18

三角专属方法二：奇数次幂“设对偶为 $t$”

策略：遇到奇数次幂，通常都能分离出一个一次因子。因此可以改写成对偶函数的微分形式，再通过代回完成约分。
例 11
求 $\displaystyle\int \sin^3 x\,\mathrm{d}x$
关系
正弦是 3 次（奇数），就盯住它的对偶函数 $\cos x$，把它记作 $t$。先写微分关系：$d(\cos x)=-\sin x\,dx$，所以 $dx=-\dfrac{1}{\sin x}d(\cos x)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int\sin^3 x\,dx=\int\sin^3 x\left(-\dfrac{1}{\sin x}\right)d(\cos x) =-\int\sin^2 x\,d(\cos x)$。
换
现在的积分变量是 $\cos$，必须把 $\sin^2 x$ 利用公式 $1-\cos^2 x$ 转换过去。于是原式化为 $-\int (1-t^2)\,dt$。原公式：$\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C$，积分得 $-\cos x + \dfrac{1}{3}\cos^3 x+C$。
19

三角专属方法二：奇数次幂（混合处理）

例 12
求 $\displaystyle\int \sin^2 x\cos^3 x\,\mathrm{d}x$
关系
优先处理更容易匹配的部分。这里 $\cos x$ 是奇次幂，就取 $\sin x$ 为内层，记作 $t$。因为 $d(\sin x)=\cos x\,dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{\cos x}d(\sin x)$。
代回
代回原式：$\displaystyle\int\sin^2 x\cos^3 x\,dx=\int\sin^2 x\cos^3 x\cdot\dfrac{1}{\cos x}d(\sin x) =\int\sin^2 x\cos^2 x\,d(\sin x)$。
换
现在的变量是 $\sin$，必须统一战线。把留下的 $\cos^2 x$ 换成 $1-\sin^2 x$，原式化为 $\int (t^2-t^4)\,dt$。原公式：$\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C$，积分得 $\dfrac{1}{3}\sin^3 x-\dfrac{1}{5}\sin^5 x+C$。
20

三角专属方法三：全是偶数幂时先“降次”

策略：如果全都是偶数幂，按第一类换元整理后通常无法约尽（奇偶不匹配）。这时更合适的做法是先放弃换元，改用半角公式降次。
$\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$
例 13
求 $\displaystyle\int \sin^2 x\,\mathrm{d}x$
降维
这里不要硬套第一类换元，直接用公式改写为：$\displaystyle\int\dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx$。
拆分
变成两个简单的积分：$\displaystyle\dfrac{1}{2}\int 1 dx - \dfrac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$。
代回
对后面那个一次结构，先写 $d(2x)=2dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{2}d(2x)$。于是 $\displaystyle -\dfrac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=-\dfrac{1}{4}\int\cos 2x\,d(2x)$。
套
最终积分得 $\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x+C$。
正余弦博弈口诀
结构特征 处理建议
有奇数次幂混在其中 直接把它的对偶记作 $t$，代入整理后通常可以顺利约分。
全部是偶数次幂 不必勉强，退一步用半角公式降次。
21

特殊例题：经典构造 $\int\sec x\,dx$

经典构造
求 $\displaystyle\int \sec x\,\mathrm{d}x$
造
直接套基础公式并不方便，因此采用一个经典构造：分子分母同乘 $(\sec x+\tan x)$：$\displaystyle\int\dfrac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\,dx$。
展
展开分子后，关键结构随之出现：$\displaystyle\int\dfrac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\,dx$。
关系
锁定分母 $\sec x+\tan x$ 为内层，记作 $t$。先写微分关系：$\displaystyle d(\sec x+\tan x)=(\sec x\tan x+\sec^2 x)\,dx$。
代回
因此 $\displaystyle dx=\dfrac{1}{\sec x\tan x+\sec^2 x}d(\sec x+\tan x)$。代回原式： $\displaystyle\int\dfrac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\,dx =\int\dfrac{1}{\sec x+\tan x}d(\sec x+\tan x)$。
套
化简后，变成纯粹的 $\int \dfrac{1}{t}\,dt$。原公式：$\int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C$，代回得 $\ln|\sec x+\tan x|+C$。
推导较长，可直接作为常用公式记忆
$\displaystyle\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+C$
推导较长，可直接作为常用公式记忆
$\displaystyle\int\csc x\,dx = -\ln|\csc x+\cot x|+C$
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特殊情况：异频三角先“拆散”

策略：遇到像 $2x$ 和 $3x$ 这种不同频率在相乘时，通常无法直接通过第一类换元约尽，更稳妥的做法是先用【积化和差公式】把它们拆成加减法。
例 15
求 $\displaystyle\int \sin 2x\cos 3x\,\mathrm{d}x$
拆
套用积化和差：$\sin 2x\cos 3x = \dfrac{1}{2}[\sin(2x+3x)+\sin(2x-3x)]$。
理
根据 $\sin(-x) = -\sin x$，化简理顺为 $\dfrac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)$。
关系
对 $\sin 5x$ 这一项，先写 $d(5x)=5dx$，所以 $dx=\dfrac{1}{5}d(5x)$。代回后 $\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\sin 5x\,dx-\dfrac{1}{2}\int\sin x\,dx =\dfrac{1}{10}\int\sin 5x\,d(5x)-\dfrac{1}{2}\int\sin x\,dx$。
套
分别套原公式：$\int \sin t\,dt=-\cos t+C$，得到 $-\dfrac{1}{10}\cos 5x+\dfrac{1}{2}\cos x+C$。
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有理分式：先判能不能换元，再决定要不要裂项

分式遇到后，先试着把分母记作 $t$：如果代入整理后能化成 $a\int f(t)\,dt$，那就用换元；如果做不到，就只能用代数里的“裂项法”拆开！
例 16
求 $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\,\mathrm{d}x$
判与拆
若把整个分母记作 $t$，则 $dt=d(x^2-a^2)=2x\,dx$，从而 $dx=\dfrac{1}{2x}dt$。代回原式后会多出 $\dfrac{1}{2x}$，分子里又没有 $x$ 可以约掉，所以第一类换元法不适用；改走裂项路线：拆成 $\displaystyle\dfrac{1}{2a}\left(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a}\right)$。
分别换元
拆开后再看两个一次因子：$d(x-a)=dx,\ d(x+a)=dx$。这时两个小积分都已经是标准的一次结构。
代入整理
于是 $\displaystyle \dfrac{1}{2a}\left(\int\dfrac{1}{x-a}\,dx-\int\dfrac{1}{x+a}\,dx\right) =\dfrac{1}{2a}\left(\int\dfrac{1}{x-a}d(x-a)-\int\dfrac{1}{x+a}d(x+a)\right)$。
套对数
原公式：$\int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C$，所以 $\displaystyle= \dfrac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|) = \dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$
以后可直接作为常用公式使用：
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2-a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$
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有理分式：进阶“部分分式”拆解术

例 17
求 $\displaystyle\int \dfrac{x+3}{x^2-5x+6}\,\mathrm{d}x$
判与理
分母求导是 $2x-5$，分子的 $x+3$ 和它凑不成常数倍，约不干。果断转因式分解：$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$。
设
把这个大块头拆开，设待定分式：$\displaystyle\dfrac{x+3}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}$。
解
通过通分对比分子：$x+3 = A(x-3)+B(x-2)$，解方程组得出 $A=-5, B=6$。
关系
原积分变为 $\displaystyle\int\left(\dfrac{-5}{x-2}+\dfrac{6}{x-3}\right)dx$。又因为 $d(x-2)=dx,\ d(x-3)=dx$，所以可直接代回为 $\displaystyle -5\int\dfrac{1}{x-2}d(x-2)+6\int\dfrac{1}{x-3}d(x-3)$。
套
分别套原公式：$\int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C$，得 $-5\ln|x-2|+6\ln|x-3|+C$。完美收工。
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核心收获：这些推出来的结论请直接调用

重要积累
经过前面这些“识别 $t$、写关系、代入整理”的训练，我们推导出了几条常见的“二级公式”，以后遇到时可以直接使用。
反正切型
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{a^2+x^2} = \dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$
对数裂项型
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2-a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$
反正弦型
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\dfrac{x}{a}+C$
正切函数
$\displaystyle\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C$
余切函数
$\displaystyle\int\cot x\,dx = \ln|\sin x|+C$
正割函数
$\displaystyle\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+C$
余割函数
$\displaystyle\int\csc x\,dx = -\ln|\csc x+\cot x|+C$
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交互式“识别 $t$”模拟器

练手感
选定一道题，点出你认为应该记作 $t$ 的“内层”，看引擎是否能帮你完成代入整理。
① 你想把谁记作 $t$？
② 引擎演示代回与化简
← 请在左侧选择你要记作 t 的目标
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整体视角：遇到积分到底该用什么方法？

方法体系
Method Map

先看结构，再决定方法

先看能否直接对公式；不能，再看第一类换元；还不行，再按题型分流。

总原则
先辨“结构”，再定“方法”。
方法顺序固定以后，做题就不会摇摆。
01
能直接对上基本公式吗？
形态天然、没有复合内层，就直接对照公式表。
能

直接套用基本公式

识别公式类型后直接写结果。

02
先试第一类换元：能否整理成 $a\int f(t)\,dt$？
先识别 $t$，再写 $dt$ 与 $dx$ 的关系。
识别内层，记作 $t$ → 写出 $dt = \text{导数}\cdot dx$ → 代入整理，看能否化成 $a\int f(t)\,dt$
能约掉

第一类换元成立

把内层记作 $t$，再对照占位公式。

03
若第一类换元不成立，再按题型继续分流
常见后续方向，先记这三类。
三角乘积类
有奇次留一项；全偶或异频时，用半角或积化和差。
有理分式类
先因式分解，再做部分分式，拆开分别积分。
其他仍不匹配的结构
如果第一类换元走不通，通常转入第二类换元继续处理。
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