分部积分法

破解“乘积型积分”的终极武器与思维解剖

01 诊断

为何现有的“换元法”全面失效？

在面对像 $x \cdot \mathrm{e}^x$ 这样由两个完全不同类型的函数直接相乘组成的积分时，我们发现旧工具不好用了：

$\displaystyle \int x \cdot \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$

第一换元法 ❌

因为没有“复合函数（套娃）”的结构，
找不到能够凑出 $\mathrm{d}u$ 的内层导数。

$\displaystyle \int x \cdot \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$

第二换元法 ❌

设 $t=x$ 毫无意义；
设 $t=\mathrm{e}^x$ 则 $x=\ln t$，积分会变成含对数的，越换越难。

结论：当不同类函数“并列相乘”时，我们必须引入新的降维打击武器。

02 原理

追本溯源：求导法则的逆向工程

在微分学中，两个函数相乘的导数是这样分配的：

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

第一步：既然相等，那对等式两边同时求不定积分，结果也应该相等。

$\displaystyle \int (u \cdot v)'\,\mathrm{d}x = \int v \cdot u'\,\mathrm{d}x + \int u \cdot v'\,\mathrm{d}x$

第二步：化简。左侧求导再积分等于原式；右侧 $u'\mathrm{d}x$ 就是 $\mathrm{d}u$，$v'\mathrm{d}x$ 就是 $\mathrm{d}v$。

$\displaystyle u \cdot v = \int v\,\mathrm{d}u + \int u\,\mathrm{d}v$

第三步：移项！将其中一个积分单独剥离出来：

$\displaystyle\int u\,\mathrm{d}v = u \cdot v - \int v\,\mathrm{d}u$

03 核心

图形化理解：前后相乘减互换

观察等式，我们人为地将被积函数拆解成了两个身份截然不同的部分：
前项 $u$：暂时不动，留在 $\mathrm{d}$ 的外面，为将来被求导做准备。
后项 $v$：先把它积分求出来，塞进 $\mathrm{d}$ 的里面，充当桥梁。

$\displaystyle\int$

$u$

$\mathrm{d}\Big($

$v$

$\Big) \;\;=\;\;$

$u$

$\cdot$

$v$

$\;\;-\;\;\displaystyle\int$

$v$

$\mathrm{d}\Big($

$u$

$\Big)$

执行这三步走：

1

凑微分定前后

挑选一个积分为 $v$，写进 $\mathrm{d}$ 里面。

2

前后直接相乘

将 $u$ 和 $v$ 拿出来相乘，这部分完成了！

3

减去互换的新积分

减去位置对调后的 $\int v \mathrm{d}u$。只要它比原积分好算，我们就赢了。

04 铺垫

最容易卡壳的一步：如何准确地“凑进 $\mathrm{d}$”？

很多初学者在第一步就把公式写错了。请务必牢记以下转换关系：

将函数放进 $\mathrm{d}$ 内部，本质上是求它的原函数（积分一次）。

$f(x)\mathrm{d}x = \mathrm{d}\Big(\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x\Big)$

基础函数无系数（直接写原函数）

$\mathrm{e}^x \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}(\mathrm{e}^x)$

$\cos x \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}(\sin x)$

$\dfrac{1}{x} \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}(\ln x)$

带常数/符号变异（千万别漏系数！）

$x \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}(\frac{1}{2}x^2)$

$\sin x \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}(-\cos x)$

$\mathrm{e}^{2x} \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x})$

04 训练

基本功肌肉记忆训练：把函数凑进 $\mathrm{d}$ 里

要想分部积分做得快，看到函数就要能脱口而出它在 $\mathrm{d}$ 里面的样子。

$\mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\Big(\; \text{?} \;\Big)$

$\textcolor{#2563EB}{-\mathrm{e}^{-x}}$

$\cos(2x) \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\Big(\; \text{?} \;\Big)$

$\textcolor{#2563EB}{\frac{1}{2}\sin(2x)}$

$x^2 \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\Big(\; \text{?} \;\Big)$

$\textcolor{#2563EB}{\frac{1}{3}x^3}$

$\sec^2 x \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\Big(\; \text{?} \;\Big)$

$\textcolor{#2563EB}{\tan x}$

$\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\Big(\; \text{?} \;\Big)$

$\textcolor{#2563EB}{-\frac{1}{x}}$

$\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\Big(\; \text{?} \;\Big)$

$\textcolor{#2563EB}{2\sqrt{x}}$

05 策略

灵魂拷问：如果选错了 $u$ 和 $v$ 会怎样？

比如我们在求 $\displaystyle \int x \cdot \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ 时，不小心选错了：

我们让 $u = \mathrm{e}^x$ （留在外面准备求导），
把 $x$ 凑进微分里当作后项： $\mathrm{d}v = x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\frac{1}{2}x^2})$。

套用公式：前后相乘减互换

$\displaystyle \int \textcolor{#E11D48}{\mathrm{e}^x} \cdot x\,\mathrm{d}x = \int \textcolor{#E11D48}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\dfrac{x^2}{2}}) = \textcolor{#E11D48}{\mathrm{e}^x}\textcolor{#2563EB}{\dfrac{x^2}{2}} - \int \textcolor{#2563EB}{\dfrac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\mathrm{e}^x})$

灾难发生了！展开新积分：

$= \dfrac{1}{2}x^2\mathrm{e}^x - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int x^2\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$

不仅没算出来，积分里的 $x$ 还升了次，变成了 $x^2$！式子越算越复杂！这说明我们的选择是完全失败的。

05 策略

唯一真理：谁求导能变简单，谁就当 $u$！

前人总结出的防越算越乱经验表：反对幂指三

反三角函数

对数函数

幂函数 ($x^n$)

指数函数

三角函数

← 必须留作前项 $u$ （通过求导消除它们）优先作后项 $v$ 塞进 $\mathrm{d}$ →

原理揭秘：
• 反三角和对数很难求积分，只能当 $u$ 留在外面等着被求导成代数式（如 $\ln x \to 1/x$）。
• 指数和三角怎么积分都不变形，是天生当桥梁塞进 $\mathrm{d}v$ 的绝佳材料。
• 幂函数是墙头草，遇左则右，遇右则左。

06 解剖

显微镜下的分部积分：四要素是如何对应的？

目标积分：$\displaystyle\int x \cdot \cos x\,\mathrm{d}x$

左翼：求导任务区

根据“反对幂指三”，选幂函数为 $u$。

$\textcolor{#E11D48}{u = x}$

↓ 对 $x$ 求导得到 $\mathrm{d}u$ ↓

$\mathrm{d}u = 1 \cdot \mathrm{d}x = \mathrm{d}x$

右翼：积分任务区

剩下的部分全盘端走，作为 $\mathrm{d}v$。

$\mathrm{d}v = \cos x\,\mathrm{d}x$

↓ 对整体求积分得到 $v$ ↓

$v = \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x$

将拼好的四块积木，直接填入公式： $\int u\,\mathrm{d}v = u \cdot v - \int v\,\mathrm{d}u$

07 题型一

题型一：幂函数与三角函数（降次实战）

【例 1】求定刚才分析的积分： $\displaystyle\int x \cos x\,\mathrm{d}x$

步骤 1：原式转换成 $\int u\,\mathrm{d}v$ 形态

$\displaystyle \int \textcolor{#E11D48}{x} \cdot \cos x\,\mathrm{d}x = \int \textcolor{#E11D48}{x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\sin x})$

步骤 2 & 3：前后相乘减互换

$= \textcolor{#E11D48}{x}\textcolor{#2563EB}{\sin x} - \displaystyle\int \textcolor{#2563EB}{\sin x}\,\mathrm{d}\textcolor{#E11D48}{x}$

步骤 4：计算出最终的新积分，并补上常数 C

$= x\sin x - (-\cos x) + C$
$= x\sin x + \cos x + C$

通过互换，原本棘手的 $x \cos x$ 变成了纯纯的 $\sin x$，多项式 $x$ 成功被“降次”消灭掉了！

07 题型一

题型一进阶：高次幂需要多次剥洋葱

【例 2】求不定积分 $\displaystyle\int x^2 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$

分析：$x^2$ 求导一次变成 $2x$，还没降为常数，意味着我们需要执行两遍分部积分。

第一轮剥离（目标：将 $x^2$ 降为 $x$）：

$\displaystyle \int \textcolor{#E11D48}{x^2} \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \int \textcolor{#E11D48}{x^2}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}) = \textcolor{#E11D48}{x^2}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x} - \int \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{x^2})$

$= x^2\mathrm{e}^x - 2\displaystyle\int \textcolor{#E11D48}{x}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}x$

第二轮剥离（针对剩下的积分再分部一次）：

$\displaystyle \int \textcolor{#E11D48}{x}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}x = \int \textcolor{#E11D48}{x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}) = \textcolor{#E11D48}{x}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x} - \int \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}\textcolor{#E11D48}{x} = x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x$

最后代回原式拼装：

$= x^2\mathrm{e}^x - 2(x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x) + C$
$= \mathrm{e}^x(x^2 - 2x + 2) + C$

08 题型二

题型二：孤立对数函数的“配 1 法”

【例 3】求不定积分 $\displaystyle\int \ln x\,\mathrm{d}x$

解题困境：它不是乘积，只有一个函数，怎么分部？
破局思路：万物皆可乘 $1$。我们把 $1$ 视为极其简单的代数式 $x^0$。

将常数 1 凑入微分：$1 \mathrm{d}x = \mathrm{d}(x)$

$\displaystyle\int \textcolor{#E11D48}{\ln x} \cdot 1 \,\mathrm{d}x = \int \textcolor{#E11D48}{\ln x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{x})$

互换（利用 $\ln x$ 求导能化成代数式的特性进行降维）：

$= \textcolor{#E11D48}{\ln x} \cdot \textcolor{#2563EB}{x} - \displaystyle\int \textcolor{#2563EB}{x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\ln x})$

将微分展开（$\mathrm{d}(\ln x) = \frac{1}{x}\mathrm{d}x$）：

$= x\ln x - \displaystyle\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int 1\,\mathrm{d}x$

$= x\ln x - x + C$

08 题型二

题型二扩展：反三角函数与换元法的结合

【例 4】求不定积分 $\displaystyle\int \arcsin x\,\mathrm{d}x$

同样使用“配 1 法”，因为反正弦函数的导数是代数式，互换后大有作为。

分部积分启动：

$\displaystyle\int \textcolor{#E11D48}{\arcsin x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{x}) = \textcolor{#E11D48}{\arcsin x} \cdot \textcolor{#2563EB}{x} - \displaystyle\int \textcolor{#2563EB}{x} \,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\arcsin x})$

$= x\arcsin x - \displaystyle\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$

发现没？此时变成了第一换元法（凑微分）的射程范围：

看到 $x\mathrm{d}x$，立刻凑成 $\mathrm{d}(x^2)$，再补上常数变成 $\mathrm{d}(1-x^2)$！

$\displaystyle -\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int (1-x^2)^{-1/2}\,\mathrm{d}(1-x^2) = (1-x^2)^{1/2}$

最后组装答案：

$= x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

09 题型三

题型三：无尽的螺旋，指数与三角的循环（上）

【例 5】求不定积分 $\displaystyle I = \int \mathrm{e}^x \cos x\,\mathrm{d}x$

分析：指数 $\mathrm{e}^x$ 和三角 $\cos x$ 求导无数次也不会变成 0。难道公式失效了？
策略：不管三七二十一，先依着“反对幂指三”，把 $\mathrm{e}^x$ 扔进 $\mathrm{d}$ 里走两步看看。

第一次分部积分（令 $\mathrm{e}^x$ 入 $\mathrm{d}$）：

$\displaystyle I = \int \textcolor{#E11D48}{\cos x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}) = \textcolor{#E11D48}{\cos x}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x} - \int \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\cos x})$

由于 $\mathrm{d}(\cos x) = -\sin x\,\mathrm{d}x$，负负得正：
$\displaystyle I = \mathrm{e}^x\cos x + \int \mathrm{e}^x\sin x\,\mathrm{d}x$

出现了一个新的积分： $\int \mathrm{e}^x\sin x\,\mathrm{d}x$。
看起来并没有变得更简单。但别停下，对它再执行一次分部积分！

09 题型三

无尽的螺旋，指数与三角的循环（下）

接上页，第二次分部积分（同样令 $\mathrm{e}^x$ 入 $\mathrm{d}$）：

$\displaystyle \int \textcolor{#E11D48}{\sin x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}) = \textcolor{#E11D48}{\sin x}\textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x} - \int \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^x}\,\mathrm{d}(\textcolor{#E11D48}{\sin x})$

由于 $\mathrm{d}(\sin x) = \cos x\,\mathrm{d}x$，提取出结果：
$\displaystyle = \mathrm{e}^x\sin x - \int \mathrm{e}^x\cos x\,\mathrm{d}x$

见证奇迹：方程回环与求解

我们把第二次算出的尾巴代回到第一步的等式中：

$I = \mathrm{e}^x\cos x + \big(\mathrm{e}^x\sin x - \underbrace{\int \mathrm{e}^x\cos x\,\mathrm{d}x}_{这是什么？这就是原始的 I !} \big)$

把它当作未知数方程解： $I = \mathrm{e}^x\cos x + \mathrm{e}^x\sin x - I$ $\implies 2I = \mathrm{e}^x(\cos x + \sin x)$

最终解得：$I = \dfrac{\mathrm{e}^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$

10 考核

随堂小练：一眼判别该如何拆分

真正的考场上拼的是直觉。请迅速判定：对于以下积分，谁应该作为前项 $u$，谁应该凑入微分作为 $\mathrm{d}v$？

$\displaystyle\int x \mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{\mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x}$
依据：幂(x)优先于指(e)，故指数进 $\mathrm{d}$ 积分。

$\displaystyle\int x^2 \ln x\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{\ln x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{x^2\,\mathrm{d}x}$
依据：对(ln)必须留外面求导化代数，幂入 $\mathrm{d}$。

$\displaystyle\int x \sec^2 x\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{\sec^2 x\,\mathrm{d}x}$
依据：虽然都是三角函数，但 $\sec^2 x$ 极易积分为 $\tan x$。

$\displaystyle\int \arccos x\,\mathrm{d}x$

$u = \textcolor{#E11D48}{\arccos x}$
$\mathrm{d}v = \textcolor{#2563EB}{1\,\mathrm{d}x}$
依据：无其他项，配隐藏常数 1 当后项进 $\mathrm{d}$。

全课精要总结

分部积分法：考场上的核心思维导图

🎯 1. 唯一公式，牢记于心

$\displaystyle \int \textcolor{#E11D48}{u}\,\mathrm{d}\textcolor{#2563EB}{v} = \textcolor{#E11D48}{u}\textcolor{#2563EB}{v} - \int \textcolor{#2563EB}{v}\,\mathrm{d}\textcolor{#E11D48}{u}$

🔑 2. 八字箴言：反对幂指三

决定谁当 $u$，谁当 $\mathrm{d}v$。这不仅是口诀，更是“谁求导能变简单，谁积分不会乱”的经验凝练。

🚀 3. 常考解题流派

① 降次流（多项式 $\times$ 易积超越函数）：用求导把多项式消灭，可能需多次分部。
② 配一流（单一反三角/对数）：无中生有，拉出常数 $1$ 凑微分。
③ 回旋流（指数 $\times$ 三角）：两次分部，同构重现，解代数方程收尾。