高等应用数学 · 第2章极限与连续

第一节极限

函数极限的概念和思想是整个高等数学的灵魂。随后我们要学习的导数、积分、级数等概念的建立，都是以极限思想为出发点的，没有极限就没有整个微积分。

| 一、自变量的变化趋势

自变量的变化趋势也称自变量的变化过程，有以下几种。为了叙述方便，我们先给出关于自变量变化趋势的有关记号（表 2－1）：

表 2－1 自变量变化趋势的记号表示

记号	含义
$x \to \infty$	$x$ 的绝对值无限增大
$x \to + \infty$	$x$ 取正值无限增大
$x \to - \infty$	$x$ 取负值而绝对值无限增大
$x \to x_{0}$	$x$ 可以无限趋近于 $x_{0}$
$x \to x_{0}^{+}$	$x$ 从 $x_{0}$ 的右侧无限趋近于 $x_{0}$
$x \to x_{0}^{-}$	$x$ 从 $x_{0}$ 的左侧无限趋近于 $x_{0}$

| 二、

x \to \infty

时，函数

f (x)

的极限

实例 1 自然保护区中动物数量的变化规律

在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其群体数量会逐渐增长，但随着时间

t

的推移，由于自然保护区内各种资源的限制，这一动物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和状态，如图 2－1 所示。饱和状态就是时间

t \to \infty

时野生动物群的数量。

图 2－1 自然保护区野生动物群体数量变化

实例 2 熟练工的工时数

生产同一产品熟练工所需的工时数比新手要少。因为当你不断重复地做同一种工作时，你的操作方法会不断得到改善，操作时间也在逐渐地减少并接近于一个确定的时间。

图 2－1b 熟练工效率曲线

这两个问题有一个共同的特征：当自变量逐渐增大时，相应的函数值接近于某一常数。

定义 2－1

如果当

x

的绝对值无限增大（即

x \to \infty

）时，函数

f (x)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (x)

在

x \to \infty

时的极限，记为

\lim_{x \to \infty} f (x) = A

实例 3 并联电路电阻

一个

5 Ω

的电阻器与一个电阻为

R

的可变电阻并联，电路的总电阻为

R_{T} = \frac{5 R}{5 + R}

。当含有可变电阻

R

这条支路突然断路时，电路的总电阻为

R \to + \infty

时电路的总电阻的极限，即为

\frac{\lim_{R \to + \infty} 5 R}{5 + R} = 5

通过图 2－2 也可观察出

\frac{\lim_{R \to + \infty} 5 R}{5 + R} = 5

图 2－2

y = \frac{5 R}{5 + R}

函数图形

例 1

考察反正切函数

y = \arctan x

在

x \to \infty

时的极限情况。

解由图 2－3 可观察到，

\lim_{x \to + \infty} \arctan x = \frac{π}{2}

，

\lim_{x \to - \infty} \arctan x = - \frac{π}{2}

，而当

x \to \infty

时，

y = \arctan x

不能无限接近一个确定的常数，所以当

x \to \infty

时，

y = \arctan x

的极限不存在。

图 2－3 反正切函数图形

定义 2－2

如果当

x \to + \infty

时，函数

f (x)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (x)

在

x \to + \infty

时的极限，记为

\lim_{x \to + \infty} f (x) = A

如果当

x \to - \infty

时，函数

f (x)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (x)

在

x \to - \infty

时的极限，记为

\lim_{x \to - \infty} f (x) = A

定理 2－1 极限存在的充要条件

极限存在的充要条件

\lim_{x \to \infty} f (x) = A \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} f (x) = A

例 2

求

\lim_{x \to \infty} e^{x}

的极限。

解由于

\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty

，

\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

，前者极限不存在，所以

\lim_{x \to \infty} e^{x}

的极限不存在。

注意

\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty

的极限不存在，但是其函数值无限地接近正无穷，所以用正无穷大来标记而已，并不是认为其极限存在。

| 三、

x \to x_{0}

时，函数

f (x)

的极限

实例 4 人影长度

若一个人沿直线走向目标，路灯的正下方那一点，如图 2－4 所示。由常识知道，此人越靠近目标时，其影子长度越短，当人越来越接近目标（

x \to 0

）时，其影子的长度逐渐趋于

0

（

y \to 0

）。

这一实例是当自变量无限接近某一点（

x \to 0

）时，相应的函数也无限接近某一确定的值（

y \to 0

）。

图 2－4 人影长度示意图

定义 2－3

如果当

x \to x_{0}

时，函数

f (x)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (x)

在

x \to x_{0}

时的极限，记为

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

为了正确理解函数极限的概念，下面就函数极限

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

说明两点：

（1）

x \to x_{0}

的趋近方式是任意的，即

x \to x_{0}

既可能从

x_{0}

的左侧趋近于

x_{0}

，也可能从

x_{0}

的右侧趋近于

x_{0}

，而相应的函数值都应无限接近于

A

。

（2）

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

与函数

f (x)

在

x_{0}

处是否有定义无关。因为并不是在求函数值，只是判断

f (x)

的变化趋势。

实例 5 瞬时速度

当物体做自由落体运动时，该物体所经过的路程

s

和时间

t

的函数关系为

s = \frac{1}{2} g t^{2}

，求下落过程中时刻

t_{0}

的瞬时速度

v (t_{0})

。

解取

t_{0}

附近任意时刻

t

，考虑

t

至

t_{0}

的时间间隔内的平均速度

\overset{´}{v} = \frac{s (t) - s (t_{0})}{t - t_{0}} = \frac{1}{2} g \frac{t^{2} - t_{0}^{2}}{t - t_{0}} = \frac{1}{2} g (t + t_{0}) (t \neq t_{0})

这里，

\overset{´}{v}

随

t

而变，当

t

越来越接近于

t_{0}

时，平均速度

\overset{´}{v}

近似地描述了物体在

t_{0}

时刻运动的快慢。而物体在

t_{0}

时刻的瞬时速度就是平均速度的

\overset{´}{v}

极限，即

v (t_{0}) = \lim_{t \to t_{0}} \overset{´}{v} = \frac{\lim_{t \to t_{0}} s (t) - s (t_{0})}{t - t_{0}} = \frac{\lim_{t \to t_{0}} 1}{2} g \frac{t^{2} - t_{0}^{2}}{t - t_{0}} = g t_{0}

定义 2－4

如果当

x \to x_{0}^{+}

时，函数

f (x)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (x)

在

x \to x_{0}^{+}

时的右极限，记为

\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A

如果当

x \to x_{0}^{-}

时，函数

f (x)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (x)

在

x \to x_{0}^{-}

时的左极限，记为

\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A

定理 2－2 极限存在的充要条件

极限存在的充要条件

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A

例 3

设

f (x) = {\begin{matrix} x + 1, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x, & x \geq 1 \end{matrix}

，观察图 2－5，判断

\lim_{x \to 0} f (x)

，

\lim_{x \to 1} f (x)

是否存在？

解先讨论

\lim_{x \to 0} f (x)

，由图 2－5 可知，

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0

，

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 1) = 1

。

因为

f (x)

在

x = 0

处得左右极限值不相等，所以

\lim_{x \to 0} f (x)

不存在。

再同理讨论

\lim_{x \to 1} f (x)

，因为

\lim_{x \to 1} f (x)

的左右极限相等，所以

\lim_{x \to 1} f (x)

存在。

图 2－5 分段函数图形

| 四、

n \to \infty

时，函数

f (n)

的极限

数列可以看作是以项数

n

为自变量的函数，记为

f (n)

。其自变量

n

的变化趋势只有一种，类似于一般函数中的

x \to + \infty

，习惯上用

n \to \infty

表示。因此，数列的极限类似于

x \to + \infty

时函数的极限。

定义 2－5

如果当

n \to \infty

时，函数

f (n)

无限接近于一个确定的常数

A

，那么称

A

为函数

f (n)

在

n \to \infty

时的极限，记为

\lim_{n \to \infty} f (n) = A

| 习题 2－1

习题 2－1

1. 判断题。

（1）若

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

，则

f (x_{0}) = A

。（）

（2）若

f (x_{0}^{+})

与

f (x_{0}^{-})

都存在，则

\lim_{x \to x_{0}} f (x)

必存在。（）

（3）

\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{π}{2}

。（）

（4）

\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

。（）

2. 填空题。

（1）

\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) =

______。

（2）

\frac{\lim_{n \to \infty} \sin \frac{nπ}{2}}{n} =

______。

（3）

\lim_{x \to 1} (2 x - 1) =

______。

（4）

\frac{\lim_{x \to \infty} 1}{1 + x^{2}} =

______。

（5）

\lim_{x \to 0} \cos x =

______，

\lim_{x \to \infty} \cos x =

______。

（6）设

f (x) = {\begin{matrix} e^{x}, & x \leq 0 \\ ax + b, & x > 0 \end{matrix}

，则

f (0^{+}) =

______，

f (0^{-}) =

______，当

b =

______ 时，

\lim_{x \to 0} f (x) = 1

。

（7）

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

的充分必要条件是当

x \to x_{0}

时，

f (x) - A

为 ______。

（8）

\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} =

______，

\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} =

______。

3. 设

f (x) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}

，回答下列问题。

（1）函数

f (x)

在

x = 0

处的左、右极限是否存在？

（2）函数

f (x)

在

x = 0

处是否有极限？为什么？

（3）函数

f (x)

在

x = 1

处是否有极限？为什么？

习题 2－1 详细解析

1. 判断题解析

（1）×（错误）。

理由：极限

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

是描述

x

趋近于

x_{0}

时

f (x)

的变化趋势，与

f (x)

在

x_{0}

处的函数值无关。

f (x_{0})

可以不存在，也可以存在但不等于

A

。例如

f (x) = {\begin{matrix} 1, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{matrix}

，

\lim_{x \to 0} f (x) = 1 \neq f (0) = 0

。

（2）×（错误）。

理由：

f (x_{0}^{+})

和

f (x_{0}^{-})

存在只是说函数在

x_{0}

两侧有定义并有函数值，但极限是否存在取决于左、右极限是否相等。例如符号函数

sgn (x)

在

x = 0

处，

f (0^{+}) = 1

，

f (0^{-}) = - 1

都存在，但左极限

= - 1 \neq

右极限

= 1

，极限不存在。此外，题目所述的

f (x_{0}^{+})

和

f (x_{0}^{-})

是函数值而非极限值，两者不可混淆。

（3）×（错误）。

理由：由例 1 知，

\lim_{x \to + \infty} \arctan x = \frac{π}{2}

，

\lim_{x \to - \infty} \arctan x = - \frac{π}{2}

。左右极限不等，所以

\lim_{x \to \infty} \arctan x

不存在。题目写的是

x \to \infty

（双侧），结论错误。

（4）✓（正确）。

理由：当

x \to - \infty

时，

e^{x} \to e^{- \infty} = 0

。指数函数

e^{x}

在负无穷方向单调递减趋于

0

。

2. 填空题解析

（1）答案：

0

。

有理化：

\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

。当

n \to \infty

时，分母

\to \infty

，故极限为

0

。

（2）答案：

0

。

因为

| \sin \frac{nπ}{2} | \leq 1

（有界），而

\frac{1}{n} \to 0

（无穷小），有界量乘以无穷小仍为无穷小，故极限为

0

。

（3）答案：

1

。

直接代入：

\lim_{x \to 1} (2 x - 1) = 2 \times 1 - 1 = 1

。

（4）答案：

0

。

当

x \to \infty

时，

x^{2} \to \infty

，

1 + x^{2} \to \infty

，故

\frac{1}{1 + x^{2}} \to 0

。

（5）答案：

1

；不存在。

余弦函数在

x = 0

处连续，故

\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1

。当

x \to \infty

时，

\cos x

在

- 1

和

1

之间无限振荡，不趋近任何确定的值，极限不存在。

（6）答案：

f (0^{+}) = b

，

f (0^{-}) = 1

，

b = 1

。

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} e^{x} = e^{0} = 1

，故

f (0^{-}) = 1

。

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (ax + b) = b

，故

f (0^{+}) = b

。要使

\lim_{x \to 0} f (x) = 1

，需左右极限相等，即

b = 1

。（

a

为任意值）

（7）答案：无穷小。

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

等价于

\lim_{x \to x_{0}} [f (x) - A] = 0

，即

f (x) - A

为

x \to x_{0}

时的无穷小。

（8）答案：

0

；

1

。

当

x \to 0

时：

| \sin \frac{1}{x} | \leq 1

（有界），

x \to 0

（无穷小），故

\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

。

当

x \to \infty

时：令

t = \frac{1}{x}

，

t \to 0

，

\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \frac{\lim_{t \to 0} \sin t}{t} = 1

。

3. 综合题解析

注意

f (x) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = \frac{| x |}{x} = {\begin{matrix} 1, & x > 0 \\ - 1, & x < 0 \end{matrix}

（

x = 0

无定义）。

（1）

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1

（存在），

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1

（存在）。

（2）左极限

= - 1 \neq 1 =

右极限，故

\lim_{x \to 0} f (x)

不存在。

（3）当

x \to 1

时，

x > 0

，

f (x) = 1

，故

\lim_{x \to 1} f (x) = 1

，极限存在。

第一节题型总结

题型一：判断极限是否存在（左右极限法）

方法：分别求左极限和右极限，若相等则极限存在，否则不存在。适用于分段函数、含绝对值函数等在分界点处的极限判断。

题型二：利用有界量×无穷小=无穷小求极限

当出现

\sin

、

\cos

等有界函数与趋于0的因子相乘时，直接用此性质得出极限为0。如

\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

。

题型三：直接代入法

对于多项式、有理函数等在连续点处的极限，可直接将极限值代入计算。如

\lim_{x \to 1} (2 x - 1) = 1

。

第二节无穷小量与无穷大量

| 一、无穷小量与无穷大量

1. 无穷小量

实例 1 洗涤效果

在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少。当洗涤次数无限增大时，衣物上的污渍趋于零。

实例 2 单摆运动

单摆离开铅直位置的偏度可以用角来度量，如图 2－6 所示。这个角可规定当偏到一方（如右方）时为正，而偏到另一方（如左方）为负。如果让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和空气阻力，振幅就不断地减小。在这个过程中，角

θ

是一个不断减少的量。

图 2－6 单摆运动示意图

在对许多事物进行研究时，常遇到事物数量的变化趋势为零。为此，给出如下的定义。

定义 2－6

如果当

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时，函数

f (x)

的极限为

0

，那么称函数

f (x)

为

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）的无穷小量，简称无穷小。

注意

（1）无穷小与自变量的变化趋势密切相关，如函数

f (x) = \frac{1}{x}

，当时

x \to \infty

为无穷小，而当

x \to 1

就不是无穷小，所以，说一个函数是无穷小必须指明自变量的变化趋势。

（2）无穷小不是一个'很小的数'，而是一个以零为极限的函数。但若

f (x)

恒等于零，则它的极限也是零，即数

0

是无穷小中唯一的常数函数。

2. 无穷小的性质

性质 1

有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。

性质 2

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。

3. 无穷小的比较

定义 2－7

设在同一变化过程中，

f (x)

与

g (x)

都是无穷小。

若

\frac{\lim f (x)}{g (x)} = 0

，则称

f (x)

是比

g (x)

高阶的无穷小，也称

g (x)

是比

f (x)

低阶的无穷小。

若

\frac{\lim f (x)}{g (x)} = C

（

C \neq 0

），则称

f (x)

是与

g (x)

同阶的无穷小，特别地，若

C = 1

，则称

f (x)

是与

g (x)

等价的无穷小。

表 2－2 无穷小阶数比较

名称	定义式（ $\frac{\lim β}{α}$ ）	记号
高阶无穷小	$= 0$	$β = o (α)$
低阶无穷小	$= \infty$	—
同阶无穷小	$= C \neq 0$	—
等价无穷小	$= 1$	$β \sim α$

4. 无穷大量

定义 2－8

如果当

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时，函数

f (x)

的绝对值无限增大，那么称函数

f (x)

为

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）的无穷大量，简称无穷大。记作

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

或者

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

。

注意

（1）无穷大与自变量的变化趋势密切相关，如函数

f (x) = \frac{1}{x}

，当时

x \to 0

为无穷大，而当

x \to \infty

却是无穷小，所以，说一个函数是无穷大必须指明自变量的变化趋势。

（2）一个函数当

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时为无穷大，按极限定义，极限是不存在的。用

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

或者

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

来标记而已，并不是认为其极限存在。

5. 无穷大与无穷小的关系

在同一变化过程中，无穷大与无穷小互为倒数关系。

| 习题 2－2

习题 2－2

1. 判断题。

（1）非常小的数是无穷小。（）

（2）零是无穷小。（）

（3）无限变小的变量称为无穷小。（）

（4）无限个无穷小的和还是无穷小。（）

2. 下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

（1）

\frac{1 + x}{x^{2}}

（

x \to \infty

）。（2）

\frac{3 x - 1}{x}

（

x \to 0

）。

（3）

\ln | x |

（

x \to 0

）。（4）

e^{\frac{1}{x}}

（

x \to 0

）。

3. 当

x \to + \infty

时，下列哪个无穷小与无穷小

\frac{1}{x}

是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小

\frac{1}{x}

是等价无穷小？哪个无穷小是比无穷小

\frac{1}{x}

高阶的无穷小？

（1）

\frac{1}{2 x}

。（2）

\frac{1}{x^{2}}

。（3）

\frac{1}{| x |}

。

习题 2－2 详细解析

1. 判断题解析

（1）×（错误）。

理由：无穷小是一个函数（或变量），不是一个'很小的数'。无穷小是极限为零的函数，例如

0.0001

虽然很小但它是常数不是无穷小（除了

0

）。

（2）✓（正确）。

理由：若

f (x) \equiv 0

，则

\lim f (x) = 0

，满足无穷小定义。

0

是唯一的可以作为无穷小的常数。

（3）×（错误）。

理由：无穷小必须是以零为极限的函数，必须指明自变量的变化趋势。只说'无限变小'没有指出变化过程，不够准确。例如

f (x) = \frac{1}{x}

，当

x \to \infty

时是无穷小，但当

x \to 1

时不是。

（4）×（错误）。

理由：性质 1 只适用于'有限个'无穷小。无限个无穷小的和不一定是无穷小。反例：设

α_{n} = \frac{1}{n}

，每个都是

n \to \infty

时的无穷小，但

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} = 1

，不趋于

0

。

2. 无穷小/无穷大判断

（1）

x \to \infty

时

\frac{1 + x}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \to 0

，是无穷小。

（2）

x \to 0

时

\frac{3 x - 1}{x} = 3 - \frac{1}{x}

，而

\frac{1}{x} \to \infty

，故

\frac{3 x - 1}{x} \to \infty

，是无穷大。

（3）

x \to 0

时

\ln | x | \to - \infty

，是无穷大。

（4）需分方向讨论：

x \to 0^{+}

时

\frac{1}{x} \to + \infty

，

e^{1 / x} \to + \infty

，是无穷大；

x \to 0^{-}

时

\frac{1}{x} \to - \infty

，

e^{1 / x} \to 0

，是无穷小。因此

x \to 0

时

e^{1 / x}

既不是无穷大也不是无穷小（左右极限不同类）。

3. 无穷小阶的比较

（1）

\frac{\lim_{x \to + \infty} 1 / (2 x)}{1 / x} = \frac{\lim_{x \to + \infty} x}{2 x} = \frac{1}{2} \neq 0

，

\frac{1}{2} \neq 1

，所以

\frac{1}{2 x}

与

\frac{1}{x}

是同阶无穷小（但不等价）。

（2）

\frac{\lim_{x \to + \infty} 1 / x^{2}}{1 / x} = \frac{\lim_{x \to + \infty} x}{x^{2}} = \frac{\lim_{x \to + \infty} 1}{x} = 0

，所以

\frac{1}{x^{2}}

是比

\frac{1}{x}

高阶的无穷小。

（3）当

x \to + \infty

时

| x | = x

，

\frac{\lim_{x \to + \infty} 1 / | x |}{1 / x} = \frac{\lim_{x \to + \infty} x}{x} = 1

，所以

\frac{1}{| x |}

与

\frac{1}{x}

是等价无穷小。

第二节题型总结

题型一：判断无穷小与无穷大

方法：计算极限值，若为

0

则为无穷小，若为

\infty

则为无穷大。注意必须指明自变量的变化趋势。

题型二：判断无穷小的阶

方法：计算

\frac{\lim f (x)}{g (x)}

，根据结果判定——为

0

则

f

是高阶，为

\infty

则

f

是低阶，为非零常数

C

则同阶，为

1

则等价。

题型三：利用无穷小性质求极限

有界函数×无穷小=无穷小，有限个无穷小的和/积=无穷小。注意'有限个'这一条件不可去掉。

第三节极限的运算与两个重要极限

| 一、四则运算求极限

1. 极限的四则运算公式

若已知

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时，

f (x) \to A

，

g (x) \to B

，则

\lim_{x \to x_{0}} (f (x) \pm g (x)) = A \pm B

\lim_{x \to x_{0}} f (x) \cdot g (x) = A \cdot B

\frac{\lim_{x \to x_{0}} f (x)}{g (x)} = \frac{A}{B} (B \neq 0)

\lim_{x \to x_{0}} k \cdot f (x) = kA (k 为常数)

\lim_{x \to x_{0}} {[f (x)]}^{m} = A^{m} (m 为正整数)

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例 1

求

\frac{\lim_{x \to 1} 3 x^{2} + x + 1}{4 x^{3} + x^{2} - x + 3}

。

解此种类型的题目均采用的是直接代入法。

\frac{\lim_{x \to 1} 3 x^{2} + x + 1}{4 x^{3} + x^{2} - x + 3} = \frac{\lim_{x \to 1} 3 x^{2} + \lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} 1}{\lim_{x \to 1} 4 x^{3} + \lim_{x \to 1} x^{2} - \lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} 3} = \frac{3 + 1 + 1}{4 + 1 - 1 + 3} = \frac{5}{7}

例 2

求

\frac{\lim_{x \to \infty} 3 x^{3} - 4 x^{2} + 2}{7 x^{3} + 5 x^{2} - 3}

。

解此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在。我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，但分子和分母均为无穷大，我们称这种类型的极限问题为

\frac{\infty}{\infty}

型，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。

\frac{\lim_{x \to \infty} 3 x^{3} - 4 x^{2} + 2}{7 x^{3} + 5 x^{2} - 3} = \frac{\lim_{x \to \infty} 3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{3}}}{7 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{3}}} = \frac{3}{7}

注意

通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

例 3

求

\frac{\lim_{x \to 4} x - 4}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{2}}

。

分析分子、分母的极限均为

0

（即

\frac{0}{0}

型），商的法则不能用，这类极限趋于

0

的极限问题，要用数学技巧破坏这样的为

0

因子（消去为零因子法），然后用法则。在这里我们用的分母有理化的方法。

解

\frac{\lim_{x \to 4} x - 4}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{2}} = \frac{\lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x - 2} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x - 2} - \sqrt{2}) (\sqrt{x - 2} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x - 2} + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}

例 4

求

\lim_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1})

。

分析当

x \to 1

时，

\frac{1}{x - 1}

，

\frac{2}{x^{2} - 1}

均为无穷大，差的法则不能用，此类问题归结为

\infty - \infty

型，通常先通分转化为分母趋于

0

的类型，再按照例 3 类型极限问题求解。

解

\lim_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}) = \frac{\lim_{x \to 1} x + 1 - 2}{x^{2} - 1} = \frac{\lim_{x \to 1} x - 1}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{\lim_{x \to 1} 1}{x + 1} = \frac{1}{2}

| 二、两个重要极限求极限

1. 第一个重要极限

\frac{\lim_{x \to 0} \sin x}{x} = 1

注意

由于上式的分子、分母极限均趋于

0

（即

\frac{0}{0}

型），所以商的法则不能用。对此重要极限理解的核心为：变量

x

的趋近方式不受任何限制，即当

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时，只要

\lim f (x) = 0

，则就有下面的式子成立：

\frac{\lim_{x \to x_{0}} \sin f (x)}{f (x)} = 1 或 \frac{\lim_{x \to \infty} \sin f (x)}{f (x)} = 1

例 5

求下列极限。

（1）

\frac{\lim_{x \to 0} \sin 3 x}{x}

。（2）

\frac{\lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}{2 x - 2}

。

（3）

\frac{\lim_{x \to 4} \sin (2 x - 8)}{x^{2} - 16}

。（4）

\frac{\lim_{x \to 0} \tan x}{4 x}

。

分析上述 4 道题目中的

f (x)

分别为：

3 x

，

x - 1

，

2 x - 8

，

x

。均在各自的自变量趋近方式下趋于

0

，满足重要极限思想本质，故只需在分式下方构造同样的

f (x)

即可，则构造好的分式极限总是

\frac{\lim_{x \to x_{0}} \sin f (x)}{f (x)} = 1

。

对于（4）应先正余切化正余弦，这个方法不仅用在求极限问题上。

解

（1）

\frac{\lim_{x \to 0} \sin 3 x}{x} = \frac{\lim_{x \to 0} \sin 3 x}{3 x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3

。

（2）

\frac{\lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}{2 x - 2} = \frac{\lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}{(x - 1)} \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

。

（3）

\frac{\lim_{x \to 4} \sin (2 x - 8)}{x^{2} - 16} = \frac{\lim_{x \to 4} \sin (2 x - 8)}{(2 x - 8) (x + 4)} \cdot 2 = 1 \cdot \frac{\lim_{x \to 4} 1}{x + 4} \cdot 2 = \frac{1}{4}

。

（4）

\frac{\lim_{x \to 0} \tan x}{4 x} = \frac{\lim_{x \to 0} \sin x}{4 x \cos x} = \frac{\lim_{x \to 0} \sin x}{x} \cdot \frac{\lim_{x \to 0} 1}{4 \cos x} = \frac{1}{4}

。

2. 第二个重要极限

\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e

此式的底数趋近于

1

，指数趋近于

\infty

，属于

1^{\infty}

类型。对此重要极限理解的核心为：变量

x

的趋近方式不受任何限制，即当

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时，只要

\lim f (x) = 0

，则就有下面的式子成立：

\lim_{x \to x_{0}} {[1 + f (x)]}^{\frac{1}{f (x)}} = e 或 \lim_{x \to \infty} {[1 + f (x)]}^{\frac{1}{f (x)}} = e

例 6

求下列极限。

（1）

\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x - 2})}^{x}

。（2）

\lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{\frac{1}{x^{2} - 9}}

。

分析上述两道题目底数极限均趋于

1

，指数极限均趋于

\infty

，属于第二种重要极限类型。其中的

f (x)

分别为

\frac{1}{x - 2}

，

x - 3

。

解

（1）

\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x - 2})}^{x} = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x - 2})}^{(x - 2) \cdot \frac{x}{x - 2}} = e^{1} = e

。

（2）

\lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{\frac{1}{x^{2} - 9}} = \lim_{x \to 3} {(1 + x - 3)}^{\frac{1}{(x - 3) (x + 3)}} = e^{\frac{1}{6}}

。

| 三、等价关系求极限

若

f (x)

与

g (x)

为等价无穷小，则在极限计算中，函数的分子或分母中的无穷小因子用与其等价的无穷小来替代，函数的极限值不会改变。

（1）常用的等价关系有：当

x \to 0

时，则有

\sin x \sim x

，

\arcsin x \sim x

，

\tan x \sim x

，

\arctan x \sim x

，

1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}

，

\ln (1 + x) \sim x

，

e^{x} - 1 \sim x

，

\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x

。

（2）类似于重要极限的思想：变量

x

的趋近方式不受任何限制，即就是当

x \to x_{0}

（或

x \to \infty

）时，只要

\lim f (x) = 0

，则有下面的等价关系成立：

\sin f (x) \sim f (x)

，

\arcsin f (x) \sim f (x)

，

\tan f (x) \sim f (x)

，

\arctan f (x) \sim f (x)

，

1 - \cos f (x) \sim \frac{1}{2} f^{2} (x)

，

\ln (1 + f (x)) \sim f (x)

，

e^{f (x)} - 1 \sim f (x)

，

\sqrt[n]{1 + f (x)} - 1 \sim \frac{1}{n} f (x)

。

例 7

求下列极限。

（1）

\frac{\lim_{x \to 0} \tan 5 x}{\sin 3 x}

。（2）

\frac{\lim_{x \to 0} 1 - \cos x}{\ln (1 + 3 x^{2})}

。（3）

\frac{\lim_{x \to 0} \tan x - \sin x}{x^{3}}

。

解根据上面的等价关系

（1）

\frac{\lim_{x \to 0} \tan 5 x}{\sin 3 x} = \frac{\lim_{x \to 0} 5 x}{3 x} = \frac{5}{3}

。

（2）

\frac{\lim_{x \to 0} 1 - \cos x}{\ln (1 + 3 x^{2})} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{3 x^{2}} = \frac{1}{6}

。

（3）错误做法：

\frac{\lim_{x \to 0} \tan x - \sin x}{x^{3}} = \frac{\lim_{x \to 0} x - x}{x^{3}}

，则极限不存在。

正确做法：

\frac{\lim_{x \to 0} \tan x - \sin x}{x^{3}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^{3}} = \frac{\lim_{x \to 0} \sin x (1 - \cos x)}{x^{3} \cos x} = \frac{\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3} \cos x} = \frac{1}{2}

注意

等价无穷小替代是对分子、分母的整体替换或对分子、分母的因式进行替换，而对分子、分母中由加减号连接的各部分不可用等价无穷小替换。

| 习题 2－3

习题 2－3

1. 判断题。

（1）在某过程中，若

f (x)

有极限，

g (x)

无极限，则

f (x) + g (x)

无极限。（）

（2）在某过程中，若

f (x)

，

g (x)

均无极限，则

f (x) + g (x)

无极限。（）

（3）在某过程中，若

f (x)

有极限，

g (x)

无极限，则

f (x) g (x)

无极限。（）

（4）在某过程中，若

f (x)

，

g (x)

均无极限，则

f (x) g (x)

无极限。（）

（5）若

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

，

\lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0

，则

\frac{\lim_{x \to x_{0}} f (x)}{g (x)}

必不存在。（）

（6）

\frac{\lim_{n \to \infty} 1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^{2}} = \frac{\lim_{n \to \infty} 1}{n^{2}} + \frac{\lim_{n \to \infty} 2}{n^{2}} + \dots + \frac{\lim_{n \to \infty} n}{n^{2}} = 0

。（）

（7）

\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} = 0

。（）

（8）

\lim_{x \to \infty} (x^{2} - 3 x) = \lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 \lim_{x \to \infty} x = \infty - \infty = 0

。（）

（9）

\frac{\lim_{x \to \infty} \sin x}{x} = 1

。（）

（10）

\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x} = e

。（）

2. 计算下列极限。

（1）

\frac{\lim_{x \to - 1} 3 x + 1}{x^{2} + 1}

。（2）

\frac{\lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{2 x^{2} - x - 1}

。

（3）

\frac{\lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + x + 1}{3 x^{2} + 1}

。（4）

\frac{\lim_{x \to \infty} \sqrt{2} x}{1 + x^{2}}

。

（5）

\frac{\lim_{x \to 2} x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}

。（6）

\lim_{x \to 1} (\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}})

。

（7）

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1})

。（8）

\frac{\lim_{n \to \infty} 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1)}{n^{2}}

。

（9）

\frac{\lim_{x \to 0} \sin x + 3 x}{\tan x + 2 x}

。（10）

\lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{2}{x}}

。

（11）

\frac{\lim_{x \to 0} \tan x - \sin x}{x^{3}}

。（12）

\lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x + 2})}^{x}

。

习题 2－3 详细解析

1. 判断题解析

（1）✓（正确）。

证明：反证法。假设

f (x) + g (x)

有极限，则

g (x) = [f (x) + g (x)] - f (x)

，两个有极限函数之差仍有极限，矛盾。

（2）×（错误）。

反例：

f (x) = \sin x

，

g (x) = - \sin x

，

x \to \infty

时两者均无极限，但

f (x) + g (x) = 0

有极限。

（3）×（错误）。

反例：

f (x) = 0

（极限为0），

g (x) = \sin \frac{1}{x}

（

x \to 0

时无极限），但

f (x) g (x) = 0

有极限。

（4）×（错误）。

反例：同（2），

f (x) g (x) = - \sin^{2} x

也没有极限。但取

f (x) = g (x) = {\begin{matrix} 1, & x \in ℚ \\ - 1, & x \notin ℚ \end{matrix}

，则

f (x) g (x) = 1

有极限。故结论不确定，命题为假。

（5）×（错误）。

反例：

f (x) = x

，

g (x) = x^{2}

，

x \to 0

。

A = 0

，

g (x) \to 0

，但

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{1}{x} \to \infty

（不存在）。然而若

f (x) = x^{2}

，

g (x) = x

，则

\frac{f (x)}{g (x)} = x \to 0

（存在）。只有当

A \neq 0

时才一定不存在。

（6）×（错误）。

理由：极限四则运算法则只适用于有限个有极限函数的运算。此处将

n

项拆开，项数随

n

变化趋于无穷，不能逐项取极限。正确做法：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n^{2}} = \frac{n (n + 1) / 2}{n^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} \to \frac{1}{2}

。

（7）×（错误）。

理由：乘积极限法则要求各因子极限都存在。

\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}

不存在，不能用乘积法则。正确做法：由有界量

\times

无穷小

=

无穷小，结论为

0

虽然正确，但推导过程错误。

（8）×（错误）。

理由：

\infty - \infty

是未定式，不能直接运算。正确做法：

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

，

x \to \infty

时两个因子都趋于

\infty

，乘积趋于

+ \infty

。

（9）×（错误）。

理由：第一个重要极限要求

x \to 0

，此处

x \to \infty

。正确结果：

| \sin x | \leq 1

（有界），

\frac{1}{x} \to 0

（无穷小），故

\frac{\lim_{x \to \infty} \sin x}{x} = 0

，不是

1

。

（10）×（错误）。

理由：

\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x} = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{- 1}{x})}^{x}

。令

t = - x

，得

\lim_{t \to - \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{- t} = e^{- 1} = \frac{1}{e}

，不是

e

。

2. 计算题解析

（1）直接代入：

\frac{\lim_{x \to - 1} 3 x + 1}{x^{2} + 1} = \frac{3 (- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 1} = \frac{- 2}{2} = - 1

。

（2）

\frac{0}{0}

型，因式分解：

\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} - x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{x + 1}{2 x + 1}

，代入得

\frac{2}{3}

。

（3）

\frac{\infty}{\infty}

型，同除

x^{2}

：

\frac{\lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{2}{3}

。

（4）

\frac{\infty}{\infty}

型，同除

x^{2}

：

\frac{\sqrt{2} x}{1 + x^{2}} = \frac{\sqrt{2} / x}{1 / x^{2} + 1} \to \frac{0}{1} = 0

。

（5）当

x \to 2

时，分子

\to 2^{3} + 2 \cdot 4 = 16 \neq 0

，分母

\to 0

，故极限为

\infty

（不存在，为无穷大）。

（6）

\infty - \infty

型，通分：

\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}} = \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{1 + x + x^{2} - 3}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{x^{2} + x - 2}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}

= \frac{(x - 1) (x + 2)}{- (x - 1) (1 + x + x^{2})} = \frac{- (x + 2)}{1 + x + x^{2}}

，代入

x = 1

得

\frac{- 3}{3} = - 1

。

（7）

\infty - \infty

型，有理化：

\sqrt{x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1} = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}}

同除

x

（

x \to + \infty

时

x > 0

，

\sqrt{x^{2}} = x

）：

= \frac{2}{\sqrt{1 + 1 / x + 1 / x^{2}} + \sqrt{1 - 1 / x + 1 / x^{2}}} \to \frac{2}{2} = 1

。

（8）

\frac{1 + 2 + \dots + (n - 1)}{n^{2}} = \frac{(n - 1) n / 2}{n^{2}} = \frac{n - 1}{2 n} \to \frac{1}{2}

。

（9）等价替换

\sin x \sim x

，

\tan x \sim x

（

x \to 0

）：

\frac{\sin x + 3 x}{\tan x + 2 x} \to \frac{x + 3 x}{x + 2 x} = \frac{4 x}{3 x} = \frac{4}{3}

。

（10）

1^{\infty}

型，

\lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{2 / x} = \lim_{x \to 0} {[{(1 - 3 x)}^{1 / (- 3 x)}]}^{- 6} = e^{- 6}

。

（11）见例 7 第（3）题，结果为

\frac{1}{2}

。

（12）

1^{\infty}

型，

\frac{x + 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}

，故

\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x + 2})}^{x} = \lim_{x \to \infty} {[{(1 - \frac{1}{x + 2})}^{- (x + 2)}]}^{- x / (x + 2)} = e^{- 1} = \frac{1}{e}

。

第三节题型总结

题型一：直接代入法 — 当分母代入不为

0

时，直接代入求值。

题型二：

\frac{0}{0}

型（消去零因子法） — 因式分解、有理化等消去公因子后代入。

题型三：

\frac{\infty}{\infty}

型 — 分子分母同除最高次幂，利用

\frac{c}{x^{n}} \to 0

化简。

题型四：

\infty - \infty

型 — 通分或有理化转化为

\frac{0}{0}

型处理。

题型五：利用第一个重要极限 — 构造

\frac{\sin f (x)}{f (x)} \to 1

的形式。

题型六：利用第二个重要极限 — 构造

{[1 + f (x)]}^{1 / f (x)} \to e

的形式。

题型七：等价无穷小替换 — 对分子或分母中的因式整体替换（不可对加减项分别替换）。

第四节函数的连续性

在自然界中有许多现象，如气温的变化、植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

实例 1 连续电流

导线中的电流通常是连续变化的，但当电流增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流突然为

0

，这时电流的连续性被破坏而出现间断。

实例 2 矩形波的连续性

无线电技术中会遇到如图 2－7 所示的电压波形（矩形波），显然电压

u

在

- 2 l

，

- l

，

0

，

l

，

2 l

等处发生间断。

图 2－7 矩形波

| 一、函数的增量

在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念 —— 增量。

图 2－8 函数增量示意图

设变量

x

从它的一个初值

x_{0}

变到终值

x_{1}

，终值与初值的差

x_{1} - x_{0}

就叫做变量

x

的增量，用表示

Δx

，即

Δx = x_{1} - x_{0}

，增量

Δx

可正可负。

如图 2－8，我们得到：

Δy = f (x_{0} + Δx) - f (x_{0})

这个关系式的几何解释如下：

现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当

Δx

趋向于零时，函数

y

对应的增量

Δy

也趋向于零。

定义 2－9

若

\lim_{Δx \to 0} Δy = 0

，那么就称函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处连续。即

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

定义 2－10

若

\lim_{Δx \to 0^{+}} Δy = 0

，那么就称函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处右连续。即

\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0})

若

\lim_{Δx \to 0^{-}} Δy = 0

，那么就称函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处左连续。即

\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0})

连续的定义要求，函数

y = f (x)

在点

x_{0}

处连续必须同时满足三个条件：

（1）

y = f (x)

在

x_{0}

有定义；

（2）

\lim_{x \to x_{0}} f (x)

存在；

（3）

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

。

定理 2－3 连续的充要条件

连续的充要条件：

函数

y = f (x)

在

x_{0}

处连续的充要条件是函数

y = f (x)

在

x_{0}

处右连续且左连续。

实例 3 冰融化所需要的热量

设

1

g 冰从

- 40 ° C

升到

100 ° C

所需要的热量（单位：J）的函数为

f (x) = {\begin{matrix} 2.1 x + 84, & - 40 \leq x \leq 0 \\ 4.2 x + 420, & x > 0 \end{matrix}

，

试问当

x = 0

时，函数是否连续？

解因为

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (2.1 x + 84) = 84

，

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (4.2 x + 420) = 420

，

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{+}} f (x)

所以

\lim_{x \to 0} f (x)

不存在，函数在

x = 0

处不连续。

| 二、函数在区间上的类型

一个函数在开区间

(a, b)

内每点连续，则为在

(a, b)

连续，若又在

a

点右连续，

b

点左连续，则在闭区间

[a, b]

连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

| 三、函数的间断点

定义 2－11

我们把不满足函数连续性的点称之为间断点。

间断点包括三种情形：

（1）

y = f (x)

在

x_{0}

无定义

（2）

y = f (x)

在

x \to x_{0}

时无极限

（3）

y = f (x)

在

x \to x_{0}

时有极限但不等于

f (x_{0})

例 1

正切函数

y = \tan x

在

x = \frac{π}{2}

处没有定义，所以点

x = \frac{π}{2}

是函数

y = \tan x

间断点，因

\lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan x = \infty

，我们就称

x = \frac{π}{2}

为函数

y = \tan x

的无穷间断点。

例 2

函数

y = \sin \frac{1}{x}

在点

x = 0

处没有定义，故当

x \to 0

时，函数值在

- 1

与

+ 1

之间变动无限多次，我们就称点

x = 0

叫做函数的

y = \sin \frac{1}{x}

振荡间断点。

例 3

函数

f (x) = {\begin{matrix} x + 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ x - 1, & x < 0 \end{matrix}

当

x \to 0

时，左极限

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x - 1) = - 1

，右极限

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 1

，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点

x = 0

是不存在极限。我们还可以发现在点

x = 0

时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点。

图 2－9 三种间断点图形

若函数

f (x)

在

x_{0}

处的左、右极限存在且相等，但不等于

f (x_{0})

，则称

x_{0}

为可去间断点。

1. 间断点的分类

我们通常把间断点分成两类：如果

x_{0}

是函数

f (x)

的间断点，且其左、右极限都存在，我们把

x_{0}

称为函数

f (x)

的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。

2. 初等函数的连续性

通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的。

| 习题 2－4

习题 2－4

1. 判断题。

（1）若

f (x)

，

g (x)

在点

x_{0}

处均不连续，则

f (x) + g (x)

在点

x_{0}

处亦不连续。（）

（2）若

f (x)

在点

x_{0}

处连续，

g (x)

在点

x_{0}

处不连续，则

f (x) g (x)

在点

x_{0}

处必不连续。（）

（3）

y = | x |

在

x = 0

处不连续。（）

（4）

f (x)

在

x_{0}

处连续当且仅当

f (x)

在

x_{0}

处既左连续又右连续。（）

2. 设函数

f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{x} \sin x, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ x \sin \frac{1}{x} + b, & x > 0 \end{matrix}

，要使

f (x)

连续，常数

a

，

b

各应取何值？

3. 指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点？

（1）

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}

。（2）

f (x) = e^{\frac{1}{x}}

。

（3）

f (x) = {\begin{matrix} x, & x \neq 1 \\ \frac{1}{2}, & x = 1 \end{matrix}

。（4）

f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{x + 1}, & x < - 1 \\ x, & - 1 \leq x \leq 1 \\ (x - 1) \sin \frac{1}{x - 1}, & x > 1 \end{matrix}

。

4. 设

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ x + 1, & x > 1 \end{matrix}

，试判定

f (x)

在

x = \frac{1}{2}

，

x = 1

，

x = 2

处的连续性，并求出连续区间。

习题 2－4 详细解析

1. 判断题解析

（1）×（错误）。

反例：设

f (x) = {\begin{matrix} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix}

，

g (x) = {\begin{matrix} 0, & x \geq 0 \\ 1, & x < 0 \end{matrix}

。两者在

x = 0

处均不连续，但

f (x) + g (x) \equiv 1

，在

x = 0

处连续。

（2）×（错误）。

反例：

f (x) = 0

（在

x_{0}

连续），

g (x)

在

x_{0}

不连续，但

f (x) g (x) = 0

恒为零，在

x_{0}

处连续。

（3）×（错误）。

理由：

| x |

在

x = 0

处有定义

| 0 | = 0

，

\lim_{x \to 0} | x | = 0 = f (0)

，满足连续三条件。所以

y = | x |

在

x = 0

处是连续的。

（4）✓（正确）。

理由：这正是定理 2－3 的结论。连续等价于左连续且右连续。

2. 求连续条件下的

a

，

b

值

左极限：

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \frac{\lim_{x \to 0^{-}} \sin x}{x} = 1

。（第一个重要极限，注意

\frac{1}{x} \sin x = \frac{\sin x}{x}

）

右极限：

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x \sin \frac{1}{x} + b) = 0 + b = b

。（有界量×无穷小=0）

连续要求

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) = a

，故

a = 1

，

b = 1

。

3. 间断点判断

（1）

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1) (x + 1)}

，在

x = 1

和

x = - 1

处无定义。当

x \to 1

或

x \to - 1

时，

f (x) \to \infty

。两者都是无穷间断点（第二类）。

（2）

f (x) = e^{1 / x}

在

x = 0

处无定义。

\lim_{x \to 0^{+}} e^{1 / x} = + \infty

，

\lim_{x \to 0^{-}} e^{1 / x} = 0

。右极限不存在（为

\infty

），故

x = 0

是第二类间断点（无穷间断点）。

（3）

x = 1

处：

\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} x = 1 \neq f (1) = \frac{1}{2}

。左右极限存在且相等，但不等于函数值，故

x = 1

是可去间断点（第一类）。

（4）检查分界点

x = - 1

和

x = 1

：

x = - 1

：

\frac{\lim_{x \to - 1^{-}} 1}{x + 1} = - \infty

，

\lim_{x \to - 1^{+}} x = - 1

。左极限不存在，故

x = - 1

是第二类间断点（无穷间断点）。

x = 1

：

\lim_{x \to 1^{-}} x = 1

，

\lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \sin \frac{1}{x - 1} = 0

（有界量×无穷小）。左右极限不等（

1 \neq 0

），故

x = 1

是跳跃间断点（第一类）。

4. 连续性判定

x = \frac{1}{2}

：在区间

[0, 1]

内，

f (x) = x^{2} - 1

为多项式函数，在

x = \frac{1}{2}

处连续。

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

，

\lim_{x \to 1 / 2} f (x) = - \frac{3}{4} = f (\frac{1}{2})

，连续。

x = 1

：

\lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} - 1) = 0

，

\lim_{x \to 1^{+}} (x + 1) = 2

。左右极限不等，

f (x)

在

x = 1

处不连续（跳跃间断点）。

x = 2

：

f (x) = x + 1

为多项式，

f (2) = 3 = \lim_{x \to 2} (x + 1)

，连续。

连续区间为

[0, 1)

和

(1, + \infty)

。

第四节题型总结

题型一：利用连续性三条件判断连续性 — 逐一检查①有定义②极限存在③极限等于函数值。

题型二：求使函数连续的参数 — 利用左极限=右极限=函数值列方程求解。

题型三：间断点分类 — 先找间断点（无定义点、分界点），再判断左右极限情况确定类型。第一类（可去/跳跃）：左右极限都存在；第二类（无穷/振荡）：至少一个不存在。

本章小结

一、基本概念

自变量的变化趋势，极限，左右极限，无穷大与无穷小，连续。

二、基本公式

极限四则运算，两个重要极限，等价关系。

三、基本方法

1. 极限分析方法。

2. 函数极限运算方法。

3. 讨论函数连续性和间断点类型的方法。

四、要点解析

1. 掌握求极限的方法：代入法，消去为零因子，两个重要极限，运用无穷小量的性质。

2. 掌握左右极限及极限存在的充分必要条件。

3. 函数连续的充要条件。

4. 初等函数的连续性。

5. 间断点的类型。

复习题二

1. 填空题。

（1）函数

f (x) = \sqrt{x} + \ln (3 - x)

在 ______ 连续。

（2）

\lim_{x \to 0} (x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin 3 x}{x}) =

______。

（3）

\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{k}{x})}^{x} =

______。

（4）设

f (x)

在

x = 1

处连续，且

f (1) = 3

，则

\lim_{x \to 1} f (x) (\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}) =

______。

（5）

x = 0

是函数

f (x) = x \sin \frac{1}{x}

的 ______ 间断点。

（6）

f (x) = \frac{x^{2} - x}{| x | (x^{2} - 1)}

的间断点是 ______，其中可去间断点是 ______，跳跃间断点是 ______。

2. 选择题。

（1）当

x \to \infty

时，下列函数中有极限的是（）。

\sin x

\frac{1}{e^{x}}

\frac{x + 1}{x^{2} - 1}

\arctan x

（2）

f (x) = {\begin{matrix} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{x}, & x > 0 \end{matrix}

在点

x = 0

不连续是因为（）。

f (0 - 0)

不存在 B.

f (0 + 0)

不存在

f (0 + 0) \neq f (0)

f (0 - 0) \neq f (0)

（3）设

f (x) = x^{2} + arccot \frac{1}{x - 1}

，则

x = 1

是

f (x)

的（）。

A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 连续点

（4）设

f (x) = {\begin{matrix} \cos x - 1, & x < 0 \\ k, & x > 0 \end{matrix}

，则

k = 0

是

\lim_{x \to 0} f (x)

存在的（）。

A. 充分但非必要条件 B. 必要但非充分条件

C. 充分必要条件 D. 无关条件

（5）当

x \to x_{0}

时，

α

和

β

（

\neq 0

）都是无穷小。当

x \to x_{0}

时，下列变量中可能不是无穷小的是（）。

α + β

α - β

α \cdot β

\frac{α}{β}

（6）当

n \to \infty

时，若

\sin^{2} \frac{1}{n}

与

\frac{1}{n^{k}}

是等价无穷小，则

k =

（）。

2

\frac{1}{2}

1

3

（7）当

x \to 0

时，下列函数中为

x

的高阶无穷小的是（）。

1 - \cos x

x + x^{2}

\sin x

\sqrt{x}

（8）当

x \to 0

时，

{(1 - \cos x)}^{2}

是

\sin^{2} x

的（）。

A. 高阶无穷小 B. 同阶无穷小，但不等价

C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小

3. 求下列的极限。

（1）

\frac{\lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}

。（2）

\frac{\lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}{x^{2} + x - 2}

。

（3）

\lim_{x \to + \infty} {(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1})}^{x^{2}}

。（4）

\frac{\lim_{x \to 0} \sin x^{3}}{{(\sin x)}^{3}}

。

（5）

\frac{\lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{\sin 3 x}

。（6）

\frac{\lim_{x \to \infty} x + 3}{x^{2} - x} (\sin x + 2)

。

（7）

\frac{\lim_{x \to a} \sin x - \sin a}{x - a}

。（8）

\lim_{x \to \infty} (\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1})

。

4. 设

\frac{\lim_{x \to - 1} x^{3} + a x^{2} - x + 4}{x + 1} = b

（常数），求

a

，

b

。

5. 设

f (x) = {\begin{matrix} 3 x, & - 1 < x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ 3 x^{2}, & 1 < x < 2 \end{matrix}

，求

\lim_{x \to 0} f (x)

，

\lim_{x \to 1} f (x)

，

\lim_{x \to \sqrt{2}} f (x)

。

6. 设

f (x) = {\begin{matrix} \frac{\ln (1 - x)}{x}, & x > 0 \\ - 1, & x = 0 \\ \frac{| \sin x |}{x}, & x < 0 \end{matrix}

，讨论

f (x)

在

x = 0

处的连续性。

复习题二详细解析

1. 填空题解析

（1）

\sqrt{x}

要求

x \geq 0

，

\ln (3 - x)

要求

3 - x > 0

即

x < 3

。定义域

[0, 3)

，初等函数在定义域内连续，故在

[0, 3)

上连续。答案：

[0, 3)

。

（2）

x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}}

：有界量×无穷小

= 0

；

\frac{\sin 3 x}{x} \to 3

。答案：

0 + 3 = 3

。

（3）

\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{k}{x})}^{x} = e^{k}

。答案：

e^{k}

。

（4）由例4知

\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}

，故

\lim_{x \to 1} f (x) \cdot \frac{1}{x + 1} = f (1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。答案：

\frac{3}{2}

。

（5）

\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 = f (0)

（若补充定义

f (0) = 0

），左右极限存在且相等，原函数在

x = 0

无定义但极限存在。答案：可去间断点。

（6）

f (x) = \frac{x (x - 1)}{| x | (x - 1) (x + 1)}

。间断点：

x = 0, \pm 1

。

x = 1

：约分后

\frac{1}{| x | (x + 1)}

，

\lim_{x \to 1} = \frac{1}{2}

，可去间断点。

x = - 1

：

\to \infty

，无穷间断点（非跳跃非可去）。

x = 0

：

\frac{\lim_{x \to 0^{+}} 1}{x + 1} = 1

，

\frac{\lim_{x \to 0^{-}} - 1}{x + 1} = - 1

，跳跃间断点。答案：间断点

x = 0, \pm 1

；可去间断点

x = 1

；跳跃间断点

x = 0

。

2. 选择题解析

（1）C。

\sin x

振荡无极限；

\frac{1}{e^{x}}

：

x \to + \infty

时

\to 0

，

x \to - \infty

时

\to \infty

，故

x \to \infty

时不存在。

\arctan x

：左右极限不等（

\frac{π}{2}

与

- \frac{π}{2}

），不存在。

\frac{x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x - 1} \to 0

（

x \to \infty

），极限存在。故选 C。

（2）B。

f (0 + 0) = \frac{\lim_{x \to 0^{+}} 1}{x} = + \infty

，不存在。

（3）B。

arccot \frac{1}{x - 1}

：

x \to 1^{+}

时

\frac{1}{x - 1} \to + \infty

，

arccot (+ \infty) = 0

；

x \to 1^{-}

时

\frac{1}{x - 1} \to - \infty

，

arccot (- \infty) = π

。故

\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 1

，

\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 1 + π

，左右不等，跳跃间断点。

（4）C。

\lim_{x \to 0^{-}} (\cos x - 1) = 0

，

\lim_{x \to 0^{+}} k = k

。极限存在要求左右极限相等，即

k = 0

。而

k = 0

是唯一使左右极限相等的值，故

k = 0

是

\lim_{x \to 0} f (x)

存在的充分必要条件。选 C。

（5）D。

α + β

、

α - β

、

α \cdot β

作为无穷小的运算仍为无穷小。但

\frac{α}{β}

可能为任何值，例如

α = x^{2}

，

β = x

，则

α / β = x \to 0

；但

α = x

，

β = x^{2}

，则

α / β = 1 / x \to \infty

。故选 D。

（6）A。

\sin^{2} \frac{1}{n} \sim {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n^{2}}

（因为

\sin u \sim u

当

u \to 0

），所以

k = 2

。

（7）A。

\frac{1 - \cos x}{x} \sim \frac{x^{2} / 2}{x} = \frac{x}{2} \to 0

，是高阶无穷小。

\frac{x + x^{2}}{x} = 1 + x \to 1

（同阶）；

\frac{\sin x}{x} \to 1

（等价）；

\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty

（低阶）。选 A。

（8）A。

\frac{{(1 - \cos x)}^{2}}{\sin^{2} x} \sim \frac{{(x^{2} / 2)}^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{4} \to 0

，故是高阶。选 A。

3. 计算题解析

（1）有理化分子分母：

\frac{(2 x + 1 - 9) (\sqrt{x} + 2)}{(x - 4) (\sqrt{2 x + 1} + 3)} = \frac{2 (x - 4) (\sqrt{x} + 2)}{(x - 4) (\sqrt{2 x + 1} + 3)} = \frac{2 (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{2 x + 1} + 3}

。代入

x = 4

：

\frac{2 \times 4}{6} = \frac{4}{3}

。

（2）

\sin (x - 1) \sim (x - 1)

，

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

。故

\frac{x - 1}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 2} \to \frac{1}{3}

。

（3）

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{2}{x^{2} + 1}

。

\lim {(1 - \frac{2}{x^{2} + 1})}^{x^{2}} = \lim {[{(1 - \frac{2}{x^{2} + 1})}^{(x^{2} + 1) / (- 2)}]}^{- 2 x^{2} / (x^{2} + 1)} = e^{- 2}

。

（4）

\frac{\sin x^{3}}{{(\sin x)}^{3}} = \frac{\sin x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{{(\sin x)}^{3}} \to 1 \cdot 1 = 1

。

（5）有理化：

\frac{(1 + x) - (1 - x)}{\sin 3 x \cdot (\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2 x}{\sin 3 x \cdot (\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}

。

\frac{2 x}{\sin 3 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} \to \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

。

（6）

| \sin x + 2 | \leq 3

（有界），

\frac{x + 3}{x^{2} - x} = \frac{x + 3}{x (x - 1)} \to 0

（

x \to \infty

）。有界量×无穷小 = 无穷小。答案：

0

。

（7）和差化积：

\sin x - \sin a = 2 \cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}

。

\frac{2 \cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}}{x - a} = \cos \frac{x + a}{2} \cdot \frac{\sin \frac{x - a}{2}}{\frac{x - a}{2}}

。

x \to a

时

\to \cos a \cdot 1 = \cos a

。

（8）通分：

\frac{x^{3} (2 x + 1) - x^{2} (2 x^{2} - 1)}{(2 x^{2} - 1) (2 x + 1)} = \frac{2 x^{4} + x^{3} - 2 x^{4} + x^{2}}{(2 x^{2} - 1) (2 x + 1)} = \frac{x^{3} + x^{2}}{(2 x^{2} - 1) (2 x + 1)}

。同除

x^{3}

：

\frac{1 + 1 / x}{(2 - 1 / x^{2}) (2 + 1 / x)} \to \frac{1}{4}

。

4. 极限存在要求

x = - 1

时分子也为

0

：

{(- 1)}^{3} + a {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4 = 0

，即

- 1 + a + 1 + 4 = 0

，

a = - 4

。代入后

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - x + 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x^{2} - 5 x + 4)}{x + 1} = x^{2} - 5 x + 4

。

b = \lim_{x \to - 1} (x^{2} - 5 x + 4) = 1 + 5 + 4 = 10

。

\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} 3 x = 0

。

\lim_{x \to 1^{-}} 3 x = 3

，

\lim_{x \to 1^{+}} 3 x^{2} = 3

，故

\lim_{x \to 1} f (x) = 3

。

\lim_{x \to \sqrt{2}} f (x) = \lim_{x \to \sqrt{2}} 3 x^{2} = 6

。

\frac{\lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - x)}{x}

：当

x \to 0^{+}

时

\ln (1 - x) \sim - x

，得

\frac{- x}{x} = - 1

。

\frac{\lim_{x \to 0^{-}} | \sin x |}{x} = \frac{\lim_{x \to 0^{-}} - \sin x}{x} = - 1

。左右极限均为

- 1 = f (0)

，故

f (x)

在

x = 0

处连续。