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不定积分总复习

观察结构，判别题型，匹配方法，规范求解。

01

总览：不定积分四类核心题型与解题主线

复习主线
本节复习课旨在将零散的积分方法整合为清晰的解题主线：先判别题型，再匹配方法，最后严格按照该题型的标准步骤规范求解。
题型一：直接积分法
特征： 被积函数通过代数变形或三角恒等变形后，可直接套用基本公式。
策略： 加一项减一项、多项式相除、拆分恒等式等。
题型二：第一类换元（凑微分）
特征： 存在明确内层函数且可配导数。
策略： 先写出内层微分，再按求导代回完成约分。
题型三：第二类换元（处理根式）
特征： 含无理根式，且第一类换元无法约尽。
策略： 令 $t=\text{根式}$，或使用三角代换。
题型四：分部积分法
特征： 两类不同性质的函数相乘 (如 $x\sin x, e^x\ln x$)。
策略： 参考“反对幂指三”选取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$。
附加专题：特殊类型函数的积分
包含： 有理函数、三角函数有理式、简单无理函数。
策略： 针对特定代数结构应用部分分式分解、万能置换或公倍根代换等专用工具。
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题型一：直接积分法，核心在于预处理变形

题型知识 + 方法
题型识别： 这是最基础的积分方法。解题时应首选预处理，尝试通过代数或三角变形，将复杂被积函数直接化为积分表中的基本函数。
常见预处理变形套路
1. 代数变形： 分子加一项减一项、同乘同除、多项式展开或拆分假分式。
2. 三角变形： 利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$、倍角公式降次等。
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题 1：代数变形（加减恒等变形），拆分为基础积分

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原题
$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2(1+x^2)}$
基本公式应用： $\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$，$\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C$。
第1步： 观察分母为乘积，在分子中巧妙地加减 $x^2$ 进行恒等变形： $\displaystyle \frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1+x^2-x^2}{x^2(1+x^2)}$。
第2步： 将原分式拆分为两项： $\displaystyle \int\frac{1+x^2}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x-\int\frac{x^2}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x$。
第3步： 分别约分化简得： $\displaystyle \int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x-\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$。
第4步： 此时均已转化为基本积分，直接分别套用公式。
结果： $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2(1+x^2)}=-\frac{1}{x}-\arctan x+C$。
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题 2：三角变形，利用恒等式化为基本公式

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原题
$\displaystyle \int\frac{\cos^2x}{1-\sin x}\mathrm{d}x$
基本公式应用： $\displaystyle \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C$，$\displaystyle \int 1\,\mathrm{d}x=x+C$。
第1步： 遇到三角分式，优先考虑平方关系。利用 $\cos^2x=1-\sin^2x$ 代换分子。
第2步： 利用平方差公式展开分子： $\displaystyle \int\frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{1-\sin x}\mathrm{d}x$。
第3步： 上下约去非零因子 $(1-\sin x)$，原积分极大简化为： $\displaystyle \int(1+\sin x)\mathrm{d}x$。
第4步： 根据积分的线性性质，将其拆分为 $\int 1\mathrm{d}x+\int\sin x\mathrm{d}x$ 进行求解。
结果： $\displaystyle \int\frac{\cos^2x}{1-\sin x}\mathrm{d}x=x-\cos x+C$。
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题型二：第一类换元（凑微分），核心在于识别内层结构

题型知识 + 方法
题型识别： 出现复合结构且可提取内层导数。
方法执行： 严格按配微分代回三步法。
① 写出内层微分
先找出被整体作用的内层 $g(x)$，暂不处理外层，直接写出 $\int \dots \color{#D97706}{\mathrm{d}(g(x))}$。
➡
② 求导代回
利用 $\mathrm{d}x = \frac{1}{g'(x)}\mathrm{d}(g(x))$。相当于在外面除以它的导数。
➡
③ 约分出局
如果含有 $x$ 的项能被完全约掉，再配平常数后套用公式。
核心等价关系
先写出 $\mathrm{d}[g(x)] = g'(x)\mathrm{d}x$，再得到 $\mathrm{d}x = \frac{1}{g'(x)}\mathrm{d}[g(x)]$。
若代回后除常数外不应残留无法约掉的原变量，则第一类换元成功。
06

题 3：根式复合结构的第一类换元规范步骤

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原题
$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,\mathrm{d}x$
原公式： $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t=2\sqrt{t}+C$。
第1步： 发现复合结构：$\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$，显然内层函数是 $x^2+4$。
第2步： 强行改写微分：将原积分改写为 $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \mathrm{d}(x^2+4)$ 进行配凑。
第3步： 调整系数：因为 $\mathrm{d}(x^2+4)=2x \mathrm{d}x$，故 $\mathrm{d}x=\frac{1}{2x} \mathrm{d}(x^2+4)$。
第4步： 代入并约分： $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \cdot \frac{1}{2x} \mathrm{d}(x^2+4)=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \mathrm{d}(x^2+4)$。
结果： 视 $x^2+4$ 为整体 $t$，套用公式得： $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x^2+4}+C = \sqrt{x^2+4}+C$。
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题 4：三角函数幂次结构的内层识别与换元

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原题
$\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^3 x}\,\mathrm{d}x$
原公式： $\displaystyle \int \frac{1}{t^3}\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{2t^2}+C$。
第1步： 发现复合结构：分母中 $\cos x$ 被高次幂包裹，取内层函数为 $\cos x$。
第2步： 强行改写微分：原式准备转化为 $\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \mathrm{d}(\cos x)$。
第3步： 调整系数：因为 $\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x \mathrm{d}x$，所以 $\mathrm{d}x=-\frac{1}{\sin x} \mathrm{d}(\cos x)$。
第4步： 代回积分式约分： $\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \cdot\left(-\frac{1}{\sin x}\right) \mathrm{d}(\cos x)=-\int \frac{1}{\cos^3 x} \mathrm{d}(\cos x)$。
结果： 视 $\cos x$ 为整体，套用幂函数积分公式： $\displaystyle -\left(-\frac{1}{2\cos^2 x}\right)+C=\frac{1}{2\cos^2 x}+C$。
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题 5：对数复合结构的第一类换元

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原题
$\displaystyle \int \frac{1}{x(\ln x+1)}\,\mathrm{d}x$
原公式： $\displaystyle \int \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\ln|t|+C$。
第1步： 观察分母，发现对数项 $\ln x+1$ 是更深层的复合结构，以此作为内层函数。
第2步： 改写并调整微分：$\mathrm{d}(\ln x+1)=\frac{1}{x} \mathrm{d}x$，即 $\mathrm{d}x=x \mathrm{d}(\ln x+1)$。
第3步： 代入原积分式： $\displaystyle \int \frac{1}{x(\ln x+1)} \cdot x \mathrm{d}(\ln x+1)$。
第4步： 完美约去 $x$，原式化为标准形式： $\displaystyle \int \frac{1}{\ln x+1} \mathrm{d}(\ln x+1)$。
结果： 整体套用对数积分公式： $\displaystyle \int \frac{1}{x(\ln x+1)}\,\mathrm{d}x=\ln|\ln x+1|+C$。
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题 6：平方和结构与反正切公式的结合

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原题
$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{4+9x^2}$
原公式： $\displaystyle \int \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=\arctan t+C$。
第1步： 为凑出反正切标准式，先提分母公因数 4： $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{4(1+\frac{9}{4}x^2)}$。
第2步： 识别平方结构：内层函数可视作 $\frac{3}{2}x$，即原式准备转化为对 $\mathrm{d}(\frac{3}{2}x)$ 积分。
第3步： 调整微分系数：$\mathrm{d}(\frac{3}{2}x)=\frac{3}{2} \mathrm{d}x$，即 $\mathrm{d}x=\frac{2}{3} \mathrm{d}(\frac{3}{2}x)$。
第4步： 整体代回化简： $\displaystyle \int \frac{1}{4(1+(\frac{3}{2}x)^2)} \cdot \frac{2}{3} \mathrm{d}(\frac{3}{2}x)=\frac{1}{6} \int \frac{1}{1+(\frac{3}{2}x)^2} \mathrm{d}(\frac{3}{2}x)$。
结果： 根据反正切基本公式得： $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{4+9x^2}=\frac{1}{6}\arctan(\frac{3}{2}x)+C$。
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第一类换元进阶：隐性内层结构的变形与凑微分

过渡提醒
当内层结构不明显时，需结合恒等变形进行预处理。常见技巧包括：正切化弦、多重函数的逐层提取、分子分母同乘同除构造导数。
规范解题流程
遵循“先变形，再设元，后求导，再代入”的顺序。代换完成后，确保积分式中仅含新变量，最后套用基本公式。
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题 7：经典切化弦凑微分

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原题
$\displaystyle \int \tan x\,\mathrm{d}x$
原公式： $\displaystyle \int \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\ln|t|+C$。
第1步： 实施三角变形，将正切改写为分式形式： $\displaystyle \int \tan x \mathrm{d}x = \int \frac{\sin x}{\cos x} \mathrm{d}x$。
第2步： 强行改写微分：锁定分母 $\cos x$ 为内层，准备对 $\mathrm{d}(\cos x)$ 积分。
第3步： 调整系数：$\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x \mathrm{d}x$，所以 $\mathrm{d}x=-\frac{1}{\sin x} \mathrm{d}(\cos x)$。
第4步： 代入原积分进行约分： $\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot\left(-\frac{1}{\sin x}\right) \mathrm{d}(\cos x)=\int \left(-\frac{1}{\cos x}\right) \mathrm{d}(\cos x)$。
结果： 视 $\cos x$ 为整体积分： $\displaystyle -\ln|\cos x|+C=\ln|\sec x|+C$。
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题 8：隐性换元，特殊函数项的内层提取

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原题
$\displaystyle \int \frac{2^{\arctan x}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$
原公式： $\displaystyle \int a^u\,\mathrm{d}u=\frac{a^u}{\ln a}+C$。
第1步： 观察被积函数，指数位置的 $\arctan x$ 为复杂结构，取它为内层变量 $u=\arctan x$。
第2步： 寻找导数关系：计算内层微分 $\mathrm{d}u=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$。
第3步： 巧妙匹配：原积分式正好包含了 $\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$ 这一项。
第4步： 实施代换： $\displaystyle \int \frac{2^{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm{d}x = \int 2^u \mathrm{d}u$。
结果： 套用指数函数积分公式并回代： $\displaystyle \frac{2^u}{\ln 2}+C = \frac{2^{\arctan x}}{\ln 2}+C$。
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题 9：多重复合根号的逐层分析

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原题
$\displaystyle \int \frac{\cos\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$
原公式： $\displaystyle \int \cos u\,\mathrm{d}u=\sin u+C$。
第1步： 发现复合函数 $\cos\sqrt{t}$，其内层结构明确为 $\sqrt{t}$。
第2步： 强行改写微分：转化为对 $\mathrm{d}(\sqrt{t})$ 的积分过程。
第3步： 调整系数：因为 $\mathrm{d}(\sqrt{t})=\frac{1}{2\sqrt{t}} \mathrm{d}t$，所以反解出 $\mathrm{d}t=2\sqrt{t} \mathrm{d}(\sqrt{t})$。
第4步： 整体代入原式约分： $\displaystyle \int \frac{\cos\sqrt{t}}{\sqrt{t}} \cdot 2\sqrt{t} \mathrm{d}(\sqrt{t})=2 \int \cos\sqrt{t} \mathrm{d}(\sqrt{t})$。
结果： 整体执行余弦积分运算： $\displaystyle \int \frac{\cos\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t=2\sin\sqrt{t}+C$。
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题 10：分子分母同乘构造凑微分条件

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原题
$\displaystyle \int \sec x\,\mathrm{d}x$
原公式： $\displaystyle \int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u=\ln|u|+C$。
第1步： 常规变形遇阻，使用特殊技巧：分子分母同乘 $(\sec x+\tan x)$。
第2步： 原积分化简为： $\displaystyle \int\frac{\sec^2x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\mathrm{d}x$。
第3步： 此时惊奇地发现，分母的导数恰好等于分子。令内层变量 $u=\sec x+\tan x$。
第4步： 对 $u$ 求微分得 $\mathrm{d}u=(\sec x\tan x+\sec^2x)\mathrm{d}x$，原式完美转化为 $\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u$。
结果： $\displaystyle \int \sec x\,\mathrm{d}x=\ln|u|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C$。
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题型三：第二类换元，核心在于根式整体代换

题型知识 + 方法
题型识别： 含有复杂无理根式，且第一类换元代回后无法约尽。
方法切换： 当无法提取内层导数时，采用第二类换元构造新变量 $t$ 进行有理化。
根式代换标准机械五步
1. 设：令 $t = \phi(x)$，通常是令 $t = \text{整个根号}$。
2. 解：反解出原变量 $x = \psi(t)$。
3. 导：两边同时求微分，得出 $\mathrm{d}x = \psi'(t)\mathrm{d}t$。 （极易遗漏）
4. 代：将原式中全部 $x$ 与 $\mathrm{d}x$ 改写，转化为 $t$ 的纯粹有理积分并求解。
5. 回：积分完成后，务必将 $t$ 逆代换回含 $x$ 的表达式。
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题 11：单一根式代换的规范步骤演练

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原题
$\displaystyle \int x\sqrt{2x-3}\,\mathrm{d}x$
操作原则： 遇到独立根号，最稳定策略即为整体代换。
设： 根号整体设元，令 $\displaystyle t=\sqrt{2x-3}$。
解： 消除根号进行反解：得 $\displaystyle t^2=2x-3$，故 $\displaystyle x=\frac{t^2+3}{2}$。
导： 对 $\displaystyle x=\frac{t^2+3}{2}$ 两侧同步微分，得 $\displaystyle \mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t$。
代： 将 $x, \sqrt{2x-3}, \mathrm{d}x$ 无缝替换至原式： $\displaystyle \int \frac{t^2+3}{2} \cdot t \cdot t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\int (t^4+3t^2)\,\mathrm{d}t$。
套： 展开积分计算： $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5}t^5 + t^3 \right) + C = \frac{1}{10}t^5+\frac{1}{2}t^3+C$。
回： 实施变量逆向回代，最终得： $\displaystyle \frac{1}{10}(2x-3)^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{2}(2x-3)^{\frac{3}{2}}+C$。
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题 12：异次根式的公倍根代换消除无理项

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原题
$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$
操作原则： 存在不同次根号时，寻找根指数的最小公倍数予以消除。
设： 根式包含二次与三次，取公倍根，令 $\displaystyle t=\sqrt[6]{x}$。
解与导： 得 $\displaystyle x=t^6$，分别推导 $\sqrt{x}=t^3, \sqrt[3]{x}=t^2$，并求得微分 $\mathrm{d}x=6t^5\,\mathrm{d}t$。
代入式子： $\displaystyle \int \frac{6t^5}{t^3+t^2}\,\mathrm{d}t = 6 \int \frac{t^3}{t+1}\,\mathrm{d}t$。
多项式长除化简： 拆解假分式， $\displaystyle 6 \int \left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right)\,\mathrm{d}t$。
积分计算： $\displaystyle 6\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-\ln|t+1|\right)+C = 2t^3-3t^2+6t-6\ln|t+1|+C$。
回代变量： 将 $t=\sqrt[6]{x}$ 及其相应幂次带回原式，得： $\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\ln|\sqrt[6]{x}+1|+C$。
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题 13：分式根号的整体代换与反解技巧

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原题
$\displaystyle \int \frac{1}{x^2}\sqrt{\frac{1+x}{x}}\,\mathrm{d}x$
操作原则： 对于分式内包根号的情况，整体有理化仍是最优解。
设： 强设整体 $\displaystyle t=\sqrt{\frac{1+x}{x}}$。
解： 两侧平方处理： $\displaystyle t^2=1+\frac{1}{x} \implies \frac{1}{x} = t^2-1 \implies x=\frac{1}{t^2-1}$。
整理核心因子： 此时容易发现 $\displaystyle \frac{1}{x^2}=(t^2-1)^2$。
导： 对 $\displaystyle x=\frac{1}{t^2-1}$ 求导得到微分式： $\displaystyle \mathrm{d}x = -\frac{2t}{(t^2-1)^2}\,\mathrm{d}t$。
全方位代入： $\displaystyle \int (t^2-1)^2\cdot t \cdot \left(-\frac{2t}{(t^2-1)^2}\right)\,\mathrm{d}t = -2\int t^2\,\mathrm{d}t$。
极简积分与回代： 结果为 $-\frac{2}{3}t^3+C$。 最终解得：$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{\frac{3}{2}}+C$。
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第二类换元进阶：二次根式的三角代换策略

过渡提醒
对于包含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 的无理函数，常规代数代换难以凑效，必须借用三角代换。其本质是以三角恒等式中的平方关系突破根号。代换口诀为：减正、加切、去割。
三种标准匹配模型
$\sqrt{a^2-x^2}$ 匹配模型设 $x=a\sin t$；
$\sqrt{a^2+x^2}$ 匹配模型设 $x=a\tan t$；
$\sqrt{x^2-a^2}$ 匹配模型设 $x=a\sec t$。
实施代换后，将化为单纯的三角函数积分。
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题 14：正弦代换消除二次根号

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原题
$\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x\ (a>0)$
操作原则： 遇到平方差根式且常数在前，优先考虑正弦代换。
设与导： 令 $x=a\sin t$，随即求导得 $\mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t$。
化简根式： 将代换代入根号下： $\displaystyle \sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2(1-\sin^2 t)} = a\cos t$。
代入原式计算： $\displaystyle \int a\cos t \cdot a\cos t\,\mathrm{d}t = a^2\int\cos^2 t\,\mathrm{d}t$。
降幂积分： 应用倍角公式降次， $\displaystyle \frac{a^2}{2}\int(1+\cos2t)\mathrm{d}t = \frac{a^2}{2}(t+\frac{1}{2}\sin 2t)+C = \frac{a^2}{2}(t+\sin t\cos t)+C$。
逆向推导回代： 因为 $x=a\sin t$，故 $t=\arcsin\frac{x}{a}$。
再根据直角三角形关系推导：$\sin t\cos t=\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$。
结果： $\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$。
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题 15：灵活选择，能常规换元不必拘泥于三角

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原题
$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x-1}}$
操作原则： 尽管该题属于二次型变体（可设 $x=\sec^2 t$），但常规根式代换在此处往往更具经济性。
设： 选择整体根号作为突破口，令 $t=\sqrt{x-1}$。
解： 还原 $x$ 表达式：得 $x=t^2+1$。
导： 实施双侧微分操作：$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$。
代入整合： $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x-1}} = \int\frac{2t}{(t^2+1)t}\mathrm{d}t$。
深度化简： $t$ 变量被完美消减， $\displaystyle = 2\int\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t = 2\arctan t+C$。
结果： 执行回代，最终解为 $\displaystyle 2\arctan\sqrt{x-1}+C$。
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题型四：分部积分法，核心在于合理分配 $u$ 与 $\mathrm{d}v$

题型知识 + 方法
适用场景： 两类毫无关联的函数相乘，如 $x^2 \ln x$。此时常规换元法完全失效。
核心法则： $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$，课堂口诀为“凑入微分定前后，前后相乘减互换”。
挑选优先序：反对幂指三
此准则用于界定 $u$（优先求导项，因其更难积分）与 $\mathrm{d}v$（优先积分项）。
• 位于前列的函数类别（反三角、对数），因其求导后通常形式大幅简化，优先选作 $u$；
• 位于后列的类别（指数、三角），积分后形式稳定，优先选入 $\mathrm{d}v$ 构造结构。
硬标准判据：执行分部变换后产生的新积分形式，必须在计算复杂度上弱于或等于原积分。
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题 16：多项式与三角函数结合的连续分部

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原题
$\displaystyle \int x^2\sin x\,\mathrm{d}x$
策略选择： 多项式居于“幂”，三角函数居于“三”。依“反对幂指三”，取多项式为 $u$。
第1步：执行第一次分部凑入微分 由于 $\sin x\mathrm{d}x = \mathrm{d}(-\cos x)$，故将原式化为： $\displaystyle \int x^2 \mathrm{d}(-\cos x)$。
第2步：应用分部公式展开 $\displaystyle -x^2\cos x - \int (-\cos x) \mathrm{d}(x^2) = -x^2\cos x + \int \cos x \cdot 2x \mathrm{d}x$。
第3步：整理新积分式 此时产生新积分 $\int 2x\cos x\mathrm{d}x$。多项式降次一次，证明方向正确，需执行第二次分部。
第4步：执行第二次分部凑入 对新积分凑微分 $\cos x\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\sin x)$： $\displaystyle \int 2x\cos x\mathrm{d}x = \int 2x\mathrm{d}(\sin x)$。
第5步：完成二次展开 $\displaystyle 2x\sin x - \int 2\sin x\mathrm{d}x = 2x\sin x - (-2\cos x) = 2x\sin x + 2\cos x$。
结果： 拼接各项得出最终结论： $\displaystyle \int x^2\sin x\,\mathrm{d}x = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$。
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题 17：对数为主体的分部积分处理

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原题
$\displaystyle \int x^2\ln x\,\mathrm{d}x$
策略选择： 对数居首，必须坚决锁定 $\ln x$ 为被求导部分 $u$，将 $x^2$ 压入积分。
第1步：凑入积分结构 因 $x^2\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(\frac{x^3}{3}\right)$，原积分直接变形为： $\displaystyle \int \ln x \mathrm{d}\left(\frac{x^3}{3}\right)$。
第2步：套用公式展开运算 $\displaystyle \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3} \mathrm{d}(\ln x)$。
第3步：消除新微分因子 将对数微分显化：$\mathrm{d}(\ln x) = \frac{1}{x}\mathrm{d}x$。 代入得：$\displaystyle \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x$。
第4步：收尾阶段的代数积分 化简剩余项： $\displaystyle -\frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x = -\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{9}$。
结果： 整合得出终局答案： $\displaystyle \int x^2\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C = \frac{x^3}{3}\left(\ln x - \frac{1}{3}\right) + C$。
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题 18：反三角函数的降维打击

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原题
$\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm{d}x$
策略选择： 对于孤立的反三角或对数函数，将其视同与常数 $1$ 的乘积模型。锁定反三角函数做求导降解。
第1步：构造标准形式 提取隐含的单位因子，确立原式等价于 $\int \arcsin x \mathrm{d}(x)$。
第2步：全量展开公式 $\displaystyle x\arcsin x - \int x \mathrm{d}(\arcsin x)$。
第3步：化出显式导数 反正弦求导后脱去函数外壳： $\displaystyle x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x$。
第4步：复合第一类换元 对后项实施独立狙击：注意到 $x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(1-x^2)$， 因此 $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}(1-x^2) = -\sqrt{1-x^2}$。
结果： 合拢两个核心部分并补足常数： $\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$。
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题 19：指数与三角融合的代数同构循环

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原题
$\displaystyle \int e^x\cos x\,\mathrm{d}x$
操作预判： 指数与三角函数的互导性质决定了此类积分会在两次分部后重构回原形。
第1步：首次战术分解 令整体积分为 $I$。执行首次分部，以 $e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(e^x)$ 为支点： $\displaystyle I = \int \cos x \mathrm{d}(e^x) = e^x\cos x - \int e^x \mathrm{d}(\cos x)$。
第2步：推进首次衍生积分 $\displaystyle = e^x\cos x + \int e^x\sin x \mathrm{d}x$。此时诞生新结构 $\int e^x\sin x\mathrm{d}x$。
第3步：启动第二次打击 针对新结构保持同一套拆解模式： $\displaystyle \int e^x\sin x \mathrm{d}x = \int \sin x \mathrm{d}(e^x) = e^x\sin x - \int e^x \mathrm{d}(\sin x)$。
第4步：逼出原形 $\displaystyle = e^x\sin x - \int e^x\cos x \mathrm{d}x = e^x\sin x - I$。循环态形成。
第5步：重整代数方程 回代整个等式构件建立关联： $\displaystyle I = e^x\cos x + e^x\sin x - I$。
结果： 移项合并最终解开谜底： $\displaystyle 2I = e^x(\cos x + \sin x) \implies I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$。
P(x) Q(x) sin x sqrt x
附加专题模块

几种特殊类型函数的积分

针对常规运算难以突破的壁垒结构，归结为三大专用战术：有理分式、三角有理式、核心无理函数。
代数部分分式拆分 降阶与积化和差变形 根号彻底根除法
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专题总纲：锚定结构，专器专用

专题导入
面对特殊多项式构成，需执行极具方向性的降解目标：有理函数务必裂解为部分分式，三角问题优先恒等降次，无理式首要任务是消除所有根号包裹。
结构特征扫描 核心作战指令 主要武器库 战略终态预定
$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$，双侧多项式 长除截假分，因解裂真分 多项式长除法、待定系数方程法 拆分为对数项、幂函数项之和
含 $\sin x,\cos x$ 交织组合 摒除万能迷信，首推三角恒等 平方公式替换、倍角降次转换 回归多项式直接积分或首阶换元
混合根号及复合被除式 根除所有分数次幂的残存 最小公倍根整体置换、有理化平移 过渡向有理函数基础解域

战术铁律

不看表象看结构，不抢公式抢变形。切不可在未做预处理时代入任何高级方法。

动作完备性

一旦启动换元逻辑，新导数的衍生变换（如 $\mathrm{d}x$ 变为 $\mathrm{d}t$）绝不可脱节。

逆向回算考核

最终积分成果必须承受得起一次彻底的导数逆查验算。

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特攻一区：有理函数的降维裂项

有理函数

概念壁垒及分类法则

  • 以 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 显式存在的代数体 ($P,Q$ 均属多项式) 即本区目标。
  • 分子维度跨越或等同分母即为假分式；严格劣于分母则称真分式。
  • 强行降解序流：首道门槛必为多项式长除，强压为整式附真分式后再实施部分分式裂解。

部分分式的微观拆解模板

$\displaystyle \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}$
适用于锁定一次因子的累乘态 $(x-a)^k$。
$\displaystyle \frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots+\frac{B_mx+C_m}{(x^2+px+q)^m}$
用于不可穿透的二次不可约项体系。

战术规避 1

拒绝贸然长除，先行公因式互约，保证阵地清晰。

战术规避 2

警惕盲目裂项，先查验分母导数是否直接呼应分子以凑微分直取。

闭环定论

有理函数的战场必能被基础初等函数彻底收复平息。

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战场演练：有理函数的彻底分尸与重组

有理函数

特训 A：标准二次分解裂项

$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-x-2}$

锁定分母核心：$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$。

建立待定系数预制件：$\frac{1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$。
推算系数得 $A=\frac{1}{3}, B=-\frac{1}{3}$。

$\displaystyle \frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}x}{x-2}-\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}x}{x+1}=\frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right|+C$

特训 B：高阶分子附加项处理

$\displaystyle \int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \,\mathrm{d}x$

分母裂为 $(x-2)(x-3)$。

设立模型 $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$，比较分子恒等式得 $A=-5, B=6$。

$\displaystyle \int\left(-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}\right)\mathrm{d}x = -5\ln|x-2|+6\ln|x-3|+C$

特训 C：含不可约二次型的深层破壁

$\displaystyle \int \frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)} \,\mathrm{d}x$

搭建全序列分拆台式：$\frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。
通过极限及系数法剥出 $A=1, B=0, C=2$。

$\displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x + \int \frac{2}{x^2+1} \mathrm{d}x = \ln|x| + 2\arctan x + C$

行动总诀要

不要沉溺于死算。每一步均要自问：是否可约分？是否为假分式？是否构成上下求导直通对数的隐秘通道？明确后方可动手。

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特攻二区：三角函数有理式的化归破局

三角有理式

形态鉴别及应对中枢

此区敌人由单一或多元的 $\sin x, \cos x$ 经多次加减乘除堆叠而成。

  • 切勿盲目信奉万能公式，首要在其本身幂次中找寻破绽。若见奇数次幂留守，迅速将其拆解作导数核心（如拆解 $\sin^3 x \to \sin^2 x \cdot \sin x$）。
  • 若全军覆没只剩纯偶次幂，利用半角及倍角公式实施层层降阶。
  • 唯当代数转换完全锁死时，方可请出终极备选项。

非首选最终兵器：万能置换

$t=\tan\frac{x}{2}$
$\displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$
它将复杂的超越形态一网打尽转为单纯有理式，但随之而来的是繁重的代数计算成本。

极密应用警示

“万能”保障的是可解上限，而非效率下限。考试与运算的核心是速度与安全，必须培养对恒等式变化的敏锐嗅觉。

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战场演练：三角体系下的奇幂剥离与乘积解构

三角有理式

特训 D：单体高阶奇幂剥丝抽茧

$\displaystyle \int \sin^3 x \,\mathrm{d}x$

坚决分离单一幂次构筑防线：$\sin^3 x = \sin x(1-\cos^2 x)$。

转入换元轨道：令 $u=\cos x$，衍生出 $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$。

$\displaystyle -\int (1-u^2)\mathrm{d}u = -u+\frac{u^3}{3}+C = -\cos x+\frac{1}{3}\cos^3 x+C$

特训 E：交织重重下的积化和差

$\displaystyle \int \sin 2x\cos 3x \,\mathrm{d}x$

拒绝强行换元，祭出积化和差利器完成裂变：

$\sin 2x\cos 3x = \frac{1}{2}[\sin(5x)+\sin(-x)] = \frac{1}{2}(\sin 5x-\sin x)$。

$\displaystyle \frac{1}{2}\int(\sin 5x-\sin x)\mathrm{d}x = -\frac{1}{10}\cos 5x+\frac{1}{2}\cos x+C$
破解原则 A：奇幂定海针
如同 $\int \sin^2 x\cos^3 x \mathrm{d}x$，将 $\cos^3 x$ 破拆为 $(1-\sin^2 x)\cos x$，从而锁定 $\mathrm{d}(\sin x)$。
破解原则 B：偶次全面降维
遇到 $\sin^2 x$ 与 $\cos^2 x$，第一时间联动二倍角降阶，决不拖泥带水。
防守后侧翼
唯有以上变型手段均触礁时，方允许动用 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 进行最终防线反击。
回环置位点
任何非 $x$ 变量的衍生积分结果，都要丝毫不差地复盘回到 $x$ 空间内。
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特攻三区：简单无理函数的无情根除法

简单无理函数
毒瘤特征透视 定点清除手段 底层拔除逻辑
游荡着 $\sqrt[n]{ax+b}$ 等同源组合体 重拳出击令 $ax+b=t^n$ 借由高次幂反向碾碎根式屏障，转入常规打击。
多阶异构同时并存 (如 $\sqrt[2]{x}, \sqrt[3]{x}$) 寻求统御指令 $x=t^{\mathrm{lcm}(2,3)}$ 利用最小公倍数实现全军覆没式彻底消根。
根号隐匿于分母暗处 发动作战前奏：分母有理化 逼迫其浮出水面，大幅优化积分整体推进的复杂度。

核心拔除宗旨

一切战术行动均服务于同一个标的：将携带根式的棘手难题拖入到多项式或有理分式的主场予以歼灭。

强袭代换示范

面对混合驻扎的 $\sqrt{x}$ 与 $\sqrt[3]{x}$，不可分兵，必须指派 $x=t^6$ 这支重兵一口气踏平双层壁垒。

致命性疏忽

千万不可在替换了根号主体后，竟忘却同步连根拔起那小小的 $\mathrm{d}x$ 衍生式，变量的残留是不可饶恕的败笔。

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战场演练：无理根式的绝对肃清战

简单无理函数

特训 F：分母单体根除作战

$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+2x}}$

锁定根号核心，令 $t=\sqrt{1+2x}$，得 $1+2x=t^2$。

反向推演微分解脱：$x=\frac{t^2-1}{2}$，即 $\mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t$。

$\displaystyle \int \frac{t\,\mathrm{d}t}{t} = \int \mathrm{d}t = t+C = \sqrt{1+2x}+C$

特训 G：外挂附着型的深度清扫

$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}$

同样强势接管根号：令 $t=\sqrt{x}$，倒推 $x=t^2$，连带出 $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$。

$\displaystyle \int \frac{2t}{t(1+t^2)}\,\mathrm{d}t = 2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = 2\arctan t+C$
$=2\arctan\sqrt{x}+C$

实战思想结晶

应对此类难啃的骨头，核心不在翻阅长篇的积分词典，而在审时度势选择最干脆的去根利器：单设整体、求取最小公倍、先行执行有理化拔除分母之根。

特殊专题模块总结

三种顽固堡垒结构，匹配三道极其清晰的粉碎准则。

有理函数清剿规程

首要确保公因剥离约分无误 $\to$ 针对假分式大刀阔斧执行多项式长除 $\to$ 面对孤立真分式，利用待定系数实施极其细腻的部分分式切割。

三角结构重组铁则

视恒等变幻为王道，剥除奇次做内应微分是首选；万能置换虽号称大杀器，但唯有无路可走时才可揭开它的封印。

无理项抹除决意

唯一信仰：将一切阻碍视线的根号外壳彻底斩除；无论是拔起整体代换，还是祭出最小公倍数大阵，一切动作必须服务于消灭根号本身。

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终局收网：不定积分全覆盖打击决策树

行动起点：遭遇未知的不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$
第一重阵线筛选（基础变形检视）：
能够利用基础代数加减展开、分项拆解抑或三角恒等转换直接并入基准积分表内？ $\implies$ 直接斩落（直接积分法）
第二重阵线筛选（核心凑微分追踪）：
结构深处是否隐藏显眼内层特征？强行拼配内层衍生微分式后，能否使外源 $x$ 变量灰飞烟灭？ $\implies$ 精准穿透（第一类换元法）
第三重分流判定（顽固根式与不兼容交织）：
• 残存极度棘手无法自动消解的复杂无理根系堡垒？ $\implies$ 硬核替换（第二类换元法：强令整体根式换元 或 三角换位）
• 展现出两道全然陌路、非亲非故的函数（如对数遭遇多项式、三角碰撞指数）死死缠斗？ $\implies$ 借势化力（分部积分法：反对幂指三定夺序列）
第四重特攻分流（高难特殊模块）：
• 盘踞着标准有理分式形态 $\implies$ 严打假分除法、手撕真分式作部分切割
• 密密麻麻的纯正三角堆叠有理式 $\implies$ 首推降阶与奇次凑分、后置保底方上万能置换
• 充斥着错乱异次或单纯无理根刺 $\implies$ 发动公倍重拳一举去根、先头打通分母有理化道路
⚠️ 最高死线戒律：无论战场如何曲折，积分终章之果必须承受逆向求导严酷考验且还原至最初标的，另不可遗漏那关乎存亡的任意常数 $+C$。
🏆
不定积分宏大征程胜利收官
我们已彻底熔铸自“基础直破”趋至“深度换元分部”、直至平息“极端特殊形态”全覆盖核心知识打击图谱与无缝决策回路。
望诸君将此番心法付诸日复一日的残酷历练，铸就见微知著、一击必杀之计算本能。
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