第 10 章

常微分方程

一阶方程 · 二阶方程 · 模型求解

第一节    微分方程的基本概念

| 一、两个实例

先观察以下来自几何与物理学的两个简单实例，它们都与一个函数的变化率，即导数有关。

1. 求曲线方程问题

实例 1  求曲线方程问题

已知曲线任意一点处的切线的斜率为 2 x ，且此曲线过点 M ( 1 , 1 ) ，求此曲线的方程。
解 设所求的曲线的方程为 y = y ( x ) 。依据导数的几何意义知， y = y ( x ) 应满足如下等式：
d y d x = 2 x .

对上式两边积分，得

y = x 2 + C .
其中 C  是任意常数。
由于所求曲线过点 M ( 1 , 1 ) ，因此(2)式应满足
y | x = 1 = 1 .
把条件(3)代入(2)式，得 C = 0 ，再把 C = 0  代入(2)式，即得所求曲线方程为
y = x 2 .

补充变式

补充变式： 设有一条曲线通过点 ( 1 , 3 ) ，且曲线上任一点 M ( x , y )  处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，求该曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) ，根据导数的几何意义，曲线在点 M ( x , y )  处的切线斜率为 y ′ ，故所求曲线方程 y = f ( x )  应满足
y ′ = 2 x .
两边积分，得 y = x 2 + C ，其中 C  为任意常数。由曲线过点 ( 1 , 3 ) ，代入得 C = 2 ，所以所求曲线方程为 y = x 2 + 2 。

图 10-1  曲线与切线示意图

2. 确定运动规律问题

实例 2  确定运动规律问题

列车在平直的线路上以 16 m/s 的速度行驶，当列车制动时，列车的加速是 − 0.4  m/s ❑ 2 ，求制动后列车的运动规律。
解 设列车开始制动后 t  秒钟列车行驶 s  米，根据二阶导数的力学题意，反映制动阶段列车运动规律的函数 s = s ( t )  应满足的关系式为
d 2 s d t 2 = − 0.4 .
根据已知条件， s = s ( t ) 还应满足条件
s | t = 0 = 0 , v | t = 0 = d s d t | t = 0 = 16 .

把(5)式两端积分一次，得

v = d s d t = − 0.4 t + C 1 .

再积分一次，得

s = − 0.2 t 2 + C 1 t + C 2 .
其中 C 1 ， C 2 为任意常数。
把条件 s | t = 0 = 0 ， v | t = 0 = d s d t | t = 0 分别代入(6)、(7)式，得
C 1 = 16 , C 2 = 0 .
将 C 1 ， C 2 的值代入(7)式，即得制动后列车的运动规律为
s = − 0.2 t 2 + 16 t .

补充变式

补充变式（正比制动力模型）： 列车以速度 v 0  行驶时开始制动，设制动力与列车运动速度的一次方成正比，比例系数为 k （ k > 0 ）。试求列车的运动规律。
解 根据牛顿第二定律 F = ma ，制动力 F = − kv （负号表示阻力方向与运动方向相反），故
m d v d t = − kv ,
即 d v d t = − k m v 。这就是关于未知函数 v ( t )  的微分方程。
补充推导： 从物理公式到微分方程的建模过程：阻力 F = − kv （力与速度成正比，方向相反），由牛顿第二定律 F = ma = m d v d t ，得
m d v d t = − kv .
这是一个可分离变量的一阶微分方程。分离变量： d v v = − k m d t 。积分得 ln v = − k m t + C 1 ，即 v = C e − kt / m 。由 v ( 0 ) = v 0  得 C = v 0 ，故 v ( t ) = v 0 e − kt / m 。

由上面的两个实例可知，尽管实际意义不同，但是解决问题的方法都是先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过积分得出所求函数的表达式，它含有若干个任意常数；再根据实际问题的特定条件确定常数，就得出所求的解。其实，这就是用微分方程解决实际问题的总体思路。

| 二、基本概念

1. 微分方程

  定义 10－1

凡含有未知函数的导数（或微分）的等式，称为微分方程。

特别指出，微分方程中自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。

  定义 10－2

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。

例如，方程(1)、(5)都是常微分方程。

注意 本章仅讨论常微分方程，并把常微分方程称为微分方程或简称为方程。

2. 微分方程的阶

  定义 10－3

在微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

例如，方程(1)是一阶微分方程，方程(5)是二阶微分方程。下面的方程

x 2 y ‴ + 2 xy ″ − y ′ + 5 y = e x ,
y ( 5 ) + 3 y ( 4 ) − 5 xy ″ − y ′ = 0 ,

分别是 3 阶和 5 阶微分方程。

n  阶微分方程的一般形式为 F ( x , y , y ′ , y ″ , ⋯ , y ( n ) ) = 0 。

3. 线性微分方程与非线性微分方程

  定义 10－4

微分方程中所含的未知函数及其各阶导数都是一次有理整式的微分方程，称为线性微分方程。否则称为非线性微分方程。

例如， d y d x + 2 y = x 2 + 2 ， y ″ − 3 y ′ + y = sin x ， y ′ + x 2 y = 0 都是线性微分方程。 ( y ′ ) 2 + 2 y = 0 ， y ′ + cos y = 0 是非线性微分方程。

4. 微分方程的解与通解

  定义 10－5

如果函数 y = φ ( x )  代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称 y = φ ( x )  是微分方程的解。

例如，在实例 1 中函数(2)和(4)都是方程(1)的解，在实例 2 中函数(7)和(8)都是方程(5)的解。

  定义 10－6

如果在微分方程的解中所含有的独立任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称这样的解为该方程的通解。

可见，在实例 1、实例 2 中函数(2)和(7)分别是方程(1)和(5)的通解。

5. 初始条件与特解

  定义 10－7

能确定通解中任意常数的条件称为该方程的初始条件（或初值条件）。

如实例 1 中，函数(4)通过条件(3)来确定，因此(3)就是(1)的初始条件。

通常，一阶常微分方程的初始条件表示为 y | x = x 0 = y 0 ，其中 x 0 ， y 0 都是给定的值；二阶微分方程的初始条件表示为 y | x = x 0 = y 0 ， y ′ | x = x 0 = y ′ 0 ，其中 x 0 ， y 0 ， y ′ 0 都是给定的值。

  定义 10－8

在通解中，利用附加条件求出的任意常数应取得值，所得到的解称为微分方程的特解。

如实例 1、实例 2 中函数(4)和(8)分别是方程(1)和(5)的特解。

一阶微分方程满足初始条件 y | x = x 0 = y 0  的特解的几何意义，就是求微分方程的通过点 ( x 0 , y 0 )  的积分曲线。二阶微分方程满足初始条件 y | x = x 0 = y 0  和 y ′ | x = x 0 = y ′ 0  的特解的几何意义是通过点 ( x 0 , y 0 ) ，且在该点处的切线斜率为 y ′ 0  的积分曲线。

一般来说，求微分方程的解常常是比较困难的，每一种类型的微分方程都有其特定的解法。

  例 1

验证函数 y = C 1 e x + C 2 e 2 x （ C 1 ， C 2 为任意常数）为二阶微分方程 y ″ − 3 y ′ + 2 y = 0  的通解，并求该方程满足初始条件 y ( 0 ) = 0 ， y ′ ( 0 ) = 1 的特解。
解 因为 y = C 1 e x + C 2 e 2 x ， y ′ = C 1 e x + 2 C 2 e 2 x ， y ″ = C 1 e x + 4 C 2 e 2 x 。
将 y ， y ′ ， y ″ 代入方程 y ″ − 3 y ′ + 2 y = 0  左端，得
C 1 e x + 4 C 2 e 2 x − 3 ( C 1 e x + 2 C 2 e 2 x ) + 2 ( C 1 e x + C 2 e 2 x )
= ( C 1 − 3 C 1 + 2 C 1 ) e x + ( 4 C 2 − 6 C 2 + 2 C 2 ) e 2 x = 0 .
所以，函数 y = C 1 e x + C 2 e 2 x  是所给微分方程的解。又因为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是所给微分方程的通解。
由初始条件 y ( 0 ) = 0 ，得 C 1 + C 2 = 0 ；由初始条件 y ′ ( 0 ) = 1 ，得 C 1 + 2 C 2 = 1 。所以 C 2 = 1 ， C 1 = − 1 。于是，满足所给初始条件的特解为 y = − e x + e 2 x 。

补充变式

补充变式： 验证 y = C 1 e x + C 2 e − x  是微分方程 y ″ − y = 0  的通解，并求满足初始条件 y | x = 0 = 1 ， y ′ | x = 0 = 0 的特解。
解 y ′ = C 1 e x − C 2 e − x ， y ″ = C 1 e x + C 2 e − x 。
y ″ − y = ( C 1 e x + C 2 e − x ) − ( C 1 e x + C 2 e − x ) = 0  ✓。含两个独立常数，二阶方程，故为通解。
由 y ( 0 ) = 1 ： C 1 + C 2 = 1 ； y ′ ( 0 ) = 0 ： C 1 − C 2 = 0 。解得 C 1 = C 2 = 1 2 。特解为 y = 1 2 ( e x + e − x ) 。

| 三、可分离变量的微分方程

  定义 10－9

形如 d y d x = f ( x ) ⋅ g ( y )  的微分方程称为可分离变量的微分方程。
其中 f ( x )  和 g ( y )  都是连续函数。解法如下：
（1）分离变量　 1 g ( y ) d y = f ( x ) d x 。
（2）两边积分　 ∫ 1 g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x 。
（3）求出通解　 G ( y ) = F ( x ) + C 。
其中 g ( y ) ， F ( x ) 分别是函数 1 g ( y ) ， f ( x ) 的一个原函数， C 为任意常数。

  例 2

求微分方程 d y d x = 2 xy  的通解。
解 分离变量，有 1 y d y = 2 x d x 。
两端积分 ∫ 1 y d y = ∫ 2 x d x 。
可得 ln | y | = x 2 + C 1 。
所以 y = ± e C 1 ⋅ e x 2 。
于是 y = C e x 2 （其中 C = ± e C 1 ）。
易验证 y = 0  也是方程的解（分离变量时两边同除以 y  所丢失的解），故 C  可取零值。

所以，原方程的通解为：

y = C e x 2 ( C 为任意常数 ) .

注意

今后凡遇到积分后是对数的情形时，为了书写方便，不需要作上述讨论，可以直接把 ln | y |  写成 ln y ，只要将任意常数 C  用 ln C  的形式表示即可。

  例 3

求微分方程 d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2  的通解。

解 原方程可化为

d y d x = ( 1 + x ) ( 1 + y 2 ) .

分离变量，得

1 1 + y 2 d y = ( 1 + x ) d x .

两边积分，得

∫ 1 1 + y 2 d y = ∫ ( 1 + x ) d x , 即 arctan y = 1 2 x 2 + x + C .

所以原方程的通解为

y = tan ( 1 2 x 2 + x + C ) .

注意

微分方程的解既可以写成显函数，也可以写成隐函数。

  例 4

求微分方程 d y d x = e 2 x − y  满足初始条件 y | x = 0 = 0  的特解。

解 分解变量后，得

e y d y = e 2 x d x .
两边积分 ∫ e y d y = ∫ e 2 x d x 。
可得通解 e y = 1 2 e 2 x + C 。
由初始条件 y | x = 0 = 0 ，得 e 0 = 1 2 e 0 + C ，得 C = 1 2 。

所以，所求特解为

e y = 1 2 ( e 2 x + 1 ) .

| 四、齐次微分方程

  定义 10－10

形如 d y d x = f ( y x )  的微分方程称为齐次微分方程。

注意

齐次型方程中的变量 x  与 y  是不能分离的，但经过引进新的未知量 u = y x ，就可把齐次型方程化为可分离变量的方程。

解法如下：

令 u = y x ，得 y = ux ，则
d y d x = d ( ux ) d x = u d x + x d u d x = u + x d u d x .
代入 d y d x = f ( y x ) ，得
u + x d u d x = f ( u ) .
即 d u d x = [ f ( u ) − u ] 1 x 。
问题转化为可分离变量的形式，求解已经非常明显，但最终应把 u  用 y x  换回。

  例 5

求微分方程 y ′ = y x + tan y x  的通解。
解 令 u = y x ，则 y = ux ， d y d x = u + x d u d x ，原方程可化为
u + x d u d x = u + tan u .
分离变量，得 d u tan u = d x x 。
两边积分，得 ln | sin x | − ln x = ln c ，即 sin u x = c 。
所以 u = arcsin cx 。
将 u = y x  回代，可得方程通解为
y = x arcsin cx .

  例 6

解方程 y 2 + x 2 d y d x = xy d y d x 。

解 原方程可变形为

d y d x = y 2 xy − x 2 = ( y x ) 2 y x − 1 .
令 y x = u ，则 y = ux ， d y d x = u + x d u d x ，代入原方程，得 u + x d u d x = u 2 u − 1 ，
即 x d u d x = u u − 1 。
分离变量，得 ( 1 − 1 u ) d u = d x x 。
两边积分，得 u − ln u = ln x + ln C （或写成 ln ( Cxu ) = u ）。
将 u = y x  代上式中的 u ，便得所给方程的通解
Cy = e y / x .

注意

除了齐次微分方程，既可以通过变量代换转化为可分离变量的微分方程，形如 d y d x = f ( x + y )  也可通过变量代换转化为可分离变量的微分方程。

  例 7

解方程 d y d x = ( x + y ) 2  的通解。
解 令 u = x + y ，则 y = u − x ， d y d x = d u d x − 1 。
于是原方程变为 d u d x = 1 + u 2 。
分离变量，得 d u 1 + u 2 = d x 。
两边积分，得 arctan u = x + C 。
将 u = x + y  代上式中的 u ，便得所给方程的通解
arctan ( x + y ) = x + C ,
即 y = tan ( x + C ) − x 。

| 习题 10－1

  习题 10－1

1. 判断题。

（1） y + sin x = y ′ 是一阶微分方程。（  ）
（2） y ′ + 2 y 2 = x 是二阶微分方程。（  ）
（3） y 1 = e x 和 y 2 = e 2 x  都是微分方程 y ″ − 3 y ′ + 2 y = 0  的解。（  ）
（4） ( 1 + x 2 ) d y − y 4 arctan x d x = 0 是可分离变量的微分方程。（  ）
（5） y = x 是微分方程 y ″ + y ′ = 1  满足初始条件 y | x = 0 = 0  的一个特解。（  ）

2. 验证下列各题中的函数是否为所给微分方程的解或通解。

（1） y ″ = x 2 + y 2 ， y = 1 x 。
（2） 2 d x − 3 y 2 d y = 0 ， x 2 − y 3 = C 。
（3） y ″ − 2 y ′ + y = 0 ， y = C 1 e x + C 2 x e x 。
（4） d 2 y d x 2 + k 2 y = 0 ， y = C 1 cos kx + C 2 sin kx 。
3. 设曲线上任一处的切线斜率与切点的横坐标成反比，且曲线过点 ( 1 , 2 ) ，求该曲线的方程。

4. 求下列微分方程的通解。

（1） 3 x 2 + 5 x − 5 y ′ = 0 。（2） y ′ = cos x 3 y 2 + e y 。（3） xy ′ = y ln y 。（4） x 2 y ′ = ( x − 1 ) y 。（5） y ′ = 10 x + y 。（6） 1 + y ′ = e y 。

5. 求下列方程满足初始条件的特解。

（1） y ′ = e 2 x − y ， y | x = 0 = 0 。（2） d x + xy d y = y 2 d x + y d y ， y | x = 0 = 2 。
（3） y ′ = x 2 + y 2 xy ， y | x = 1 = 1 。（4） y ′ = y x + x y ， y | x = 1 = 2 。

  习题 10－1 详细解析

1. 判断题解析

（1）✓。 最高阶导数为 y ′ ，一阶。
（2）×。 最高阶导数为 y ′ ，是一阶方程（非线性）。
（3）✓。 y 1 = e x ： e x − 3 e x + 2 e x = 0 ✓； y 2 = e 2 x ： 4 e 2 x − 6 e 2 x + 2 e 2 x = 0 ✓。
（4）✓。 可改写为 d y y 4 = arctan x 1 + x 2 d x 。
（5）✓。 y = x ： y ′ = 1 ， y ″ = 0 。 0 + 1 = 1 ✓， y ( 0 ) = 0 ✓。

2. 验证题解析

（1） y = 1 x ： y ″ = 2 x 3 ，右边 x 2 + 1 x 2 ， 2 x 3 ≠ x 2 + 1 x 2 ，不是解。
（2） 对 x 2 − y 3 = C  微分： 2 d x − 3 y 2 d y = 0 ✓。含一个常数，一阶方程，是通解。
（3） 代入验证 y ″ − 2 y ′ + y = 0  成立。含两个独立常数，二阶方程，是通解。
（4） y ″ = − k 2 ( C 1 cos kx + C 2 sin kx ) = − k 2 y ，故 y ″ + k 2 y = 0  ✓。是通解。
3. y ′ = k x ，积分得 y = k ln x + C 。由 y ( 1 ) = 2 ： C = 2 。曲线方程 y = k ln x + 2 。

4. 求通解解析

（1） y ′ = 3 x 2 + 5 x 5 ，积分 y = x 3 5 + x 2 2 + C 。
（2） ( 3 y 2 + e y ) d y = cos x d x ，积分 y 3 + e y = sin x + C 。
（3） d y y ln y = d x x ，积分 ln | ln y | = ln | x | + C 1 ，即 ln y = Cx ， y = e Cx 。
（4） d y y = ( 1 x − 1 x 2 ) d x ，积分 ln | y | = ln | x | + 1 x + C 1 ，即 y = Cx e 1 / x 。
（5） 10 − y d y = 10 x d x ，积分 10 − y + 10 x = C 。
（6） d y e y − 1 = d x ，即 e − y 1 − e − y d y = d x ，积分 ln | 1 − e − y | = x + C 。

5. 求特解解析

（1） 同例4。 e y = 1 2 ( e 2 x + 1 ) 。
（2） 整理为 ( 1 − y 2 ) d x = y ( 1 − x ) d y ，分离变量积分化简，由 y ( 0 ) = 2  定常数。
（3） 齐次方程，令 u = y / x ， xu ′ = 1 / u ，积分 y 2 = 2 x 2 ln | x | + C x 2 。由 y ( 1 ) = 1 ： C = 1 。
（4） 同（3）， y 2 = 2 x 2 ln | x | + C x 2 。由 y ( 1 ) = 2 ： C = 4 。

第二节    一阶线性微分方程

一阶线性微分方程，一般形式为

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) .     (1)
其中 P ( x ) 、 Q ( x ) 都是 x  的已知连续函数。当 Q ( x ) ≠ 0  时，方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程。当 Q ( x ) ≡ 0 ，方程(1)即变成
d y d x + P ( x ) y = 0 ,     (2)
则称它为一阶线性齐次微分方程。例如， 8 y ′ + 5 y = x 2 ， y ′ = y x + sin x ， y ′ + x 2 y = 0 都是一阶线性微分方程，其中 y ′ + x 2 y = 0  是线性齐次微分方程， 8 y ′ + 5 y = x 2 ， y ′ = y x + sin x 是线性非齐次微分方程。

| 一、一阶线性齐次微分方程的解法

齐次线性方程 d y d x + P ( x ) y = 0  是变量可分离方程。分离变量后，得
d y y = − P ( x ) d x .

两边积分，得

ln y = − ∫ P ( x ) d x + ln C ,

即

y = C e − ∫ P ( x ) d x .     (3)
则(3)就是一阶线性齐次微分方程(2)的通解（式中 ∫ P ( x ) d x  理解为 P ( x )  的一个原函数）。

| 二、一阶线性非齐次微分方程的解法

由于齐次方程(2)是非其次方程(1)中 Q ( x ) ≡ 0  的特殊情况，因此我们设想方程(1)的通解也具有对应齐次方程解的形式，将常数 C  改变为关于 x  的函数，即设 y = C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x  为方程(1)的通解，设法确定 C ( x ) ，即得方程通解。
设 y = C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x ，则
d y d x = C ′ ( x ) e − ∫ P ( x ) d x + C ( x ) [ − P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x ] .

代入方程(1)，化简后得

C ′ ( x ) = Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x .

两边积分，得

C ( x ) = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C .
将上式代入 y = C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x ，得方程(1)的通解为
y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] .     (4)
将(1)对应的齐次方程通解中的常数 C  变换成一个待定函数 C ( x ) ，再代入方程(1)来求其通解的方法称为常数变易法。

  例 1

求微分方程 y ′ − y cot x = 2 x sin x  的通解。
解 方法一（常数变易法）： 先求齐次方程 y ′ − y cot x = 0  的通解。
分离变量，得 1 y d y = cot x d x 。
两边积分，得 y = C e ∫ cot x d x = C e lnsin x = C ⋅ sin x 。
再求非齐次方程 y ′ − y cot x = 2 x sin x  的通解。
令 y = C ( x ) sin x  为非齐次方程的通解，则
y ′ = C ′ ( x ) sin x + C ( x ) cos x .

代入原方程，得

C ′ ( x ) sin x + C ( x ) cos x − C ( x ) sin x cot x = 2 x sin x .
化简后，得 C ′ ( x ) = 2 x 。
积分，得 C ( x ) = x 2 + C 。

故原方程的通解为

y = ( x 2 + C ) sin x .

方法二（公式法）：

P ( x ) = − cot x , Q ( x ) = 2 x sin x .
y = e ∫ cot x d x ( ∫ 2 x sin x ⋅ e − ∫ cot x d x d x + C )
= e lnsin x ( ∫ 2 x sin x ⋅ e − lnsin x d x + C )
= sin x ⋅ ( ∫ 2 x sin x ⋅ 1 sin x d x + C )
= sin x ⋅ ( ∫ 2 x d x + C )
= sin x ⋅ ( x 2 + C ) .

  例 2

求微分方程 x ln x d y + ( y − ln x ) d x = 0  满足初始条件 y | x = e = 1  的特解。
解 原方程可变形为 y ′ + 1 x ln x y = 1 x ，利用通解公式(4)可得
y = e − ∫ 1 x ln x d x [ ∫ 1 x e ∫ 1 x ln x d x d x + C ]
= 1 ln x [ 1 2 ln 2 x + C ] .
由 y ( e ) = 1 ： C = 1 2 。特解 y = 1 2 ( ln x + 1 ln x ) 。

  例 3

求方程 y 3 d x + ( 2 x y 2 − 1 ) d y = 0  的通解。
解 将 x  看作 y  的函数： d x d y + 2 y x = 1 y 3 。
x = 1 y 2 ( ln y + C ) .

| 三、应用举例

应用  牛顿冷却定律

牛顿冷却定律 一个物体放在温度为 T 0 （常数）的介质中，设 T ( t )  为 t  时刻物体的温度。已知物体温度的变化率与物体温度和介质温度之差成正比，比例系数为 k （ k > 0 ），求物体温度 T ( t )  的变化规律。

建模过程： 自然语言「变化率与温差成正比」转化为数学公式：

d T d t = − k ( T − T 0 ) .
其中负号表示当 T > T 0  时温度下降（ d T d t < 0 ），当 T < T 0  时温度上升。
解 这是可分离变量方程。分离变量： d T T − T 0 = − k d t 。
两边积分： ln | T − T 0 | = − kt + C 1 ，即 T − T 0 = C e − kt 。
设初始温度 T ( 0 ) = T 1 ，则 C = T 1 − T 0 ，所以
T ( t ) = T 0 + ( T 1 − T 0 ) e − kt .
当 t → + ∞  时， T ( t ) → T 0 ，即物体温度趋于介质温度。

应用  RL 串联电路

RL 串联电路 在电阻 R  和电感 L  串联的电路中，开关 K  闭合后，设电源电压为 U ( t ) ，电流为 i ( t ) ，由基尔霍夫定律得
L d i d t + Ri = U ( t ) .
这是关于 i ( t )  的一阶线性微分方程，可用通解公式求解。

图 10-2  RL 串联电路

表 10-1  一阶微分方程的类型及解法

四种类型方程

一般形式

解法

可分离变量的方程
d y d x = f ( x ) g ( y )

先分离后积分

齐次方程
d y d x = f ( y x )
用 u = y x  作变换

一阶线性齐次方程
d y d x + P ( x ) y = 0

变量分离或公式法

一阶线性非齐次方程
d y d x + P ( x ) y = Q ( x )

常数变易或公式法

| 习题 10－2

  习题 10－2

1. 求下列微分方程的通解。

（1） d y d x − 3 xy = 2 x 。（2） d P d t + 3 P = 2 。（3） x 2 d y + ( 2 xy − x + 1 ) d x = 0 。
（4） y ′ − x 2 − y x = 0 。（5） y ′ + y tan x = sin 2 x 。（6） y ′ − 2 xy = e x 2 cos x 。

2. 求下列微分方程的特解。

（1） y ′ − y = x ， y | x = 0 = 2 。（2） y ′ + y cos x = e − sin x ， y | x = 0 = 0 。
（3） y ′ + 1 − 2 x x 2 y = 1 ， y | x = 1 = 0 。（4） y ′ − y x + ln x x = 0 ， y | x = 1 = 1 。
3. 一条曲线上任意一点 M ( x , y )  处切线的斜率等于 2 x − y ，且曲线经过原点，求曲线方程。

  习题 10－2 详细解析

1.（1） y ′ − 3 xy = 2 x ，通解 y = − 2 3 + C e 3 x 2 / 2 。
（2） P ′ + 3 P = 2 ，通解 P = 2 3 + C e − 3 t 。
（3） 化为 y ′ + 2 x y = x − 1 x 2 ，通解 y = 1 2 − 1 x + C x 2 。
（4） y ′ − y x = x 2 ，通解 y = x 3 2 + Cx 。
（5） 通解 y = − 2 cos 2 x + C cos x 。
（6） 通解 y = e x 2 ( sin x + C ) 。
2.（1） 通解 y = − x − 1 + C e x 。由 y ( 0 ) = 2 ： C = 3 。特解 y = 3 e x − x − 1 。
（2） 通解 y = e − sin x ( x + C ) 。由 y ( 0 ) = 0 ： C = 0 。特解 y = x e − sin x 。

（3）（4） 类似方法，利用公式(4)求通解后代入初始条件。

3. y ′ + y = 2 x 。通解 y = 2 x − 2 + C e − x 。由 y ( 0 ) = 0 ： C = 2 。曲线 y = 2 x − 2 + 2 e − x 。

第三节    二阶常系数线性微分方程

物理背景  弹簧振子

物理背景：弹簧振子 一个质量为 m  的物体挂在刚度系数为 k  的弹簧下端。
设平衡位置为原点，向下为正方向， y ( t ) 为位移。由胡克定律和牛顿第二定律：
m d 2 y d t 2 = − ky ,
即 y ″ + k m y = 0 ，令 ω 2 = k m ，得 y ″ + ω 2 y = 0 。

这就是最典型的二阶常系数齐次线性微分方程，其解描述了简谐振动。

图 10-3  弹簧振子受力分析图

形如

y ″ + py ′ + qy = f ( x )     (1)
的二阶微分方程称为二阶常系数线性微分方程。其中 p ， q 为常数。
当 f ( x ) ≡ 0  时，方程(1)称为二阶常系数线性齐次微分方程，即
y ″ + py ′ + qy = 0 .     (2)
当 f ( x ) ≠ 0  时，方程(1)称为二阶常系数线性非齐次微分方程。

| 一、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构

  定理 10－1  叠加原理

如果函数 y 1  与 y 2  是方程(2)的两个特解，则函数 y = C 1 y 1 + C 2 y 2  也是该方程(2)的解（ C 1 ， C 2 是任意常数）。

  定义 10－11

设函数 y 1  和 y 2 ，如果 y 2 y 1 = k （ k 为常数），则称 y 1  与 y 2  线性相关；如果 y 2 y 1 = u ( x ) ≠ k ，则称 y 1  与 y 2  线性无关。
例如函数 y 1 = e x ， y 2 = e − x ，因为 y 2 y 1 = e − 2 x ≠  常数，所以，它们是线性无关的。

  定理 10－2

如果函数 y 1  与 y 2  是方程(2)的两个线性无关的特解，则 y = C 1 y 1 + C 2 y 2  就是方程(2)的通解（ C 1 ， C 2 为任意常数）。

  定理 10－3

若 y ∗  是方程(1)的一个特解，函数 y ´  是方程(2)的通解，那么函数 y = y ∗ + y ´  是方程(1)的通解。

| 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

由定理 10－2 可知，方程(2)的通解是由两个线性无关的特解 y 1  和 y 2  分别乘以任意常数相加得到的。因此求方程(2)的通解，关键在于求出方程的两个线性无关的特解 y 1  和 y 2 。那么怎样求出这两个特解呢？我们根据方程(2)的特点，可以看出 y ″ ， y ′ ， y 必须是同类型函数，才有可能满足方程(2)。易知在初等函数中，函数 e rx  符合上述要求，因而 y = e rx  有可能是方程(2)的特解。于是，令 y = e rx  来尝试求解，其中 r  为常数。
将 y = e rx  代入方程(2)，得
( e rx ) ″ + p ( e rx ) ′ + q ( e rx ) = 0 .
因为 e 4 x ≠ 0 ，所以 r  只需满足 r 2 + pr + q = 0 。
r 2 + pr + q = 0 .     (3)

由此可见，求方程(2)的特解转化为求方程(3)的根。我们把方程(3)称为微分方程(2)的特征方程，把特征方程的根称为特征根。

依据特征方程根的三种情况，现分别讨论如下：

(1) 特征方程有两个不等的实根 r 1  和 r 2 。
这时得到方程(2)的两个特解： y 1 = e r 1 x 和 y 2 = e r 2 x 。且
y 1 y 2 = e r 1 x e r 2 x = e ( r 1 − r 2 ) x ≠ 常数 ,

即它们线性无关，所以由定理 10－2 得方程(2)的通解为

y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x .
其中 C 1 ， C 2 为任意常数。
(2) 特征方程有两个相等的实根，即 r = r 1 = r 2 。
这时只能得到方程(2)的一个特解 y 1 = e rx 。要得到通解，还需要再找一个与 y 1  线性无关的特解 y 2 。为此，设 y 2 y 1 = u ( x ) （ u ( x ) 是函数），即
y 2 = u ( x ) e rx ， y ′ 2 = ( u ′ + ru ) e rx ， y ″ 2 = ( u ″ + 2 ru ′ + r 2 u ) e rx 。

代入方程(2)，得

e rx [ ( u ″ + 2 ru ′ + r 2 u ) + p ( u ′ + ru ) + qu ] = 0 .

化简整理，得

u ″ + ( 2 r + p ) u ′ + ( r 2 + pr + q ) u = 0 .
因 r  是方程(3)的二重根，结合根与系数的关系，所以有 r 2 + pr + q = 0 ，且 2 r + p = 0 。于是有 u ″ ( x ) = 0 。显然，满足 u ″ ( x ) = 0  的函数很多，我们只取其中最简单的一个 u ( x ) = x ，这样就得到 y 2 = x e rx ，由定理 10－2 得方程(2)的通解为
y = C 1 e rx + C 2 x e rx = ( C 1 + C 2 x ) e rx .
(3) 特征方程有一对共轭复根，即 r 1 , 2 = α ± iβ （ β ≠ 0 ）。
这时得到方程(2)的两个特解： y 1 = e ( α + iβ ) x ， y 2 = e ( α − iβ ) x 。
因这两个特解含有复数，为了方便，应用欧拉公式 e iθ = cos θ + i sin θ ，则特解为
e ( α + iβ ) x = e αx ( cos βx + i sin βx ) , e ( α − iβ ) x = e αx ( cos βx − i sin βx ) .

由定理 10－1 可知

y ´ 1 = 1 2 ( y 1 + y 2 ) = e αx cos βx , y ´ 2 = 1 2 i ( y 1 − y 2 ) = e αx sin βx ,

仍是方程(2)的特解，且这两个解线性无关，所以由定理 10－2 得方程(2)的通解为

y = C 1 y ´ 1 + C 2 y ´ 2 = e αx ( C 1 cos βx + C 2 sin βx ) .

综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(2)的通解的步骤如下：

（1）写出方程(2)的特征方程 r 2 + pr + q = 0 ；
（2）求出特征方程的特征根 r 1  和 r 2 ；

（3）依据特征根的情形，写出方程(2)的通解（形式见表 10－2）。

表 10-2  $y''+py'+qy=0$ 通解形式

特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根 $r_1$ 和 $r_2$

方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解

为实根且 r 1 ≠ r 2
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x
为实根且 r = r 1 = r 2
y = ( C 1 + C 2 x ) e rx
为共轭复根 r 1 , 2 = α ± iβ
y = e αx ( C 1 cos βx + C 2 sin βx )

  例 1

求 y ″ − 5 y ′ + 6 y = 0  的通解。
解 特征方程 r 2 − 5 r + 6 = 0 ， ( r − 2 ) ( r − 3 ) = 0 ， r 1 = 2 ， r 2 = 3 。通解 y = C 1 e 2 x + C 2 e 3 x 。

  例 2

求 y ″ − 2 y ′ + y = 0 ， y ( 0 ) = 0 ， y ′ ( 0 ) = 3 的特解。
解 ( r − 1 ) 2 = 0 ， r = 1 （重根）。通解 y = ( C 1 + C 2 x ) e x 。 y ′ = ( C 2 + C 1 + C 2 x ) e x 。由 C 1 = 0 ， C 2 = 3 。特解 y = 3 x e x 。

  例 3

求 y ″ − 2 y ′ + 5 y = 0  的通解。
解 r 2 − 2 r + 5 = 0 ， r = 1 ± 2 i （ α = 1 ， β = 2 ）。通解 y = e x ( C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ) 。

| 三、二阶常系数线性非齐次微分方程解法

类型1： f ( x ) = P m ( x ) e λx ，特解设为 y ∗ = x k Q m ( x ) e λx 。 k 取决于 λ  是否为特征根。

  例 4

求 y ″ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1  的一个特解。
解 λ = 0  不是特征根（ r 1 = 3 ， r 2 = − 1 ）， k = 0 。设 y ∗ = ax + b ，代入比较系数得 a = − 1 ， b = 1 3 。 y ∗ = − x + 1 3 。

  例 5

求 y ″ − 5 y ′ + 6 y = x e 2 x  的一个特解。
解 λ = 2  是单特征根， k = 1 。设 y ∗ = x ( ax + b ) e 2 x 。代入比较系数得 a = − 1 ， b = − 2 。 y ∗ = − ( x 2 + 2 x ) e 2 x 。

⚠️ 易错点提示

易错点提示：待定系数法「设错」警示

当右端项 e λx  中的 λ  是特征方程的根时，设特解必须乘以修正因子：
若 λ  是特征方程的单根，特解须乘以 x ，即 y ∗ = x ⋅ Q m ( x ) e λx ；
若 λ  是特征方程的重根，特解须乘以 x 2 ，即 y ∗ = x 2 ⋅ Q m ( x ) e λx 。
常见错误： 忘记乘修正因子 x k ，直接设 y ∗ = Q m ( x ) e λx ，会导致代入方程后左边恒为零，无法确定待定系数！

  定理 10－4  叠加原理

若 y 1 ∗  是 y ″ + py ′ + qy = f 1 ( x )  的特解， y 2 ∗ 是 y ″ + py ′ + qy = f 2 ( x )  的特解，则 y 1 ∗ + y 2 ∗  是 y ″ + py ′ + qy = f 1 ( x ) + f 2 ( x )  的特解。
类型2： f ( x ) = a cos ωx + b sin ωx ，特解设为 y ∗ = x k ( A cos ωx + B sin ωx ) 。 ± iω 不是特征根时 k = 0 ，是特征根时 k = 1 。

  例 6

求 y ″ + 3 y ′ − y = cos x  的通解。
解 ± i  不是特征根， k = 0 。设 y ∗ = A cos x + B sin x 。代入比较系数得 A = − 2 13 ， B = 3 13 。通解 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x − 2 13 cos x + 3 13 sin x 。

  例 7

求 y ″ + y = sin x  的通解。
解 ω = 1 ， r = ± i 为特征根， k = 1 。设 y ∗ = x ( A cos x + B sin x ) 。代入得 A = − 1 2 ， B = 0 。
通解 y = − 1 2 x cos x + C 1 cos x + C 2 sin x 。

表 10-3  特解形式

$f(x)$ 的形式

特解 $y^*$ 的形式

P m ( x ) e λx
y ∗ = x k Q m ( x ) e λx （ k = 0 , 1 , 2 ）
a cos ωx + b sin ωx
y ∗ = x k ( A cos ωx + B sin ωx ) （ k = 0 , 1 ）

| 习题 10－3

  习题 10－3

1. 求下列微分方程的通解。

（1） y ″ − 9 y = 0 。（2） y ″ − 4 y ′ = 0 。（3） y ″ + 4 y ′ + 13 y = 0 。（4） 2 y ″ + y ′ + 1 8 y = 0 。（5） y ‴ + y ′ = 0 。（6） 4 y ″ − 12 y ′ + 9 y = 0 。
2. 求特解。（1） y ″ − 2 y ′ + 2 y = 0 ， y ( 0 ) = 1 ， y ′ ( 0 ) = 3 。（2） y ″ + 25 y = 0 ， y ( 0 ) = 2 ， y ′ ( 0 ) = 5 。（3） y ″ − 3 y ′ − 4 y = 0 ， y ( 0 ) = 0 ， y ′ ( 0 ) = − 5 。
3. 求特解。（1） y ″ + 2 y ′ + y = 3 x e − x 。（2） y ″ − 2 y ′ − 3 y = e − x 。（3） y ″ + y = 3 sin x 。
4. 求通解。（1） y ″ + 6 y ′ + 9 y = 3 e x 。（2） y ″ − 2 y ′ + 5 y = sin x 。
5. 求特解。（1） y ″ − 4 y ′ = 5 ， y ( 0 ) = 1 ， y ′ ( 0 ) = 0 。（2） y ″ + y = − sin 2 x ， y ( π ) = 1 ， y ′ ( π ) = 2 。
6. 求 y ″ + 4 y = sin x  过点 ( 0 , 1 )  且在该点与 y = 1  相切的积分曲线。

  习题 10－3 详细解析

1.（1） r 2 − 9 = 0 ， r = ± 3 。 y = C 1 e 3 x + C 2 e − 3 x 。
（2） r ( r − 4 ) = 0 。 y = C 1 + C 2 e 4 x 。
（3） r = − 2 ± 3 i 。 y = e − 2 x ( C 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ) 。
（4） ( 4 r + 1 ) 2 = 0 ， r = − 1 4 。 y = ( C 1 + C 2 x ) e − x / 4 。
（5） r ( r 2 + 1 ) = 0 ， r 1 = 0 ， r 2 , 3 = ± i 。 y = C 1 + C 2 cos x + C 3 sin x 。
（6） ( 2 r − 3 ) 2 = 0 ， r = 3 2 （重根）。 y = ( C 1 + C 2 x ) e 3 x / 2 。
2.（1） r = 1 ± i 。通解 y = e x ( C 1 cos x + C 2 sin x ) 。由初始条件 C 1 = 1 ， C 2 = 2 。特解 y = e x ( cos x + 2 sin x ) 。
（2） r = ± 5 i 。 y = C 1 cos 5 x + C 2 sin 5 x 。 C 1 = 2 ， C 2 = 1 。 y = 2 cos 5 x + sin 5 x 。
（3） r 1 = 4 ， r 2 = − 1 。由初始条件 C 1 = − 1 ， C 2 = 1 。 y = − e 4 x + e − x 。
3.（1） λ = − 1  重根， k = 2 。 y ∗ = 1 2 x 3 e − x 。
（2） λ = − 1  单根， k = 1 。 y ∗ = − 1 4 x e − x 。
（3） ± i  为特征根， k = 1 。 y ∗ = − 3 2 x cos x 。
4.（1） y = ( C 1 + C 2 x ) e − 3 x + 3 16 e x 。
（2） 设 y ∗ = A cos x + B sin x  代入求解后加上齐次通解。
5.（1） λ = 0  单根。 y ∗ = − 5 4 x 。通解 y = C 1 + C 2 e 4 x − 5 4 x 。由初始条件 y = 11 16 + 5 16 e 4 x − 5 4 x 。
（2） 类似方法。6. y = cos 2 x − 1 6 sin 2 x + 1 3 sin x 。

本 章 小 结

  本章小结

一、主要内容

1. 微分方程的基本概念：微分方程、阶、通解、特解、初始条件、可分离变量方程、齐次方程。

2. 一阶线性微分方程的通解公式：

y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] .

3. 二阶常系数线性齐次微分方程的通解：

特征方程 r 2 + pr + q = 0  的两个根 r 1  和 r 2 ：
为实根且 r 1 ≠ r 2 ： y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x ；
为实根且 r = r 1 = r 2 ： y = ( C 1 + C 2 x ) e rx ；
为共轭复根 r 1 , 2 = α ± iβ ： y = e αx ( C 1 cos βx + C 2 sin βx ) 。
4. 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：当 f ( x ) = P m ( x ) e λx  时，特解 y ∗ = x k Q m ( x ) e λx ；当 f ( x ) = a cos ωx + b sin ωx  时，特解 y ∗ = x k ( A cos ωx + B sin ωx ) 。

二、基本方法

1. 变量分离法 — 适用于可分离变量的微分方程。

2. 变量替换法 — 适用于齐次微分方程（令 u = y / x ）。

3. 公式法（常数变易法）— 适用于一阶线性微分方程。

4. 特征方程法 — 适用于二阶常系数线性齐次微分方程。

5. 待定系数法 — 适用于二阶常系数线性非齐次微分方程。

三、要点解析

1. 求解一阶微分方程，首先要判断方程类型（可分离变量、齐次、一阶线性），然后选择相应的方法。

2. 求解二阶常系数线性微分方程，先用特征方程法求齐次通解，再用待定系数法求非齐次特解，两者相加即为通解。

3. 应用微分方程建模时，关键是将自然语言描述转化为数学公式（如「变化率与…成正比」即 d y d t = ky ）。

复 习 题 十

  复习题十

1. 填空题。

（1）微分方程 ( y ″ ) 3 + x y ( 4 ) = y 7 sin x  的阶数是________。
（2）方程 y ′ + 2 y = 0  的通解是________。
（3） y ″ = 2 sin x 的通解是________。
（4）方程 y ″ + 2 y ′ = 0  的通解是________。
（5）微分方程 y ″ − 5 y ′ + 6 y = 0  的通解是________。

2. 选择题。

（1）微分方程 y ′ y ″ 3 + y ′ 2 + 4 y 4 = 0  的阶数是（  ）。A. 1  B. 2  C. 3  D. 4
（2）下列函数中，可以是微分方程 y ″ + y = 0  的解的函数是（  ）。A. y = cos x   B. y = x   C. y = tan x   D. y = e x
（3）下列方程中是一阶线性方程的是（  ）。A. ( y − 3 ) ln x d x − x d y = 0   B. d y d x = y 2 1 − 2 xy   C. xy ′ = y 2 + x 2 sin x   D. y ″ + y ′ − 2 y = 0
（4）下列函数组中线性无关的是（  ）。A. x 2 , 2 3 x 2   B. sin 2 x , sin x cos x   C. 1 + cos x , cos 2 x 2   D. e x , e − 2 x
（5）若某二阶常系数线性齐次方程的通解为 y = C 1 e − 2 x + C 2 e x ，则该微分方程为（  ）。A. y ″ + y ′ = 0   B. y ″ + 2 y ′ = 0   C. y ″ + y ′ − 2 y = 0   D. y ″ − y ′ − 2 y = 0

3. 求下列微分方程的通解。

（1） ( 1 + e x ) yy ′ = e x 。（2） y ′ + 2 xy = e − x 2 。（3） y ″ − y ′ = x 。（4） y ″ − 4 y ′ + 5 y = 0 。

4. 求下列微分方程满足初始条件的特解。

（1） x ″ ( t ) + 2 x ′ ( t ) + 5 x ( t ) = 0 ， x ( 0 ) = 1 ， x ′ ( 0 ) = 5 。
（2） y ″ + 4 y = sin x ， y ( 0 ) = 1 ， y ′ ( 0 ) = 0 。

  复习题十 详细解析

1. 填空题解析

（1） 最高阶导数为 y ( 4 ) ，阶数为 4。
（2） 分离变量： d y y = − 2 d x ，积分得 y = C e − 2 x 。
（3） 积分两次： y ′ = − 2 cos x + C 1 ， y = − 2 sin x + C 1 x + C 2 。
（4） 特征方程 r 2 + 2 r = 0 ， r 1 = 0 ， r 2 = − 2 。通解 y = C 1 + C 2 e − 2 x 。
（5） 特征方程 r 2 − 5 r + 6 = 0 ， r 1 = 2 ， r 2 = 3 。通解 y = C 1 e 2 x + C 2 e 3 x 。

2. 选择题解析

（1）B。 最高阶导数为 y ″ ，阶数为2。
（2）A。 y = cos x ： y ″ = − cos x ， y ″ + y = 0 ✓。
（3）A。 化为 y ′ − ln x x y = − 3 ln x x ，为一阶线性方程。B选项以 x  为因变量可化为一阶线性，但以 y  为未知函数时非线性。
（4）D。 e − 2 x e x = e − 3 x ≠  常数，线性无关。A中比值为常数 2 3 。B中 sin 2 x = 2 sin x cos x ，比值为常数2。C中 1 + cos x = 2 cos 2 x 2 ，比值为常数2。
（5）C。 r 1 = − 2 ， r 2 = 1 。特征方程 ( r + 2 ) ( r − 1 ) = r 2 + r − 2 = 0 ，方程为 y ″ + y ′ − 2 y = 0 。

3. 求通解解析

（1） 分离变量： y d y = e x 1 + e x d x 。积分得 y 2 2 = ln ( 1 + e x ) + C ，即 y 2 = 2 ln ( 1 + e x ) + C 。
（2） P ( x ) = 2 x ， Q ( x ) = e − x 2 。 y = e − x 2 ( x + C ) 。
（3） 齐次通解 y ´ = C 1 + C 2 e x 。 λ = 0 单根， k = 1 。设 y ∗ = a x 2 + bx 。代入得 a = − 1 2 ， b = − 1 。通解 y = C 1 + C 2 e x − 1 2 x 2 − x 。
（4） r = 2 ± i 。通解 y = e 2 x ( C 1 cos x + C 2 sin x ) 。

4. 求特解解析

（1） 特征方程 r 2 + 2 r + 5 = 0 ， r = − 1 ± 2 i 。通解 x ( t ) = e − t ( C 1 cos 2 t + C 2 sin 2 t ) 。由 x ( 0 ) = 1 ： C 1 = 1 ； x ′ ( 0 ) = 5 ： − C 1 + 2 C 2 = 5 ， C 2 = 3 。特解 x ( t ) = e − t ( cos 2 t + 3 sin 2 t ) 。
（2） 齐次通解 y ´ = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x 。 ω = 1 ≠ 2 ， k = 0 ，设 y ∗ = A cos x + B sin x 。代入得 A = 0 ， B = 1 3 。通解 y = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x + 1 3 sin x 。由 y ( 0 ) = 1 ： C 1 = 1 ； y ′ ( 0 ) = 0 ： 2 C 2 + 1 3 = 0 ， C 2 = − 1 6 。特解 y = cos 2 x − 1 6 sin 2 x + 1 3 sin x 。