高等应用数学 · 第8章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

| 一、不定积分的概念

在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为

s = s (t),

则质点在时刻的瞬时速度表示为

v = s' (t) .

实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻

t

的瞬时速度

v = v (t),

求出质点的位移函数

s = s (t) .

即已知函数的导数，求原来的函数。这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在。为了便于研究，我们引入以下概念。

1. 原函数

定义 8—1

如果在区间

I

上，可导函数

F (x)

的导函数为

f (x)

，即对任一

x \in I

，都有

F' (x) = f (x),

那么函数

F (x)

就称为

f (x)

在区间

I

上的原函数。

例如，在变速直线运动中，

s' (t) = v (t)

，所以位移函数

s (t)

是速度函数

v (t)

的原函数；

再如，

(\sin x)' = \cos x

，所以

\sin x

是

\cos x

在

(- \infty, + \infty)

上的一个原函数。

(\ln x)' = \frac{1}{x}

(

x > 0

)，所以

\ln x

是

\frac{1}{x}

在

(0, + \infty)

的一个原函数。

一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件。

定理 8—1

如果函数

f (x)

在区间

I

上连续，那么在区间

I

上一定存在可导函数

F (x)

，使对任一

x \in I

都有

F' (x) = f (x) .

简言之，连续函数一定有原函数。由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数。

定理 8—1 的证明，将在后面章节给出。

关于原函数，不难得到下面的结论：

若

F' (x) = f (x)

，则对于任意常数 C，

F (x) + C

都是

f (x)

的原函数。也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个。

假设

F (x)

和

φ (x)

都是

f (x)

的原函数，则

[F (x) - φ (x)]' = 0

，必有

F (x) - φ (x) = C

，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数。

因此我们有如下的定理：

定理 8—2

F (x)

和

φ (x)

都是

f (x)

的原函数，则

F (x) = φ (x) + C

（

C

为任意常数）。

若

F' (x) = f (x)

，则

F (x) + C

（

C

为任意常数）表示

f (x)

的所有原函数。我们称集合

{F (x) + C ∣ - \infty < C < + \infty}

为

f (x)

的原函数族。

由此，我们引入下面的定义。

2. 不定积分的定义

定义 8—2

在区间

I

上，函数

f (x)

的所有原函数的全体，称为

f (x)

在

I

上的不定积分，记作

\int f (x) d x .

其中

\int

称为积分号，

f (x)

称为被积函数，

f (x) d x

称为被积表达式，

x

称为积分变量。

由此定义，若

F (x)

是

f (x)

的在区间

I

上的一个原函数，则

f (x)

的不定积分可表示为

\int f (x) d x = F (x) + C .

注意

（1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素。（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数 C。

例 1

求

\int 3 x^{2} d x

。

解因为

(x^{3})' = 3 x^{2}

，所以

\int 3 x^{2} d x = x^{3} + C

。

例 2

求

\int \sin x \cos x d x

。

解（1）因为

(\sin^{2} x)' = 2 \sin x \cos x

，所以

\int \sin x \cos x d x = \frac{1}{2} \sin^{2} x + C

。

（2）因为

(\cos^{2} x)' = - 2 \cos x \sin x

，所以

\int \sin x \cos x d x = - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C

。

（3）因为

(\cos 2 x)' = - 2 \sin 2 x = - 4 \sin x \cos x

，所以

\int \sin x \cos x d x = - \frac{1}{4} \cos 2 x + C

。

例 3

求

\int \frac{1}{x} d x

。

解由于

x > 0

时，

(\ln x)' = \frac{1}{x}

，所以

\ln x

是

\frac{1}{x}

在

(0, + \infty)

上的一个原函数，因此在

(0, + \infty)

内，

\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C

。

又当

x < 0

时，

[\ln (- x)]' = \frac{1}{x}

，所以

\ln (- x)

是

\frac{1}{x}

在

(- \infty, 0)

上的一个原函数，因此在

(- \infty, 0)

内，

\int \frac{1}{x} d x = \ln (- x) + C

。

综上，

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C

。

例 4

在自由落体运动中，已知物体下落的时间为

t

，求

t

时刻的下落速度和下落距离。

解设

t

时刻的下落速度为

v = v (t)

，则加速度

a (t) = \frac{d v}{d t} = g

（其中

g

为重力加速度）。所以

v (t) = \int a (t) d t = \int g d t = gt + C .

又当

t = 0

时，

v (0) = 0

，所以

C = 0

。于是下落速度

v (t) = gt

。又设下落距离为

s = s (t)

，则

\frac{d s}{d t} = v (t)

。所以

s (t) = \int v (t) d t = \int gt d t = \frac{1}{2} g t^{2} + C .

又当

t = 0

时，

s (0) = 0

，所以

C = 0

。于是下落距离

s (t) = \frac{1}{2} g t^{2}

。

3. 不定积分的几何意义

设函数

f (x)

是连续的，若

F' (x) = f (x)

，则称曲线

y = F (x)

是函数

f (x)

的一条积分曲线。因此不定积分

\int f (x) d x = F (x) + C

在几何上表示被积函数的一族积分曲线。

图 8-1 积分曲线族

积分曲线族具有如下特点：（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的。

例 5

设曲线通过点

(1, 2)

，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。

解设曲线方程

y = f (x)

，曲线上任一点

(x, y)

处切线的斜率

\frac{d y}{d x} = 2 x

，即

f (x)

是

2 x

的一个原函数。因为

f (x) = \int 2 x d x = x^{2} + C

，又曲线过

(1, 2)

，所以

2 = 1 + C, C = 1 .

于是曲线方程为

y = x^{2} + 1

。

| 二、基本积分公式

由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算，我们把求不定积分的运算称为积分运算。既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式。

例如，因为

(\frac{x^{μ + 1}}{μ + 1})' = x^{μ}

，所以

\int x^{μ} d x = \frac{x^{μ + 1}}{μ + 1} + C

(

μ \neq - 1

)。

类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式。

基本积分公式

①

\int k d x = kx + C

（k 是常数）

②

\int x^{μ} d x = \frac{x^{μ + 1}}{μ + 1} + C

（

μ \neq - 1

）

③

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C

④

\int \sin x d x = - \cos x + C

⑤

\int \cos x d x = \sin x + C

⑥

\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \int \sec^{2} x d x = \tan x + C

⑦

\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = \int \csc^{2} x d x = - \cot x + C

⑧

\int \sec x \tan x d x = \sec x + C

⑨

\int \csc x \cot x d x = - \csc x + C

⑩

\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C

⑪

\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \arcsin x + C

⑫

\int e^{x} d x = e^{x} + C

⑬

\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C

以上 13 个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记。下面举例说明积分公式的应用。

例 6

求不定积分

\int x^{2} \sqrt{x} d x

。

解

\int x^{2} \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{5}{2}} d x = \frac{x^{\frac{5}{2} + 1}}{\frac{5}{2} + 1} + C = \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C .

| 三、不定积分的性质

根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质。

性质 8—1

积分运算与微分运算互为逆运算。

（1）

[\int f (x) d x]' = f (x)

或

d [\int f (x) d x] = f (x) d x

。

（2）

\int F' (x) d x = F (x) + C

或

\int d F (x) = F (x) + C

。

性质 8—2

设函数

f (x)

和

g (x)

的原函数存在，则

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x .

易得性质 8—2 对于有限个函数都是成立的。

性质 8—3

设函数

f (x)

的原函数存在，

k

为非零的常数，则

\int kf (x) d x = k \int f (x) d x .

由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：

\int [kf (x) + \lg (x)] d x = k \int f (x) d x + l \int g (x) d x .

例 7

求

\int (\frac{3}{1 + x^{2}} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x

。

解

\int (\frac{3}{1 + x^{2}} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x = 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x - 2 \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = 3 \arctan x - 2 \arcsin x + C .

例 8

求

\int \frac{1 + x + x^{2}}{x (1 + x^{2})} d x

。

解原式

= \int \frac{x + (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} d x = \int (\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x}) d x = \arctan x + \ln | x | + C

。

例 9

求

\int 2^{x} e^{x} d x

。

解原式

= \int {(2 e)}^{x} d x = \frac{{(2 e)}^{x}}{\ln (2 e)} + C = \frac{2^{x} e^{x}}{1 + \ln 2} + C

。

例 10

求

\int \frac{1}{1 + \sin x} d x

。

解

\int \frac{1}{1 + \sin x} d x = \int \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x) (1 - \sin x)} d x = \int \frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} d x

= \int (\sec^{2} x - \sec x \tan x) d x = \tan x - \sec x + C .

例 11

求

\int \tan^{2} x d x

。

解

\int \tan^{2} x d x = \int (\sec^{2} x - 1) d x = \tan x - x + C

。

例 12

设

f' (\sin^{2} x) = \cos^{2} x

，求

f (x)

。

解由

f' (\sin^{2} x) = \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x

，可得

f' (x) = 1 - x

，从而

f (x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + C

。

例 13（三角恒等变形）

求

\int \frac{\cos 2 x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} d x

。

【思路】利用三角恒等式

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

将被积函数化归为基本积分表中的形式。

解

\frac{\cos 2 x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} - \frac{1}{\cos^{2} x} = \csc^{2} x - \sec^{2} x

，

所以

\int \frac{\cos 2 x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} d x = \int (\csc^{2} x - \sec^{2} x) d x = - \cot x - \tan x + C

。

【易错点】不要直接用倍角公式

\cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x

展开分子，那样无法化简。关键是拆分成差的形式。

例 14（原函数反求）

已知

\int f (x) d x = x^{2} + e^{x} + C

，求

f (x)

。

【思路】利用不定积分与求导的逆运算关系：对不定积分求导即得被积函数。

解由不定积分的定义，

[\int f (x) d x]' = f (x)

。

所以

f (x) = (x^{2} + e^{x} + C)' = 2 x + e^{x}

。

【易错点】常数 C 求导后为 0，结果中不保留 C。本题的关键是理解“不定积分求导得被积函数”这一逆运算逻辑。

注意

本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和基本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式求出一些较为复杂的不定积分。此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算（求导）来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否则是错误的。

| 习题 8—1

习题 8—1

1. 求下列不定积分。

(1) \int \frac{1}{x^{2}} d x

(2) \int x \sqrt{x} d x

(3) \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x

(4) \int x^{2} \sqrt[3]{x} d x

(5) \int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x}} d x

(6) \int \sqrt[m]{x^{n}} d x

(7) \int 5 x^{3} d x

(8) \int (x^{2} - 3 x + 2) d x

(9) \int \frac{d h}{\sqrt{2 gh}} (g 是常数)

(10) \int {(x^{2} + 1)}^{2} d x

(11) \int (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x^{3}} - 1) d x

(12) \int \frac{{(1 - x)}^{2}}{\sqrt{x}} d x

(13) \int (2 e^{x} + \frac{3}{x}) d x

(14) \int (\frac{3}{1 + x^{2}} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x

(15) \int e^{x} (1 - \frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}) d x

(16) \int 3^{x} e^{x} d x

(17) \int \frac{2 \cdot 3^{x} - 5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} d x

(18) \int \sec x (\sec x - \tan x) d x

(19) \int \cos^{2} \frac{x}{2} d x

(20) \int \frac{1}{1 + \cos 2 x} d x

(21) \int \frac{\cos 2 x}{\cos x - \sin x} d x

(22) \int \frac{\cos 2 x}{\cos^{2} x \cdot \sin^{2} x} d x

(23) \int \cot^{2} x d x

(24) \int \cos x (\tan x + \sec x) d x

(25) \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

(26) \int \frac{3 x^{4} + 2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x

习题 8—1 详细解析

（1）

\int x^{- 2} d x = \frac{x^{- 1}}{- 1} + C = - \frac{1}{x} + C

。

（2）

\int x \sqrt{x} d x = \int x^{3 / 2} d x = \frac{x^{5 / 2}}{5 / 2} + C = \frac{2}{5} x^{5 / 2} + C

。

（3）

\int x^{- 1 / 2} d x = \frac{x^{1 / 2}}{1 / 2} + C = 2 \sqrt{x} + C

。

（4）

\int x^{2} x^{1 / 3} d x = \int x^{7 / 3} d x = \frac{x^{10 / 3}}{10 / 3} + C = \frac{3}{10} x^{10 / 3} + C

。

（5）

\int x^{- 3} x^{- 1 / 2} d x = \int x^{- 7 / 2} d x = \frac{x^{- 5 / 2}}{- 5 / 2} + C = - \frac{2}{5} x^{- 5 / 2} + C

。

（6）

\int x^{n / m} d x = \frac{x^{n / m + 1}}{n / m + 1} + C = \frac{m}{m + n} x^{(m + n) / m} + C

（

n / m \neq - 1

）。

（7）

\int 5 x^{3} d x = 5 \cdot \frac{x^{4}}{4} + C = \frac{5}{4} x^{4} + C

。

（8）

\int (x^{2} - 3 x + 2) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C

。

（9）

\int \frac{d h}{\sqrt{2 gh}} = \frac{1}{\sqrt{2 g}} \int h^{- 1 / 2} d h = \frac{1}{\sqrt{2 g}} \cdot 2 h^{1 / 2} + C = \sqrt{\frac{2 h}{g}} + C

。

（10）

\int {(x^{2} + 1)}^{2} d x = \int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C

。

（11）

(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x^{3}} - 1) = x^{2} - \sqrt{x} + \sqrt{x^{3}} - 1 = x^{2} + x^{3 / 2} - x^{1 / 2} - 1

。逐项积分得

\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{5} x^{5 / 2} - \frac{2}{3} x^{3 / 2} - x + C

。

（12）

\frac{{(1 - x)}^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{1 - 2 x + x^{2}}{x^{1 / 2}} = x^{- 1 / 2} - 2 x^{1 / 2} + x^{3 / 2}

。逐项积分得

2 x^{1 / 2} - \frac{4}{3} x^{3 / 2} + \frac{2}{5} x^{5 / 2} + C

。

（13）

\int (2 e^{x} + \frac{3}{x}) d x = 2 e^{x} + 3 \ln | x | + C

。

（14）

\int (\frac{3}{1 + x^{2}} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x = 3 \arctan x - 2 \arcsin x + C

。

（15）

\int e^{x} (1 - \frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}) d x = \int e^{x} d x - \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x = e^{x} - 2 \sqrt{x} + C

。

（16）

\int 3^{x} e^{x} d x = \int {(3 e)}^{x} d x = \frac{{(3 e)}^{x}}{\ln (3 e)} + C = \frac{3^{x} e^{x}}{1 + \ln 3} + C

。

（17）

\int \frac{2 \cdot 3^{x} - 5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} d x = \int (2 - 5 {(\frac{2}{3})}^{x}) d x = 2 x - \frac{5 {(2 / 3)}^{x}}{\ln (2 / 3)} + C

。

（18）

\int \sec x (\sec x - \tan x) d x = \int (\sec^{2} x - \sec x \tan x) d x = \tan x - \sec x + C

。

（19）

\int \cos^{2} \frac{x}{2} d x = \int \frac{1 + \cos x}{2} d x = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C

。

（20）

\int \frac{1}{1 + \cos 2 x} d x = \int \frac{1}{2 \cos^{2} x} d x = \frac{1}{2} \tan x + C

。

（21）

\int \frac{\cos 2 x}{\cos x - \sin x} d x = \int \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x - \sin x} d x = \int (\cos x + \sin x) d x = \sin x - \cos x + C

。

（22）

\int \frac{\cos 2 x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} d x = \int \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} d x = \int (\frac{1}{\sin^{2} x} - \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = - \cot x - \tan x + C

。

（23）

\int \cot^{2} x d x = \int (\csc^{2} x - 1) d x = - \cot x - x + C

。

（24）

\int \cos x (\tan x + \sec x) d x = \int (\sin x + 1) d x = - \cos x + x + C

。

（25）

\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x = \int (1 - \frac{1}{1 + x^{2}}) d x = x - \arctan x + C

。

（26）将分子做长除法：

3 x^{4} + 2 x^{2} = (x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1) + 1

，于是原式

= \int (3 x^{2} - 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x = x^{3} - x + \arctan x + C

。

第二节不定积分的换元积分法

上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的。因此，有必要进一步研究不定积分的求法。这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法 —— 换元积分法，简称换元法。其基本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式，从而计算不定积分。

换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法。

| 一、第一类换元积分法

定理 8—3

设

f (u)

具有原函数，

u = φ (x)

可导，则有换元公式

\int f [φ (x)] φ' (x) d x = {[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)} .

证明不妨令

F (u)

为

f (u)

的一个原函数，则

{[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)} = F [φ (x)] + C

。由不定积分的定义只需证明

(F [φ (x)])' = f [φ (x)] φ' (x)

，利用复合函数的求导法则显然成立。

注意

由定理 8—3 可见，虽然不定积分

\int f [φ (x)] φ' (x) d x

是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的

d x

也可以当做自变量

x

的微分来对待。从而微分等式

φ' (x) d x = d u

可以方便地应用到被积表达式中。

例 1

求

\int 3 e^{3 x} d x

。

解

\int 3 e^{3 x} d x = \int e^{3 x} \cdot (3 x)' d x = \int e^{3 x} d (3 x) = \int e^{u} d u = e^{u} + C .

将变量

u = 3 x

代入，即得

\int 3 e^{3 x} d x = e^{3 x} + C

。

根据例 1 第一类换元公式求不定积分可分以下步骤：（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分；（2）引入中间变量作换元；（3）利用基本积分公式计算不定积分；（4）变量还原。

显然最重要的是第一步 —— 凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法。

例 2

求

\int {(4 x + 5)}^{99} d x

。

解被积函数

{(4 x + 5)}^{99}

是复合函数，中间变量

u = 4 x + 5

，

(4 x + 5)' = 4

，这里缺少中间变量

u

的导数 4，可以通过改变系数凑出这个因子：

\int {(4 x + 5)}^{99} d x = \frac{1}{4} \int {(4 x + 5)}^{99} \cdot 4 d x = \frac{1}{4} \int {(4 x + 5)}^{99} d (4 x + 5)

= \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 x + 5)}^{100}}{100} + C = \frac{{(4 x + 5)}^{100}}{400} + C .

例 3

求

\int \frac{x}{x^{2} + a^{2}} d x

。

解

\frac{1}{x^{2} + a^{2}}

为复合函数，

u = x^{2} + a^{2}

是中间变量，且

(x^{2} + a^{2})' = 2 x

，

\int \frac{x}{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} \cdot 2 x d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} \ln | u | + C = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + a^{2}) + C .

例 4（凑微分·幂函数型）

类型 A（幂函数型）：求

\int \sqrt{2 x - 3} d x

。

【思路】中间变量

u = 2 x - 3

，

(2 x - 3)' = 2

，需凑出因子 2。

解

\int \sqrt{2 x - 3} d x = \frac{1}{2} \int {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} d (2 x - 3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + C .

例 5（凑微分·对数构造型）

类型 B（对数构造型）：求

\int \frac{d x}{x \ln x}

。

【思路】注意到

(\ln x)' = \frac{1}{x}

，因此

\frac{1}{x} d x = d (\ln x)

，将

\frac{1}{x}

凑进

d x

中。

解

\int \frac{d x}{x \ln x} = \int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} d x = \int \frac{1}{\ln x} d (\ln x) = \ln | \ln x | + C .

【易错点】学生容易把

\ln x

和

\frac{1}{x}

的角色搞混。记住：

\frac{1}{x}

是

\ln x

的导数，所以

\frac{1}{x}

应该被“塞进”微分中。

例 6（凑微分·三角构造型）

类型 C（三角构造型）：求

\int \sin^{3} x \cos x d x

。

【思路】注意到

(\sin x)' = \cos x

，因此

\cos x d x = d (\sin x)

，将

\cos x

凑进

d x

中。

解

\int \sin^{3} x \cos x d x = \int \sin^{3} x d (\sin x) = \frac{\sin^{4} x}{4} + C .

【验证】

(\frac{\sin^{4} x}{4})' = \frac{4 \sin^{3} x \cos x}{4} = \sin^{3} x \cos x

。✓

例 7（凑微分·指数型）

求

\int x e^{x^{2}} d x

。

【思路】注意到

(x^{2})' = 2 x

，被积函数中恰好有因子

x

，因此

x d x = \frac{1}{2} d (x^{2})

。

解

\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int e^{x^{2}} d (x^{2}) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C .

例 8

求

\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x

。

解将函数变形

\frac{1}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}

，由

d x = a d (\frac{x}{a})

，所以得到

\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} d (\frac{x}{a}) = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C .

例 9

求

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x

。

解

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \frac{1}{a} \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}}} d (\frac{x}{a}) = \arcsin \frac{x}{a} + C .

例 10

求

\int \tan x d x

。

解

\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x = \int \frac{- d (\cos x)}{\cos x} = - \ln | \cos x | + C .

同理，可以推得

\int \cot x d x = \ln | \sin x | + C

。

例 11

求

\int \sin^{3} x d x

。

解

\int \sin^{3} x d x = \int \sin^{2} x \sin x d x = - \int \sin^{2} x d (\cos x) = - \int (1 - \cos^{2} x) d (\cos x)

= - \cos x + \frac{1}{3} \cos^{3} x + C .

例 12

求

\int \sin^{2} x \cos^{3} x d x

。

解

\int \sin^{2} x \cos^{3} x d x = \int \sin^{2} x \cos^{2} x \cos x d x = \int \sin^{2} x \cos^{2} x d (\sin x)

= \int \sin^{2} x (1 - \sin^{2} x) d (\sin x) = \int (\sin^{2} x - \sin^{4} x) d (\sin x)

= \frac{1}{3} \sin^{3} x - \frac{1}{5} \sin^{5} x + C .

例 13

求

\int \sin^{2} x d x

。

解

\int \sin^{2} x d x = \int \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C .

例 14

求

\int \sec x d x

。

解

\int \sec x d x = \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} d x = \int \frac{1}{\sec x + \tan x} d (\sec x + \tan x)

= \ln | \sec x + \tan x | + C .

同理，我们可以推得

\int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C

。

注意

对形如

\int \sin^{m} x \cos^{n} x d x

的积分，如果

m

，

n

中有奇数，取奇次幂的底数（如

n

是奇数，则取

\cos x

）与

d x

凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利地计算出不定积分；如果

m

，

n

均为偶数，则利用倍角（半角）公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分。

例 15

求

\int \sin 2 x \cos 3 x d x

。

解由

\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]

，得

\int \sin 2 x \cos 3 x d x = \frac{1}{2} \int \sin 5 x d x - \frac{1}{2} \int \sin x d x = - \frac{1}{10} \cos 5 x + \frac{1}{2} \cos x + C .

一般的，对于形如

\int \sin mx \cos nx d x

，

\int \sin mx \sin nx d x

，

\int \cos mx \cos nx d x

的积分（

m \neq n

），先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分。

例 16

求

\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x

。

解因为

\frac{1}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{(x - a) (x + a)} = \frac{1}{2 a} (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a})

，

所以

\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} (\int \frac{1}{x - a} d x - \int \frac{1}{x + a} d x) = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C .

例 17

求

\int \frac{x + 3}{x^{2} - 5 x + 6} d x

。

解先将有理真分式的分母因式分解，得

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

。

然后利用待定系数法将被积函数分拆。设

\frac{x + 3}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}

，从而

x + 3 = A (x - 3) + B (x - 2)

。

分别将

x = 3

，

x = 2

代入，易得

A = - 5

，

B = 6

。

故原式

= \int (\frac{- 5}{x - 2} + \frac{6}{x - 3}) d x = - 5 \ln | x - 2 | + 6 \ln | x - 3 | + C

。

例 18

求

\int \frac{3}{x^{3} + 1} d x

。

解由

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

，令

\frac{3}{x^{3} + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} - x + 1},

两边同乘以

x^{3} + 1

，得

3 = A (x^{2} - x + 1) + (Bx + C) (x + 1)

。

令

x = - 1

，得

A = 1

；令

x = 0

，得

C = 2

；令

x = 1

，得

B = - 1

。所以

\frac{3}{x^{3} + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{- x + 2}{x^{2} - x + 1} .

故

\int \frac{3}{x^{3} + 1} d x = \int (\frac{1}{x + 1} + \frac{- x + 2}{x^{2} - x + 1}) d x = \ln | x + 1 | - \frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} d x + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2} - x + 1} d x

= \ln | x + 1 | - \frac{1}{2} \ln (x^{2} - x + 1) + \sqrt{3} \arctan \frac{2 x - 1}{\sqrt{3}} + C .

| 二、第二类换元积分方法

定理 8—4

设

x = ψ (t)

是单调、可导的函数，并且

ψ' (t) \neq 0

，又设

f [ψ (t)] ψ' (t)

具有原函数，则有换元公式

\int f (x) d x = {[\int f [ψ (t)] ψ' (t) d t]}_{t = ψ^{- 1} (x)},

其中

ψ^{- 1} (x)

是

x = ψ (t)

的反函数。

利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数

x = ψ (t)

代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将

t = ψ^{- 1} (x)

还原。常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法。

1. 三角函数代换法

例 19

求

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

(

a > 0

)。

解设

x = a \sin t

，

t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a \cos t

，

d x = a \cos t d t

，于是

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \int a \cos t \cdot a \cos t d t = a^{2} \int \cos^{2} t d t = \frac{a^{2}}{2} t + \frac{a^{2}}{2} \sin t \cos t + C .

因为

x = a \sin t

，所以

t = \arcsin \frac{x}{a}

，利用辅助三角形，

\cos t = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

，所以

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C .

图 5-2 辅助三角形（√(a²−x²) 型）

例 20

求

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

(

a > 0

)。

解令

x = a \tan t

，

t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，

d x = a \sec^{2} t d t

，

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \int \frac{a \sec^{2} t}{a \sec t} d t = \int \sec t d t = \ln | \sec t + \tan t | + C .

利用辅助三角形，

\tan t = \frac{x}{a}

，

\sec t = \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a}

，所以

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \ln (\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a}) + C = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C_{1} .

图 5-3 辅助三角形（√(x²+a²) 型）

例 21

求

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}

(

a > 0

)。

解当

x > a

时，令

x = a \sec t

，

t \in (0, \frac{π}{2})

，

d x = a \sec t \cdot \tan t d t

，

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \int \frac{a \sec t \tan t}{a \tan t} d t = \int \sec t d t = \ln | \sec t + \tan t | + C_{1} .

利用辅助三角形，

\sec t = \frac{x}{a}

，

\tan t = \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a}

，所以

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \ln | \frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} | + C_{1} = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C .

图 5-4 辅助三角形（√(x²−a²) 型）

注意

当被积函数含有形如

\sqrt{a^{2} - x^{2}}

、

\sqrt{a^{2} + x^{2}}

、

\sqrt{x^{2} - a^{2}}

的二次根式时，可以作相应的换元（

x = a \sin t

，

x = a \tan t

，

x = \pm a \sec t

）将根号化去，但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换。

2. 简单无理函数代换法

例 22

求

\int \frac{d x}{1 + \sqrt{2 x}}

。

解令

u = \sqrt{2 x}

，

x = \frac{u^{2}}{2}

，

d x = u d u

，

\int \frac{d x}{1 + \sqrt{2 x}} = \int \frac{u d u}{1 + u} = \int (1 - \frac{1}{1 + u}) d u = u - \ln | 1 + u | + C

= \sqrt{2 x} - \ln (1 + \sqrt{2 x}) + C .

例 23

求

\int \frac{d x}{(1 + \sqrt[3]{x}) \sqrt{x}}

。

解被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换：

令

t = \sqrt[6]{x}

，则

x = t^{6}

，

d x = 6 t^{5} d t

，从而

\int \frac{d x}{(1 + \sqrt[3]{x}) \sqrt{x}} = \int \frac{6 t^{5}}{(1 + t^{2}) t^{3}} d t = 6 \int \frac{t^{2}}{1 + t^{2}} d t = 6 \int (1 - \frac{1}{1 + t^{2}}) d t

= 6 (t - \arctan t) + C = 6 (\sqrt[6]{x} - \arctan \sqrt[6]{x}) + C .

例 24

求

\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1 + x}{x}} d x

。

解为了去掉根式，作如下代换：

t = \sqrt{\frac{1 + x}{x}}

，则

x = \frac{1}{t^{2} - 1}

，

d x = - \frac{2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}} d t

，于是

\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1 + x}{x}} d x = \int {(t^{2} - 1)}^{2} t \cdot \frac{- 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}} d t = - 2 \int t^{2} d t

= - \frac{2}{3} t^{3} + C = - \frac{2}{3} {(\frac{1 + x}{x})}^{\frac{3}{2}} + C .

一般的，如果积分具有如下形式：

（1）

\int R (x, \sqrt[n]{ax + b}) d x

，则作变换

t = \sqrt[n]{ax + b}

；

（2）

\int R (x, \sqrt[n]{ax + b}, \sqrt[m]{ax + b}) d x

，则作变换

t = \sqrt[p]{ax + b}

，其中

p

是

m

，

n

的最小公倍数；

（3）

\int R (x, \sqrt[n]{\frac{ax + b}{cx + d}}) d x

，则作变换

t = \sqrt[n]{\frac{ax + b}{cx + d}}

。

运用这些变换就可以将被积函数中的根号去掉，被积函数就化为有理函数。

3. 倒代换法

在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令

x = \frac{1}{t}

，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子

x

。

例 25

求

\int \frac{d x}{x (x^{6} + 1)}

。

解令

x = \frac{1}{t}

，则

d x = - \frac{1}{t^{2}} d t

，于是

\int \frac{d x}{x (x^{6} + 1)} = \int \frac{- \frac{1}{t^{2}} d t}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{1}{t^{6}} + 1)} = - \int \frac{t^{5}}{1 + t^{6}} d t = - \frac{1}{6} \ln | 1 + t^{6} | + C

= - \frac{1}{6} \ln (1 + \frac{1}{x^{6}}) + C .

例 26

求

\int \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{x^{4}} d x

。

解令

x = \frac{1}{t}

，则

d x = - \frac{1}{t^{2}} d t

，于是

当

x > 0

时，有

\int \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{x^{4}} d x = - \frac{1}{2 a^{2}} \int {(a^{2} t^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} d (a^{2} t^{2} - 1) = - \frac{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 a^{2} x^{3}} + C .

当

x < 0

时，结果相同。本例也可用三角代换法，请读者自行求解。

4. 指数代换

例 27

求

\int \frac{d x}{e^{x} (e^{2 x} + 1)}

。

解设

e^{x} = t

，则

x = \ln t

，

d x = \frac{1}{t} d t

，于是

\int \frac{d x}{e^{x} (e^{2 x} + 1)} = \int \frac{1}{t^{2} (1 + t^{2})} d t = \int (\frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}) d t = - \frac{1}{t} - \arctan t + C

= - e^{- x} - \arctan e^{- x} + C .

本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用。承接上一节的基本积分公式，将常用的积分公式再添加几个（

a > 0

）：

补充积分公式

①

\int \tan x d x = - \ln | \cos x | + C

②

\int \cot x d x = \ln | \sin x | + C

③

\int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C

④

\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C

⑤

\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

⑥

\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C

⑦

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin \frac{x}{a} + C

⑧

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C

⑨

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C

例 28

求

\int \frac{d x}{\sqrt{5 + 4 x - x^{2}}}

。

解

\int \frac{d x}{\sqrt{5 + 4 x - x^{2}}} = \int \frac{d (x - 2)}{\sqrt{3^{2} - {(x - 2)}^{2}}} = \arcsin \frac{x - 2}{3} + C .

例 29

求

\int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2} + 9}}

。

解

\int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} = \frac{1}{2} \int \frac{d (2 x)}{\sqrt{{(2 x)}^{2} + 3^{2}}} = \frac{1}{2} \ln (2 x + \sqrt{4 x^{2} + 9}) + C .

例 30

求

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 2 x - 3}}

。

解

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 2 x - 3}} = \int \frac{d (x - 1)}{\sqrt{{(x - 1)}^{2} - 2^{2}}} = \ln | x - 1 + \sqrt{x^{2} - 2 x - 3} | + C .

例 31

求

\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}} d x

。

解被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方。把二次质因式进行配方：

{(x - 1)}^{2} + 1

，令

x - 1 = \tan t

，

t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，则

x^{2} - 2 x + 2 = \sec^{2} t, d x = \sec^{2} t d t .

所以

\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}} d x = \int \frac{{(1 + \tan t)}^{3}}{\sec^{4} t} \cdot \sec^{2} t d t

= \int \cos^{2} t {(1 + \tan t)}^{3} d t = \int \frac{{(\sin t + \cos t)}^{3}}{\cos t} d t

展开后逐项积分，按照变换

x - 1 = \tan t

，

t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，作辅助三角形（图 5—5），则有

\cos t = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}}, \sin t = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}},

于是

\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}} d x = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 2 x + 2) + 2 \arctan (x - 1) - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 2} + C .

| 习题 8—2

习题 8—2

1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立。

(1) d x = \underset{̲}{❑} d (ax + b) (a \neq 0)

(2) d x = \underset{̲}{❑} d (7 x - 3)

(3) x d x = \underset{̲}{❑} d (5 x^{2})

(4) x d x = \underset{̲}{❑} d (1 - x^{2})

(5) x^{3} d x = \underset{̲}{❑} d (3 x^{3} - 2)

(6) e^{3 x} d x = \underset{̲}{❑} d (e^{3 x})

(7) e^{- \frac{x}{2}} d x = \underset{̲}{❑} d (1 + e^{- \frac{x}{2}})

(8) \frac{1}{x} d x = \underset{̲}{❑} d (5 \ln | x |)

(9) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \underset{̲}{❑} d (1 - \arcsin x)

(10) \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \underset{̲}{❑} d (\sqrt{1 - x^{2}})

(11) \frac{1}{1 + 9 x^{2}} d x = \underset{̲}{❑} d (\arctan 3 x)

(12) \frac{1}{1 + 2 x^{2}} = d x = \underset{̲}{❑} d (\arctan \sqrt{2} x)

(13) (3 x^{2} - 2) d x = \underset{̲}{❑} d (2 x - x^{3})

(14) \cos (\frac{2}{3} x - 1) d x = \underset{̲}{❑} dsin (\frac{2}{3} x - 1)

(15) \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x = \underset{̲}{❑} d (\arcsin 2 x)

(16) \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x = \underset{̲}{❑} d (\sqrt{a^{2} + x^{2}})

(17) \sec^{2} 3 x d x = \underset{̲}{❑} d (\tan 3 x)

(18) \csc^{2} x d x = \underset{̲}{❑} d (\cot 2 x)

2. 求下列不定积分。

(1) \int {(1 - 3 x)}^{\frac{5}{2}} d x

(2) \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

(3) \int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x

(4) \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x

(5) \int \frac{d v}{\sqrt{1 - 2 v}}

(6) \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 3} d x

(7) \int \frac{e^{t}}{e^{t} + 1} d t

(8) \int \frac{d x}{4 + 9 x^{2}}

(9) \int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}}

(10) \int \frac{d x}{4 - x^{2}}

(11) \int \frac{d x}{x^{2} - x - 6}

(12) \int \cos \frac{2}{3} x d x

(13) \int e^{\sin x} \cos x d x

(14) \int \sin^{3} x d x

(15) \int \sin^{2} x \cos^{5} x d x

(16) \int \frac{d x}{\sin^{4} x}

(17) \int \frac{d t}{e^{t} + e^{- t}}

(18) \int \frac{d x}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}

(19) \int \frac{x + \ln^{2} x}{x} d x

(20) \int \frac{{(\arctan x)}^{2}}{1 + x^{2}} d x

3. 求下列不定积分。

(1) \int x \sqrt{x + 1} d x

(2) \int \frac{d x}{\sqrt{2 x - 3} + 1}

(3) \int \frac{x}{\sqrt[4]{3 x + 1}} d x

(4) \int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} d x

(5) \int \frac{e^{2 x}}{\sqrt[4]{1 + e^{x}}} d x

(6) \int x \cdot \sqrt[4]{2 x + 3} d x

(7) \int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} d x

(8) \int \sqrt{\frac{x}{1 - x \sqrt{x}}} d x

(9) \int \frac{1}{\sqrt[3]{1 + x} + 1} d x

(10) \int \frac{1 + \sqrt[3]{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} d x

(11) \int {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} d x

(12) \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

习题 8—2 详细解析

1. 填空题解析

（1）

d (ax + b) = a d x

，故

d x = \frac{1}{a} d (ax + b)

。

（2）

d (7 x - 3) = 7 d x

，故

d x = \frac{1}{7} d (7 x - 3)

。

（3）

d (5 x^{2}) = 10 x d x

，故

x d x = \frac{1}{10} d (5 x^{2})

。

（4）

d (1 - x^{2}) = - 2 x d x

，故

x d x = - \frac{1}{2} d (1 - x^{2})

。

（5）

d (3 x^{3} - 2) = 9 x^{2} d x

，故

x^{3} d x = \frac{1}{9} x d (3 x^{3} - 2)

。注意此处不能直接凑，实际上

x^{3} d x = \frac{1}{9} d (3 x^{3} - 2) \cdot \frac{x}{1}

；但题目要求的是系数，答案为

\frac{1}{9}

（前提是

x^{3} d x

可表示为

\frac{1}{9} x d (3 x^{3} - 2)

不成立时需注意）。正确理解：

d (3 x^{3} - 2) = 9 x^{2} d x

，所以

x^{3} d x

无法直接表示为常数乘以

d (3 x^{3} - 2)

。应理解为

x^{3} d x = \frac{x}{9} d (3 x^{3} - 2)

。但因为题目是填系数，意指

x^{3} d x = \frac{1}{9} d (3 x^{3} - 2)

当且仅当理解为整体系数。答案：

\frac{1}{9}

（需隐含

\times x

）。

（6）

d (e^{3 x}) = 3 e^{3 x} d x

，故

e^{3 x} d x = \frac{1}{3} d (e^{3 x})

。

（7）

d (1 + e^{- x / 2}) = - \frac{1}{2} e^{- x / 2} d x

，故

e^{- x / 2} d x = - 2 d (1 + e^{- x / 2})

。

（8）

d (5 \ln | x |) = \frac{5}{x} d x

，故

\frac{1}{x} d x = \frac{1}{5} d (5 \ln | x |)

。

（9）

d (1 - \arcsin x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

，故

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = - d (1 - \arcsin x)

。

（10）

d (\sqrt{1 - x^{2}}) = \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

，故

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = - d (\sqrt{1 - x^{2}})

。

（11）

d (\arctan 3 x) = \frac{3}{1 + 9 x^{2}} d x

，故

\frac{1}{1 + 9 x^{2}} d x = \frac{1}{3} d (\arctan 3 x)

。

（12）

d (\arctan \sqrt{2} x) = \frac{\sqrt{2}}{1 + 2 x^{2}} d x

，故

\frac{1}{1 + 2 x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{2}} d (\arctan \sqrt{2} x)

。

（13）

d (2 x - x^{3}) = (2 - 3 x^{2}) d x = - (3 x^{2} - 2) d x

，故

(3 x^{2} - 2) d x = - d (2 x - x^{3})

。

（14）

dsin (\frac{2}{3} x - 1) = \frac{2}{3} \cos (\frac{2}{3} x - 1) d x

，故答案为

\frac{3}{2}

。

（15）

d (\arcsin 2 x) = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x

，故

\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} d (\arcsin 2 x)

。

（16）

d (\sqrt{a^{2} + x^{2}}) = \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x

，故答案为

1

。

（17）

d (\tan 3 x) = 3 \sec^{2} 3 x d x

，故

\sec^{2} 3 x d x = \frac{1}{3} d (\tan 3 x)

。

（18）

d (\cot 2 x) = - 2 \csc^{2} 2 x d x

，故

\csc^{2} x d x = - \frac{1}{2} d (\cot 2 x)

（当

\csc^{2} x

与

\csc^{2} 2 x

需区分时需注意）。答案：

- \frac{1}{2}

。

2. 计算题解析

（1）

\int {(1 - 3 x)}^{5 / 2} d x = - \frac{1}{3} \int {(1 - 3 x)}^{5 / 2} d (1 - 3 x) = - \frac{2}{21} {(1 - 3 x)}^{7 / 2} + C

。

（2）

\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C

。

（3）

\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x = \int {(\ln x)}^{2} d (\ln x) = \frac{{(\ln x)}^{3}}{3} + C

。

（4）

\int \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = - \int e^{1 / x} d (\frac{1}{x}) = - e^{1 / x} + C

。

（5）

\int \frac{d v}{\sqrt{1 - 2 v}} = - \frac{1}{2} \int {(1 - 2 v)}^{- 1 / 2} d (1 - 2 v) = - \sqrt{1 - 2 v} + C

。

（6）注意

(x^{2} - x + 3)' = 2 x - 1

，恰好是分子，因此

\int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 3} d x = \ln | x^{2} - x + 3 | + C

。

（7）

\int \frac{e^{t}}{e^{t} + 1} d t = \ln (e^{t} + 1) + C

。

（8）

\int \frac{d x}{4 + 9 x^{2}} = \frac{1}{6} \arctan \frac{3 x}{2} + C

。

（9）

\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} = \frac{1}{3} \arcsin \frac{3 x}{2} + C

。

（10）

\int \frac{d x}{4 - x^{2}} = \frac{1}{4} \ln | \frac{2 + x}{2 - x} | + C

。

（11）

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，

\frac{1}{x^{2} - x - 6} = \frac{1}{5} (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 2})

，故

\int \frac{d x}{x^{2} - x - 6} = \frac{1}{5} \ln | \frac{x - 3}{x + 2} | + C

。

（12）

\int \cos \frac{2}{3} x d x = \frac{3}{2} \sin \frac{2}{3} x + C

。

（13）

\int e^{\sin x} \cos x d x = \int e^{\sin x} d (\sin x) = e^{\sin x} + C

。

（14）

\int \sin^{3} x d x = - \cos x + \frac{1}{3} \cos^{3} x + C

（参见例 11）。

（15）

\int \sin^{2} x \cos^{5} x d x = \int \sin^{2} x {(1 - \sin^{2} x)}^{2} d (\sin x) = \frac{1}{3} \sin^{3} x - \frac{2}{5} \sin^{5} x + \frac{1}{7} \sin^{7} x + C

。

（16）

\int \frac{d x}{\sin^{4} x} = \int \csc^{4} x d x = \int (1 + \cot^{2} x) \csc^{2} x d x = - \int (1 + \cot^{2} x) d (\cot x) = - \cot x - \frac{1}{3} \cot^{3} x + C

。

（17）

\int \frac{d t}{e^{t} + e^{- t}} = \int \frac{e^{t}}{e^{2 t} + 1} d t = \int \frac{d (e^{t})}{{(e^{t})}^{2} + 1} = \arctan (e^{t}) + C

。

（18）

\int \frac{d x}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}

，令

e^{x} = \sec t

，则

e^{x} d x = \sec t \tan t d t

，

\sqrt{e^{2 x} - 1} = \tan t

，故原式

= \int \frac{\sec t \tan t d t}{\sec t \cdot \tan t} = t + C = \arccos (e^{- x}) + C

。

（19）

\int \frac{x + \ln^{2} x}{x} d x = \int (1 + \frac{\ln^{2} x}{x}) d x = x + \frac{{(\ln x)}^{3}}{3} + C

。

（20）

\int \frac{{(\arctan x)}^{2}}{1 + x^{2}} d x = \int {(\arctan x)}^{2} d (\arctan x) = \frac{{(\arctan x)}^{3}}{3} + C

。

3. 计算题解析

（1）令

u = x + 1

，

x = u - 1

，

d x = d u

，

\int x \sqrt{x + 1} d x = \int (u - 1) u^{1 / 2} d u = \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5 / 2} - \frac{2}{3} {(x + 1)}^{3 / 2} + C .

（2）令

u = \sqrt{2 x - 3}

，

x = \frac{u^{2} + 3}{2}

，

d x = u d u

，

\int \frac{d x}{\sqrt{2 x - 3} + 1} = \int \frac{u d u}{u + 1} = \sqrt{2 x - 3} - \ln (\sqrt{2 x - 3} + 1) + C .

（3）令

u = \sqrt[4]{3 x + 1}

，

x = \frac{u^{4} - 1}{3}

，

d x = \frac{4 u^{3}}{3} d u

，

\int \frac{x}{\sqrt[4]{3 x + 1}} d x = \frac{4}{9} \int (u^{6} - u^{2}) d u = \frac{4}{63} {(3 x + 1)}^{7 / 4} - \frac{4}{27} {(3 x + 1)}^{3 / 4} + C .

（4）令

x = t^{6}

，

d x = 6 t^{5} d t

，

\sqrt{x} = t^{3}

，

\sqrt[3]{x} = t^{2}

，

\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} d x = 6 \int \frac{t^{3}}{t + 1} d t .

长除法

\frac{t^{3}}{t + 1} = t^{2} - t + 1 - \frac{1}{t + 1}

，故原式

= 2 x^{1 / 2} - 3 x^{1 / 3} + 6 x^{1 / 6} - 6 \ln (x^{1 / 6} + 1) + C

。

（5）令

u = \sqrt[4]{1 + e^{x}}

，则

e^{x} = u^{4} - 1

，

x = \ln (u^{4} - 1)

，

d x = \frac{4 u^{3}}{u^{4} - 1} d u

，

\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt[4]{1 + e^{x}}} d x = \int \frac{{(u^{4} - 1)}^{2}}{u} \cdot \frac{4 u^{3}}{u^{4} - 1} d u = 4 \int u^{2} (u^{4} - 1) d u = \frac{4}{7} u^{7} - \frac{4}{3} u^{3} + C = \frac{4}{7} {(1 + e^{x})}^{7 / 4} - \frac{4}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 4} + C

。

（6）令

u = \sqrt[4]{2 x + 3}

，

x = \frac{u^{4} - 3}{2}

，

d x = 2 u^{3} d u

，

原式

= \int \frac{u^{4} - 3}{2} \cdot u \cdot 2 u^{3} d u = \int (u^{8} - 3 u^{4}) d u = \frac{u^{9}}{9} - \frac{3 u^{5}}{5} + C = \frac{{(2 x + 3)}^{9 / 4}}{9} - \frac{3 {(2 x + 3)}^{5 / 4}}{5} + C

。

（7）令

t = \sqrt{x}

，

x = t^{2}

，

d x = 2 t d t

，原式

= \int \frac{2 t}{1 + t} d t = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + t}) d t = 2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

。

（8）令

t = \sqrt[4]{x}

，

x = t^{4}

，

d x = 4 t^{3} d t

，化简后积分。结果：

- \frac{4}{3} {(1 - x \sqrt{x})}^{3 / 4} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} + C

（需具体配方化简）。

（9）令

t = \sqrt[3]{1 + x}

，

x = t^{3} - 1

，

d x = 3 t^{2} d t

，原式

= \int \frac{3 t^{2}}{t + 1} d t = 3 \int (t - 1 + \frac{1}{t + 1}) d t = \frac{3}{2} {(1 + x)}^{2 / 3} - 3 {(1 + x)}^{1 / 3} + 3 \ln | {(1 + x)}^{1 / 3} + 1 | + C

。

（10）令

t = \sqrt[6]{1 + x}

（取

\sqrt{❑}

和

\sqrt[3]{❑}

的最小公倍根6），化简后逐项积分。

（11）

\int {(1 - x^{2})}^{- 3 / 2} d x

，令

x = \sin t

，

d x = \cos t d t

，

{(1 - x^{2})}^{- 3 / 2} = \sec^{3} t

，原式

= \int \sec^{2} t d t = \tan t + C = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + C

。

（12）

\int \frac{d x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

，令

x = \tan t

，

d x = \sec^{2} t d t

，

{(x^{2} + 1)}^{2} = \sec^{4} t

，原式

= \int \cos^{2} t d t = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sin t \cos t + C = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2 (1 + x^{2})} + C

。

第三节不定积分的分部积分法

前面我们得到了换元积分法。现在我们利用“两个函数乘积的求导法则”来推导求积分的另一种基本方法 —— 分部积分法。

定理 8—5

设函数

u = u (x)

，

v = v (x)

具有连续的导数，则

\int u d v = uv - \int v d u .

证明对微分公式

d (uv) = u d v + v d u

两边积分，得

uv = \int u d v + \int v d u

移项后，得

\int u d v = uv - \int v d u

。

我们把上式称为分部积分公式。它可以将不易求解的不定积分

\int u d v

转化成另一个易于求解的不定积分

\int v d u

。

在选取

u

和

d v

时一般考虑下面两点：（1）

v

要容易求得；（2）

\int v d u

要比

\int u d v

容易求出。

例 1

求

\int x \cos x d x

。

解设

u = x

，

\cos x d x = d v

，即

v = \sin x

，则

\int x \cos x d x = \int x d (\sin x) = x \sin x - \int \sin x d x = x \sin x + \cos x + C .

例 2

求

\int x e^{x} d x

。

解令

u = x

，

e^{x} d x = d v

，

v = e^{x}

，则

\int x e^{x} d x = \int x d e^{x} = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C .

例 3

求

\int x^{2} e^{x} d x

。

解令

u = x^{2}

，

e^{x} d x = d v

，

v = e^{x}

，则

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 x d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x .

根据例 2，

\int x e^{x} d x = e^{x} (x - 1) + C

，从而

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C .

注意

当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，幂函数放在 d 的前面，正（余）弦或指数函数置于 d 的后面。

例 4

求

\int x \ln x d x

。

解令

u = \ln x

，

x d x = \frac{1}{2} d x^{2}

，

v = \frac{1}{2} x^{2}

，则

\int x \ln x d x = \frac{1}{2} \int \ln x d x^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} \ln x - \int x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x) = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C .

例 5

求

\int x \arctan x d x

。

解

\int x \arctan x d x = \frac{1}{2} \int \arctan x d x^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} \arctan x - \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

= \frac{1}{2} (x^{2} \arctan x - \int (1 - \frac{1}{1 + x^{2}}) d x) = \frac{1}{2} (x^{2} \arctan x - x + \arctan x) + C .

注意

当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数放在 d 的前面，幂函数置于 d 的后面。

例 6

求

\int e^{x} \sin x d x

。

解

\int e^{x} \sin x d x = \int \sin x d e^{x} = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x d x

= e^{x} \sin x - (e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x d x),

移项得

2 \int e^{x} \sin x d x = e^{x} (\sin x - \cos x)

，所以

\int e^{x} \sin x d x = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) + C .

当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法”，但要注意两次凑微分函数的选择要一致。

例 7

求

\int \sec^{3} x d x

。

解

\int \sec^{3} x d x = \int \sec x dtan x = \sec x \cdot \tan x - \int \sec x \cdot \tan^{2} x d x

= \sec x \cdot \tan x + \int \sec x d x - \int \sec^{3} x d x .

利用

\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C_{1}

，并解方程得

\int \sec^{3} x d x = \frac{1}{2} (\sec x \cdot \tan x + \ln | \sec x + \tan x |) + C .

在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法。

例 8

求

\int e^{\sqrt{x}} d x

。

解令

t = \sqrt{x}

，

x = t^{2}

，

d x = 2 t d t

，

\int e^{\sqrt{x}} d x = \int e^{t} \cdot 2 t d t = 2 \int t d e^{t} = 2 t e^{t} - 2 \int e^{t} d t = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + C = 2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}} + C .

例 9

求

\int \cos (\ln x) d x

。

解令

t = \ln x

，

x = e^{t}

，

d x = e^{t} d t

，

\int \cos (\ln x) d x = \int \cos t \cdot e^{t} d t = \frac{1}{2} e^{t} (\sin t + \cos t) + C

= \frac{x}{2} (\sin (\ln x) + \cos (\ln x)) + C .

下面再看一个抽象函数的例子。

例 10

已知

f (x)

的一个原函数是

\frac{\sin x}{x}

，求

\int xf' (x) d x

。

解因为

f (x)

的一个原函数是

\frac{\sin x}{x}

，所以

\int f (x) d x = \frac{\sin x}{x} + C

，且

f (x) = (\frac{\sin x}{x})' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}} .

于是

原式 = \int xf' (x) d x = \int x d [f (x)] = xf (x) - \int f (x) d x = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{x} + C .

| 习题 8—3

习题 8—3

求下列不定积分。

1 . \int x e^{2 x} d x

2 . \int x \ln (x - 1) d x

3 . \int x^{2} \sin 3 x d x

4 . \int \frac{x}{\sin^{2} x} d x

5 . \int x \cos^{2} x d x

6 . \int \arccos x d x

7 . \int \ln x d x

8 . \int x^{2} \arctan x d x

9 . \int x \tan^{2} x d x

10 . \int x^{2} \ln x d x

11 . \int \ln^{2} x d x

12 . \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x}} d x

13 . \int e^{- x} \sin 5 x d x

14 . \int e^{x} \sin^{2} x d x

15 . \int {(\arcsin x)}^{2} d x

16 . \int \cos (\ln x) d x

17 . \int {(\arctan x)}^{2} d x

18 . \int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x

19 . \int e^{\sqrt{x + 1}} d x

20 . \int \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) d x

习题 8—3 详细解析

1. 令

u = x

，

d v = e^{2 x} d x

，

v = \frac{1}{2} e^{2 x}

：

\int x e^{2 x} d x = \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x = \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{4} + C .

2. 令

u = \ln (x - 1)

，

d v = x d x

，

v = \frac{x^{2}}{2}

：

\int x \ln (x - 1) d x = \frac{x^{2}}{2} \ln (x - 1) - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x .

长除法

\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

，故原式

= \frac{x^{2}}{2} \ln (x - 1) - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln | x - 1 | + C

。

3. 两次分部积分，令

u = x^{2}

，

d v = \sin 3 x d x

：

\int x^{2} \sin 3 x d x = - \frac{x^{2}}{3} \cos 3 x + \frac{2}{3} \int x \cos 3 x d x = - \frac{x^{2}}{3} \cos 3 x + \frac{2 x}{9} \sin 3 x + \frac{2}{27} \cos 3 x + C .

\int \frac{x}{\sin^{2} x} d x = \int x \csc^{2} x d x = - x \cot x + \int \cot x d x = - x \cot x + \ln | \sin x | + C

。

5. 利用半角公式

\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}

：

\int x \cos^{2} x d x = \frac{1}{2} \int x d x + \frac{1}{2} \int x \cos 2 x d x = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \int x \cos 2 x d x

。

对后项分部积分：

\int x \cos 2 x d x = \frac{x}{2} \sin 2 x + \frac{1}{4} \cos 2 x + C

。故原式

= \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} \sin 2 x + \frac{1}{8} \cos 2 x + C

。

6. 令

u = \arccos x

，

d v = d x

，

v = x

，

d u = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

：

\int \arccos x d x = x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + C

。

\int \ln x d x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x \ln x - x + C

。

8. 令

u = \arctan x

，

d v = x^{2} d x

，

v = \frac{x^{3}}{3}

：

\int x^{2} \arctan x d x = \frac{x^{3}}{3} \arctan x - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{1 + x^{2}} d x .

因为

\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} = x - \frac{x}{1 + x^{2}}

，后项

\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})

，故原式

= \frac{x^{3}}{3} \arctan x - \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6} \ln (1 + x^{2}) + C

。

\int x \tan^{2} x d x = \int x (\sec^{2} x - 1) d x = \int x \sec^{2} x d x - \frac{x^{2}}{2}

。

对

\int x \sec^{2} x d x

，令

u = x

，

d v = \sec^{2} x d x

，

v = \tan x

：

\int x \sec^{2} x d x = x \tan x - \int \tan x d x = x \tan x + \ln | \cos x | + C

。故原式

= x \tan x + \ln | \cos x | - \frac{x^{2}}{2} + C

。

10.

\int x^{2} \ln x d x = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C

。

11. 令

u = \ln^{2} x

，

d v = d x

，

d u = \frac{2 \ln x}{x} d x

：

\int \ln^{2} x d x = x \ln^{2} x - 2 \int \ln x d x = x \ln^{2} x - 2 (x \ln x - x) + C = x \ln^{2} x - 2 x \ln x + 2 x + C

。

12. 令

x = \sin^{2} t

（

0 \leq t < π / 2

），则

d x = 2 \sin t \cos t d t

，

\sqrt{1 - x} = \cos t

，

\arcsin x = \arcsin (\sin^{2} t)

。

更直接的做法：令

u = \arcsin x

，

d v = \frac{d x}{\sqrt{1 - x}}

，

v = - 2 \sqrt{1 - x}

，则

\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x}} d x = - 2 \sqrt{1 - x} \arcsin x + 2 \int \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = - 2 \sqrt{1 - x} \arcsin x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x

= - 2 \sqrt{1 - x} \arcsin x + 4 \sqrt{1 + x} + C

。

13. 两次分部积分（循环法）。设

I = \int e^{- x} \sin 5 x d x

，令

u = \sin 5 x

，

d v = e^{- x} d x

：

I = - e^{- x} \sin 5 x + 5 \int e^{- x} \cos 5 x d x = - e^{- x} \sin 5 x + 5 (- e^{- x} \cos 5 x - 5 \int e^{- x} \sin 5 x d x)

即

I = - e^{- x} \sin 5 x - 5 e^{- x} \cos 5 x - 25 I

，解得

26 I = - e^{- x} (\sin 5 x + 5 \cos 5 x)

，

所以

I = - \frac{e^{- x} (\sin 5 x + 5 \cos 5 x)}{26} + C

。

14. 先用半角公式

\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}

：

\int e^{x} \sin^{2} x d x = \frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} \int e^{x} \cos 2 x d x

。

用循环法：

\int e^{x} \cos 2 x d x = e^{x} \cos 2 x + 2 e^{x} \sin 2 x - 4 \int e^{x} \cos 2 x d x

，

解得

\int e^{x} \cos 2 x d x = \frac{e^{x} (\cos 2 x + 2 \sin 2 x)}{5} + C

。故原式

= \frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{x} (\cos 2 x + 2 \sin 2 x)}{10} + C

。

15. 令

u = {(\arcsin x)}^{2}

，

d v = d x

，

v = x

，

d u = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

：

\int {(\arcsin x)}^{2} d x = x {(\arcsin x)}^{2} - 2 \int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x .

对后项，令

u = \arcsin x

，

d v = - \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = d \sqrt{1 - x^{2}}

，

v = \sqrt{1 - x^{2}}

：

\int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = - \sqrt{1 - x^{2}} \arcsin x + \int d x = - \sqrt{1 - x^{2}} \arcsin x + x + C

。

故原式

= x {(\arcsin x)}^{2} + 2 \sqrt{1 - x^{2}} \arcsin x - 2 x + C

。

16. 令

t = \ln x

，

x = e^{t}

，

d x = e^{t} d t

。原式变为

\int e^{t} \cos t d t

。

用循环法：

\int e^{t} \cos t d t = e^{t} \cos t + e^{t} \sin t - \int e^{t} \cos t d t

，解得

\int e^{t} \cos t d t = \frac{e^{t} (\cos t + \sin t)}{2} + C

。

回代得

\frac{x [\cos (\ln x) + \sin (\ln x)]}{2} + C

。

17. 令

u = {(\arctan x)}^{2}

，

d v = d x

，

v = x

：

\int {(\arctan x)}^{2} d x = x {(\arctan x)}^{2} - 2 \int \frac{x \arctan x}{1 + x^{2}} d x .

对后项，注意

\frac{x}{1 + x^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{1 + x^{2}} = \frac{1}{2} [\ln (1 + x^{2})]'

，令

u = \arctan x

，

d v = \frac{x}{1 + x^{2}} d x

，

v = \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})

：

\int \frac{x \arctan x}{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \arctan x \ln (1 + x^{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} d x

。

最后一项不可积为初等函数，故最终结果为

x {(\arctan x)}^{2} - \arctan x \cdot \ln (1 + x^{2}) + \int \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} d x + C

。

18. 令

t = \sqrt{x}

，

x = t^{2}

，

d x = 2 t d t

：

\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x = 2 \int t^{2} e^{t} d t

。对

\int t^{2} e^{t} d t

连续两次分部积分：

\int t^{2} e^{t} d t = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C = e^{t} (t^{2} - 2 t + 2) + C

。

回代得

2 e^{\sqrt{x}} (x - 2 \sqrt{x} + 2) + C

。

19. 令

t = \sqrt{x + 1}

，

x = t^{2} - 1

，

d x = 2 t d t

：

\int e^{\sqrt{x + 1}} d x = 2 \int t e^{t} d t = 2 (t e^{t} - e^{t}) + C = 2 e^{t} (t - 1) + C = 2 e^{\sqrt{x + 1}} (\sqrt{x + 1} - 1) + C

。

20. 令

u = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})

，

d v = d x

，

v = x

。

因为

[\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})]' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

，所以

\int \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) d x = x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) - \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x = x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) - \sqrt{1 + x^{2}} + C .

不定积分题型总结与方法选择

题型一：直接积分法（恒等变形+基本公式）

适用情形：被积函数可通过恒等变形直接化为基本积分公式的形式。

核心技巧：三角恒等式（倍角、半角、和差化积）、代数恒等变形（拆项、通分、长除法）。

典型例题：

\int \tan^{2} x d x

，

\int \frac{\cos 2 x}{\cos^{2} x \sin^{2} x} d x

，

\int \frac{3 x^{4} + 2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x

。

解题要点： ① 利用

\tan^{2} x = \sec^{2} x - 1

、

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

等变形；② 分子次数 ≥ 分母时先做多项式长除法。

题型二：第一类换元积分法（凑微分法）

适用情形：被积函数具有

f [φ (x)] φ' (x)

的复合结构。

核心技巧：识别中间变量

u = φ (x)

，将

φ' (x) d x

凑为

d u

。

常见凑微分模式：

①

x d x = \frac{1}{2} d (x^{2})

　②

\frac{d x}{x} = d (\ln x)

　③

\cos x d x = d (\sin x)

④

e^{x} d x = d (e^{x})

　⑤

\sec^{2} x d x = d (\tan x)

　⑥

a d x = d (ax + b)

典型例题：

\int \frac{x}{x^{2} + a^{2}} d x

，

\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x

，

\int \frac{e^{t}}{e^{t} + 1} d t

。

题型三：第二类换元积分法

适用情形：被积函数含有根式或复杂无理式，直接凑微分困难。

三角代换总结表：

① 含

\sqrt{a^{2} - x^{2}}

　→　令

x = a \sin t

　→　根式化为

a \cos t

② 含

\sqrt{x^{2} + a^{2}}

　→　令

x = a \tan t

　→　根式化为

a \sec t

③ 含

\sqrt{x^{2} - a^{2}}

　→　令

x = a \sec t

　→　根式化为

a \tan t

无理代换：含

\sqrt[n]{ax + b}

时，令

t = \sqrt[n]{ax + b}

；含多种根式

\sqrt[m]{x}

、

\sqrt[n]{x}

时，令

x = t^{lcm (m, n)}

。

倒代换：分母次数远大于分子时，令

x = 1 / t

。

题型四：分部积分法

适用情形：被积函数是两类不同函数的乘积。

u 的选取口诀（反对幂指三口诀）：按优先级选 u：对数(L) → 反三角(I) → 代数/幂(A) → 三角(T) → 指数(E)。即优先让对数、反三角函数做 u（因为它们求导后变简单）。对应中文口诀“反对幂指三”。

四类常见情形：

①

\int P (x) e^{ax} d x

：令

u = P (x)

，

d v = e^{ax} d x

（多项式做 u）

②

\int P (x) \sin (ax) d x

或

\int P (x) \cos (ax) d x

：同上（多项式做 u）

③

\int P (x) \ln x d x

或

\int P (x) \arctan x d x

：令

u = \ln x

或

u = \arctan x

（对数/反三角做 u）

④

\int e^{ax} \sin (bx) d x

：循环法，任选一种做 u，两次分部积分后解方程

解题要点： ① 每次分部积分后，新积分

\int v d u

应比原积分更简单；② 循环法中两次选取的 dv 类型要一致。

积分方法论：决策树

积分方法怎么选？按以下步骤逐步判断：

Step 1：是基本公式吗？→ 是 → 直接写。

Step 2：有“函数 × 它的导数”吗？→ 是 → 凑微分（优先）。

Step 3：有根号吗？→ 是 → 第二类换元（三角代换/根式代换）。

Step 4：是“幂 × 指/对/三”吗？→ 是 → 分部积分。

Step 5：是有理分式吗？→ 是 → 部分分式分解。

Step 6：含三角函数的复杂组合？→ 先用恒等变形化简，再选方法。

口诀表

分部积分口诀：“反对幂指三”

选

u

的优先级：反三角 > 对数 > 幂函数 > 指数 > 三角函数。

原理：让

u

求导后变简单（如

\ln x \to 1 / x

，

\arctan x \to 1 / (1 + x^{2})

），或者让

d v

积分后不复杂（如

e^{x}

、

\sin x

积分后形式不变）。

记忆技巧： “反对幂指三”谐音“反对幂只三”——反对只记三个公式（要记全部）！

避坑指南：常见错误与陷阱

陷阱一：三角积分的降幂问题

遇到

\sin^{2} x

、

\cos^{2} x

→ 必须用倍角公式降幂：

\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}

，

\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}

。

错误做法：直接当作

\sin x

的幂次来凑微分（凑不出来！）。

陷阱二：

\frac{1}{\sin x}

和

\frac{1}{\cos x}

的积分

不能直接凑微分！需要用特殊技巧：

\int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C

（乘以

\frac{\csc x - \cot x}{\csc x - \cot x}

）

\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C

（乘以

\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}

）

陷阱三：忘记加常数 C

不定积分的结果必须加上任意常数 C。这是不定积分与定积分的根本区别。缺少 C 表示只写了一个特解，而非全部原函数。

陷阱四：第二类换元忘记回代

三角代换后求出了关于

t

的原函数，必须通过辅助三角形将

t

还原为

x

的表达式。忘记回代是最常见的扣分原因之一。

陷阱五：循环积分两次选取不一致

在

\int e^{x} \sin x d x

等循环积分中，两次分部积分选取的

d v

类型必须一致（要么都选指数，要么都选三角），否则会退回原式而非得到方程。

本章小结

一、基本概念

原函数，不定积分。若

F' (x) = f (x)

，则

F (x)

为

f (x)

的原函数；

\int f (x) d x = F (x) + C

为不定积分。连续函数一定有原函数。

二、基本公式

13 个基本积分公式 + 9 个补充积分公式（含

\tan

\cot

\sec

\csc

的积分以及含参数

a

的公式）。

三、基本方法

1. 第一类换元积分法（凑微分法）：识别复合结构

f [φ (x)] φ' (x)

，凑出

d [φ (x)]

。

2. 第二类换元积分法：含根式时用三角代换（

\sqrt{a^{2} - x^{2}}

\sqrt{x^{2} + a^{2}}

\sqrt{x^{2} - a^{2}}

型）、无理代换或倒代换。

3. 分部积分法：

\int u d v = uv - \int v d u

。u 的选取遵循口诀“反对幂指三”。

四、其他

1. 不定积分的性质：线性性质

\int [kf (x) + \lg (x)] d x = k \int f (x) d x + l \int g (x) d x

。

2. 积分运算与微分运算互为逆运算：

(\int f (x) d x)' = f (x)

，

\int d F (x) = F (x) + C

。

3. 积分结果可通过求导检验：若

[F (x) + C]' = f (x)

，则积分正确。

复习题八

1. 判断题。

(1) 如果

f' (x) = g' (x)

，则

f (x) = g (x)

。

(2)

y = \ln ax (a > 0)

与

y = \ln x

不是同一函数的原函数。

(3)

(\int f (x) d x)' = f (x) + C

。

(4)

\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x \cdot \int g (x) d x

。

(5)

\frac{d}{d x} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x

。

(6)

\int f' (x) d x = f (x) + C

。

(7)

\int e^{g (x)} φ' (x) d x = e^{g (x)} + C

。

(8) 若

f (x)

的某个原函数为常数，则

f (x) = 0

。

2. 选择题。

(1) 函数

f (x)

的（　）原函数，称为

f (x)

的不定积分。

A. 任意一个　　B. 所有　　C. 某一个　　D. 唯一

(2) 下列正确的是（　）。

\int \arctan x d x = \frac{1}{1 + x^{2}} + C

\int \sin (- x) d x = - \cos (- x) + C

(3) 在下列各式中与

\int \sin 2 x d x

不相等的是（　）。

\sin^{2} x + C

\frac{1}{2} \sin 2 x + C

- \frac{1}{2} \cos 2 x + C

- \cos^{2} x + C

(4) 已知

f' (x) = 2 x

且

f (1) = 2

，则

f (x) =

（　）。

x^{2} + 1

x^{2} + 2

x + 1

\frac{1}{2} x^{2} + 2

3. 填空题。

(1)

\int \sin^{2} x \cos x d x =

________。

(2) 设

f (x) = \ln x^{2}

在

(- \infty, + \infty)

上连续，

d \int \ln x^{2} d x =

________。

(3) 已知

e^{- x}

是

f (x)

的一个原函数，则

\int xf (x) d x =

________。

(4)

\int xf' (x^{2}) d x =

________。

4. 求下列积分。

(1) \int \frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d x

(2) \int \frac{x}{{(1 - x)}^{3}} d x

(3) \int \frac{x^{2}}{a^{6} - x^{6}} d x (a > 0)

(4) \int \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} d x

(5) \int \frac{lnln x}{x} d x

(6) \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^{4} x} d x

(7) \int \tan^{4} x d x

(8) \int \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x

5. 综合题。

(1) 求 \int e^{\sqrt{x}} d x （提示：先令 t = \sqrt{x} 换元，再分部）

(2) 求 \int \frac{d x}{x (1 + \ln^{2} x)} （提示：先凑 d (\ln x) ，再用 \arctan u 公式）

(3) 求 \int x \sqrt{1 - x^{2}} d x （要求：分别用凑微分法和三角代换法求解，并对比两种方法）

(4) 若 \sin x 是 f (x) 的原函数，求 \int xf' (x) d x

复习题八详细解析

1. 判断题解析

（1）×（错误）。

f' (x) = g' (x)

表示

[f (x) - g (x)]' = 0

，由此只能得出

f (x) - g (x) = C

（C 为常数），即

f (x) = g (x) + C

，两者未必相等。

（2）×（错误）。

\ln ax = \ln a + \ln x

（

a > 0

），所以

y = \ln ax

与

y = \ln x

只差一个常数

\ln a

，它们属于同一函数

f (x) = 1 / x

的原函数族。

（3）×（错误）。

(\int f (x) d x)'

表示对不定积分求导，结果就是

f (x)

，不需要再加常数 C。C 在求导时消失。

（4）×（错误）。不定积分没有乘法分配律。

\int f (x) g (x) d x \neq \int f (x) d x \cdot \int g (x) d x

。反例：

\int x \cdot x d x = x^{3} / 3 + C

，而

\int x d x \cdot \int x d x = (x^{2} / 2 + C_{1}) (x^{2} / 2 + C_{2})

，显然不等。

（5）×（错误）。

\frac{d}{d x} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{1 + x^{2}}

（积分后求导等于被积函数），而不是

\arctan x

。

\arctan x

是积分的结果，不是求导的结果。

（6）✓（正确）。由性质 8—1（2），

\int f' (x) d x = \int d f (x) = f (x) + C

。

（7）×（错误）。

\int e^{g (x)} φ' (x) d x = e^{g (x)} + C

成立的条件是

φ' (x) = g' (x)

。题目未给出此条件，一般情况下不成立。

（8）✓（正确）。若

F (x) = C

（常数）是

f (x)

的原函数，则

f (x) = F' (x) = 0

。

2. 选择题解析

（1）B。不定积分的定义是

f (x)

的所有原函数的集合，故选 B。

（2）B。验证各选项：A 中

(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^{2}}

，所以

\int \arctan x d x \neq \frac{1}{1 + x^{2}} + C

，A 错误。B 中

[- \cos (- x)]' = - \sin (- x) \cdot (- 1) = \sin (- x)

，验证正确。故选 B。

（3）B。

\int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C

。检验各选项：A：

(\sin^{2} x)' = \sin 2 x

，等价于

- \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{2}

，正确。B：

(\frac{1}{2} \sin 2 x)' = \cos 2 x \neq \sin 2 x

，B 不相等。C：正确。D：

(- \cos^{2} x)' = 2 \cos x \sin x = \sin 2 x

，正确。故选 B。

（4）A。

f (x) = \int 2 x d x = x^{2} + C

。由

f (1) = 1 + C = 2

得

C = 1

，故

f (x) = x^{2} + 1

，选 A。

3. 填空题解析

（1）注意

(\sin x)' = \cos x

，凑微分：

\int \sin^{2} x \cos x d x = \int \sin^{2} x d (\sin x) = \frac{\sin^{3} x}{3} + C

。

（2）

d \int \ln x^{2} d x = \ln x^{2} d x

。因为

\ln x^{2} = 2 \ln | x |

，所以结果为

2 \ln | x | d x

。

（3）由

e^{- x}

是

f (x)

的原函数，得

f (x) = (e^{- x})' = - e^{- x}

。所以

\int xf (x) d x = - \int x e^{- x} d x

。分部积分：令

u = x

，

d v = e^{- x} d x

，

v = - e^{- x}

，

- \int x e^{- x} d x = - (x \cdot (- e^{- x}) - \int (- e^{- x}) d x) = x e^{- x} - \int e^{- x} d x

。不对，我们重新整理：

- \int x e^{- x} d x = - [- x e^{- x} + \int e^{- x} d x] = x e^{- x} + e^{- x} + C = e^{- x} (x + 1) + C

。

（4）令

u = x^{2}

，

d u = 2 x d x

，于是

\int xf' (x^{2}) d x = \frac{1}{2} \int f' (u) d u = \frac{1}{2} f (u) + C = \frac{1}{2} f (x^{2}) + C

。

4. 计算题解析

（1）

\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x} - 1}

。令

u = e^{x}

，

d u = e^{x} d x

，

\int \frac{e^{x}}{e^{2 x} - 1} d x = \int \frac{d u}{u^{2} - 1}

。部分分式：

\frac{1}{u^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1})

，故结果

= \frac{1}{2} \ln | \frac{u - 1}{u + 1} | + C = \frac{1}{2} \ln | \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} | + C

。

（2）令

u = 1 - x

，

x = 1 - u

，

d x = - d u

：

\int \frac{x}{{(1 - x)}^{3}} d x = - \int \frac{1 - u}{u^{3}} d u = - \int (u^{- 3} - u^{- 2}) d u = \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{u} + C = \frac{1}{2 {(1 - x)}^{2}} - \frac{1}{1 - x} + C .

（3）令

t = x^{3}

，

d t = 3 x^{2} d x

：

\int \frac{x^{2}}{a^{6} - x^{6}} d x = \frac{1}{3} \int \frac{d t}{{(a^{3})}^{2} - t^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 a^{3}} \ln | \frac{a^{3} + t}{a^{3} - t} | + C = \frac{1}{6 a^{3}} \ln | \frac{a^{3} + x^{3}}{a^{3} - x^{3}} | + C .

（4）注意

(x + \sin x)' = 1 + \cos x

，恰好是分子，因此

\int \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} d x = \int \frac{d (x + \sin x)}{x + \sin x} = \ln | x + \sin x | + C

。

（5）令

u = \ln x

，

d u = \frac{1}{x} d x

：

\int \frac{lnln x}{x} d x = \int \ln u d u

。分部积分：

\int \ln u d u = u \ln u - u + C

。回代

u = \ln x

，得

\ln x \cdot \ln (\ln x) - \ln x + C

。

（6）令

u = \sin^{2} x

，

d u = 2 \sin x \cos x d x = \sin 2 x d x

，而分子

\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2 x

：

\int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^{4} x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{1 + u^{2}} = \frac{1}{2} \arctan u + C = \frac{1}{2} \arctan (\sin^{2} x) + C

。

（7）

\tan^{4} x = \tan^{2} x \cdot \tan^{2} x = \tan^{2} x (\sec^{2} x - 1) = \tan^{2} x \sec^{2} x - \tan^{2} x

：

\int \tan^{4} x d x = \int \tan^{2} x \sec^{2} x d x - \int (\sec^{2} x - 1) d x = \frac{\tan^{3} x}{3} - \tan x + x + C .

（8）利用积化和差：

\sin x \sin 2 x = \frac{1}{2} [\cos (x - 2 x) - \cos (x + 2 x)] = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3 x)

。

再乘以

\sin 3 x

：

\sin x \sin 2 x \sin 3 x = \frac{1}{2} \sin 3 x \cos x - \frac{1}{2} \sin 3 x \cos 3 x

。

继续展开：

\sin 3 x \cos x = \frac{1}{2} (\sin 4 x + \sin 2 x)

，

\sin 3 x \cos 3 x = \frac{1}{2} \sin 6 x

。

所以原式

= \frac{1}{4} (\sin 4 x + \sin 2 x) - \frac{1}{4} \sin 6 x

。逐项积分：

\int \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x = \frac{1}{4} (- \frac{\cos 4 x}{4} - \frac{\cos 2 x}{2} + \frac{\cos 6 x}{6}) + C

= - \frac{\cos 4 x}{16} - \frac{\cos 2 x}{8} + \frac{\cos 6 x}{24} + C .

5. 综合题解析

（1）求

\int e^{\sqrt{x}} d x

。先令

t = \sqrt{x}

，

x = t^{2}

，

d x = 2 t d t

：

\int e^{\sqrt{x}} d x = 2 \int t e^{t} d t .

再分部积分：

\int t e^{t} d t = t e^{t} - e^{t} + C

。回代得

2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C

。

（2）求

\int \frac{d x}{x (1 + \ln^{2} x)}

。令

u = \ln x

，

d u = \frac{1}{x} d x

：

\int \frac{d x}{x (1 + \ln^{2} x)} = \int \frac{d u}{1 + u^{2}} = \arctan u + C = \arctan (\ln x) + C .

（3）求

\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x

（两种方法对比）。

方法一（凑微分法）：注意到

(1 - x^{2})' = - 2 x

，于是

x d x = - \frac{1}{2} d (1 - x^{2})

：

\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int {(1 - x^{2})}^{1 / 2} d (1 - x^{2}) = - \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{3 / 2} + C .

方法二（三角代换法）：令

x = \sin t

，

d x = \cos t d t

：

\int \sin t \cos t \cdot \cos t d t = \int \sin t \cos^{2} t d t = - \frac{\cos^{3} t}{3} + C = - \frac{{(1 - x^{2})}^{3 / 2}}{3} + C .

对比：两种方法结果一致。凑微分法更简洁，三角代换法步骤更多但思路清晰。本题凑微分法是最优选择。

（4）若

\sin x

是

f (x)

的原函数，则

f (x) = (\sin x)' = \cos x

，

f' (x) = - \sin x

。

分部积分：

\int xf' (x) d x = xf (x) - \int f (x) d x = x \cos x - \sin x + C

。