高等应用数学 · 第6章多元函数微分学

第一节多元函数的概念、极限与连续

| 一、邻域

定义 6－1

设

P_{0} (x_{0}, y_{0})

是

xOy

平面上的一个点，

δ

是某一正数。与点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

距离小于

δ

的点

P (x, y)

的全体，称为点

P_{0}

的

δ

邻域，记作

U (P_{0}, δ)

，即

U (P_{0}, δ) = {P ∣ | P_{0} P | < δ},

也就是

U (P_{0}, δ) = {(x, y) ∣ \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} < δ} .

在几何上，

U (P_{0}, δ)

就是

xOy

平面上以点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

为中心、

δ (δ > 0)

为半径的圆内部点

P (x, y)

的全体。

如果不需要强调邻域半径

δ

，则用

U (P_{0})

表示

P_{0}

的某邻域，点

P_{0}

的某去心邻域记作

\overset{˚}{U} (P_{0})

。

| 二、多元函数的概念

在自然科学与工程技术问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，就是我们通常所说的多元函数。

例 1

圆柱体的体积

V

、底面的半径

r

和高

h

有如下关系式：

V = π r^{2} h,

其中

r

、

h

是两个独立的自变量，当它们取值时，

V

有相应确定的值与之对应，就称

V

是

r

、

h

的二元函数。

例 2

一定量的理想气体的压强

P

、体积

V

和绝对温度

T

之间具有如下关系式：

P = \frac{RT}{V},

其中

R

为常数。这里，当

V

、

T

在集合

{(V, T) ∣ V > 0, T > 0}

内取定一对值

(V, T)

时，

P

的对应值就随之确定。

例 3

设

R

是电阻

R_{1}

、

R_{2}

并联后的总电阻，由电学知识知道，它们之间具有如下关系式：

R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}},

这里，当

R_{1}

、

R_{2}

在集合

{(R_{1}, R_{2}) ∣ R_{1} > 0, R_{2} > 0}

内取定一对值

(R_{1}, R_{2})

时，

R

的对应值就随之确定。

定义 6－2

设有 3 个变量

x

、

y

和

z

，如果当变量

x

、

y

在一定的范围

D

内任意取定一对值时，变量

z

按照一定的规律，总有确定的数值和它们对应，则变量

z

叫做变量

x

、

y

的二元函数。记作

z = f (x, y)

，称

x

、

y

为自变量，

z

为因变量（有时称为函数）。自变量

x

、

y

所能取的每对值的全体称为函数的定义域，在此

D

就是该函数定义的定义域。

当自变量

x

、

y

分别取

x_{0}

、

y_{0}

时，相应的因变量

z

的对应值

z_{0}

记作

z_{0} = f (x_{0}, y_{0})

，称为二元函数

z = f (x, y)

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

的函数值；当自变量

x

、

y

取遍定义域

D

内的一切值时，动点

P (x, y)

对应的所有函数值的全体称为函数的值域，记为

f (D)

。

类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。二元以及二元以上的函数称为多元函数。

注意

（1）确定二元函数两个要素是：一是定义域，二是对应法则。

（2）在求函数的定义域时，如果函数是由解析式表示，应根据解析式本身求出自变量的取值范围；如果是由实际问题给出的，还应该考虑实际问题的意义。

例 4

求函数

z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

的定义域。

解要使函数的解析式有意义，必须满足

1 - x^{2} - y^{2} \geq 0,

即

x^{2} + y^{2} \leq 1

，所以

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

，如图 6－1 阴影部分所示，

D

是

xOy

平面上圆心在原点的单位圆（包括边界）。

图 6-1 单位圆定义域

例 5

求函数

z = \ln (y - x) \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}

的定义域

D

，并画出

D

的图形。

解要使函数的解析式有意义，必须满足

{\begin{matrix} y - x > 0 \\ x \geq 0 \\ 1 - x^{2} - y^{2} > 0 \end{matrix},

即

D = {(x, y) ∣ x \geq 0, x < y, x^{2} + y^{2} < 1}

，如图 6－2 阴影部分所示。

图 6-2 例5定义域

例 6（补充·定义域）

求

z = \ln (x + y)

的定义域，并画出定义域的平面区域图。

解要使函数的解析式有意义，必须满足

x + y > 0

，即

y > - x

。

所以

D = {(x, y) ∣ x + y > 0}

，即直线

x + y = 0

（即

y = - x

）上方的开半平面（不含边界直线）。

布局说明：左区70%：坐标平面+阴影区域；右区30%：不等式输入面板+测试点坐标；底部：逐步叠加/一键显示切换

通过以上的例子可以看出，二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线围成的具有连通性（即如果一部分平面内任意两点均可用完全属于此部分的平面的折线连接起来，这样的部分平面称为具有连通性）的部分平面，这样的部分平面称为区域。由此可见，二元函数的定义域一般是由一个平面区域或者几个平面区域合并组成。围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点。包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域。

| 三、二元函数的极限

定义 6－3

设函数

z = f (x, y)

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

的某去心邻域内有定义。如果当点

P (x, y)

以任意方式趋于点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

时，函数

f (x, y)

都无限接近于一个确定的常数

A

，则称

A

为函数

f (x, y)

当

(x, y) \to (x_{0}, y_{0})

时的极限，记作

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y) = A,

或

f (x, y) \to A ((x, y) \to (x_{0}, y_{0}))

。

需要特别注意的是，这里所说的"以任意方式趋于"，是指

P (x, y)

沿着任何路径趋于

P_{0}

，极限值都相同。如果沿不同路径趋于

P_{0}

时极限值不同，则极限不存在。

例 6

求

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} xy}{x^{2} + y^{2}}

。

解令

y = kx

（

k

为常数），沿直线

y = kx

趋于原点，则

\frac{\lim_{\begin{matrix} (x, y) \to (0, 0) \\ y = kx \end{matrix}} xy}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\lim_{x \to 0} k x^{2}}{x^{2} + k^{2} x^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} .

由于沿不同的直线（

k

值不同）趋于原点时，极限值不同，所以该极限不存在。

例（补充·抛物线路径证极限不存在）

证明：

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} x y^{2}}{x^{2} + y^{4}}

不存在。

证沿直线

y = 0

趋于原点：极限为

0

。

沿抛物线

x = y^{2}

趋于原点：

\frac{\lim_{\begin{matrix} (x, y) \to (0, 0) \\ x = y^{2} \end{matrix}} y^{2} \cdot y^{2}}{y^{4} + y^{4}} = \frac{1}{2} .

两条路径极限值不同（

0 \neq \frac{1}{2}

），故极限不存在。

注意：此题若只沿直线

y = kx

验证，极限均为

0

，无法发现不存在！必须选取抛物线路径。

例 7

求

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \sin (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}

。

解令

t = x^{2} + y^{2}

，当

(x, y) \to (0, 0)

时，

t \to 0^{+}

，则

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \sin (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\lim_{t \to 0^{+}} \sin t}{t} = 1 .

布局说明：左区：等值线图+动态路径；右区：数值面板；底部：路径选择+滑块

| 四、二元函数的连续性

定义 6－4

设函数

z = f (x, y)

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

的某邻域内有定义，如果

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y) = f (x_{0}, y_{0}),

则称函数

f (x, y)

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

处连续。

如果函数

f (x, y)

在区域

D

内每一点都连续，则称

f (x, y)

在

D

上连续。

与一元函数类似，多元初等函数在其定义域内是连续的。利用这一性质，可以直接用"代入法"求某些二元函数的极限。

例 8

求

\frac{\lim_{(x, y) \to (1, 2)} xy}{x + y}

。

解因为

f (x, y) = \frac{xy}{x + y}

是初等函数，在点

(1, 2)

处有定义，所以

\frac{\lim_{(x, y) \to (1, 2)} xy}{x + y} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} .

| 习题 6－1

习题 6－1

1. 求下列函数的定义域。

（1）

z = \ln (xy)

；

（2）

z = \arcsin (x + y)

；

（3）

z = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 1}

；

（4）

z = \sqrt{x} + \sqrt{y}

。

2. 求下列极限。

（1）

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

；

（2）

\lim_{(x, y) \to (0, 0)} {(1 + xy)}^{\frac{1}{xy}}

；

（3）

\frac{\lim_{(x, y) \to (1, 0)} \sin (xy)}{x}

。

3. 证明下列极限不存在。

（1）

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} x - y}{x + y}

；

（2）

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} x y^{2}}{x^{2} + y^{4}}

。

习题 6－1 详细解析

1. 求定义域

（1）

z = \ln (xy)

，需要

xy > 0

，即

x

、

y

同号。

D = {(x, y) ∣ xy > 0}

，即第一象限和第三象限（不含坐标轴）。

（2）

z = \arcsin (x + y)

，需要

- 1 \leq x + y \leq 1

。

D = {(x, y) ∣ - 1 \leq x + y \leq 1}

，即两平行线

x + y = - 1

与

x + y = 1

之间的带状区域。

（3）

z = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 1}

，需要

x^{2} + y^{2} - 1 \neq 0

，即

x^{2} + y^{2} \neq 1

。

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \neq 1}

，即

xOy

平面去掉单位圆周。

（4）

z = \sqrt{x} + \sqrt{y}

，需要

x \geq 0

且

y \geq 0

。

D = {(x, y) ∣ x \geq 0, y \geq 0}

，即第一象限（含坐标轴正半轴）。

2. 求极限

（1）利用夹逼：

0 \leq | \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} | = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} \cdot | y | \leq | y |

。

当

(x, y) \to (0, 0)

时

| y | \to 0

，由夹逼定理得

\frac{\lim_{(x, y) \to (0, 0)} x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} = 0 .

（2）令

t = xy

，当

(x, y) \to (0, 0)

时

t \to 0

，

\lim_{(x, y) \to (0, 0)} {(1 + xy)}^{\frac{1}{xy}} = \lim_{t \to 0} {(1 + t)}^{\frac{1}{t}} = e .

（3）

f (x, y) = \frac{\sin (xy)}{x}

在点

(1, 0)

处，

x \to 1 \neq 0

，令

u = xy \to 0

：

\frac{\lim_{(x, y) \to (1, 0)} \sin (xy)}{x} = \frac{\lim_{(x, y) \to (1, 0)} \sin (xy)}{xy} \cdot y = 1 \cdot 0 = 0 .

3. 证明极限不存在

（1）沿

y = 0

：

\frac{\lim_{x \to 0} x - 0}{x + 0} = 1

；沿

x = 0

：

\frac{\lim_{y \to 0} 0 - y}{0 + y} = - 1

。

两条路径极限值不同（

1 \neq - 1

），故极限不存在。

（2）沿

y = 0

：极限为

0

；沿

x = y^{2}

：

\frac{\lim_{y \to 0} y^{2} \cdot y^{2}}{y^{4} + y^{4}} = \frac{1}{2}

。

两条路径极限值不同（

0 \neq \frac{1}{2}

），故极限不存在。

第一节题型总结

题型一：求二元函数定义域 — 根据解析式的要求列出不等式（组），画出平面区域。

题型二：求二元函数极限 — 代入法（连续函数）、换元法（令

t = x^{2} + y^{2}

等）、夹逼法。

题型三：证明极限不存在 — 找两条不同路径使极限值不同。

第二节偏导数与全微分

| 一、偏导数的概念

对于二元函数

z = f (x, y)

，如果只有一个自变量变动，另一个固定，就成了一元函数。对这个一元函数求导，就得到偏导数。

定义 6－5

设函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

的某邻域内有定义，当

y

固定在

y_{0}

而

x

在

x_{0}

处有增量

Δx

时，相应地函数有增量

f (x_{0} + Δx, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})

。如果极限

\frac{\lim_{Δx \to 0} f (x_{0} + Δx, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δx}

存在，则称此极限为函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处对

x

的偏导数，记作

{\frac{\partial z}{\partial x} |}_{\begin{matrix} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{matrix}}

f'_{x} (x_{0}, y_{0})

或

z'_{x} |_{\begin{matrix} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{matrix}}

。

类似地，函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处对

y

的偏导数定义为

f'_{y} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\lim_{Δy \to 0} f (x_{0}, y_{0} + Δy) - f (x_{0}, y_{0})}{Δy} .

偏导数的求法：对

x

求偏导数时，将

y

看作常数，对

x

求导；对

y

求偏导数时，将

x

看作常数，对

y

求导。

例 1

求

z = x^{2} + 3 xy + y^{2}

的偏导数。

解对

x

求偏导数，把

y

看作常数，得

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x + 3 y

。

对

y

求偏导数，把

x

看作常数，得

\frac{\partial z}{\partial y} = 3 x + 2 y

。

例 2

设

P = \frac{RT}{V}

（

R

为常数），验证

\frac{\partial P}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial P} = - 1

。

解由

P = \frac{RT}{V}

，得

V = \frac{RT}{P}

，

T = \frac{PV}{R}

。

\frac{\partial P}{\partial V} = - \frac{RT}{V^{2}}, \frac{\partial V}{\partial T} = \frac{R}{P}, \frac{\partial T}{\partial P} = \frac{V}{R} .

故

\frac{\partial P}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial P} = - \frac{RT}{V^{2}} \cdot \frac{R}{P} \cdot \frac{V}{R} = - \frac{RT}{PV} = - 1 .

例 3

求

u = {(\frac{x}{y})}^{z}

的偏导数。

解对

x

求偏导数，把

y

、

z

看作常数，得

\frac{\partial u}{\partial x} = z {(\frac{x}{y})}^{z - 1} \cdot \frac{1}{y} = \frac{z}{y} {(\frac{x}{y})}^{z - 1} .

类似地，

\frac{\partial u}{\partial y} = z {(\frac{x}{y})}^{z - 1} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) = - \frac{xz}{y^{2}} {(\frac{x}{y})}^{z - 1},

\frac{\partial u}{\partial z} = {(\frac{x}{y})}^{z} \ln \frac{x}{y} .

例 4

求

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

的偏导数。

解把

y

和

z

看作常数，对

x

求导，得

\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = \frac{x}{r} .

利用函数关于自变量的对称性，可得

\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}

，

\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}

。

| 二、偏导数的几何意义

函数

z = f (x, y)

在空间直角坐标系下的图形是一张曲面，设

M_{0} (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))

是曲面上一点。当自变量

y

取定值

y_{0}

时，曲面

z = f (x, y)

与平面

y = y_{0}

的交线是一条曲线。偏导数

f'_{x} (x_{0}, y_{0})

就是该曲线在点

M_{0}

处切线对

x

轴的斜率；偏导数

f'_{y} (x_{0}, y_{0})

就是曲面与平面

x = x_{0}

交线在

M_{0}

点处切线对

y

轴的斜率。如图 6－3 所示。

图 6-3 偏导数的几何意义

布局说明：左区：三维曲面+截面；右区：切线斜率面板；底部：x/y方向切换按钮

| 三、高阶偏导数

设函数

z = f (x, y)

在区域

D

内具有偏导数

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{x} (x, y)

、

\frac{\partial z}{\partial y} = f_{y} (x, y)

，那么在

D

内

f_{x} (x, y)

、

f_{y} (x, y)

都是

x

、

y

的函数。

如果它们也具有偏导数，则称为函数

z = f (x, y)

的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个：

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = f_{xx}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{xy}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = f_{yx}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = f_{yy} .

其中

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

和

\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}

称为二阶混合偏导数。

定理 6－1

如果函数

z = f (x, y)

的两个二阶混合偏导数

\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}

及

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

在区域

D

内连续，则在该区域内

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} .

例 5

设

z = x^{3} y^{2} - 3 x y^{3} - xy + 1

，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}

、

\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}

、

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

。

解先求一阶偏导数：

\frac{\partial z}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{3} - y, \frac{\partial z}{\partial y} = 2 x^{3} y - 9 x y^{2} - x .

再求二阶偏导数：

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 6 x y^{2}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 2 x^{3} - 18 xy,

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 6 x^{2} y - 9 y^{2} - 1 = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} .

| 四、全微分

定义 6－6

设函数

z = f (x, y)

在点

(x, y)

的某邻域内有定义，如果函数在该点的全增量

Δz = f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y)

可以表示为

Δz = AΔx + BΔy + o (ρ)

，其中

A

、

B

不依赖于

Δx

、

Δy

而仅与

x

、

y

有关，

ρ = \sqrt{{(Δx)}^{2} + {(Δy)}^{2}}

，则称函数在该点可微分，

AΔx + BΔy

称为全微分，记作

d z = A d x + B d y .

定理 6－2

如果函数

z = f (x, y)

的偏导数

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

在点

(x, y)

处连续，则函数在该点可微分，且

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y .

定理 6－3（可微的必要条件）

如果函数

z = f (x, y)

在点

(x, y)

处可微分，则该函数在该点的偏导数

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

必定存在，且

A = \frac{\partial z}{\partial x}, B = \frac{\partial z}{\partial y} .

定理 6－2 指出偏导数连续是可微的充分条件，定理 6－3 指出可微必定偏导数存在。但应注意：偏导数存在不一定可微，偏导数连续是比可微更强的条件。

例 6

求

z = x^{2} y + y^{2}

的全微分。

解

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 xy

，

\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} + 2 y

，故

d z = 2 xy d x + (x^{2} + 2 y) d y .

全微分在近似计算中的应用：当

| Δx |

和

| Δy |

都很小时，有近似公式

f (x + Δx, y + Δy) \approx f (x, y) + f_{x} (x, y) Δx + f_{y} (x, y) Δy .

例 7

计算

{(1.04)}^{2.02}

的近似值。

解设

f (x, y) = x^{y}

，取

x = 1

，

y = 2

，

Δx = 0.04

，

Δy = 0.02

。

f_{x} = y x^{y - 1} = 2 \cdot 1 = 2

，

f_{y} = x^{y} \ln x = 1 \cdot \ln 1 = 0

。

{(1.04)}^{2.02} \approx 1^{2} + 2 \times 0.04 + 0 \times 0.02 = 1.08 .

例 8（补充·全微分近似计算）

计算

{(1.02)}^{3.01}

的近似值。

解设

f (x, y) = x^{y}

，取

x = 1

，

y = 3

，

Δx = 0.02

，

Δy = 0.01

。

f (1, 3) = 1

，

f_{x} = y x^{y - 1} = 3

，

f_{y} = x^{y} \ln x = 0

（因为

\ln 1 = 0

）。

{(1.02)}^{3.01} \approx 1 + 3 \times 0.02 + 0 \times 0.01 = 1.06 .

布局说明：左区65%：三维曲面+切平面+Δz/dz线段；右区35%：函数选择+Δx/Δy滑块+数值面板

| 习题 6－2

习题 6－2

1. 求下列函数的偏导数。

（1）

z = x^{3} + y^{3} - 3 axy

（

a

为常数）；

（2）

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

；

（3）

z = \arctan \frac{y}{x}

；

（4）

z = e^{xy} \sin (x + y)

。

2. 求下列函数的二阶偏导数。

（1）

z = x^{3} y + \cos y

；（2）

z = e^{x + 2 y}

。

3. 求下列函数的全微分。

（1）

z = xy + \frac{x}{y}

；（2）

z = e^{xy}

。

4. 利用全微分计算

\sqrt{{(3.02)}^{2} + {(3.97)}^{2}}

的近似值。

习题 6－2 详细解析

1. 偏导数

（1）

\frac{\partial z}{\partial x} = 3 x^{2} - 3 ay

，

\frac{\partial z}{\partial y} = 3 y^{2} - 3 ax

。

（2）

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

。

（3）

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + {(y / x)}^{2}} \cdot (- \frac{y}{x^{2}}) = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

。

（4）

\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \sin (x + y) + e^{xy} \cos (x + y) = e^{xy} [y \sin (x + y) + \cos (x + y)]

，

\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \sin (x + y) + e^{xy} \cos (x + y) = e^{xy} [x \sin (x + y) + \cos (x + y)]

。

2. 二阶偏导数

（1）

z_{x} = 3 x^{2} y

，

z_{y} = x^{3} - \sin y

。

z_{xx} = 6 xy

，

z_{yy} = - \cos y

，

z_{xy} = 3 x^{2}

。

（2）

z_{x} = e^{x + 2 y}

，

z_{y} = 2 e^{x + 2 y}

。

z_{xx} = e^{x + 2 y}

，

z_{yy} = 4 e^{x + 2 y}

，

z_{xy} = 2 e^{x + 2 y}

。

3. 全微分

（1）

\frac{\partial z}{\partial x} = y + \frac{1}{y}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = x - \frac{x}{y^{2}}

，

d z = (y + \frac{1}{y}) d x + (x - \frac{x}{y^{2}}) d y

。

（2）

d z = y e^{xy} d x + x e^{xy} d y

。

4. 设

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

，取

x = 3, y = 4, Δx = 0.02, Δy = - 0.03

。

f (3, 4) = 5

，

f_{x} = \frac{3}{5}

，

f_{y} = \frac{4}{5}

。

\sqrt{{(3.02)}^{2} + {(3.97)}^{2}} \approx 5 + \frac{3}{5} \times 0.02 + \frac{4}{5} \times (- 0.03) = 5 + 0.012 - 0.024 = 4.988 .

第二节题型总结

题型一：求偏导数 — 将其他变量视为常数，按一元函数求导。

题型二：求高阶偏导数 — 先求一阶，再对结果求偏导。混合偏导数连续时求导次序可交换。

题型三：求全微分 — 公式

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

。

题型四：全微分近似计算 —

f (x + Δx, y + Δy) \approx f (x, y) + f_{x} Δx + f_{y} Δy

。

第三节多元复合函数的求导法则

| 一、多个中间变量，一个自变量的情形

定理 6－4

设

z = f (u, v)

，而

u = φ (t)

，

v = ψ (t)

。如果

φ (t)

和

ψ (t)

都在点

t

可导，

f (u, v)

在对应点

(u, v)

具有连续偏导数，则复合函数

z = f [φ (t), ψ (t)]

在点

t

可导，且

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{d v}{d t} .

图 6-4 复合函数链式关系

例 1

设

z = uv + \sin t

，而且

u = e^{t}

，

v = \cos t

，求导数

\frac{d z}{d t}

。

解这里

t

既通过

u, v

间接影响

z

，又直接出现在

z

的表达式中。因此

\frac{\partial z}{\partial u} = v

，

\frac{\partial z}{\partial v} = u

，

\frac{\partial z}{\partial t} = \cos t

，

\frac{d u}{d t} = e^{t}

，

\frac{d v}{d t} = - \sin t

。

\frac{d z}{d t} = v \cdot e^{t} + u \cdot (- \sin t) + \cos t = e^{t} \cos t - e^{t} \sin t + \cos t = e^{t} (\cos t - \sin t) + \cos t .

一般地，设

z = f (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})

，

u_{k} = φ_{k} (x)

，则全导数为

\frac{d z}{d x} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial u_{k}} \frac{d u_{k}}{d x} .

例 2

设

ω = \sqrt{u^{2} + v^{2}} + \ln h

，而且

u = \sin x

，

v = e^{2 x}

，

h = x^{2}

，求全导数

\frac{d ω}{d x}

。

解

\frac{d ω}{d x} = \frac{u}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} \cos x + \frac{v}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} \cdot 2 e^{2 x} + \frac{1}{h} \cdot 2 x

= \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{\sin^{2} x + e^{4 x}}} + \frac{2 e^{4 x}}{\sqrt{\sin^{2} x + e^{4 x}}} + \frac{2}{x} .

| 二、x 既是中间变量又是自变量的情形

设

z = f (u, v)

，

u = x

，

v = ψ (x)

，则

\frac{d z}{d x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{d ψ (x)}{d x} .

此处

\frac{d z}{d x}

是将

z

看作一元函数

z = f (x, ψ (x))

对

x

的导数，

\frac{\partial f}{\partial x}

是将

z

看作二元函数

z = f (x, v)

对

x

的偏导数。

| 三、两个中间变量，两个自变量的情形

定理 6－5

设函数

z = f (u, v)

在点

(u, v)

具有关于

u

、

v

的一阶连续偏导数，而函数

u = φ (x, y)

、

v = ψ (x, y)

在点

(x, y)

具有关于

x

、

y

的一阶偏导数，则复合函数

z = f [φ (x, y), ψ (x, y)]

在点

(x, y)

的一阶偏导数为

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} .

图 6-5 两个中间变量、两个自变量

布局说明：左区60%：画布（三层结构）；右区40%上半部：节点库，下半部：公式面板；底部：清空重建+检验按钮

例 3

设

z = e^{u} \sin v

，而且

u = xy

，

v = x + y

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

和

\frac{\partial z}{\partial y}

。

解

\frac{\partial z}{\partial x} = e^{u} \sin v \cdot y + e^{u} \cos v \cdot 1 = e^{xy} [y \sin (x + y) + \cos (x + y)],

\frac{\partial z}{\partial y} = e^{u} \sin v \cdot x + e^{u} \cos v \cdot 1 = e^{xy} [x \sin (x + y) + \cos (x + y)] .

例 4（补充·抽象函数链式法则）

设

z = f (x + y, xy)

，其中

f

具有一阶连续偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

。

解令

u = x + y

，

v = xy

，则

z = f (u, v)

。

由链式法则（树形图

z \to (u, v) \to (x, y)

）：

\frac{\partial z}{\partial x} = f'_{1} \cdot 1 + f'_{2} \cdot y = f'_{1} + yf'_{2} .

类似地，

\frac{\partial z}{\partial y} = f'_{1} + xf'_{2}

。

| 四、全微分形式不变性

根据复合函数求导的链式法则，无论

u

、

v

是自变量还是中间变量，函数

z = f (u, v)

的全微分形式都是

d z = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v .

这就是全微分形式不变性。

| 习题 6－3

习题 6－3

1. 设

z = e^{u} \sin v

，

u = xy

，

v = x + y

，利用链式法则求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

。

2. 设

z = u^{v}

，

u = x + 3 y

，

v = 3 x - y

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

。

3. 设

z = f (x^{2} - y^{2}, e^{xy})

，其中

f

具有一阶连续偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

。

4. 设

z = f (xy, x + y)

，其中

f

具有一阶连续偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

。

习题 6－3 详细解析

1. 与例3相同：

\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} [y \sin (x + y) + \cos (x + y)]

，

\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} [x \sin (x + y) + \cos (x + y)]

。

\frac{\partial z}{\partial x} = v u^{v - 1} \cdot 1 + u^{v} \ln u \cdot 3 = (3 x - y) {(x + 3 y)}^{3 x - y - 1} + 3 {(x + 3 y)}^{3 x - y} \ln (x + 3 y)

。

\frac{\partial z}{\partial y} = v u^{v - 1} \cdot 3 + u^{v} \ln u \cdot (- 1) = 3 (3 x - y) {(x + 3 y)}^{3 x - y - 1} - {(x + 3 y)}^{3 x - y} \ln (x + 3 y)

。

3. 令

u = x^{2} - y^{2}

，

v = e^{xy}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} = f'_{1} \cdot 2 x + f'_{2} \cdot y e^{xy}, \frac{\partial z}{\partial y} = f'_{1} \cdot (- 2 y) + f'_{2} \cdot x e^{xy} .

4. 令

u = xy

，

v = x + y

，则

\frac{\partial z}{\partial x} = f'_{1} \cdot y + f'_{2} \cdot 1, \frac{\partial z}{\partial y} = f'_{1} \cdot x + f'_{2} \cdot 1 .

第三节题型总结

题型一：具体函数链式求导 — 画出变量依赖树形图，按链式法则逐项相加。

题型二：抽象函数链式求导 — 用

f'_{1}

、

f'_{2}

表示对第一、第二中间变量的偏导。

第四节隐函数的求导公式

| 一、一个方程的情形

定理 6－6（隐函数存在定理1）

设函数

F (x, y)

在点

P (x_{0}, y_{0})

的某一邻域内具有连续偏导数，且

F (x_{0}, y_{0}) = 0

，

F'_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则方程

F (x, y) = 0

在点

(x_{0}, y_{0})

的某一邻域内恰能确定一个连续且具有连续导数的函数

y = f (x)

，且

\frac{d y}{d x} = - \frac{F'_{x}}{F'_{y}} .

例 1

设

y = y (x)

是由方程

x + y^{3} - 1 = 0

所确定的隐函数，求

\frac{d y}{d x}

。

解设

F (x, y) = x + y^{3} - 1

，则

F'_{x} = 1

，

F'_{y} = 3 y^{2}

。

\frac{d y}{d x} = - \frac{F'_{x}}{F'_{y}} = - \frac{1}{3 y^{2}} .

例 2

设

z = z (x, y)

是由方程

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z = 0

确定的隐函数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

。

解设

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z

，则

F'_{x} = 2 x

，

F'_{y} = 2 y

，

F'_{z} = 2 z - 4

。

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F'_{x}}{F'_{z}} = - \frac{2 x}{2 z - 4} = \frac{x}{2 - z}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F'_{y}}{F'_{z}} = \frac{y}{2 - z} .

例 3（补充·隐函数两种求法）

设

z = z (x, y)

由

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

确定，求

\frac{\partial z}{\partial x}

。

公式法：

F = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 21

，

F_{x} = 2 x

，

F_{z} = 6 z

。

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} = - \frac{x}{3 z} .

直接求导法：两边对

x

求偏导：

2 x + 6 z \frac{\partial z}{\partial x} = 0

，解得

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{x}{3 z}

。

| 二、方程组的情形

设

F (x, y, u, v) = 0

，

G (x, y, u, v) = 0

确定

u = u (x, y)

、

v = v (x, y)

。将两方程分别对

x

求偏导，得

F'_{x} + F'_{u} \frac{\partial u}{\partial x} + F'_{v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0, G'_{x} + G'_{u} \frac{\partial u}{\partial x} + G'_{v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0,

由此解出

\frac{\partial u}{\partial x}

和

\frac{\partial v}{\partial x}

。类似可求对

y

的偏导。

| 习题 6－4

习题 6－4

1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数。

（1）

e^{y} + xy - e = 0

，求

\frac{d y}{d x}

；

（2）

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 xyz

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

；

（3）

e^{z} - z = xy

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

、

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

。

2. 设

x = e^{u} \cos v

，

y = e^{u} \sin v

，求

\frac{\partial u}{\partial x}

、

\frac{\partial v}{\partial x}

。

习题 6－4 详细解析

1（1）

F = e^{y} + xy - e

，

F'_{x} = y

，

F'_{y} = e^{y} + x

。

\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{e^{y} + x} .

1（2）

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 xyz

，

F'_{x} = 2 x - 3 yz

，

F'_{y} = 2 y - 3 xz

，

F'_{z} = 2 z - 3 xy

。

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{2 x - 3 yz}{2 z - 3 xy}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2 y - 3 xz}{2 z - 3 xy} .

1（3）

F = e^{z} - z - xy

，

F'_{x} = - y

，

F'_{y} = - x

，

F'_{z} = e^{z} - 1

。

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{e^{z} - 1}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{e^{z} - 1} .

对

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{e^{z} - 1}

再对

y

求偏导（

z

是

x, y

的函数）：

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{(e^{z} - 1) - y \cdot e^{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}}{{(e^{z} - 1)}^{2}} = \frac{(e^{z} - 1) - \frac{xy e^{z}}{e^{z} - 1}}{{(e^{z} - 1)}^{2}} = \frac{{(e^{z} - 1)}^{2} - xy e^{z}}{{(e^{z} - 1)}^{3}} .

2. 将

x = e^{u} \cos v

，

y = e^{u} \sin v

两端分别对

x

求偏导（

y

视为常数）：

1 = e^{u} \cos v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - e^{u} \sin v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}

，

0 = e^{u} \sin v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + e^{u} \cos v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}

。

解得

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\cos v}{e^{u}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

，

\frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\sin v}{e^{u}} = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

。

第四节题型总结

题型一：隐函数求导（一个方程） — 公式

\frac{d y}{d x} = - \frac{F'_{x}}{F'_{y}}

，三元类推。

题型二：方程组确定的隐函数 — 两方程对同一自变量求偏导，联立解方程组。

第五节多元函数微分学的几何应用与极值

| 一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线

Γ

的参数方程为

x = φ (t)

，

y = ψ (t)

，

z = ω (t)

，则曲线在点

M_{0}

处的切线方程为

\frac{x - x_{0}}{φ' (t_{0})} = \frac{y - y_{0}}{ψ' (t_{0})} = \frac{z - z_{0}}{ω' (t_{0})},

法平面方程为

φ' (t_{0}) (x - x_{0}) + ψ' (t_{0}) (y - y_{0}) + ω' (t_{0}) (z - z_{0}) = 0

。

例 1

求螺旋线

x = a \cos t

，

y = a \sin t

，

z = bt

在

t = \frac{π}{2}

处的切线和法平面方程。

解

φ' (t) = - a \sin t

，

ψ' (t) = a \cos t

，

ω' (t) = b

。

当

t = \frac{π}{2}

时：

x_{0} = 0

，

y_{0} = a

，

z_{0} = \frac{bπ}{2}

；

φ' = - a

，

ψ' = 0

，

ω' = b

。

切线：

\frac{x}{- a} = \frac{y - a}{0} = \frac{z - \frac{bπ}{2}}{b}

。法平面：

- ax + b (z - \frac{bπ}{2}) = 0

。

| 二、空间曲面的切平面与法线

设曲面方程为

F (x, y, z) = 0

，则在

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

处的法向量为

\vec{n} = {F'_{x}, F'_{y}, F'_{z}}

。

切平面：

F'_{x} (x - x_{0}) + F'_{y} (y - y_{0}) + F'_{z} (z - z_{0}) = 0

。

法线：

\frac{x - x_{0}}{F'_{x}} = \frac{y - y_{0}}{F'_{y}} = \frac{z - z_{0}}{F'_{z}}

。

例 2

求椭球面

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} + z^{2} = 1

在点

(1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})

处的切平面和法线方程。

解

F = \frac{x^{2}}{4} + y^{2} + z^{2} - 1

，

F'_{x} = \frac{x}{2}

，

F'_{y} = 2 y

，

F'_{z} = 2 z

。

在该点：

F'_{x} = \frac{1}{2}

，

F'_{y} = \sqrt{2}

，

F'_{z} = \sqrt{2}

。

切平面：

\frac{1}{2} (x - 1) + \sqrt{2} (y - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{2} (z - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0

，化简得

x + 2 \sqrt{2} y + 2 \sqrt{2} z = 5

。

法线：

\frac{x - 1}{1 / 2} = \frac{y - 1 / \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{z - 1 / \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

。

例 3（补充·切平面与法线）

求曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

在点

(1, - 2, 2)

处的切平面和法线方程。

解

F = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 21

，梯度

F_{x} = 2

，

F_{y} = - 8

，

F_{z} = 12

。

法向量

(1, - 4, 6)

。切平面：

x - 4 y + 6 z = 21

。

法线：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 2}{6}

。

布局说明：主区：三维椭球面+切平面+法线；右侧：法向量数值面板

| 三、多元函数的极值

定义 6－7

设函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于

(x_{0}, y_{0})

的点都有

f (x, y) < f (x_{0}, y_{0})

（或

f (x, y) > f (x_{0}, y_{0})

），则称

f (x_{0}, y_{0})

为极大值（或极小值）。

定理 6－7

（极值必要条件）设

z = f (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

具有偏导数且取得极值，则

f'_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0

，

f'_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

。

定理 6－8

（极值充分条件）设

f'_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0

，

f'_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

，令

A = f ″_{xx}

，

B = f ″_{xy}

，

C = f ″_{yy}

（均在

(x_{0}, y_{0})

处取值），则：

（1）

AC - B^{2} > 0

时为极值点（

A > 0

极小，

A < 0

极大）；

（2）

AC - B^{2} < 0

时不是极值点；

（3）

AC - B^{2} = 0

时需进一步讨论。

例 4

求

z = x^{2} - xy + y^{2} - 2 x + y

的极值。

解令

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x - y - 2 = 0

，

\frac{\partial z}{\partial y} = - x + 2 y + 1 = 0

，解得驻点

(1, 0)

。

A = f ″_{xx} = 2, B = f ″_{xy} = - 1, C = f ″_{yy} = 2 .

AC - B^{2} = 4 - 1 = 3 > 0

，

A = 2 > 0

，故

(1, 0)

为极小值点，极小值

z (1, 0) = 1 - 0 + 0 - 2 + 0 = - 1

。

例 5（补充·完整极值判定）

求

z = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极值。

解

z_{x} = 3 (x + 3) (x - 1) = 0

，

z_{y} = - 3 y (y - 2) = 0

。四个驻点：

(- 3, 0)

，

(- 3, 2)

，

(1, 0)

，

(1, 2)

。

A = 6 x + 6

，

B = 0

，

C = - 6 y + 6

。

(- 3, 0)

：

AC - B^{2} = - 72 < 0

，非极值。

(- 3, 2)

：

AC - B^{2} = 72 > 0

，

A < 0

，极大值

31

。

(1, 0)

：

AC - B^{2} = 72 > 0

，

A > 0

，极小值

- 5

。

(1, 2)

：

AC - B^{2} = - 72 < 0

，非极值。

| 四、条件极值与拉格朗日乘数法

求

z = f (x, y)

在约束

φ (x, y) = 0

下的极值，构造拉格朗日函数

L = f (x, y) + λφ (x, y)

，解方程组

{\begin{matrix} L'_{x} = f'_{x} + λφ'_{x} = 0 \\ L'_{y} = f'_{y} + λφ'_{y} = 0 \\ φ (x, y) = 0 \end{matrix}

例 6

求在约束条件

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

下，

z = x^{2} + y^{2}

的条件极值。

解令

L = x^{2} + y^{2} + λ (\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1)

。

L'_{x} = 2 x + \frac{λ}{a} = 0 \Rightarrow x = - \frac{λ}{2 a}

；

L'_{y} = 2 y + \frac{λ}{b} = 0 \Rightarrow y = - \frac{λ}{2 b}

。

代入约束：

\frac{1}{a} (- \frac{λ}{2 a}) + \frac{1}{b} (- \frac{λ}{2 b}) = 1

，解得

λ = - \frac{2 a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

。

极值点

x = \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

，

y = \frac{a^{2} b}{a^{2} + b^{2}}

，极小值

z = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

。

例 7（补充·条件极值应用题）

表面积为

S

的长方体，何时体积最大？

解目标

V = xyz

，约束

2 (xy + yz + xz) = S

。

构造

L = xyz + λ [2 (xy + yz + xz) - S]

。由对称性得

x = y = z = \sqrt{S / 6}

。

即正方体时体积最大。

布局说明：主区：等高线+约束路径+梯度箭头；右侧：数值面板

| 习题 6－5

习题 6－5

1. 求下列函数的极值。

（1）

z = x^{2} - xy + y^{2} - 2 x + y

；

（2）

z = x^{3} + y^{3} - 3 xy

；

（3）

z = xy + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}

（

x > 0, y > 0

）；

（4）

z = e^{x^{2} - y} (5 - 2 x + y)

。

2. 求函数

f (x, y) = xy (4 - x - y)

在

x = 1, y = 0, x + y = 6

所围成的闭区域上的最大值与最小值。

3. 已知三个正数之和为

a

，为使得其积最大，求这三个数。

4. 已知三个正数之和为

a

，为使这三个正数的倒数之和为最小，求这三个数。

5. 求下列条件极值。

（1）

z = x^{2} + y^{2}

，

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

；

（2）

z = \cos^{2} x + \cos^{2} y

，

x - y = \frac{π}{4}

。

习题 6－5 详细解析

1（1）与例4相同，极小值

z (1, 0) = - 1

。

1（2）

z'_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0

，

z'_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0

，解得

y = x^{2}

，代入得

x^{4} = x

，即

x = 0

或

x = 1

。驻点

(0, 0)

和

(1, 1)

。

在

(0, 0)

：

A = 0, B = - 3, C = 0

，

AC - B^{2} = - 9 < 0

，非极值点。

在

(1, 1)

：

A = 6, B = - 3, C = 6

，

AC - B^{2} = 27 > 0

，

A > 0

，极小值

z = - 1

。

1（3）

z'_{x} = y - \frac{50}{x^{2}} = 0

，

z'_{y} = x - \frac{20}{y^{2}} = 0

，解得

y = \frac{50}{x^{2}}

，

x^{3} = \frac{20 x^{2}}{50^{2} / x^{4}}

，化简得

x = 5, y = 2

。

A = \frac{100}{x^{3}} = \frac{4}{5}

，

B = 1

，

C = \frac{40}{y^{3}} = 5

，

AC - B^{2} = 4 - 1 = 3 > 0

，极小值

z = 30

。

1（4）令

f (x, y) = e^{x^{2} - y} (5 - 2 x + y)

，

f'_{x} = e^{x^{2} - y} [2 x (5 - 2 x + y) - 2] = 0

，

f'_{y} = e^{x^{2} - y} [- (5 - 2 x + y) + 1] = 0

。由第二式

y = 2 x - 4

，代入第一式

2 x (1) - 2 = 0

，

x = 1, y = - 2

。经验证为极大值

z = e^{3}

。

2. 内部驻点：

f'_{x} = y (4 - 2 x - y) = 0

，

f'_{y} = x (4 - x - 2 y) = 0

。在区域内部解得

(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})

，

f = \frac{64}{27}

。边界上分别检验三条边上的最值，最终最大值

\frac{64}{27}

，最小值

0

。

3. 设三数为

x, y, z

，约束

x + y + z = a

，目标

f = xyz

最大。由对称性和拉格朗日乘数法，

x = y = z = \frac{a}{3}

，最大值为

\frac{a^{3}}{27}

。

4. 约束

x + y + z = a

，目标

g = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}

最小。拉格朗日乘数法：

- \frac{1}{x^{2}} + λ = 0

，

- \frac{1}{y^{2}} + λ = 0

，

- \frac{1}{z^{2}} + λ = 0

，故

x = y = z = \frac{a}{3}

。

5（1）与例6相同，极小值

z = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

。

5（2）

L = \cos^{2} x + \cos^{2} y + λ (x - y - \frac{π}{4})

。

L'_{x} = - 2 \sin x \cos x + λ = - \sin 2 x + λ = 0

，

L'_{y} = - \sin 2 y - λ = 0

。

故

\sin 2 x = λ = - \sin 2 y

，即

\sin 2 x + \sin 2 y = 0

，

2 \sin (x + y) \cos (x - y) = 0

。

由

x - y = \frac{π}{4}

，

\cos (\frac{π}{4}) \neq 0

，故

\sin (x + y) = 0

，

x + y = kπ

。

联立

x - y = \frac{π}{4}

，取

k = 0

：

x = \frac{π}{8}, y = - \frac{π}{8}

，

z = \cos^{2} \frac{π}{8} + \cos^{2} \frac{π}{8} = 2 \cos^{2} \frac{π}{8} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}

（极大值）。取

k = 1

：

x = \frac{5 π}{8}, y = \frac{3 π}{8}

，

z = 2 \sin^{2} \frac{π}{8} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}

（极小值）。

第五节题型总结

题型一：无条件极值 — 求驻点 → 判别式

AC - B^{2}

判断。

题型二：闭区域最值 — 内部驻点 + 边界上的最值比较。

题型三：条件极值 — 拉格朗日乘数法。

核心题型与解题策略

方法论总结 ①

策略一：链式法则的「树形图法」

口诀：「分清自变量、中间变量、因变量；连线求导，分叉相加」。

步骤：从

z

到每个自变量的每条路径，沿途偏导数相乘，所有路径乘积相加。

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} .

方法论总结 ②

策略二：隐函数求导「三大法宝」

公式法：

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}}

（适用单个方程）。

全微分法：方程两边同时取微分，整理系数。

直接求导法：视

z

为

x, y

的函数，两边对

x

求偏导。

方法论总结 ③

策略三：极值判定的「流水线」

无条件极值：求驻点 →

A, B, C

→

Δ = AC - B^{2}

（

> 0

有极值，

< 0

无，

= 0

失效）。

条件极值：构造

L = f + λg

→ 求驻点 → 比较函数值。

本章小结

一、基本概念

多元函数，二元函数的极限，二元函数的连续性，偏导数，高阶偏导数，全增量，全微分，链式法则，驻点，无条件极值，条件极值。

二、基本公式

全微分在近似计算中的两个重要公式。

三、基本方法

1. 二元函数极限的求法。

2. 二元函数连续性的判断。

3. 偏导数的求法。

4. 全微分的计算。

5. 多元复合函数的求导。

6. 隐函数的微分法。

7. 空间曲线的切线与法平面的求法。

8. 空间曲面的切平面与法线的求法。

9. 二元函数极值的求法。

复习题六

一、选择题

1. 设

f (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

处可微，则

f

在该点的偏导数一定（）。A. 存在 B. 连续 C. 不存在 D. 不确定

二、填空题

2. 设

z = e^{2 x + 3 y}

，则

z_{xy}

= ______。

3. 设

z = f (x + y, xy)

，则

z_{x} - z_{y}

= ______。

三、计算题

4. 求

z = x^{2} e^{2 y}

的全部二阶偏导数。

5. 求曲面

z = x^{2} + y^{2}

在点

(1, 1, 2)

处的切平面和法线。

6. 求

z = x^{3} + y^{3} - 3 xy

的极值。

7. 用拉格朗日乘数法求约束

x + y + z = 12

下

u = xyz

的最大值。

复习题六参考解析

1. 选A。可微则偏导必存在。

z_{xy} = 6 e^{2 x + 3 y}

。

z_{x} - z_{y} = (y - x) f_{2}'

。

z_{xx} = 2 e^{2 y}

，

z_{yy} = 4 x^{2} e^{2 y}

，

z_{xy} = 4 x e^{2 y}

。

5. 切平面

2 x + 2 y - z = 2

，法线

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

。

6. 驻点

(0, 0)

非极值；

(1, 1)

极小值

z = - 1

。

x = y = z = 4

，

u_{\max} = 64

。