高等数学 · 积分学

第二换元积分法

当题目不能顺着补出 $dt$ 时，就把最难的结构整体记作 $t$，再把 $x$ 和 $dx$ 一起改写成 $t$ 的语言

01

发现痛点

02

核心算法

06

阶梯实战

01

先对比一下：第一类什么时候能直接成立，什么时候还不够？

发现痛点

能做下去第一类换元成立

$\displaystyle \int x\cos(x^2)\,dx$

记内层 $t=x^2$

补微元 $dt=2x\,dx$

$x$ 正好约掉
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\int \cos t\,dt$

还不够第一类换元尚未完成

$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx$

记内层 $t=\sqrt{x}$

改微元 $dx=2\sqrt{x}\,dt$

代回后还留着 $\sqrt{x}$
$\Rightarrow$ 积分号里不能只剩 $t,dt$

判断口令：代完以后，积分号里如果还留着 $x$，第一类换元就还没走通。

02

设 $t$ 只是第一步，后面还要把 $x$ 和 $dx$ 都改成 $t$

思路转换

原式

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$

只设 $t=\sqrt{x}$ 后

$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+t}\,dx$

设

$t=\sqrt{x}$

先把最难的部分记作 $t$

解

$x=t^2$

把原来的 $x$ 改写成 $t$

导

$dx=d(t^2)$
$=2t\,dt$

由 $x=t^2$ 求微分

$\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{1}{1+t}\cdot 2t\,dt = 2\int \frac{t}{1+t}\,dt$

到这里，积分号里已经只剩 $t,dt$ 了。下一步把 $\dfrac{t}{1+t}$ 化成 $1-\dfrac{1}{1+t}$，就能继续积分。

03

把这道题继续算完：化简、积分、回代

继续完成

承上页：$\displaystyle 2\int \frac{t}{1+t}\,dt = 2\int\frac{(1+t)-1}{1+t}\,dt = 2\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)\,dt$

$\displaystyle = 2\int 1\,dt-2\int\frac{1}{1+t}\,dt = 2t-2\int\frac{1}{1+t}\,dt$

原公式：$\displaystyle \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C$。令 $u=1+t$，则 $du=dt$，所以 $\displaystyle \int \frac{1}{1+t}\,dt=\ln|1+t|+C$。

$\displaystyle 2t-2\int\frac{1}{1+t}\,dt = 2t-2\ln|1+t|+C$

回代 $t=\sqrt{x}$：$= 2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$
（因 $1+\sqrt{x}>0$，绝对值可省略）

04

重点一：根式换元的标准六步

核心算法

1

设

$t=\sqrt[n]{ax+b}$

先抓最难的根式

2

解

$x=\dfrac{t^n-b}{a}$

把 $x$ 用 $t$ 表示

3

导

$dx=\left(\dfrac{nt^{n-1}}{a}\right)dt$

关键步：别漏掉 $dx$

4

代

原式全换成 $t,dt$

积分号里不再留 $x$

5

套

按 $t$ 的公式积分

幂函数、对数、反三角都在这里

6

回

$t\to\sqrt[n]{ax+b}$

最后答案必须回到 $x$

检查口令：代完后只剩 $t,dt$；算完一定回到 $x$；书写上别漏“设、解、导”。

05

根式实战（一）：基础单一根式

例题 1 原题

求 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+\sqrt{2x}}$

设

$t=\sqrt{2x}$

先抓根式

解

$x=\dfrac{t^2}{2}$

平方后解出 $x$

导

$dx=t\,dt$

对等式求微分

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{1+\sqrt{2x}} = \int\dfrac{1}{1+t}\cdot t\,dt = \int\dfrac{t}{1+t}dt = \int\dfrac{(1+t)-1}{1+t}dt = \int 1\,dt-\int\dfrac{1}{1+t}dt$

前一项直接是 $\int 1\,dt=t$。
后一项令 $u=1+t$，则 $du=dt$；利用原公式 $\int\dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C$，得 $\int\dfrac{1}{1+t}dt=\int\dfrac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|1+t|+C$。
因此原式 $= t-\ln|1+t|+C$。

把 $t$ 换回 $\sqrt{2x}$：$= \sqrt{2x}-\ln(1+\sqrt{2x})+C$
（因 $\sqrt{2x}\ge0$，绝对值省略）

06

高频微操：常数平移法

必备武功

这里能直接写成 $\ln|1+t|$，关键就在于：$d(1+t)=dt$。

常数平移法则

$\displaystyle dx = d(x \pm C)$

因为常数的导数是 0，所以括号里只要是加减常数，微分都不变。

$\displaystyle\int \frac{1}{x+5} dx$

加 $5$ 不变

$= \displaystyle\int \frac{1}{x+5} d(x+5)$
$= \ln|x+5|+C$

$\displaystyle\int e^{t-2} dt$

减 $2$ 不变

$= \displaystyle\int e^{t-2} d(t-2)$
$= e^{t-2}+C$

$\displaystyle\int \cos(x+\pi) dx$

加 $\pi$ 不变

$= \displaystyle\int \cos(x+\pi) d(x+\pi)$
$= \sin(x+\pi)+C$

只记这一点：加常数不变，乘常数会变

$d(x+3)=dx$，所以这种“加常数”可以直接平移。
$d(3x)=3dx$，已经不是原来的 $dx$ 了，所以“乘常数”不能像上面那样直接搬。

07

根式实战（二）：根号外带多项式

例题 2 原题

求 $\displaystyle\int x\sqrt{2x-3}\,dx$

设

如果只设 $t=2x-3$，外面的 $x$ 仍会留在积分号里；所以这里直接设最外层根式：$t=\sqrt{2x-3}$。

解

两边平方解出 $x$：$t^2=2x-3 \implies x=\dfrac{t^2+3}{2}$。

导

对等式求微分，写出 $dx$：
$dx = d\left(\dfrac{t^2+3}{2}\right) \implies dx = \left(\dfrac{t^2+3}{2}\right)' dt \implies \color{#D97706}{\mathbf{dx = t\,dt}}$。

代

代 $x$

$x=\dfrac{t^2+3}{2}$

外面的 $x$ 也一起换掉

代根号

$\sqrt{2x-3}=t$

根号本身直接换成 $t$

代 $dx$

$dx=t\,dt$

连同 $dx$ 一起改写

$\displaystyle \int x\sqrt{2x-3}\,dx = \int \left(\dfrac{t^2+3}{2}\right)\cdot t \cdot t\,dt = \dfrac{1}{2}\int (t^4+3t^2)\,dt$

套

现在已经是标准的多项式积分。原公式：$\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C$。
所以 $\dfrac{1}{2}\int (t^4+3t^2)\,dt=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{t^5}{5}+t^3\right)+C$。

回

把 $t$ 换回 $\sqrt{2x-3}$ 即 $(2x-3)^{\dfrac{1}{2}}$：
$= \dfrac{1}{10}(2x-3)^{\dfrac{5}{2}} + \dfrac{1}{2}(2x-3)^{\dfrac{3}{2}} + C$。

08

根式实战（三）：分母带多项式

例题 3 原题

求 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\sqrt{x-1}}$

设

先抓住最关键的根号，令 $t=\sqrt{x-1}$。

解

平方后解出 $x$：$t^2=x-1 \implies x=t^2+1$。

导

对等式求微分，写出 $dx$：
$dx = d(t^2+1) \implies dx = (t^2+1)' dt \implies \color{#D97706}{\mathbf{dx = 2t\,dt}}$。

代

全面替换：
原式 $= \displaystyle\int \dfrac{\color{#D97706}{2t\,dt}}{\underbrace{(t^2+1)}_{\text{代 } x} \cdot \underbrace{t}_{\text{代根号}}}$
上下约掉 $t$：$= \displaystyle\int \dfrac{2}{t^2+1}\,dt$。

套

原公式：$\int\dfrac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan t+C$。
所以 $\displaystyle\int \dfrac{2}{t^2+1}\,dt=2\arctan t+C$。

回

把 $t$ 换回 $\sqrt{x-1}$：
$= 2\arctan(\sqrt{x-1}) + C$。

09

根式实战（四）：同底多个根号并存

例题 4 原题

求 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}}$

设

题里同时有三次根和二次根。要想一起化成整数次幂，就取指数的最小公倍数 6，令 $t=\sqrt[6]{x}$。

解

先解出 $x=t^6$。顺手把两个根号都写成 $t$ 的幂：$\sqrt[3]{x}=t^2$，$\sqrt{x}=t^3$。

导

对等式求微分，写出 $dx$：
$dx=d(t^6) \implies dx=(t^6)' dt \implies \color{#D97706}{\mathbf{dx=6t^5\,dt}}$。

代

代 $\sqrt[3]{x}$

$\sqrt[3]{x}=t^2$

6 次根统一成整数幂

代 $\sqrt{x}$

$\sqrt{x}=t^3$

二次根也一起换过去

代 $dx$

$dx=6t^5\,dt$

这样才能约出整幂结构

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}} = \int\dfrac{6t^5\,dt}{(1+t^2)t^3} = 6\int\dfrac{t^2}{1+t^2}\,dt = 6\int\left(1-\dfrac{1}{1+t^2}\right)dt$

套

先分开积分：$=6\int 1\,dt-6\int\dfrac{1}{1+t^2}dt$。
原公式：$\int 1\,dt=t+C$，$\int\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan t+C$。
所以原式 $= 6(t-\arctan t)+C$。

回

把 $t$ 换回 $\sqrt[6]{x}$：
$= 6(\sqrt[6]{x}-\arctan\sqrt[6]{x})+C$。

10

根式实战（五）：根号里套分式

例题 5 原题

求 $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2}\sqrt{\dfrac{1+x}{x}}\,dx$

设

虽然根号里是分式，但最难的仍是整块根式，所以直接设 $t=\sqrt{\dfrac{1+x}{x}}$。

解

先解倒数

$\dfrac{1}{x}=t^2-1$

根号里的分式先拆成倒数

再解 $x$

$x=(t^2-1)^{-1}$

方便后面继续求导

顺手观察

$\dfrac{1}{x^2}=(t^2-1)^2$

外面的平方项也一并解决

导

对 $x = (t^2-1)^{-1}$ 求微分，写出 $dx$：
$dx = d((t^2-1)^{-1}) \implies dx = -(t^2-1)^{-2} \cdot (2t) \,dt \implies \color{#D97706}{\mathbf{dx = \dfrac{-2t}{(t^2-1)^2}\,dt}}$。

代

代 $\frac{1}{x^2}$

$(t^2-1)^2$

刚才已经提前观察到

代根号

$t$

整块根式直接替换

代 $dx$

$\dfrac{-2t}{(t^2-1)^2}dt$

上下正好配成整洁约分

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\sqrt{\dfrac{1+x}{x}}\,dx = \int (t^2-1)^2\cdot t\cdot \dfrac{-2t}{(t^2-1)^2}dt = -2\int t^2\,dt$

套

原公式：$\int t^2\,dt=\dfrac{t^3}{3}+C$。
所以 $-2\int t^2\,dt=-\dfrac{2}{3}t^3+C$。

回

把一开始设的 $t$ 换回 $x$：$= -\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{\frac{3}{2}}+C$。

11

重点二：三角代换，用来处理二次根式

技巧进阶

前面的根式换元更适合一次式。如果遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$ 这类二次根式，直接令 $t=\sqrt{\dots}$ 很难把 $x$ 反解出来。这时就借助三角恒等式，把根号整体化成三角函数。

如果遇到	通常设	因为这个恒等式可以去根号	微元 $dx$ 变成
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$1-\sin^2 t=\cos^2 t$ 根号变成 $a\cos t$	$a\cos t\,dt$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$1+\tan^2 t=\sec^2 t$ 根号变成 $a\sec t$	$a\sec^2 t\,dt$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$\sec^2 t-1=\tan^2 t$ 根号变成 $a\tan t$	$a\sec t\tan t\,dt$

记忆口诀：减正加切去割

(常数减变量用正弦；中间加号用正切；变量减常数用正割)

三角代换里通常不用单独写“解”，因为一开始就把 $x$ 直接设成了三角式；但后面仍然要按设 → 导 → 代 → 套 → 回走完整。

12

三角代换示范：把 $\sqrt{a^2-x^2}$ 化干净

例题 6 原题

求 $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx\quad(a>0)$

设

遇到常数减变量的二次根号，口诀“减正”。直接令 $x=a\sin t$。

导

对等式求微分，写出 $dx$：$dx = d(a\sin t) \implies \color{#D97706}{\mathbf{dx = a\cos t\,dt}}$。

代

代入原式，根号化简：$\sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t} = a\cos t$
原积分变成：$\displaystyle\int (a\cos t) \cdot (\color{#D97706}{a\cos t\,dt}) = a^2\int\cos^2 t\,dt$。

套

这里不能直接套基本公式，先用半角公式降次：$\cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$。
所以 $a^2\int\cos^2 t\,dt=\dfrac{a^2}{2}\int(1+\cos 2t)\,dt$。
原公式：$\int 1\,dt=t+C$，$\int\cos u\,du=\sin u+C$。
因此原式 $=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{4}\sin 2t+C=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{2}\sin t\cos t+C$。

回

读出正弦

$\sin t=\dfrac{x}{a}$

对边比斜边

读出余弦

$\cos t=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$

邻边来自勾股定理

读出角

$t=\arcsin\dfrac{x}{a}$

最后把三角变量彻底换回 $x$

$\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C$

13

终极演练：分母是高次幂时，先试倒代换

例题 7 原题进阶推导

求 $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}\,dx\quad(x>0)$

思

如果直接用三角代换 $x=a\sin t$，分母里的 $\sin^4 t$ 会把运算拖得很重。这里分母是孤立高次项，所以可先试倒代换 $x=\dfrac{1}{t}$。

导

设 $x=\dfrac{1}{t}$，对等式求微分，写出 $dx$：$dx = d(t^{-1}) \implies \color{#D97706}{\mathbf{dx = -\dfrac{1}{t^2}\,dt}}$。

代

$\displaystyle \int\dfrac{\sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}}{\frac{1}{t^4}}\cdot\left(-\dfrac{1}{t^2}\right)dt = -\int t^2\cdot\dfrac{\sqrt{a^2t^2-1}}{t}\,dt = -\int t\sqrt{a^2t^2-1}\,dt$

转一类

识别内层

$u=a^2t^2-1$

现在已经转成第一类换元

写出微分

$du=2a^2t\,dt$

外面的 $t\,dt$ 正好能对应上

$\displaystyle -\int t\sqrt{a^2t^2-1}\,dt = -\dfrac{1}{2a^2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$

套

原公式：$\int u^{\frac{1}{2}}\,du=\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$。
所以 $-\dfrac{1}{2a^2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du=-\dfrac{1}{3a^2}(a^2t^2-1)^{\frac{3}{2}}+C$。

回

由于 $t=\dfrac{1}{x}$，所以 $a^2t^2-1=\dfrac{a^2}{x^2}-1=\dfrac{a^2-x^2}{x^2}$。又因为题目给定 $x>0$，故 $\left(\dfrac{a^2-x^2}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}=\dfrac{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{x^3}$。于是原式化为 $= -\dfrac{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3a^2 x^3}+C$。

+C

∫

x=ψ(t)

第二换元积分法 · 核心复盘

何时用

设完元以后，积分号里还留着 $x$

这说明第一类换元还没走通，该改用第二类。

核心想法

把难结构整体记作 $t$

不仅换函数本体，还要把 $x$ 和 $dx$ 一起换成 $t$ 的语言。

六步法

设 → 解 → 导 → 代 → 套 → 回

其中“套”和“回”都别省，不然整道题看起来像只做了一半。

检查点

积分号里是否只剩 $t,dt$

如果还混着 $x$，说明换元还没完成。

三角换元

减正、加切、去割

最后借直角三角形把 $\sin t,\cos t,t$ 一并换回 $x$。

课堂主线

先把结构换干净，再按 $t$ 的公式积分

课02强调顺着原式补 $dt$，课03强调把整道题改写成 $t$ 的语言。