第 07 章

线性代数初步

矩阵概念 · 逆矩阵 · 线性方程组

第一节    矩阵的概念

| 一、实例引入

实例 1

随着教育教学改革的快速发展，高职院校毕业生学生参与顶岗实习的比率逐年上升，表 7－1 列出某高职院校 4 个系近 3 年的就业情况：

表 7-1  某高职院校实习人数

年份

材料系

航管系

建筑系

电气系

2008

193

184

192

175

2009

205

191

196

184

2010

222

198

212

188

如果抛开年份和系别，就业率就是一个 3 行 4 列的表格，把这种表格在概念上加以拓展，就得出一般的矩阵的概念。

实例 2

已知线性方程组

{ 2 x + 3 y + mz = 1 3 x − 2 y + 4 z = 2
中未知数 x , y , z  的系数按原来的次序排列写成一个矩形数表，并简记为 ( 2 3 m 3 − 2 4 ) ，此矩阵称为线性方程组的系数矩阵。如果加上等号后面的常数项矩阵 ( 1 2 ) ，写成 ( 2 3 m 1 3 − 2 4 2 ) ，此矩阵称为线性方程组的增广矩阵。

实例 3

表 7－2 是一个单位人员的构成表。

表 7-2  某单位人员构成表

 

主任

副主任

工程师

工人

临时工

厂办

1

2

1

3

无

第一车间

1

1

5

52

2

第二车间

1

2

9

150

3

第三车间

1

1

4

19

无

当我们把表中的文字说明部分去掉，并把缺省的项目填成数字 0，就得到了只有数字的数表

( 1 2 1 3 0 1 1 5 5 52 1 2 9 150 3 1 1 4 19 0 )

当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵的概念了。所谓矩阵，就是一个数表，但是这个数表已除去了数据的来源和意义，只有一个由数字构成的矩形的方阵。

| 二、矩阵的概念

像上述实例那样将一些具有实际意义的数字写成数表的形式，就能得出一般矩阵概念。

  定义 7－1  矩阵

由 mn  个数 a ij （ 1 ≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ n ），排成 m  个横行 n  个竖列的数表
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a mn )
称为 m  行 n  列矩阵或 m × n  级矩阵，简称矩阵。数 a ij  为矩阵的元素，矩阵常简记为 A  或 B  或 C ， ⋯ ，用大写英文字母表示，或简记为 A mn ， A m × n ， ( a ij ) ， ( a ij ) mn 等。

  定义 7－2  方阵

当矩阵的行数与列数相等时，称为方阵或 n  阶方阵。其中称方阵从左上角到右下角的对角线为主对角线。

  定义 7－3  同型矩阵与矩阵相等

设 A = ( a ij ) mn ， B = ( b ij ) lk 。若 m = l ， n = k ，则 A  与 B  称为同型矩阵。
若同型矩阵满足 a ij = b ij （ 1 ≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ n ），则称 A = B 。

注意

在数学理论当中，一个矩阵中的 m × n  个元素可以是数（整数、实数或复数），也可以是其他研究对象（例如函数、文字、甚至更小的矩阵等），本课程只讲元素是实数矩阵。

实例 4  航班线路矩阵

图 7－1 表明了 A 国的 4 个城市、B 国的 3 个城市、C 国的 3 个城市相互间的航班情况。

对于 B 国和 C 国之间的航班线路我们可以表示成下面的矩阵：

( 0 1 1 1 0 1 1 0 1 )

其中的数字 1 和 0 指的是相应城市之间是否有航班。同学们可以试着写出其他 A 国与 B 国之间的航班矩阵。

图 7-1  航班线路图

实例 5  营业额矩阵

某商场三类商品一天的营业额如表 7－3：

表 7-3  某商场三类商品一天的营业额（万元）

 

一分场

二分场

三分场

四分场

五金

1.1

1.5

1.2

1.3

百货

2.3

2.2

1.9

2.5

家电

4.3

4.1

4.2

4.0

| 三、几种特殊矩阵

1. 零矩阵  所有元素都为零的矩阵，记为 O 。注意不同型的零矩阵是不相等的。
2. 行矩阵（行向量） 只有一行的矩阵 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n )  称为行矩阵或行向量。
3. 列矩阵（列向量） 只有一列的矩阵 ( b 1 b 2 ⋮ b m )  称为列矩阵或列向量。

4. 对角矩阵 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，记为

Λ = diag ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) =
5. 单位矩阵 主对角线上元素全为 1、其余元素全为 0 的方阵称为单位矩阵， n 阶单位矩阵记为 E n  或 I n ：
E n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 )

6. 上三角矩阵和下三角矩阵 主对角线以下（或以上）元素全为零的方阵，分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

7. 对称矩阵 满足 a ij = a ji  的方阵 A  称为对称矩阵。对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。

| 四、矩阵的应用实例——田忌赛马

实例 7  田忌赛马——博弈矩阵

田忌赛马是中国古代著名的博弈故事。齐王与田忌各有上、中、下三等马，双方各派三匹马依次比赛，每场胜者赢一局，负者输一局。

齐王的出场顺序固定为'上、中、下'，田忌可以选择不同的排列顺序。齐王的三种马有 3 ! = 6  种排列，田忌同样有 6 种排列。我们用 1  表示田忌胜， − 1 表示田忌负，构造 6 × 6  的'赢得矩阵'：

设齐王马的实力排序为：上马 > 田忌上马 > 齐王中马 > 田忌中马 > 齐王下马 > 田忌下马。

田忌的 6 种策略为其三匹马的排列：(上中下)、(上下中)、(中上下)、(中下上)、(下上中)、(下中上)。齐王固定出场顺序为（上中下），每种策略组合的三场比赛胜负之和构成矩阵元素。

例如，田忌采用'下上中'策略时：下马 vs 齐王上马（负）、上马 vs 齐王中马（胜）、中马 vs 齐王下马（胜），总比分 − 1 + 1 + 1 = 1 ，即田忌净赢 1 局。这正是历史上田忌实际采用的策略！
意义： 这个 6 × 6  矩阵是一个典型的二人零和博弈中的'支付矩阵'。矩阵元素 a ij  表示'田忌选策略 i 、齐王选策略 j  时田忌的收益'。通过分析矩阵，可以找到最优策略。

| 习题 7－1

  习题 7－1

1. 写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：

（1） { 2 x 1 + x 2 − x 3 = 1 x 1 − x 2 + 3 x 3 = − 2 4 x 1 + x 2 + 5 x 3 = 3
（2） { 3 x 1 − 2 x 3 = 5 x 1 + x 2 = 3 4 x 2 + x 3 = − 1
2. 设 ( a + b 2 a − b c − d 2 c + d ) = ( 3 1 5 − 1 ) ，求 a , b , c , d 。

3. 举出生活中可以用矩阵表示的实例。

  习题 7－1 详细解析

1.（1）

思路： 系数矩阵由未知数的系数按原方程组中的位置排列而成；增广矩阵在系数矩阵右侧附加常数列。

方程组中 x 1 , x 2 , x 3  的系数依次为：第一个方程 ( 2 , 1 , − 1 ) ，第二个方程 ( 1 , − 1 , 3 ) ，第三个方程 ( 4 , 1 , 5 ) 。
系数矩阵： A = ( 2 1 − 1 1 − 1 3 4 1 5 )
增广矩阵（在系数矩阵右侧加上常数列 1 , − 2 , 3 ）： A ´ = ( 2 1 − 1 1 1 − 1 3 − 2 4 1 5 3 )

1.（2）

注意： 方程中缺少某未知数时，对应系数为 0。逐方程提取 x 1 , x 2 , x 3  的系数：
第一个方程 3 x 1 + 0 ⋅ x 2 − 2 x 3 = 5 ，系数为 ( 3 , 0 , − 2 ) ；
第二个方程 x 1 + x 2 + 0 ⋅ x 3 = 3 ，系数为 ( 1 , 1 , 0 ) ；
第三个方程 0 ⋅ x 1 + 4 x 2 + x 3 = − 1 ，系数为 ( 0 , 4 , 1 ) 。
系数矩阵： A = ( 3 0 − 2 1 1 0 0 4 1 ) ，增广矩阵： A ´ = ( 3 0 − 2 5 1 1 0 3 0 4 1 − 1 )

2.

方法： 由矩阵相等的定义，两个同型矩阵相等当且仅当对应位置的元素相等。

逐一比较对应元素，得四元方程组：

第 (1,1) 位置： a + b = 3 … ①；第 (1,2) 位置： 2 a − b = 1 … ②
第 (2,1) 位置： c − d = 5 … ③；第 (2,2) 位置： 2 c + d = − 1 … ④
由 ①+②： 3 a = 4 ，得 a = 4 3 ；代入 ①： b = 3 − 4 3 = 5 3 。
由 ③+④： 3 c = 4 ，得 c = 4 3 ；代入 ③： d = 4 3 − 5 = − 11 3 。
验证： a + b = 4 3 + 5 3 = 3  ✓， 2 a − b = 8 3 − 5 3 = 1 ✓， c − d = 4 3 + 11 3 = 5 ✓， 2 c + d = 8 3 − 11 3 = − 1 ✓。

3.

示例： ① 课程成绩表——行=学生，列=科目，元素=分数，如 3 个学生 4 门课构成 3 × 4  矩阵；② 公交线路换乘表——行列均为线路，元素 1/0 表示是否可换乘；③ 各车间各工种人数表、超市各分店各类商品日销量表等。只要数据可以按行列排成矩形数表，都可以用矩阵表示。

第二节    矩阵的运算

| 一、矩阵的加法与减法

  定义 7－4  矩阵的加法

设 A = ( a ij ) m × n ， B = ( b ij ) m × n 是两个同型矩阵，则 A + B  规定为对应元素相加：
A + B = ( a 11 + b 11 ⋯ a 1 n + b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 + b m 1 ⋯ a mn + b mn )
类似地， A − B 的第 i  行第 j  列元素为 a ij − b ij 。

  矩阵加法的运算律

（1）交换律： A + B = B + A
（2）结合律： ( A + B ) + C = A + ( B + C )
（3） A + O = A
（4） A + ( − A ) = O ，其中 − A  称为 A  的负矩阵。

  例 1

设 A = ( 1 − 1 0 2 1 3 ) ， B = ( 2 0 1 − 1 3 2 ) ，求 A + B 。
解   A  与 B  均为 2 × 3  矩阵（同型），可以相加。对应元素相加：
A + B = ( 1 + 2 − 1 + 0 0 + 1 2 + ( − 1 ) 1 + 3 3 + 2 ) = ( 3 − 1 1 1 4 5 )

| 二、数乘矩阵

  定义 7－5  数乘矩阵

数 λ  与矩阵 A  的乘积 λ A ，规定为将每个元素乘以 λ ：
λ A = ( λ a 11 ⋯ λ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ λ a m 1 ⋯ λ a mn )

  数乘矩阵的运算律

（1） λ ( μ A ) = ( λμ ) A
（2） ( λ + μ ) A = λ A + μ A
（3） λ ( A + B ) = λ A + λ B

  例 2

设 A = ( 1 2 3 4 ) ， B = ( 2 0 − 1 3 ) ，求 3 A − 2 B 。

解  先分别数乘，再做矩阵减法：

3 A = ( 3 6 9 12 ) , 2 B = ( 4 0 − 2 6 )
3 A − 2 B = ( 3 − 4 6 − 0 9 − ( − 2 ) 12 − 6 ) = ( − 1 6 11 6 )

| 三、矩阵的转置

  定义 7－6  转置矩阵

把矩阵 A  的行与列互换所得到的矩阵称为 A  的转置矩阵，记为 A T 。

  转置矩阵的运算律

（1） ( A T ) T = A 　　（2） ( A + B ) T = A T + B T
（3） ( λ A ) T = λ A T 　　（4） ( AB ) T = B T A T

  例 3

设 A = ( 1 0 3 2 − 1 5 ) ，求 A T 。
解  将行变为列：第 1 行 ( 1 , 0 , 3 )  变为第 1 列，第 2 行 ( 2 , − 1 , 5 )  变为第 2 列。
A T = ( 1 2 0 − 1 3 5 ) ，原 2 × 3  矩阵转置后变为 3 × 2  矩阵。

| 四、矩阵的乘法

实例 2  密码学中的矩阵乘法

矩阵乘法在密码学中有重要应用。将单词 "love" 的字母转为数字编码（ l = 12 , o = 15 , v = 22 , e = 5 ），排成 2 × 2  矩阵
A = ( 12 15 22 5 )
选取加密矩阵 B = ( 1 2 3 1 ) ，计算密文矩阵 C = AB ：
C = ( 12 15 22 5 ) ( 1 2 3 1 ) = ( 12 × 1 + 15 × 3 12 × 2 + 15 × 1 22 × 1 + 5 × 3 22 × 2 + 5 × 1 ) = ( 57 39 37 49 )
密文矩阵 C  中的数字已完全'混淆'，无法直接看出原文。这正是矩阵乘法的混淆作用——不同于简单的数字替换，矩阵乘法将每个密文元素都融合了多个明文元素的信息。解密时只需计算 A = C B − 1 。

矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的运算。把复杂的电路分成许多串接局部电路，分别求出它们的传输矩阵，再相乘起来，得到总的传输矩阵，可以使分析电路的工作简化。

  定义 7－7  矩阵乘法

设 A = ( a ij ) mn ， B = ( b jk ) np 分别是 m × n 、 n × p 矩阵，则 C = AB  是 m × p  矩阵，其第 i  行第 k  列元素为
c ik = ∑ j = 1 n a ij b jk = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k + ⋯ + a in b nk

注意

A  的列数必须等于 B  的行数，即 m × n  矩阵乘 n × p  矩阵，结果为 m × p  矩阵。可以简记为'中间相同取两端'。

  例 4

设 A = ( 1 0 2 − 1 3 1 ) ， B = ( 1 2 3 − 1 0 4 ) ，求 AB 。
解   A  是 3 × 2 ， B 是 2 × 3 ，列数=行数=2，可以相乘， AB 是 3 × 3 。
逐元素计算（以 c 21  为例）： c 21 = 2 × 1 + ( − 1 ) × ( − 1 ) = 2 + 1 = 3 。
AB = ( 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 4 2 ⋅ 1 + ( − 1 ) ( − 1 ) 2 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 0 2 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 4 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 ) = ( 1 2 3 3 4 2 2 6 13 )

  矩阵乘法的运算律

（1）结合性： ( AB ) C = A ( BC )
（2）分配性： ( A + B ) C = AC + BC ， C ( A + B ) = CA + CB
（3）数乘结合性： k ( AB ) = ( k A ) B = A ( k B )

注意：矩阵乘法不满足交换律

矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB ≠ BA 。此外，两个均非零的矩阵，其乘积可能等于零。

实例 3  电路网络——级联系统的传输矩阵

把复杂的电路分成许多串接局部电路（图 7-2、图 7-3），分别求出它们的传输矩阵，再相乘起来，得到总的传输矩阵。

以两个电阻组成的分压电路为例。第一个子网络只包含电阻 R 1 ，其传输矩阵为
A 1 = ( 1 − R 1 0 1 )
第二个子网络只包含电阻 R 2 ，其传输矩阵为
A 2 = ( 1 0 − 1 R 2 1 )

整个电路的传输矩阵为两者的乘积：

A = A 1 ⋅ A 2 = ( 1 − R 1 0 1 ) ( 1 0 − 1 R 2 1 ) = ( 1 + R 1 R 2 − R 1 − 1 R 2 1 )
关键公式： 串联电路的总传输矩阵 A = A 1 A 2 。这说明矩阵乘法天然地描述了'级联'关系——先经过 A 1  变换，再经过 A 2  变换，等效于一次 A  变换。

图 7-2/7-3  子网络串联模型

| 五、单位矩阵与矩阵的方幂

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1，我们称这种矩阵为单位矩阵（通常用 E  或 I  表示）。它是个方阵，除主对角线上的元素均为 1 以外全都为 0，即
E n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 )
若 A  是 m × n  阶矩阵，则 E m A = A E n = A 。任何矩阵左乘或右乘一个单位矩阵，其积仍为该矩阵。

实例 4  航路矩阵与方幂

【补录】实例 4  航空航线——邻接矩阵的幂

图 7－4 为 1, 2, 3, 4 四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵（邻接矩阵）表示：

A 1 = ( 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 )
其中 a ij = 1  表示城市 i  到城市 j  有直达航班。
而 A 1 2 = A 1 ⋅ A 1 = ( 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 ) 。
关键解释： A 1 2  的元素 ( A 1 2 ) ij  表示从城市 i  到城市 j  中转一次（坐两次航班）的方案数。例如 ( A 1 2 ) 11 = 1  表示从城市 1 出发经一次中转回到城市 1 有 1 种走法。
一般地， A k 的元素 ( A k ) ij  表示从 i  到 j  恰好经过 k  条边的路径数。

图 7-4  空运航线有向图

  定义 7－8  矩阵的方幂

设 A  为 n  阶方阵， k 个 A  的乘积称为 A  的 k  次幂，记作 A k 。
性质： A k A l = A k + l ， ( A k ) l = A kl 。
注意 一般 ( AB ) k ≠ A k B k 。

  例 5

设 A = ( 1 − 1 − 1 1 ) ，求 A n 。

解  先计算低次幂寻找规律。

A 2 = ( 1 − 1 − 1 1 ) ( 1 − 1 − 1 1 ) = ( 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 + 1 ) = ( 2 − 2 − 2 2 ) = 2 A
A 3 = A 2 ⋅ A = 2 A ⋅ A = 2 A 2 = 2 ⋅ 2 A = 4 A = 2 2 A
由此猜想： A n = 2 n − 1 A 。用数学归纳法验证：
当 n = 1  时， A 1 = 2 0 A = A ✓。设 n = k  时成立，即 A k = 2 k − 1 A ，则
A k + 1 = A k ⋅ A = 2 k − 1 A ⋅ A = 2 k − 1 A 2 = 2 k − 1 ⋅ 2 A = 2 k A  ✓
故 A n = 2 n − 1 A = ( 2 n − 1 − 2 n − 1 − 2 n − 1 2 n − 1 ) 。

| 习题 7－2

  习题 7－2

1. 设 A = ( 1 2 3 4 5 6 ) ， B = ( 1 − 1 0 2 1 − 3 ) ，求 A + B ， A − B ， 2 A − 3 B 。
2. 设 A = ( 2 3 1 0 ) ， B = ( 1 0 − 1 2 ) ，验证 AB ≠ BA 。
3. 设 A = ( 1 2 3 4 ) ，求 A 2 。
4. 求下列矩阵的转置：（1） A = ( 1 2 3 0 − 1 4 ) 　（2） B = ( 1 2 3 )

  习题 7－2 详细解析

1. A  与 B  均为 2 × 3  同型矩阵，可做加减法。
A + B = ( 1 + 1 2 + ( − 1 ) 3 + 0 4 + 2 5 + 1 6 + ( − 3 ) ) = ( 2 1 3 6 6 3 )
A − B = ( 1 − 1 2 − ( − 1 ) 3 − 0 4 − 2 5 − 1 6 − ( − 3 ) ) = ( 0 3 3 2 4 9 )
2 A − 3 B = ( 2 4 6 8 10 12 ) − ( 3 − 3 0 6 3 − 9 ) = ( − 1 7 6 2 7 21 )
2. A  为 2 × 2 ， B 为 2 × 2 ， AB 和 BA  均可计算。
AB = ( 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 ) = ( − 1 6 1 0 )
BA = ( 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 ( − 1 ) ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 ( − 1 ) ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ) = ( 2 3 0 − 3 )
因为 ( − 1 6 1 0 ) ≠ ( 2 3 0 − 3 ) ，故 AB ≠ BA ，验证了矩阵乘法不满足交换律。
3. A 2 = A ⋅ A = ( 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 ) = ( 7 10 15 22 )
4.（1） A  为 2 × 3 ，转置后为 3 × 2 。第 1 行 ( 1 , 2 , 3 )  变为第 1 列，第 2 行 ( 0 , − 1 , 4 )  变为第 2 列：
A T = ( 1 0 2 − 1 3 4 )
（2） B  为 3 × 1  列矩阵，转置后为 1 × 3  行矩阵： B T = ( 1 , 2 , 3 ) 。

第三节    逆矩阵

| 一、逆矩阵的概念

在数的运算中，对于非零实数 a ，存在 a − 1 = 1 a ，使得 a ⋅ a − 1 = 1 。类似地，对于矩阵我们引入逆矩阵的概念。

  定义 7－9  逆矩阵

对于 n  阶方阵 A ，如果存在 n  阶方阵 B ，使得 AB = BA = E ，则称 A  是可逆矩阵， B 是 A  的逆矩阵，记为 A − 1 = B 。

注意

（1）不是所有方阵都有逆矩阵。零矩阵没有逆矩阵。（2）逆矩阵若存在则唯一。（3）只有方阵才可能有逆矩阵。

| 二、用初等变换求逆矩阵

矩阵的初等行变换有三种：（1）互换矩阵的两行；（2）用非零常数 k  乘某一行；（3）将某行的 k  倍加到另一行。

  定理 7－1  用初等行变换求逆矩阵

n  阶方阵 A  可逆的充要条件是 A  经初等行变换可化为 E 。方法：
( A ∣ E ) → 初等行变换 ( E ∣ A − 1 )

  例 1

求 A = ( 1 2 0 2 5 − 1 0 1 3 )  的逆矩阵。
解  构造 ( A | E )  并做初等行变换：
( 1 2 0 1 0 0 2 5 − 1 0 1 0 0 1 3 0 0 1 ) → r 2 − 2 r 1 ( 1 2 0 1 0 0 0 1 − 1 − 2 1 0 0 1 3 0 0 1 )
→ r 3 − r 2 , r 1 − 2 r 2 ( 1 0 2 5 − 2 0 0 1 − 1 − 2 1 0 0 0 4 2 − 1 1 ) → 1 4 r 3 ( 1 0 2 5 − 2 0 0 1 − 1 − 2 1 0 0 0 1 1 2 − 1 4 1 4 )
→ r 1 − 2 r 3 , r 2 + r 3 ( 1 0 0 4 − 3 2 − 1 2 0 1 0 − 3 2 3 4 1 4 0 0 1 1 2 − 1 4 1 4 )
左半部分已化为 E ，故 A − 1 = ( 4 − 3 2 − 1 2 − 3 2 3 4 1 4 1 2 − 1 4 1 4 ) 。

| 三、逆矩阵的性质

  逆矩阵的性质

（1） ( A − 1 ) − 1 = A 　（2） ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 （ λ ≠ 0 ）
（3） ( AB ) − 1 = B − 1 A − 1 （穿脱原则，注意顺序！）
（4） ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T

  例 2

已知 A = ( 2 5 1 3 ) ，求 A − 1 。

解  构造增广矩阵并做初等行变换：

( 2 5 1 0 1 3 0 1 ) → r 1 ↔ r 2 ( 1 3 0 1 2 5 1 0 ) → r 2 − 2 r 1 ( 1 3 0 1 0 − 1 1 − 2 )
→ − r 2 ( 1 3 0 1 0 1 − 1 2 ) → r 1 − 3 r 2 ( 1 0 3 − 5 0 1 − 1 2 )
故 A − 1 = ( 3 − 5 − 1 2 ) 。
验证： A A − 1 = ( 2 5 1 3 ) ( 3 − 5 − 1 2 ) = ( 6 − 5 − 10 + 10 3 − 3 − 5 + 6 ) = ( 1 0 0 1 ) = E  ✓

| 习题 7－3

  习题 7－3

1. 用初等行变换求逆矩阵：（1） ( 1 2 3 7 ) 　（2） ( 1 1 1 1 2 3 1 4 9 )
2. 设 A  可逆， AB = C ，求 B 。
3. 设 A = ( 1 2 0 1 ) ，求 ( A T ) − 1 。
4. 设 A  可逆且 A 2 = A ，证明 A = E 。
5. 设 A = ( 1 2 3 2 5 2 3 1 − 1 ) ， B = ( 1 − 1 2 0 − 1 3 ) ，解矩阵方程 AX = B 。
6. 设 A = ( 1 0 2 1 ) ， B = ( 1 2 − 1 1 ) ，解矩阵方程 XA = B 。

  习题 7－3 详细解析

1.（1） 构造 ( A | E ) ：
( 1 2 1 0 3 7 0 1 ) → r 2 − 3 r 1 ( 1 2 1 0 0 1 − 3 1 ) → r 1 − 2 r 2 ( 1 0 7 − 2 0 1 − 3 1 )
故 A − 1 = ( 7 − 2 − 3 1 ) 。
验证： ( 1 2 3 7 ) ( 7 − 2 − 3 1 ) = ( 7 − 6 − 2 + 2 21 − 21 − 6 + 7 ) = E ✓
1.（2） 构造 ( A | E )  并分步化简：
( 1 1 1 1 0 0 1 2 3 0 1 0 1 4 9 0 0 1 ) → r 2 − r 1 , r 3 − r 1 ( 1 1 1 1 0 0 0 1 2 − 1 1 0 0 3 8 − 1 0 1 )
→ r 3 − 3 r 2 ( 1 1 1 1 0 0 0 1 2 − 1 1 0 0 0 2 2 − 3 1 ) → 1 2 r 3 ( 1 1 1 1 0 0 0 1 2 − 1 1 0 0 0 1 1 − 3 2 1 2 )

消去第3列中第1、2行的元素：

→ r 2 − 2 r 3 , r 1 − r 3 ( 1 1 0 0 3 2 − 1 2 0 1 0 − 3 4 − 1 0 0 1 1 − 3 2 1 2 ) → r 1 − r 2 ( 1 0 0 3 − 5 2 1 2 0 1 0 − 3 4 − 1 0 0 1 1 − 3 2 1 2 )
故 A − 1 = ( 3 − 5 2 1 2 − 3 4 − 1 1 − 3 2 1 2 ) 。

2.

方法： 由 AB = C ，在等式两边左乘 A − 1 （因为矩阵乘法不满足交换律，左乘和右乘是不同的）：
A − 1 ( AB ) = A − 1 C
( A − 1 A ) B = A − 1 C （利用结合律）
EB = A − 1 C ，即 B = A − 1 C 。

3.

步骤1： 先求转置 A T = ( 1 0 2 1 ) 。
步骤2： 对 A T  做初等行变换求逆：
( 1 0 1 0 2 1 0 1 ) → r 2 − 2 r 1 ( 1 0 1 0 0 1 − 2 1 )
左半部分已是 E ，故 ( A T ) − 1 = ( 1 0 − 2 1 ) 。
补充验证：也可由性质 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T  来验证。先求 A − 1 = ( 1 − 2 0 1 ) （读者可自行验算），再转置得 ( A − 1 ) T = ( 1 0 − 2 1 ) ，与上述结果一致 ✓。

4.

证明： A 2 = A ，两边左乘 A − 1 ： A − 1 A 2 = A − 1 A ，即 A = E 。

5.

方法： 由 AX = B ，左乘 A − 1  得 X = A − 1 B 。将 ( A | B )  做初等行变换化为 ( E | A − 1 B )  即可同时完成求逆和求解。
( 1 2 3 1 − 1 2 5 2 2 0 3 1 − 1 − 1 3 ) → r 2 − 2 r 1 , r 3 − 3 r 1 ( 1 2 3 1 − 1 0 1 − 4 0 2 0 − 5 − 10 − 4 6 )
→ r 3 + 5 r 2 ( 1 2 3 1 − 1 0 1 − 4 0 2 0 0 − 30 − 4 16 ) → − 1 30 r 3 ( 1 2 3 1 − 1 0 1 − 4 0 2 0 0 1 2 15 − 8 15 )
继续回代化为行最简形可得 X = A − 1 B 。

6.

方法： 由 XA = B ，右乘 A − 1  得 X = BA − 1 。
转化技巧：对等式两边取转置得 A T X T = B T ，转化为 AX = B  型。
即对 ( A T | B T ) = ( 1 2 1 − 1 0 1 2 1 )  做行变换：
( 1 2 1 − 1 0 1 2 1 ) → r 1 − 2 r 2 ( 1 0 − 3 − 3 0 1 2 1 )
故 X T = ( − 3 − 3 2 1 ) ， X = ( − 3 2 − 3 1 ) 。

第四节    矩阵的秩与线性方程组

实例 1  营养配餐问题

某食品研究所需要用脱脂牛奶、大豆面粉和乳清三种食品配制一种新的高蛋白食品。三种食物的营养成分如表 7-13 所示：

表 7-13  三种食品的营养成分

食品

蛋白质(g)

碳水化合物(g)

脂肪(g)

脱脂牛奶(每升)

36

52

0

大豆面粉(每千克)

51

34

7

乳清(每千克)

13

74

1.1

要求配制的新食品每份含蛋白质 33 g、碳水化合物 45 g、脂肪 3 g。设需脱脂牛奶 x 1  升、大豆面粉 x 2  千克、乳清 x 3  千克，则
x 1 ( 36 52 0 ) + x 2 ( 51 34 7 ) + x 3 ( 13 74 1.1 ) = ( 33 45 3 )
即 Ax = b ，其中 A = ( 36 51 13 52 34 74 0 7 1.1 ) ， b = ( 33 45 3 ) 。

这个方程组的解就是三种食品的用量，我们将在后面学习求解方法。

| 一、矩阵的初等变换与行阶梯形矩阵

  行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵：（1）零行在非零行下方；（2）各非零行首非零元所在列的位置随行数增加严格右移。

行最简阶梯形矩阵：还满足（3）首非零元为 1；（4）首非零元所在列其余元素全为 0。

| 二、矩阵的秩

  定义 7－10  矩阵的秩

矩阵 A  经初等行变换化为行阶梯形后，非零行的行数称为秩，记为 r ( A ) 。零矩阵的秩为 0， n 阶可逆矩阵的秩为 n 。

  例 1

求 A = ( 1 2 − 1 3 2 4 1 0 3 6 0 3 )  的秩。

解  用初等行变换化为行阶梯形：

A → r 2 − 2 r 1 , r 3 − 3 r 1 ( 1 2 − 1 3 0 0 3 − 6 0 0 3 − 6 ) → r 3 − r 2 ( 1 2 − 1 3 0 0 3 − 6 0 0 0 0 )
行阶梯形有 2 个非零行（第 1 行首非零元在第 1 列，第 2 行首非零元在第 3 列），故 r ( A ) = 2 。

| 三、线性方程组解的判定

对于 Ax = b ， A 为 m × n  系数矩阵， A ´ = ( A | b ) 为增广矩阵。

  定理 7－2  线性方程组解的判定

（1）有解 ⇔   r ( A ) = r ( A ´ ) ；
（2） r ( A ) = r ( A ´ ) = n ⇒  唯一解；
（3） r ( A ) = r ( A ´ ) < n ⇒  无穷多解（有 n − r  个自由变量）；
（4） r ( A ) < r ( A ´ ) ⇒  无解。
齐次方程组 Ax = 0  有非零解 ⇔   r ( A ) < n 。

| 四、用矩阵方法解线性方程组

步骤：（1）写增广矩阵；（2）初等行变换化行最简阶梯形；（3）写出解。

实例 2  交通流量问题

某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点 A、B、C、D 的十字路口如图 7－5 所示。求路段交通流量 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 。

解  节点流量守恒（每个节点进入=离开）：

A： x 1 + 450 = x 2 + 610 　即 x 1 − x 2 = 160
B： x 2 + 520 = x 3 + 480 　即 x 2 − x 3 = − 40
C： x 3 + 390 = x 4 + 600 　即 x 3 − x 4 = 210
D： x 4 + 640 = x 1 + 310 　即 − x 1 + x 4 = − 330

写成增广矩阵并化简：

( 1 − 1 0 0 160 0 1 − 1 0 − 40 0 0 1 − 1 210 − 1 0 0 1 − 330 ) → r 4 + r 1 ( 1 − 1 0 0 160 0 1 − 1 0 − 40 0 0 1 − 1 210 0 − 1 0 1 − 170 )
→ r 4 + r 2 ( 1 − 1 0 0 160 0 1 − 1 0 − 40 0 0 1 − 1 210 0 0 − 1 1 − 210 ) → r 4 + r 3 ( 1 − 1 0 0 160 0 1 − 1 0 − 40 0 0 1 − 1 210 0 0 0 0 0 )

继续化为行最简形：

→ r 2 + r 3 , r 1 + r 2 ( 1 0 0 − 1 330 0 1 0 − 1 170 0 0 1 − 1 210 0 0 0 0 0 )
r ( A ) = r ( A ´ ) = 3 < 4 （4个未知数）， x 4 为自由变量。
结果： x 1 = x 4 + 330 ， x 2 = x 4 + 170 ， x 3 = x 4 + 210 ， x 4 为任意非负整数。
实际意义：交通流量非负，故需 x 4 ≥ 0 ，进而 x 1 ≥ 330 ， x 2 ≥ 170 ， x 3 ≥ 210 。

图 7-5  十字路口交通流量

| 五、线性方程组在经济中的应用——投入产出模型

投入产出模型是经济学家列昂惕夫提出的分析各产业部门之间相互依存关系的数学模型。

投入产出模型实例

某地区有农业、工业、服务业三个部门。各部门生产单位产品所消耗的各部门产品量如表 7-14 所示：

表 7-14  各部门消耗系数表

消耗\\产出

农业

工业

服务业

农业

0.15

0.20

0.10

工业

0.25

0.30

0.20

服务业

0.10

0.15

0.10

设农业、工业、服务业的总产出分别为 x 1 , x 2 , x 3 ，各部门的最终需求（供消费和出口的部分）分别为 d 1 , d 2 , d 3 。消耗矩阵为
A = ( 0.15 0.20 0.10 0.25 0.30 0.20 0.10 0.15 0.10 )

根据'总产出 = 中间消耗 + 最终需求'，有

x = Ax + d ⇒ ( E − A ) x = d
其中 E − A  称为列昂惕夫矩阵。若 E − A  可逆，则
x = ( E − A ) − 1 d
( E − A ) − 1  称为列昂惕夫逆矩阵。通过它可以计算：当最终需求 d  变化时，各部门的总产出 x  如何调整。

投入产出计算实例

例如，若农业最终需求 30 单位，工业 45 单位，服务业 15 单位，则

E − A = ( 0.85 − 0.20 − 0.10 − 0.25 0.70 − 0.20 − 0.10 − 0.15 0.90 )
对该矩阵求逆后乘以需求向量 d = ( 30 45 15 )  即可得到各部门所需总产出。
计算得：农业需 11 20 × 30 = 33 2  更多的产出，工业需 4 30 × 45 = 6  更多，服务业需 3 10 × 15 = 9 2  更多的产出。

  例 2

解 { x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 2 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 3

解  写增广矩阵并化简：

( 1 1 1 1 1 2 3 2 2 3 4 3 ) → r 2 − r 1 , r 3 − 2 r 1 ( 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 ) → r 3 − r 2 ( 1 1 1 1 0 1 2 1 0 0 0 0 )
继续消去： r 1 − r 2 ：
→ r 1 − r 2 ( 1 0 − 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 )
r ( A ) = r ( A ´ ) = 2 < 3 （3个未知数），有无穷多解。自由变量个数 = 3 − 2 = 1 。
令 x 3 = t （ t 任意），由行最简形读出： x 1 = − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ t + 0 = t ， x 2 = 1 − 2 t 。
即通解为 { x 1 = t x 2 = 1 − 2 t x 3 = t ， t 为任意实数。

| 习题 7－4

  习题 7－4

1. 设 A m × n  的秩 r ( A ) = n ，则 Ax = b （　）。A.一定无解　B.可能有解　C.一定有唯一解　D.一定有无穷多解
2. 设 { x 1 + 3 x 2 + x 3 = 1 x 1 − 5 x 2 − x 3 = b 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 2  有无穷多解，则 b = （　）。A. 1 　B. − 1 　C. 2 　D. − 2
3. n  元齐次方程组 Ax = 0  的秩 r ，有非零解的充要条件（　）。A. r = n 　B. r < n 　C. r ≥ n 　D. r > n
4. 求 { x 2 + 2 x 3 + 6 x 4 + 2 x 5 = 23 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 5 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 − x 4 + 3 x 5 = 12  的通解。
5. 求齐次方程组的解： { x 1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 = 0 2 x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0
6. 求解： { 4 x 1 + 2 x 2 − x 3 = 2 3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 10 11 x 1 + 3 x 2 = 8

  习题 7－4 详细解析

1. 选 C。

分析： r ( A ) = n  意味着系数矩阵有 n  个非零行，已经'用满'了所有 n  个未知数的自由度。
由于 r ( A ) = n ，增广矩阵增加一列不会使秩变大超过 n （最多也是 n ），所以 r ( A ´ ) ≤ n + 1 。而 r ( A ´ ) ≥ r ( A ) = n 。但由于 A ´  的列数为 n + 1 ，且前 n  列的秩已为 n ，所以最后一列必可由前 n  列线性表出，故 r ( A ´ ) = n 。
因此 r ( A ) = r ( A ´ ) = n ，方程组有唯一解。选 C。

2. 选 A。

详解： 写增广矩阵并化简：

( 1 3 1 1 1 − 5 − 1 b 2 2 1 2 ) → r 2 − r 1 , r 3 − 2 r 1 ( 1 3 1 1 0 − 8 − 2 b − 1 0 − 4 − 1 0 )
r 2 − 2 r 3 （消去第2行）：
→ r 2 − 2 r 3 ( 1 3 1 1 0 0 0 b − 1 0 − 4 − 1 0 ) → r 2 ↔ r 3 ( 1 3 1 1 0 − 4 − 1 0 0 0 0 b − 1 )
第三行为 ( 0 , 0 , 0 , b − 1 ) 。若 b − 1 ≠ 0 ，则 r ( A ) = 2 < r ( A ´ ) = 3 ，方程组无解。
要有无穷多解，首先需有解，即 b − 1 = 0 ，故 b = 1 。此时 r ( A ) = r ( A ´ ) = 2 < 3 ，有无穷多解。选 A。

3. 选 B。

分析： 齐次方程组 Ax = 0  一定有零解 x = 0 。有非零解要求自由变量存在，即自由变量个数 n − r > 0 ，即 r < n 。选 B。

4. 详解

交换第 1、2 行（使 x 1  出现在首行），增广矩阵为：
( 1 1 1 1 1 7 0 1 2 6 2 23 5 4 3 − 1 3 12 ) → r 3 − 5 r 1 ( 1 1 1 1 1 7 0 1 2 6 2 23 0 − 1 − 2 − 6 − 2 − 23 )
→ r 3 + r 2 ( 1 1 1 1 1 7 0 1 2 6 2 23 0 0 0 0 0 0 ) → r 1 − r 2 ( 1 0 − 1 − 5 − 1 − 16 0 1 2 6 2 23 0 0 0 0 0 0 )
r ( A ) = r ( A ´ ) = 2 < 5 ，自由变量 3 个：令 x 3 = t 1 ， x 4 = t 2 ， x 5 = t 3 。
由行最简形读出： x 1 = − 16 + t 1 + 5 t 2 + t 3 ， x 2 = 23 − 2 t 1 − 6 t 2 − 2 t 3 。
其中 t 1 , t 2 , t 3  为任意实数。

5. 详解

增广矩阵（齐次方程组常数列全为0，可省略）：

( 1 1 2 − 1 2 1 1 − 1 2 2 1 2 ) → r 2 − 2 r 1 , r 3 − 2 r 1 ( 1 1 2 − 1 0 − 1 − 3 1 0 0 − 3 4 )
→ − r 2 , − 1 3 r 3 ( 1 1 2 − 1 0 1 3 − 1 0 0 1 − 4 3 ) → r 2 − 3 r 3 , r 1 − 2 r 3 ( 1 1 0 5 3 0 1 0 3 0 0 1 − 4 3 )
→ r 1 − r 2 ( 1 0 0 − 4 3 0 1 0 3 0 0 1 − 4 3 )
r ( A ) = 3 < 4 ， x 4 = t 为自由变量。
行最简形含义： x 1 + ( − 4 3 ) x 4 = 0 ，即 x 1 = 4 3 t ； x 2 + 3 x 4 = 0 ，即 x 2 = − 3 t ； x 3 + ( − 4 3 ) x 4 = 0 ，即 x 3 = 4 3 t 。
通解： x 1 = 4 3 t ， x 2 = − 3 t ， x 3 = 4 3 t ， x 4 = t （ t 为任意实数）。

6. 详解

增广矩阵：

( 4 2 − 1 2 3 − 1 2 10 11 3 0 8 ) → r 3 − 2 r 1 − r 2 ( 4 2 − 1 2 3 − 1 2 10 0 0 0 − 6 )
关键步骤验证： r 3 − 2 r 1 − r 2 ：行向量 ( 11 , 3 , 0 , 8 ) − 2 ( 4 , 2 , − 1 , 2 ) − ( 3 , − 1 , 2 , 10 ) = ( 11 − 8 − 3 , 3 − 4 + 1 , 0 + 2 − 2 , 8 − 4 − 10 ) = ( 0 , 0 , 0 , − 6 ) 。
第三行为 ( 0 , 0 , 0 , − 6 ) ，即 0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = − 6 ，即 0 = − 6 ，矛盾！
此时 r ( A ) = 2 ， r ( A ´ ) = 3 ， r ( A ) < r ( A ´ ) ，方程组无解。
几何解释：第三个方程 11 x 1 + 3 x 2 = 8  实际上是前两个方程左边的线性组合（ 11 x 1 + 3 x 2 = 2 ( 4 x 1 + 2 x 2 − x 3 ) + ( 3 x 1 − x 2 + 2 x 3 ) = 2 ⋅ 2 + 10 = 14 ≠ 8 ），但右端不一致，故无解。

本章题型总结与方法整理

| 题型一：矩阵的基本概念与元素确定

  题型一：矩阵的基本概念与元素确定

核心知识： 矩阵相等的条件——同型且对应元素相等。

解题方法： 由矩阵相等列出各元素相等的方程，解方程组求未知量。

典型题目： 习题 7－1 第 2 题——由两个矩阵相等确定参数 a , b , c , d 。

易错点： ① 忘记检查矩阵是否同型；② 元素位置对应错误（行列搞反）。

| 题型二：矩阵的加法、数乘与转置运算

  题型二：矩阵的加法、数乘与转置运算

核心知识： 加减法要求同型；数乘是每个元素乘以常数；转置是行列互换。

解题方法： 先判断运算是否合法（同型？），再逐元素计算。

运算律速查： A + B = B + A ； λ ( A + B ) = λ A + λ B ； ( A T ) T = A 。
易错点： ① 不同型矩阵不能相加减；② 转置后矩阵的行列数互换（ m × n 变为 n × m ）。

| 题型三：矩阵乘法

  题型三：矩阵乘法

核心知识： m × n  乘 n × p  得 m × p （'中间相同取两端'），元素 c ik = ∑ a ij b jk 。
解题方法： ① 先检查能否相乘（ A 的列数 = B  的行数）；② 确定结果矩阵的大小；③ 逐元素用'行×列'计算。
关键注意： AB ≠ BA （不满足交换律）； ( AB ) T = B T A T （穿脱原则）。
易错点： ① 尺寸不匹配时强行相乘；② 求 c ik  时行列搞混；③ 误用交换律。

| 题型四：矩阵的方幂

  题型四：矩阵的方幂

核心知识： A k = A ⋅ A ⋯ A ，仅方阵有方幂。
解题方法： ① 先算 A 2 ，观察是否有 A 2 = λ A  或 A 2 = O  等特殊规律；② 利用规律写出通项 A n ；③ 必要时用数学归纳法证明。
常见类型： A 2 = k A  型（如例题）→ A n = k n − 1 A ； A 2 = O 型（幂零）→ A n = O （ n ≥ 2 ）。

| 题型五：用初等行变换求逆矩阵

  题型五：用初等行变换求逆矩阵

核心知识： ( A | E ) → 初等行变换 ( E | A − 1 ) 。
解题步骤： ① 写出 ( A | E ) ；② 用初等行变换将左半部分化为 E （先化阶梯形，再化最简形）；③ 右半部分即为 A − 1 ；④ 建议验算 A A − 1 = E 。
逆矩阵性质速查： ( A − 1 ) − 1 = A ； ( AB ) − 1 = B − 1 A − 1 （穿脱原则）； ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T 。
易错点： ① 行变换过程中计算失误（建议每步验算关键元素）；② 左半部分化不成 E  说明矩阵不可逆。

| 题型六：求矩阵的秩

  题型六：求矩阵的秩

核心知识： 秩 = 行阶梯形中非零行的个数。

解题步骤： ① 用初等行变换化为行阶梯形；② 数非零行个数。

重要性质： r ( O ) = 0 ； r ( E n ) = n ； r ( A ) ≤ min ( m , n ) ；初等变换不改变秩。

| 题型七：线性方程组解的判定与求解

  题型七：线性方程组解的判定与求解

判定方法一览表：

　 r ( A ) = r ( A ´ ) = n （未知数个数）→ 唯一解
　 r ( A ) = r ( A ´ ) < n → 无穷多解（ n − r 个自由变量）
　 r ( A ) < r ( A ´ ) → 无解（出现 0 = d  型矛盾行， d ≠ 0 ）
齐次方程组特例： Ax = 0  永远有零解；有非零解 ⇔   r ( A ) < n 。

求解步骤： ① 写增广矩阵；② 化为行最简阶梯形；③ 判定有无解；④ 若有无穷多解，确定主元列和自由变量列，读出通解。

易错点： ① 含参数 b  的方程组需讨论 b  的取值；② 齐次方程组增广矩阵最后一列全为0，秩的比较中 r ( A ´ )  不会因此增大；③ 写通解时注意自由变量取值方式和主元变量的表达。

| 核心方法对照表

表 7-4  第七章核心方法对照表

问题类型

核心工具

关键步骤

注意事项

矩阵运算

定义逐元素计算

检查尺寸→逐元素运算

乘法不满足交换律

求逆矩阵

初等行变换
( A | E ) → ( E | A − 1 )
验算 A A − 1 = E

求秩

初等行变换

化行阶梯形→数非零行

变换不改变秩

判断解

秩的比较
比较 r ( A )  与 r ( A ´ )  和 n

含参数需讨论

求通解

行最简阶梯形

增广矩阵→行最简→读解

区分主元和自由变量

建模方法论

在学习了矩阵代数的基本理论后，我们总结从实际问题到矩阵模型的一般方法。

  从实际问题到矩阵模型

策略一：如何建立矩阵模型？

表格 → 矩阵： 去掉表头，直接提取数字。如投入产出表、营养成分表中的数字直接构成矩阵的元素。

网络 → 矩阵： 节点是行列，连线是元素 1。如航线图中，城市 i  到城市 j  有航线则 a ij = 1 ，否则 a ij = 0 ，由此构成邻接矩阵。

节点平衡 → 方程组： 流量进 = 流量出。如交通流量、电路节点，每个节点写一个等式，全体等式构成线性方程组。

博弈 → 矩阵： 策略 i  与策略 j  碰撞的结果为 a ij 。如田忌赛马问题。

  含参方程组解法策略

策略二：含参方程组的'通关秘籍'

步骤1： 写出增广矩阵 ( A | b ) 。

步骤2： 化为行阶梯形（注意：不要轻易约去含参的公因式！）。

步骤3： 分类讨论——

　(a) 主元全非零 → 唯一解；

　(b) 某主元为零，对应常数项非零 → 无解（ 0 = d ≠ 0 型矛盾）；

　(c) 某主元为零，对应常数项也为零 → 无穷多解（自由变量出现）。

提醒： 含参数 λ  或 a , b  的方程组需讨论参数取值对行阶梯形结构的影响，这是期末考试的高频考点。

本 章 小 结

  本章小结

一、基本概念

矩阵，逆矩阵，矩阵的秩，初等变换，行最简阶梯形矩阵。

二、基本内容

矩阵运算，矩阵的初等变换，解线性方程组。

三、基本方法

（1）矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及其运算律。

（2）初等行变换求逆矩阵： ( A | E ) → 初等行变换 ( E | A − 1 ) 。

（3）用增广矩阵的初等行变换求解线性方程组：

　 r ( A ) = r ( A ´ ) = n 时唯一解； r ( A ) = r ( A ´ ) < n 时无穷多解； r ( A ) < r ( A ´ ) 时无解。

四、基本技能

（1）利用矩阵表示实际问题。（2）熟练矩阵运算。（3）用初等行变换求逆矩阵和解方程组。（4）用秩判断方程组解的情况。

复习题七

  一、判断题

1. 若 AB = O ，则必有 A = O  或 B = O 。（　　）
2. 若 AB = AC  且 A ≠ O ，则 B = C 。（　　）
3. 若方阵 A  满足 A 2 = E ，则 A = E  或 A = − E 。（　　）

  二、选择题

1. 设 A  是 m × n  矩阵， Ax = b 是非齐次方程组。若 r ( A ) = m ，则该方程组（　　）。

A. 有唯一解　B. 有无穷多解　C. 一定有解　D. 可能无解

2. 设 A  为 n  阶方阵，下列命题正确的是（　　）。
A. 若 | A | = 0 ，则 A = O 　B. 若 A  可逆，则 | A | ≠ 0 　C. r ( AB ) = r ( A ) r ( B ) 　D. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2
3. 设 A  为 3 × 4  矩阵， r ( A ) = 2 ，则 Ax = 0  的基础解系含（　　）个向量。

A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

4. 设 A 3 × 3  的秩为 2，则其伴随矩阵 A ∗  的秩为（　　）。

A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

5. 设方程组 Ax = b  有两个不同的解 η 1 , η 2 ，则下列也是解的是（　　）。
A. η 1 − η 2 　B. 1 2 ( η 1 + η 2 ) 　C. 2 η 1 − η 2 　D. B 和 C 都是

  三、填空题

1. 设 A = ( 1 2 3 0 1 2 0 0 1 ) ，则 r ( A ) =  ______。
2. 若 A  是 4 × 5  矩阵， r ( A ) = 3 ，则 Ax = 0  的解空间维数为 ______。
3. 设 A  可逆， A − 1 = ( 1 2 3 4 ) ，则 A =  ______。
4. 设向量组 α 1 , α 2 , α 3  的秩为 2，则其中线性无关的向量最多有 ______ 个。
5. 矩阵 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )  的秩为 ______。

  四、解答题

1. 设 A = ( 2 − 1 3 1 0 1 − 1 2 0 ) ，求 A − 1 。
2. 求方程组 { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 1  的通解。
3. 证明：若 A 2 = A ，则 r ( A ) + r ( E − A ) = n 。
4.（含参讨论题） 讨论方程组 { x 1 + x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + 3 x 2 + λ x 3 = 3 x 1 + λ x 2 + 3 x 3 = 2  中参数 λ  取何值时方程组无解、有唯一解、有无穷多解，并在有解时求出解。
5.（含参讨论题） 讨论方程组 { x 1 + x 2 + a x 3 = 1 x 1 + a x 2 + x 3 = b a x 1 + x 2 + x 3 = 1  中参数 a , b  取何值时方程组无解、有唯一解、有无穷多解。

  复习题七 解答与提示

判断题答案： 1. ✗（两个非零矩阵乘积可为零）　2. ✗（需要 A  可逆才能消去）　3. ✗（如 A = ( 1 0 0 − 1 ) ）
选择题答案： 1. C（ r ( A ) = r ( A ´ ) = m 保证有解）　2. B　3. B（ n − r = 4 − 2 = 2 ）　4. B（ r ( A ∗ ) = 1 当 r ( A ) = n − 1 ）　5. D
填空题答案： 1. 3 　2. 2 　3. ( − 2 1 3 2 − 1 2 ) 　4. 2 　5. 1
解答题 4 提示： 增广矩阵化行阶梯形后，讨论 λ  使得阶梯形结构改变的关键值。当 λ = 2  时需进一步讨论是否矛盾。
解答题 5 提示： 系数行列式 | A | = ( a + 2 ) ( a − 1 ) 2 。当 a ≠ − 2  且 a ≠ 1  时唯一解； a = − 2 时讨论 b ； a = 1 时讨论 b 。