第 09 章

定积分及其应用

黎曼和 · 牛顿莱布尼茨公式 · 面积体积

第一节    定积分的概念与性质

| 一、定积分问题举例

1. 曲边梯形的面积

设函数 y = f ( x )  在区间 [ a , b ]  上非负且连续，由直线 x = a ， x = b ， x 轴及曲线 y = f ( x )  所围成的图形称为曲边梯形（图9－1），其中曲线弧 y = f ( x )  称为曲边。

图 9-1  曲边梯形

下面我们讨论曲边梯形面积的求法。

我们知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算。而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积没有现成的计算方法。如果将 [ a , b ]  上任一点 x  处的函数值 f ( x )  看作曲边梯形在 x  处的高，则曲边梯形的高是变化的。但因 y = f ( x )  是 [ a , b ]  区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上， f ( x ) 的值变化不大。因此，如果把区间 [ a , b ]  划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点 ξ  处的值 f ( ξ )  来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图9－2）。

图 9-2  曲边梯形的分割

直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高。若把区间 [ a , b ]  无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积，这样就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：
（1）将区间 [ a , b ]  划分为 n  个小区间，即在区间 [ a , b ]  内任意插入 n − 1  个分点：
a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b ,
这 n  个小区间分别为 [ x 0 , x 1 ] ， [ x 1 , x 2 ] ， ⋯ ， [ x n − 1 , x n ] ，其长度依次记为
Δ x 1 = x 1 − x 0 , Δ x 2 = x 2 − x 1 , ⋯ , Δ x n = x n − x n − 1 .
（2）在每个小区间 [ x i − 1 , x i ]  上任取一点 ξ i （ x i − 1 ≤ ξ i ≤ x i ），以 f ( ξ i )  为高、 Δ x i 为底的窄矩形面积 f ( ξ i ) Δ x i  作为窄曲边梯形面积的近似值，然后求和：
A ≈ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i .
（3）令 λ = max { Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯ , Δ x n } ，当 λ → 0  时，上述和式的极限就是曲边梯形的面积：
A = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i .

2. 变速直线运动的路程

设一物体作变速直线运动，已知速度 v = v ( t )  是时间间隔 [ T 1 , T 2 ]  上 t  的连续函数，且 v ( t ) ≥ 0 。用类似方法可得：
s = lim λ → 0 ∑ i = 1 n v ( τ i ) Δ t i .

| 二、定积分的定义

  定义 9－1

设函数 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上有界。在 [ a , b ]  中任意插入若干个分点
a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b ,
把区间 [ a , b ]  分成 n  个小区间 [ x i − 1 , x i ] （ i = 1 , 2 , ⋯ , n ），各小区间的长度为 Δ x i = x i − x i − 1 。在每个小区间 [ x i − 1 , x i ]  上任取一点 ξ i ，作乘积 f ( ξ i ) Δ x i （ i = 1 , 2 , ⋯ , n ），并作和
S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ,
记 λ = max { Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯ , Δ x n } ，如果不论对 [ a , b ]  怎样划分，也不论在小区间 [ x i − 1 , x i ]  上点 ξ i  怎样取法，只要当 λ → 0  时，和 S  总趋于确定的极限 I ，那么称这个极限 I  为函数 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上的定积分，记作 ∫ a b f ( x ) d x ，即
∫ a b f ( x ) d x = I = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ,
其中 f ( x )  叫做被积函数， f ( x ) d x 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， [ a , b ] 叫做积分区间。

关于定积分的定义，有两点说明：

（1）定积分 ∫ a b f ( x ) d x  是一个确定的数值，它只依赖于被积函数 f ( x )  和积分区间 [ a , b ] ，与积分变量的记号无关，即
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f ( u ) d u .
（2）为方便起见，补充规定： ∫ a a f ( x ) d x = 0 ； ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x 。

  定理 9－1

设 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上连续，则 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上可积。

  定理 9－2

设 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上可积。

利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可分别表示如下：

A = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∫ a b f ( x ) d x .
s = lim λ → 0 ∑ i = 1 n v ( τ i ) Δ t i = ∫ T 1 T 2 v ( t ) d t .

| 三、定积分的几何意义

（1）当 f ( x ) ≥ 0  时，定积分 ∫ a b f ( x ) d x  表示由直线 x = a ， x = b ， x 轴和曲线 y = f ( x )  所围成的曲边梯形的面积；
（2）当 f ( x ) ≤ 0  时，定积分 ∫ a b f ( x ) d x  的值应为负，表示上述曲边梯形面积的负值；
（3）若在区间 [ a , b ]  上， f ( x ) 既取得正值又取得负值时，定积分 ∫ a b f ( x ) d x  表示曲边梯形各部分面积的代数和（图9－3）。

图 9-3  定积分的几何意义

  例 1

利用定义求定积分 ∫ 0 1 x 2 d x  的值。
解  将区间 [ 0 , 1 ]  分成 n  等分，分点 x i = i n （ i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 ），每个小区间长度 Δ x i = 1 n ；取 ξ i = x i （右端点），于是
∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∑ i = 1 n ( i n ) 2 ⋅ 1 n = 1 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 1 n 3 ⋅ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 2 .
当 n → ∞  时，取极限得
∫ 0 1 x 2 d x = lim n → ∞ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 2 = 1 3 .

  例 1′  利用几何意义求积分

求 ∫ 0 R R 2 − x 2 d x （ R > 0 ）。
解  被积函数 y = R 2 − x 2  表示以原点为圆心、 R 为半径的上半圆，积分区间为 [ 0 , R ] （第一象限部分）。
因此， ∫ 0 R R 2 − x 2 d x 就是四分之一圆的面积（图9－15）：
∫ 0 R R 2 − x 2 d x = 1 4 π R 2 .

【思路】 识别被积函数的几何图形——数形结合，无需计算原函数。

【易错点】 不要机械地用换元法计算，此题考查的是"几何意义"的运用能力。

图 9-15  四分之一圆面积

  例 1″  利用估值定理比较积分

不计算积分值，比较 ∫ 0 1 x 2 d x  与 ∫ 0 1 x 3 d x  的大小。
解  在区间 ( 0 , 1 )  上， 0 < x < 1 ，故 x 3 = x ⋅ x 2 < x 2 。
由定积分性质4的推论1（保序性）：若 f ( x ) ≤ g ( x ) ，则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x 。
因此 ∫ 0 1 x 3 d x < ∫ 0 1 x 2 d x 。

【思路】 不需要计算具体值，只需比较被积函数在积分区间上的大小关系。

| 四、定积分的性质

  定积分的性质

性质1   ∫ a b [ αf ( x ) + βg ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x 。
性质2  若 a < c < b ，则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x 。
性质3   ∫ a b 1 d x = b − a 。
性质4  若 f ( x ) ≥ 0 ，则 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 。
推论1  若 f ( x ) ≤ g ( x ) ，则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x 。
推论2   | ∫ a b f ( x ) d x | ≤ ∫ a b | f ( x ) | d x 。
性质5  设 M 、 m 分别是 f ( x )  在 [ a , b ]  上的最大值和最小值，则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) 。
性质6（定积分中值定理）  若 f ( x )  在 [ a , b ]  上连续，则存在 ξ ∈ [ a , b ] ，使得
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) .
性质7  称 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x  为函数 f ( x )  在 [ a , b ]  上的平均值（图9－4）。

图 9-4  积分中值定理

| 习题 9－1

  习题 9－1

1. 用定积分表示下列各组曲线围成的图形的面积。

（1） y = cos x ， x = − π 2 ， x = π 2 ， y = 0 。
（2） y = x 2 ， x = − 1 ， x = 2 ， y = 0 。
（3） y = ln x ， x = e ， y = 0 。

2. 利用定积分的几何意义证明下列等式。

（1） ∫ − π 2 π 2 cos x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos x d x 。
（2） ∫ − a a sin x d x = 0 。

3. 比较下列各对定积分值的大小。

（1） ∫ 0 1 x d x 与 ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x 。    （2） ∫ 1 2 ln x d x 与 ∫ 1 2 ln 2 x d x 。
（3） ∫ 1 2 x 2 d x 与 ∫ 1 2 x 3 d x 。    （4） ∫ 0 1 e x d x 与 ∫ 0 1 ( x + 1 ) d x 。

4. 估计下列定积分值的范围。

（1） ∫ 0 π ( cos x + sin x ) d x 。    （2） ∫ 1 4 ( x 2 + 1 ) d x 。
（3） ∫ π 4 5 π 4 ( 1 + sin 2 x ) d x 。    （4） ∫ 0 1 arcsin x d x 。
5. 设 f ( x ) ∈ C [ 0 , 1 ]  且 0 ≤ f ( x ) < 1 。试证： lim n → ∞ ∫ 0 1 f n ( x ) d x = 0 。

  习题 9－1 详细解析

1. 用定积分表示面积

（1） cos x  在 [ − π 2 , π 2 ]  上非负，面积为 A = ∫ − π 2 π 2 cos x d x 。
（2） x 2 ≥ 0 ，面积为 A = ∫ − 1 2 x 2 d x 。
（3） 在 [ 1 , e ]  上 ln x ≥ 0 ，面积为 A = ∫ 1 e ln x d x 。

2. 利用几何意义证明等式

（1） 因为 cos x  是偶函数， cos ( − x ) = cos x ，所以 [ − π 2 , 0 ]  上的面积等于 [ 0 , π 2 ]  上的面积，故 ∫ − π 2 π 2 cos x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos x d x 。
（2） 因为 sin x  是奇函数， sin ( − x ) = − sin x ， x 轴上方面积与下方面积正好抵消，故 ∫ − a a sin x d x = 0 。

3. 比较定积分值大小

（1） 在 ( 0 , 1 )  上 ln ( 1 + x ) < x （因为 ln ( 1 + x )  的泰勒展开首项为 x ，后续为负项），所以 ∫ 0 1 x d x > ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x 。
（2） 在 [ 1 , 2 ]  上 0 ≤ ln x ≤ ln 2 < 1 ，所以 ln 2 x < ln x ，故 ∫ 1 2 ln x d x > ∫ 1 2 ln 2 x d x 。
（3） 在 [ 1 , 2 ]  上 x ≥ 1 ，故 x 3 = x ⋅ x 2 ≥ x 2 ，所以 ∫ 1 2 x 2 d x ≤ ∫ 1 2 x 3 d x 。
（4） 在 [ 0 , 1 ]  上 e x ≥ 1 + x （指数函数的凸性），故 ∫ 0 1 e x d x ≥ ∫ 0 1 ( x + 1 ) d x 。

4. 估计定积分值的范围

（1） 在 [ 0 , π ]  上， cos x + sin x = 2 sin ( x + π 4 ) ，最大值 M = 2 ，最小值 m = − 1 （在 x = π  处）。故 − π ≤ ∫ 0 π ( cos x + sin x ) d x ≤ 2 π 。
（2） 在 [ 1 , 4 ]  上 f ( x ) = x 2 + 1 ， m = f ( 1 ) = 2 ， M = f ( 4 ) = 17 。故 2 × 3 ≤ ∫ 1 4 ( x 2 + 1 ) d x ≤ 17 × 3 ，即 6 ≤ I ≤ 51 。
（3） 1 ≤ 1 + sin 2 x ≤ 2 ，区间长 5 π 4 − π 4 = π ，故 π ≤ ∫ π 4 5 π 4 ( 1 + sin 2 x ) d x ≤ 2 π 。
（4） 在 [ 0 , 1 ]  上， 0 ≤ arcsin x ≤ π 2 ，故 0 ≤ ∫ 0 1 arcsin x d x ≤ π 2 。

5. 证明

因为 0 ≤ f ( x ) < 1  且 f ( x )  在 [ 0 , 1 ]  上连续，由连续函数在闭区间上有最大值，设 max x ∈ [ 0 , 1 ] f ( x ) = M < 1 。
则 0 ≤ f n ( x ) ≤ M n ，所以 0 ≤ ∫ 0 1 f n ( x ) d x ≤ M n ⋅ 1 = M n 。
因为 0 ≤ M < 1 ，故 lim n → ∞ M n = 0 ，由夹逼定理得 lim n → ∞ ∫ 0 1 f n ( x ) d x = 0 。 ▫

第二节    微积分学基本定理

在第一节中，我们举过应用定积分定义计算积分的例子。从中可以看出，利用定义计算定积分，对于比较简单的函数，计算定积分已经不是很容易的事。而当被积函数比较复杂时计算更为困难，有时甚至是不可能的。因此我们有必要寻求一种较为简单的计算定积分的方法。

| 一、积分上限函数与原函数存在定理

设函数 f ( x )  在闭区间 [ a , b ]  上连续， x 为 [ a , b ]  上的一点，那么 f ( x )  在区间 [ a , x ]  上可积分，且有积分 ∫ a x f ( x ) d x  与之对应。我们用 t  代替积分变量 x ，记积分上限函数为
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t ( a ≤ x ≤ b ) .

图 9-5  积分上限函数

  定理 9－3

若函数 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上连续，则积分上限函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t  在 [ a , b ]  上具有导数，且
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) .
证明  设给 x  以增量 Δx ，则 Φ ( x + Δx ) = ∫ a x + Δx f ( t ) d t ，从而
ΔΦ ( x ) = ∫ a x + Δx f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t = ∫ x x + Δx f ( t ) d t .
应用积分中值定理， ΔΦ ( x ) = f ( ξ ) Δx （ ξ 在 x  与 x + Δx  之间），故 ΔΦ ( x ) Δx = f ( ξ ) 。令 Δx → 0 ， ξ → x ，由 f  的连续性得 Φ ′ ( x ) = f ( x ) 。 ▫

  定理 9－4

如果 f ( x )  在 [ a , b ]  上连续，则 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t  就是 f ( x )  在 [ a , b ]  上的一个原函数。

  补充例题  变上限积分函数的求导

类型A（基础）： 求 d d x ∫ a x sin ( t 2 ) d t 。
解  由定理9-3直接得 d d x ∫ a x sin ( t 2 ) d t = sin ( x 2 ) 。
类型B（复合）： 求 d d x ∫ 0 x 2 e − t d t 。
解  令 u = x 2 ，则 ∫ 0 x 2 e − t d t = ∫ 0 u e − t d t 。由链式法则：
d d x ∫ 0 x 2 e − t d t = e − u ⋅ u ′ = e − x 2 ⋅ 2 x = 2 x e − x 2 .
【易错点】 复合型求导时切勿忘记乘以内函数的导数 ( x 2 ) ′ = 2 x 。

| 二、牛顿-莱布尼茨公式

  定理 9－5（牛顿-莱布尼茨公式）

如果 F ( x )  是连续函数 f ( x )  在区间 [ a , b ]  上的一个原函数，则
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) .
引入记号 F ( x ) | a b = F ( b ) − F ( a ) ，则公式可写为 ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) | a b 。
证明  由定理9-4， Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t 是 f ( x )  的一个原函数。因为 F ( x )  也是 f ( x )  的原函数，所以 F ( x ) = Φ ( x ) + C （ C 为常数）。
令 x = a ： F ( a ) = Φ ( a ) + C = ∫ a a f ( t ) d t + C = 0 + C = C ，故 C = F ( a ) 。
从而 F ( x ) = Φ ( x ) + F ( a ) ，即 Φ ( x ) = F ( x ) − F ( a ) 。
令 x = b ： ∫ a b f ( t ) d t = Φ ( b ) = F ( b ) − F ( a ) 。 ▫

  例 2

求 ∫ 0 1 x 2 d x 。
解   ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 x 3 | 0 1 = 1 3 。

  例 3

求 ∫ 1 2 1 x 2 d x 。
解   ∫ 1 2 x − 2 d x = [ − 1 x ] 1 2 = − 1 2 + 1 = 1 2 。

  例 4

求 ∫ 0 π 4 sec 2 x d x 。
解   ∫ 0 π 4 sec 2 x d x = tan x | 0 π 4 = 1 − 0 = 1 。

  例 5

求 ∫ 1 4 1 x d x 。
解   ∫ 1 4 x − 1 2 d x = 2 x | 1 4 = 4 − 2 = 2 。

  例 6

当 x < 0  时， 1 x 的一个原函数是 ln | x | ，积分区间是 [ − 2 , − 1 ] ，所以有
∫ − 2 − 1 1 x d x = [ ln | x | ] − 2 − 1 = ln 1 − ln 2 = − ln 2 .

  例 7

计算正弦曲线 y = sin x  在 [ 0 , π ]  上与 x  轴所围的平面图形的面积（图9－6）。
解   A = ∫ 0 π sin x d x = [ − cos x ] 0 π = − ( − 1 ) − ( − 1 ) = 2 。

图 9-6  y=sinx 在[0,π]上的面积

注意

牛顿-莱布尼茨公式适用条件是被积函数 f ( x )  连续。若 f ( x )  是分段函数，应按段分成几个积分之和，再分别利用公式计算。

  例 8

设 f ( x ) = { 2 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 x , 1 < x ≤ 2 ，求 ∫ 0 2 f ( x ) d x 。

解  被积函数是分段函数，须将积分区间分成与此相对应的区间：

∫ 0 2 f ( x ) d x = ∫ 0 1 ( 2 − x 2 ) d x + ∫ 1 2 x d x = ( 2 x − x 3 3 ) | 0 1 + x 2 2 | 1 2 = 5 3 + 3 2 = 19 6 .

| 习题 9－2

  习题 9－2

1. 求下列定积分。

（1） ∫ 0 2 | x 2 − 1 | d x 。    （2） ∫ 1 5 ( x + 1 x ) 2 6 x d x 。
（3） ∫ 2 3 1 − x x 2 d x 。    （4） ∫ − 1 5 ( 4 x − x 2 ) d x 。
（5） ∫ 0 π 6 ( x + sin x ) d x 。    （6） ∫ − π 2 π 2 cos 2 x d x 。

2. 求下列函数的导数。

（1） ∫ 0 x arcsin t 2 d t 。    （2） ∫ a x 2 ln t t d t （ a > 0 ）。
（3） ∫ a x sin t 2 d t 。    （4） ∫ x 4 x 5 cos t 2 d t 。
3. 当 x  为何值时，函数 f ( x ) = ∫ 0 x t e − t 2 d t  有极值，是极大值还是极小值？
4. 设 k  为正整数，试证明下列各式。
（1） ∫ − π π sin kx d x = 0 。    （2） ∫ − π π cos kx d x = 0 。

  习题 9－2 详细解析

1. 求定积分

（1） 在 [ 0 , 1 ]  上 x 2 − 1 ≤ 0 ，在 [ 1 , 2 ]  上 x 2 − 1 ≥ 0 ：
∫ 0 2 | x 2 − 1 | d x = ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) d x + ∫ 1 2 ( x 2 − 1 ) d x = ( x − x 3 3 ) | 0 1 + ( x 3 3 − x ) | 1 2 = 2 3 + 2 3 = 4 3 .
（2） 展开： ( x + 1 x ) 2 = x + 2 + 1 x ，所以
∫ 1 5 ( x + 2 + 1 x ) ⋅ 6 x d x = 6 ∫ 1 5 ( x 2 + 2 x + 1 ) d x = 6 ∫ 1 5 ( x + 1 ) 2 d x = 6 ⋅ ( x + 1 ) 3 3 | 1 5 = 2 ( 216 − 8 ) = 416 .
（3） 1 − x x 2 = 1 x 2 − 1 x ，所以
∫ 2 3 ( 1 x 2 − 1 x ) d x = [ − 1 x − ln x ] 2 3 = ( − 1 3 − ln 3 ) − ( − 1 2 − ln 2 ) = 1 6 − ln 3 2 .
（4） ∫ − 1 5 ( 4 x − x 2 ) d x = [ 2 x 2 − x 3 3 ] − 1 5 = ( 50 − 125 3 ) − ( 2 + 1 3 ) = 150 − 125 − 6 − 1 3 = 6 。
（5） ∫ 0 π 6 ( x + sin x ) d x = [ x 2 2 − cos x ] 0 π 6 = π 2 72 − 3 2 + 1 。
（6） 利用 cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 ：
∫ − π 2 π 2 cos 2 x d x = ∫ − π 2 π 2 1 + cos 2 x 2 d x = [ x 2 + sin 2 x 4 ] − π 2 π 2 = π 2 .

2. 求导数

（1） 由定理9-3直接得： d d x ∫ 0 x arcsin t 2 d t = arcsin x 2 。
（2） 令 u = x 2 ，由复合函数求导： d d x ∫ a x 2 ln t t d t = ln x 2 x 2 ⋅ 2 x = 4 ln x x 。
（3） d d x ∫ a x sin t 2 d t = sin x ⋅ 1 2 x = sin x 2 x 。
（4） d d x ∫ x 4 x 5 cos t 2 d t = cos ( x 10 ) ⋅ 5 x 4 − cos ( x 8 ) ⋅ 4 x 3 。

3. 极值问题

f ′ ( x ) = x e − x 2 。令 f ′ ( x ) = 0  得 x = 0 。当 x < 0  时 f ′ ( x ) < 0 ，当 x > 0  时 f ′ ( x ) > 0 ，故 x = 0  是极小值点，极小值为 f ( 0 ) = 0 。

4. 证明

（1） ∫ − π π sin kx d x = [ − 1 k cos kx ] − π π = − 1 k ( cos kπ − cos ( − kπ ) ) = 0 。
（2） ∫ − π π cos kx d x = [ 1 k sin kx ] − π π = 1 k ( sin kπ − sin ( − kπ ) ) = 0 （因为 sin kπ = 0 ）。 ▫

第三节    定积分的计算

| 一、定积分的换元法

  定理 9－6（定积分的换元公式）

设 f ( x )  在 [ a , b ]  上连续， x = φ ( t ) 满足：（1） φ ( α ) = a ， φ ( β ) = b ；（2） φ ( t ) 在 [ α , β ]  上具有连续导数，值域为 [ a , b ] ，则
∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t .

  例 9

求 ∫ 0 a a 2 − x 2 d x （ a > 0 ）。
解  令 x = a sin t ， d x = a cos t d t 。 x = 0 ⇒ t = 0 ； x = a ⇒ t = π 2 。
∫ 0 a a 2 − x 2 d x = a 2 ∫ 0 π 2 cos 2 t d t = a 2 ⋅ π 4 = π a 2 4 .

  例 10

求 ∫ 0 π 2 cos 5 x sin x d x 。
解  令 u = cos x ， d u = − sin x d x 。 x = 0 ⇒ u = 1 ； x = π 2 ⇒ u = 0 。
∫ 0 π 2 cos 5 x sin x d x = − ∫ 1 0 u 5 d u = ∫ 0 1 u 5 d u = 1 6 .

  例 11

求 ∫ 0 4 1 1 + x d x 。
解  令 t = x ， x = t 2 ， d x = 2 t d t 。 x = 0 ⇒ t = 0 ； x = 4 ⇒ t = 2 。
∫ 0 4 1 1 + x d x = 2 ∫ 0 2 t 1 + t d t = 2 ∫ 0 2 ( 1 − 1 1 + t ) d t = 2 [ t − ln ( 1 + t ) ] 0 2 = 2 ( 2 − ln 3 ) .

  偶函数和奇函数的积分性质

设 f ( x )  在 [ − a , a ]  上连续，则
∫ − a a f ( x ) d x = { 2 ∫ 0 a f ( x ) d x , f ( x ) 为偶函数 0 , f ( x ) 为奇函数

  补充例题  利用对称性简化计算（重点）

求 ∫ − 1 1 ( x 3 cos x + x 2 ) d x 。
解  积分区间 [ − 1 , 1 ]  关于原点对称。将被积函数拆分：
（1） f 1 ( x ) = x 3 cos x ：因为 f 1 ( − x ) = ( − x ) 3 cos ( − x ) = − x 3 cos x = − f 1 ( x ) ，故 f 1 ( x )  是奇函数。
（2） f 2 ( x ) = x 2 ：因为 f 2 ( − x ) = ( − x ) 2 = x 2 = f 2 ( x ) ，故 f 2 ( x )  是偶函数。
由奇偶性质：奇函数在对称区间上积分为 0 ，偶函数可倍半计算：
∫ − 1 1 ( x 3 cos x + x 2 ) d x = 0 + 2 ∫ 0 1 x 2 d x = 2 ⋅ 1 3 = 2 3 .
【思路】 遇到对称区间 [ − a , a ] ，第一步必须检查奇偶性！
【易错点】 不拆分就整体判断奇偶性—— x 3 cos x + x 2 既非奇也非偶，但拆分后各项有确定的奇偶性。

  补充例题  分段函数的定积分

求 ∫ − 1 2 | x | d x 。
解   | x |  是分段函数： | x | = { − x , x < 0 x , x ≥ 0

利用区间可加性拆分：

∫ − 1 2 | x | d x = ∫ − 1 0 ( − x ) d x + ∫ 0 2 x d x = [ − x 2 2 ] − 1 0 + [ x 2 2 ] 0 2 = 1 2 + 2 = 5 2 .

【思路】 绝对值函数必须先拆分区间，在每个子区间上去绝对值。

| 二、定积分的分部积分法

∫ a b u d v = [ uv ] a b − ∫ a b v d u .

  例 12

求 ∫ 0 1 x e x d x 。
解   ∫ 0 1 x e x d x = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 。

  例 13

求 ∫ 1 e x ln x d x 。

解

∫ 1 e x ln x d x = 1 2 [ x 2 ln x ] 1 e − 1 2 ∫ 1 e x d x = e 2 2 − 1 4 ( e 2 − 1 ) = e 2 + 1 4 .

  例 14

求 ∫ 0 π 2 e x sin x d x 。
解  记 I = ∫ 0 π 2 e x sin x d x 。第一次分部积分（令 u = sin x ， d v = e x d x ）：
I = [ e x sin x ] 0 π 2 − ∫ 0 π 2 e x cos x d x = e π 2 − ∫ 0 π 2 e x cos x d x .
第二次分部积分（令 u = cos x ， d v = e x d x ）：
∫ 0 π 2 e x cos x d x = [ e x cos x ] 0 π 2 + ∫ 0 π 2 e x sin x d x = ( 0 − 1 ) + I = − 1 + I .
代入第一式： I = e π 2 − ( − 1 + I ) ，即 2 I = 1 + e π 2 ，故 I = 1 + e π 2 2 。

| 习题 9－3

  习题 9－3

1. 用换元法求下列定积分。

（1） ∫ 0 1 1 − x 2 d x 。    （2） ∫ 0 π 1 − cos x d x 。    （3） ∫ − 1 2 x | x | d x 。

2. 用分部积分法求下列定积分。

（1） ∫ 0 1 x e − x d x 。    （2） ∫ 0 π 2 x cos x d x 。
（3） ∫ 1 e ln x d x 。    （4） ∫ 0 1 arctan x d x 。
3. 设 f ( x )  在 [ − a , a ]  上连续，证明 ∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x 。
4. 证明 ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 x n ( 1 − x ) m d x 。
5. 设 f ( x )  是以 T  为周期的函数，证明 ∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x 。

  习题 9－3 详细解析

1. 换元法

（1） 令 x = sin t ， d x = cos t d t 。
∫ 0 1 1 − x 2 d x = ∫ 0 π 2 cos 2 t d t = π 4 .
（2） 利用 1 − cos x = 2 sin 2 x 2 ：
∫ 0 π 2 | sin x 2 | d x = 2 ∫ 0 π sin x 2 d x = 2 ⋅ [ − 2 cos x 2 ] 0 π = 2 2 .
（3） 分段：在 [ − 1 , 0 ]  上 x | x | = − x 2 ，在 [ 0 , 2 ]  上 x | x | = x 2 ：
∫ − 1 0 ( − x 2 ) d x + ∫ 0 2 x 2 d x = − 1 3 + 8 3 = 7 3 .

2. 分部积分法

（1） ∫ 0 1 x e − x d x = [ − x e − x ] 0 1 + ∫ 0 1 e − x d x = − e − 1 + [ − e − x ] 0 1 = − e − 1 − e − 1 + 1 = 1 − 2 e 。
（2） ∫ 0 π 2 x cos x d x = [ x sin x ] 0 π 2 − ∫ 0 π 2 sin x d x = π 2 − [ − cos x ] 0 π 2 = π 2 − 1 。
（3） ∫ 1 e ln x d x = [ x ln x ] 1 e − ∫ 1 e 1 d x = e − ( e − 1 ) = 1 。
（4） ∫ 0 1 arctan x d x = [ x arctan x ] 0 1 − ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x = π 4 − 1 2 ln 2 。

3. 证明

∫ − a a f ( x ) d x = ∫ − a 0 f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x 。对第一个积分令 x = − t ： ∫ − a 0 f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( − t ) d t 。合并得 ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x 。 ▫

4. 证明

在左端令 x = 1 − t ， d x = − d t 。 x = 0 ⇒ t = 1 ， x = 1 ⇒ t = 0 。
∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 1 0 ( 1 − t ) m t n ( − d t ) = ∫ 0 1 t n ( 1 − t ) m d t . ▫

5. 证明

令 x = t + a ， d x = d t 。 x = a ⇒ t = 0 ， x = a + T ⇒ t = T 。
∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( t + a ) d t 。将积分区间拆分为 ∫ 0 T − a ❑  和 ∫ T − a T ❑ ，在第二个积分中令 t = s + T ，利用 f  的周期性 f ( s + T + a ) = f ( s + a ) ，得到 ∫ T − a T f ( t + a ) d t = ∫ − a 0 f ( s + a ) d s = ∫ 0 a f ( u ) d u （令 u = s + a ）。又 ∫ 0 T − a f ( t + a ) d t = ∫ a T f ( u ) d u （令 u = t + a ）。合并得 ∫ a T f ( u ) d u + ∫ 0 a f ( u ) d u = ∫ 0 T f ( u ) d u 。 ▫

第四节    定积分的几何应用

本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。

| 一、定积分的元素法

在实用上，省略下标 i ，用 ΔA  表示任一小区间 [ x , x + d x ]  上的小曲边梯形的面积，有 ΔA ≈ f ( x ) d x 。
右端 f ( x ) d x  称为面积元素，记为 d A = f ( x ) d x ，于是面积就是元素在 [ a , b ]  上的无限累加：
A = ∫ a b d A = ∫ a b f ( x ) d x .

图 9-7  面积元素

概括上述过程，元素法三步骤：（1）确定积分变量 x ，求出积分区间 [ a , b ] ；（2）求出部分量的近似值 d F = f ( x ) d x （元素）；（3）积分得 F = ∫ a b f ( x ) d x 。

| 二、定积分的几何应用

1. 平面图形的面积

直角坐标情形： A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x （ f ( x ) ≥ g ( x ) ）。

  例 1

计算由两条抛物线 y 2 = x  和 y = x 2  围成的图形面积。
解  交点 ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 1 ) ，积分区间 [ 0 , 1 ] ，面积元素 d A = ( x − x 2 ) d x 。
A = ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = [ 2 3 x 3 2 − x 3 3 ] 0 1 = 1 3 .

图 9-8  两条抛物线围成的面积

  例 2

求抛物线 y 2 = x  与直线 y = x − 2  围成的图形面积。
解  取 y  为积分变量，交点 ( 1 , − 1 ) 、 ( 4 , 2 ) ，积分区间 [ − 1 , 2 ] 。
A = ∫ − 1 2 ( y + 2 − y 2 ) d y = [ y 2 2 + 2 y − y 3 3 ] − 1 2 = 9 2 .

图 9-9  抛物线与直线围成的面积

极坐标情形： A = ∫ α β 1 2 [ ρ ( θ ) ] 2 d θ 。

图 9-10  极坐标面积

  例 3

计算心形线 ρ = a ( 1 + cos θ ) （ a > 0 ）围成的面积（图9－11）。
解  利用对称性 A = 2 A 1 ，其中
A 1 = 1 2 a 2 ∫ 0 π ( 1 + cos θ ) 2 d θ = 1 2 a 2 ∫ 0 π ( 3 2 + 2 cos θ + 1 2 cos 2 θ ) d θ = 3 4 π a 2 .
故 A = 2 A 1 = 3 2 π a 2 。

图 9-11  心形线

2. 旋转体的体积

绕 x  轴： V = π ∫ a b f 2 ( x ) d x 。  绕 y  轴： V = π ∫ c d φ 2 ( y ) d y 。

图 9-12  旋转体体积示意

  例 4

求椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1  绕 x  轴旋转体的体积。
解   y 2 = b 2 a 2 ( a 2 − x 2 ) ，
V = 2 π b 2 a 2 ∫ 0 a ( a 2 − x 2 ) d x = 2 π b 2 a 2 [ a 2 x − x 3 3 ] 0 a = 4 3 πa b 2 .
当 a = b = R  时， V = 4 3 π R 3 。

图 9-13  椭圆旋转体

  例 5

求由过点 O ( 0 , 0 )  及点 P ( r , h )  的直线、 y = h 及 y  轴围成的直角三角形绕 y  轴旋转的圆锥体体积。
解   x = r h y ，绕 y  轴，积分区间 [ 0 , h ] 。
V = π ∫ 0 h ( r h y ) 2 d y = π r 2 h 2 ⋅ h 3 3 = 1 3 π r 2 h .

图 9-14  圆锥体

  补充例题  旋转体体积（绕不同轴对比）

求抛物线 y = x 2  与直线 y = 1  围成的图形分别绕 y  轴和 x  轴旋转的体积。
解法一（绕 y  轴旋转）  取 y  为积分变量。由 y = x 2  得 x 2 = y ，积分区间 [ 0 , 1 ] ：
V y = π ∫ 0 1 y d y = π ⋅ y 2 2 | 0 1 = π 2 .
解法二（绕 x  轴旋转）  取 x  为积分变量。交点 x = ± 1 。外径 R = 1 ，内径 r = x 2 ，利用垫圈法：
V x = π ∫ − 1 1 [ 1 2 − ( x 2 ) 2 ] d x = 2 π ∫ 0 1 ( 1 − x 4 ) d x = 2 π [ x − x 5 5 ] 0 1 = 8 π 5 .
【思路】 绕谁转，谁是轴；半径垂直于轴。绕 y  轴时取 y  为积分变量更简洁。

图 9-16  y=x²与y=1围成的图形

| 习题 9－4

  习题 9－4

1. 求由下列已知曲线围成的图形的面积。

（1） y = x 3 ， y = 2 x 。    （2） y = ln x ， y = ln 3 ， y = ln 7 ， x = 0 。
（3） y 2 = 2 x ， y = x − 4 。    （4） y = e x ， y = e − x ， x = 1 。
（5） y = x 2 ， y = 2 − x 。    （6） x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 。

2. 求由下列各曲线或射线围成图形的面积。

（1） ρ = 2 a ( 2 + θ ) ， θ = 0 ， θ = 2 π 。    （2） ρ = 2 a cos θ （ a > 0 ）。
（3） ρ = 1 和 ρ = 1 + cos θ  的内部。    （4） ρ 2 = a 2 sin 2 θ 。

3. 求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积。

（1） y = x 2 ， y 2 = x ，绕 x  轴。    （2） x 2 + ( y − 5 ) 2 = 16 ，绕 x  轴。
（3） y = x 2 ， y = 0 ， x = 1 ，绕 y  轴。    （4） y = x 2 − 4 ， y = 0 ，绕 x  轴。
（5） y = sin x ， y = cos x ，及 x  轴上的线段 [ 0 , π 2 ] ，绕 x  轴。

  习题 9－4 详细解析

1. 面积

（1） x 3 = 2 x ⇒ x = 0 , ± 2 。利用对称性： A = 2 ∫ 0 2 ( 2 x − x 3 ) d x = 2 [ x 2 − x 4 4 ] 0 2 = 2 ( 2 − 1 ) = 2 。
（2） 取 y  为积分变量， x = e y ， A = ∫ ln 3 ln 7 e y d y = 7 − 3 = 4 。
（3） 取 y  为积分变量，交点 y = − 2 ， y = 4 ： A = ∫ − 2 4 [ ( y + 4 ) − y 2 2 ] d y = [ y 2 2 + 4 y − y 3 6 ] − 2 4 = 18 。
（4） 在 [ 0 , 1 ]  上 e x ≥ e − x ： A = ∫ 0 1 ( e x − e − x ) d x = [ e x + e − x ] 0 1 = e + e − 1 − 2 。
（5） 交点 x 2 = 2 − x ⇒ x = 1 （取正），也有 x = − 2 ： A = ∫ − 2 1 ( 2 − x − x 2 ) d x = [ 2 x − x 2 2 − x 3 3 ] − 2 1 = 9 2 。
（6） 利用对称性： A = 4 ∫ 0 a b a a 2 − x 2 d x = 4 b a ⋅ π a 2 4 = πab 。

2. 极坐标面积

（1） A = 1 2 ∫ 0 2 π [ 2 a ( 2 + θ ) ] 2 d θ = 2 a 2 ∫ 0 2 π ( 2 + θ ) 2 d θ = 2 a 2 [ ( 2 + θ ) 3 3 ] 0 2 π = 2 a 2 3 [ ( 2 + 2 π ) 3 − 8 ] 。
（2） ρ = 2 a cos θ ， θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] 。 A = 1 2 ∫ − π 2 π 2 4 a 2 cos 2 θ d θ = 2 a 2 ∫ − π 2 π 2 cos 2 θ d θ = 2 a 2 ⋅ π 2 = π a 2 。
（3） 两曲线在 θ = ± π 2  处相交。由对称性取上半部分，公共区域面积 A = 2 [ 1 2 ∫ 0 π 2 1 d θ + 1 2 ∫ π 2 π ( 1 + cos θ ) 2 d θ ] = π 2 + 1 2 ∫ π 2 π ( 3 2 + 2 cos θ + 1 2 cos 2 θ ) d θ = π 2 + 3 π 4 − 2 + 0 = 5 π 4 − 2 。
（4） ρ 2 = a 2 sin 2 θ ，曲线在 θ ∈ [ 0 , π 2 ]  和 θ ∈ [ π , 3 π 2 ]  有定义。利用对称性： A = 4 ⋅ 1 2 ∫ 0 π 4 a 2 sin 2 θ d θ = 2 a 2 [ − 1 2 cos 2 θ ] 0 π 4 = a 2 。

3. 旋转体体积（选解）

（1） 交点 x = 0 , 1 。绕 x  轴： V = π ∫ 0 1 ( x − x 4 ) d x = π [ x 2 2 − x 5 5 ] 0 1 = 3 π 10 。
（2） 圆 x 2 + ( y − 5 ) 2 = 16  绕 x  轴旋转（利用Pappus定理或直接计算）。 y = 5 ± 16 − x 2 ， x ∈ [ − 4 , 4 ] 。外径 R = 5 + 16 − x 2 ，内径 r = 5 − 16 − x 2 。
V = π ∫ − 4 4 ( R 2 − r 2 ) d x = π ∫ − 4 4 20 16 − x 2 d x = 20 π ⋅ π ⋅ 16 2 = 160 π 2 .
（3） 绕 y  轴： x = y ， y 从 0  到 1 ： V = π ∫ 0 1 y d y = π 2 。
（4） y = x 2 − 4 = 0 ⇒ x = ± 2 。 V = π ∫ − 2 2 ( x 2 − 4 ) 2 d x = 2 π ∫ 0 2 ( x 4 − 8 x 2 + 16 ) d x = 2 π [ x 5 5 − 8 x 3 3 + 16 x ] 0 2 = 512 π 15 。
（5） 三条曲线 y = sin x 、 y = cos x 和 x  轴围成封闭区域： sin x 从 ( 0 , 0 )  上升到 ( π 4 , 2 2 ) ， cos x 从 ( π 4 , 2 2 )  下降到 ( π 2 , 0 ) ，底部为 x  轴。绕 x  轴旋转，用圆盘法：
V = π ∫ 0 π 4 sin 2 x d x + π ∫ π 4 π 2 cos 2 x d x = π [ x 2 − sin 2 x 4 ] 0 π 4 + π [ x 2 + sin 2 x 4 ] π 4 π 2 = π ( π − 2 ) 4 .

第五节    广义积分

在解决实际问题时，我们常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分。因此对定积分作如下两种推广。

| 一、无穷区间的广义积分

  定义 9－2

设 f ( x )  在 [ a , + ∞ )  上连续。如果极限 lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x  存在，则称其为 f ( x )  在 [ a , + ∞ )  上的广义积分，记为
∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x .
此时称广义积分收敛。若极限不存在则称发散。类似可定义 ∫ − ∞ b ❑  和 ∫ − ∞ + ∞ ❑ 。

  例 15

求 ∫ 0 + ∞ x e − x d x 。
解  分部积分得 ∫ 0 b x e − x d x = [ − x e − x − e − x ] 0 b = − b e − b − e − b + 1 。
当 b → + ∞  时， b e − b → 0 ， e − b → 0 ，故 ∫ 0 + ∞ x e − x d x = 1 。

  例 16

讨论 p  积分 ∫ 1 + ∞ d x x p  的敛散性。
解  当 p = 1 ： ∫ 1 + ∞ d x x = lim b → + ∞ ln b = + ∞ ，发散。
当 p ≠ 1 ： ∫ 1 b x − p d x = b 1 − p − 1 1 − p 。 p > 1 时 b 1 − p → 0 ，收敛于 1 p − 1 ； p < 1 时 b 1 − p → + ∞ ，发散。
结论： p > 1  时收敛， p ≤ 1 时发散。

| 二、无界函数的广义积分

  定义 9－3

设 f ( x )  在 ( a , b ]  上连续， lim x → a + f ( x ) = ∞ 。如果极限 lim ε → 0 + ∫ a + ε b f ( x ) d x  存在，则称其为 f ( x )  在 ( a , b ]  上的广义积分。点 a  称为瑕点。

  例 17

讨论广义积分 ∫ 0 1 d x x p  的敛散性。
解  当 p = 1 ： lim ε → 0 + [ ln x ] ε 1 = − lim ε → 0 + ln ε = + ∞ ，发散。
当 p ≠ 1 ： lim ε → 0 + x 1 − p 1 − p | ε 1 。 p < 1 时 ε 1 − p → 0 ，收敛于 1 1 − p ； p > 1 时 ε 1 − p → + ∞ ，发散。
结论： p < 1  时收敛， p ≥ 1 时发散。

| 习题 9－5

  习题 9－5

1. 求下列广义积分。

（1） ∫ 0 + ∞ ln x x d x 。    （2） ∫ 0 + ∞ x 2 e − x d x 。    （3） ∫ 1 + ∞ d x x 4 。    （4） ∫ 0 + ∞ d x 1 + x 2 。
（5） ∫ 0 1 d x 1 − x 2 。    （6） ∫ 0 1 ln x d x 。    （7） ∫ 0 1 x d x 1 − x 2 。    （8） ∫ 1 2 x x − 1 d x 。
（9） ∫ − ∞ + ∞ d x x 2 + 2 x + 2 。    （10） ∫ 0 2 d x ( 1 − x ) 5 3 。    （11） ∫ 0 + ∞ e − x cos x d x 。
2. 讨论广义积分 ∫ 2 + ∞ d x x ( ln x ) k  的敛散性。

  习题 9－5 详细解析

1. 求广义积分

（1） ∫ 0 + ∞ ln x x d x  在 x = 0  和 x = + ∞  两处均有问题（ x = 0 为瑕点， x = + ∞ 为无穷上限）。先考察 ∫ 1 b ln x x d x = ( ln b ) 2 2 → + ∞ （ b → + ∞ ），已发散。另外在 x → 0 +  处， ∫ ε 1 ln x x d x = ( ln x ) 2 2 | ε 1 = − ( ln ε ) 2 2 → − ∞ ，也发散。发散。
（2） 两次分部积分： ∫ 0 b x 2 e − x d x = [ − x 2 e − x − 2 x e − x − 2 e − x ] 0 b 。 b → + ∞ 时各项趋于 0 。 = 0 − ( − 2 ) = 2 。
（3） ∫ 1 + ∞ x − 4 d x = [ − 1 3 x 3 ] 1 + ∞ = 0 + 1 3 = 1 3 。
（4） ∫ 0 + ∞ d x 1 + x 2 = [ arctan x ] 0 + ∞ = π 2 − 0 = π 2 。
（5） x = 1  为瑕点。 ∫ 0 1 − ε d x 1 − x 2 = [ arcsin x ] 0 1 − ε → π 2 。 = π 2 。
（6） x = 0  为瑕点。分部积分： ∫ ε 1 ln x d x = [ x ln x − x ] ε 1 = − 1 − ( ε ln ε − ε ) 。 ε → 0 + 时 ε ln ε → 0 。 = − 1 。
（7） ∫ 0 1 − ε x 1 − x 2 d x = [ − 1 − x 2 ] 0 1 − ε → − 0 + 1 = 1 。
（8） x = 1  为瑕点。令 t = x − 1 ： ∫ 0 1 t 2 + 1 t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 0 1 ( t 2 + 1 ) d t = 2 [ t 3 3 + t ] 0 1 = 8 3 。
（9） x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1 ) 2 + 1 。 ∫ − ∞ + ∞ d x ( x + 1 ) 2 + 1 = [ arctan ( x + 1 ) ] − ∞ + ∞ = π 2 − ( − π 2 ) = π 。
（10） x = 1  为瑕点。分成 ∫ 0 1 ❑  和 ∫ 1 2 ❑ ，均发散（ p = 5 3 > 1 ）。发散。
（11） 两次分部积分得 2 I = [ e − x ( sin x − cos x ) / ( − 2 ) ]  代入上下限， I = 1 2 。

2. 讨论敛散性

令 t = ln x ， d t = d x x 。 ∫ 2 + ∞ d x x ( ln x ) k = ∫ ln 2 + ∞ d t t k 。由 p  积分结论： k > 1 时收敛， k ≤ 1 时发散。

定积分通关秘籍

  🎯 定积分通关秘籍

策略一：定积分计算的「起手式」

一看区间： 是对称区间 [ − a , a ]  吗？→ 必用奇偶性（奇0偶倍）。
二看函数： 是 a 2 − x 2  吗？→ 必用几何意义（圆面积）。

三看公式： 需要分段吗？（绝对值/分段函数）→ 拆分区间。

策略二：换元法的「三大纪律」

纪律一  换元必换限： x  的上下限 a , b  必须换成 t  的上下限 α , β 。
纪律二  不回代： 算出 t  的积分值即可，千万不要把 t  换回 x  再代数字（浪费时间且易错）。
纪律三  单调性： 换元函数 u = φ ( x )  在区间上必须单调。

策略三：几何应用的「微元法口诀」

面积： 上减下（ y 上 − y 下 ）或 右减左（ x 右 − x 左 ）。
旋转体积（圆盘法）： π ∫ ( 半径 ) 2 × 厚度 。绕谁转，谁就是轴，半径垂直于轴。
口诀： 绕 x  轴 → 用 y = f ( x )  当半径；绕 y  轴 → 用 x = φ ( y )  当半径。

复 习 题 九

  复习题九

一、填空题

1. ∫ − 1 1 x 2 sin x 1 + cos x d x =  ______ 。（考点：奇偶性）
2. d d x ∫ 0 x t e t 2 d t =  ______ 。（考点：变限求导）
3. ∫ 0 π x sin x d x =  ______ 。（考点：分部积分）
4. ∫ − 2 2 ( x 3 + | x | ) d x =  ______ 。（考点：奇偶性+绝对值）
5. ∫ 0 1 1 1 + x d x =  ______ 。（考点：换元法）
6. d d x ∫ x x 2 e − t 2 d t =  ______ 。（考点：双变限求导）
7. ∫ 0 R R 2 − x 2 d x =  ______ 。（考点：几何意义）
8. 广义积分 ∫ 1 + ∞ 1 x 3 d x =  ______ 。（考点：p积分）
9. 由 y = x 2  和 y = x  围成图形的面积为 ______ 。
10. 椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1  绕 x  轴旋转的体积为 ______ 。

二、解答题

11. 计算 ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x 。
12. 计算广义积分 ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x  和 ∫ 0 1 1 x d x 。（判敛散性并求值）
13. 求由 y = x 2  和 y = x  围成的图形的面积，以及该图形绕 x  轴旋转的体积。
14. 设 f ( x )  在 [ − 1 , 1 ]  上连续且为偶函数，证明 ∫ − 1 1 x f ( x ) d x = 0 。

  复习题九 详细解析

一、填空题解析

1. x 2 sin x 1 + cos x ：令 g ( x ) = x 2 sin x 1 + cos x ，验证 g ( − x ) = x 2 ( − sin x ) 1 + cos x = − g ( x ) ，为奇函数。在对称区间 [ − 1 , 1 ]  上积分为 0 。
2. 由定理9-3： d d x ∫ 0 x t e t 2 d t = x e x 2 。答： x e x 2 。
3. 分部积分： ∫ 0 π x sin x d x = [ − x cos x ] 0 π + ∫ 0 π cos x d x = π + [ sin x ] 0 π = π 。
4. x 3  为奇函数，在 [ − 2 , 2 ]  上积分为 0 。 | x | 为偶函数， 2 ∫ 0 2 x d x = 2 ⋅ 2 = 4 。
5. 令 t = x ， x = t 2 ， d x = 2 t d t 。 ∫ 0 1 2 t 1 + t d t = 2 ∫ 0 1 ( 1 − 1 1 + t ) d t = 2 [ t − ln ( 1 + t ) ] 0 1 = 2 − 2 ln 2 。
6. d d x ∫ x x 2 e − t 2 d t = e − x 4 ⋅ 2 x − e − x 2 ⋅ 1 = 2 x e − x 4 − e − x 2 。
7. 四分之一圆面积： π R 2 4 。
8. ∫ 1 + ∞ x − 3 d x = [ − 1 2 x 2 ] 1 + ∞ = 0 + 1 2 = 1 2 。
9. A = ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = [ 2 3 x 3 2 − x 3 3 ] 0 1 = 1 3 。
10. V = 2 π b 2 a 2 ∫ 0 a ( a 2 − x 2 ) d x = 4 3 πa b 2 。

二、解答题解析

11. 令 I = ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x 。令 x = π 2 − t ：
I = ∫ 0 π 2 cos t cos t + sin t d t .
两式相加： 2 I = ∫ 0 π 2 sin x + cos x sin x + cos x d x = π 2 ，故 I = π 4 。
12.（1） ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x = [ − 1 x ] 1 + ∞ = 0 + 1 = 1 （收敛）。
（2） x = 0 为瑕点。 ∫ ε 1 x − 1 2 d x = [ 2 x ] ε 1 = 2 − 2 ε → 2 （收敛）。
13. 面积： A = ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 1 3 。
绕 x  轴的体积：
V = π ∫ 0 1 [ ( x ) 2 − ( x 2 ) 2 ] d x = π ∫ 0 1 ( x − x 4 ) d x = π [ x 2 2 − x 5 5 ] 0 1 = 3 π 10 .
14. 设 g ( x ) = xf ( x ) 。因为 f ( x )  为偶函数（ f ( − x ) = f ( x ) ），所以
g ( − x ) = ( − x ) f ( − x ) = − xf ( x ) = − g ( x ) ，即 g ( x ) = xf ( x )  是奇函数。
又因 g ( x )  在 [ − 1 , 1 ]  上连续，由奇函数性质： ∫ − 1 1 x f ( x ) d x = 0 。 ▫

本 章 小 结

  本章小结

一、基本概念

定积分，积分上限函数，微元法，广义积分。

二、基本公式

牛顿-莱布尼茨公式： ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) 。
定积分的换元公式： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t 。
定积分的分部积分公式： ∫ a b u d v = [ uv ] a b − ∫ a b v d u 。

三、基本方法

1. 积分上限函数求导（含复合类型）。  2. 利用换元法求定积分（换元必换限、不回代）。

3. 利用分部积分法求定积分。  4. 利用偶函数和奇函数的性质求定积分（奇0偶倍）。

5. 利用几何意义（如四分之一圆面积）。  6. 用微元法求面积和体积。

四、基本应用

1. 平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）。

2. 旋转体的体积（绕 x  轴： V = π ∫ a b f 2 ( x ) d x ；绕 y  轴： V = π ∫ c d φ 2 ( y ) d y ）。

五、广义积分判敛

无穷区间的 p  积分： ∫ 1 + ∞ d x x p ， p > 1 收敛， p ≤ 1 发散。
瑕积分： ∫ 0 1 d x x p ， p < 1 收敛， p ≥ 1 发散。