第 11 章

无穷级数

部分和 · 审敛法 · 泰勒展开

第一节    常数项级数的概念与性质

| 引子：无穷累加的直觉

在学习级数之前，我们先来看几个有趣的问题，感受"无穷累加"的奇妙之处。

  引子

引例 1（一尺之棰，日取其半）

《庄子·天下篇》记载："一尺之棰，日取其半，万世不竭。"

一根一尺长的木棍，每天截取一半：第 1 天取走 1 2  尺，第 2 天取走 1 4  尺，第 3 天取走 1 8  尺……无穷天后，取走的总长度为
1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n + ⋯ = 1 ( 尺 ) .
虽然加了无穷多项，总和却恰好等于 1 。这就是"收敛"的例子。

  引子

引例 2（弹球落地）

一个弹球从 1  米的高度自由下落，每次弹起的高度是上次的 2 3 。那么弹球经历的上下总路程为
S = 1 + 2 × 2 3 + 2 × ( 2 3 ) 2 + 2 × ( 2 3 ) 3 + ⋯ = 1 + 2 ⋅ 2 3 1 − 2 3 = 5 ( 米 ) .
弹球虽然弹跳了无穷多次，走过的总路程却是有限的 5  米。
然而，并非所有"无穷求和"都能得到有限的结果。调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯  虽然每一项越来越小、趋近于零，但它们的总和却是无穷大（我们将在后面严格证明这一点）。

这就引出了级数理论的核心问题：无穷多个数相加，什么时候和是有限的（收敛），什么时候和是无穷大的（发散）？ 下面，我们给出严格的定义。

| 一、常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

u 1 , u 2 , u 3 , ⋯ , u n , ⋯ ,

则由这数列构成的表达式

u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 ∑ n = 1 ∞ u n ，即
∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ ,
其中第 n  项 u n  叫做级数的一般项。
作级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的前 n  项和
s n = ∑ i = 1 n u i = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n
称为级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的部分和。当 n  依次取 1 , 2 , 3 , ⋯  时，它们构成一个新的数列
s 1 = u 1 , s 2 = u 1 + u 2 , s 3 = u 1 + u 2 + u 3 , ⋯ ,
s n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n , ⋯ .

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

  定义 11－1

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的部分和数列 { s n }  有极限 s ，即 lim n → ∞ s n = s ，则称无穷级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛，这时极限 s  叫做这级数的和，并写成
s = ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ .
如果 { s n }  没有极限，则称无穷级数 ∑ n = 1 ∞ u n  发散。
当级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛时，其部分和 s n  是级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的和 s  的近似值，它们之间的差值
r n = s − s n = u n + 1 + u n + 2 + ⋯
叫做级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的余项。

  例 1

讨论等比级数（几何级数） ∑ n = 0 ∞ a q n ( a ≠ 0 ) 的敛散性。
解  如果 q ≠ 1 ，则部分和
s n = a + aq + a q 2 + ⋯ + a q n − 1 = a − a q n 1 − q = a 1 − q − a q n 1 − q .
当 | q | < 1  时，因为 lim n → ∞ s n = a 1 − q ，所以此时级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  收敛，其和为 a 1 − q 。
当 | q | > 1  时，因为 lim n → ∞ s n = ∞ ，所以此时级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  发散。
如果 | q | = 1 ，则当 q = 1  时， s n = na → ∞ ，因此级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  发散；当 q = − 1  时，级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  成为 a − a + a − a + ⋯ 。
因为 s n  随着 n  为奇数或偶数而等于 a  或零，所以 s n  的极限不存在，从而这时级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  发散。
综上所述，如果 | q | < 1 ，则级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  收敛，其和为 a 1 − q ；如果 | q | ≥ 1 ，则级数 ∑ n = 0 ∞ a q n  发散。

  例 2

判别无穷级数 ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n )  的收敛性。

解  由于

u n = ln ( 1 + 1 n ) = ln ( n + 1 ) − ln n ,

因此

s n = ( ln 2 − ln 1 ) + ( ln 3 − ln 2 ) + ( ln 4 − ln 3 ) + ⋯ + [ ln ( n + 1 ) − ln n ]
= ln ( n + 1 ) .
又 lim n → ∞ s n = ∞ ，故该级数发散。

  例 3

判别无穷级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 )  的收敛性。

解  因为

u n = 1 n ( n + 1 ) = 1 n − 1 n + 1 ,

所以

s n = 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 )
= ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 n − 1 n + 1 )
= 1 − 1 n + 1 .

因为

lim n → ∞ s n = lim n → ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = 1 ,
所以这级数收敛，它的和是 1 。

| 二、收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质。

  性质 11－1

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛于和 s ，则它的各项同乘以一个常数 k  所得的级数 ∑ n = 1 ∞ k u n  也收敛，且其和为 ks 。
证明  设 ∑ n = 1 ∞ u n  与 ∑ n = 1 ∞ k u n  的部分和分别为 s n  与 σ n ，则
lim n → ∞ σ n = lim n → ∞ ( k u 1 + k u 2 + ⋯ + k u n ) = k lim n → ∞ ( u 1 + u 2 + ⋯ + u n ) = k lim n → ∞ s n = ks .
这表明级数 ∑ n = 1 ∞ k u n  收敛，且和为 ks 。

  性质 11－2

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n 、 ∑ n = 1 ∞ v n 分别收敛于和 s 、 σ ，则级数 ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n )  也收敛，且其和为 s ± σ 。
证明  如果 ∑ n = 1 ∞ u n 、 ∑ n = 1 ∞ v n 、 ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) 的部分和分别为 s n 、 σ n 、 τ n ，则
lim n → ∞ τ n = lim n → ∞ [ ( u 1 ± v 1 ) + ( u 2 ± v 2 ) + ⋯ + ( u n ± v n ) ]
= lim n → ∞ [ ( u 1 + u 2 + ⋯ + u n ) ± ( v 1 + v 2 + ⋯ + v n ) ]
= lim n → ∞ ( s n ± σ n ) = s ± σ .

  性质 11－3

在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。

比如，级数 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) + ⋯  是收敛的；
级数 10000 + 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) + ⋯  也是收敛的；
级数 1 3 ⋅ 4 + 1 4 ⋅ 5 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) + ⋯  也是收敛的。

  性质 11－4

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
注意  如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛。例如，级数 ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ⋯  收敛于零，但级数 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯  却是发散的。

推论  如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。

  性质 11－5

如果 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛，则它的一般项 u n  趋于零，即 lim n → ∞ u n = 0 。
证明  设级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的部分和为 s n ，且 lim n → ∞ s n = s ，则
lim n → ∞ u n = lim n → ∞ ( s n − s n − 1 ) = lim n → ∞ s n − lim n → ∞ s n − 1 = s − s = 0 .

注意  级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。

  例 6

证明调和级数

∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n + ⋯

是发散的。

证明  假若级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n  收敛且其和为 s ， s n 是它的部分和。显然有 lim n → ∞ s n = s  及 lim n → ∞ s 2 n = s 。于是
lim n → ∞ ( s 2 n − s n ) = 0 .

但另一方面，

s 2 n − s n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + ⋯ + 1 2 n = 1 2 .
故 lim n → ∞ ( s 2 n − s n ) ≠ 0 ，矛盾。这矛盾说明级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n  必定发散。

  调和级数发散的分组放缩法

另证（分组放缩法）

直觉往往会骗人。虽然 1 n  越来越小、趋近于 0 ，但它们的和却是无穷大。让我们用分组放缩的方法直观地看清楚为什么：
S 2 k = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ⋯

对每一组进行放缩（将分母放大到该组最大值）：

> 1 + 1 2 + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ⋯
= 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = 1 + k 2 → ∞ .
每一组的和都不小于 1 2 ，而这样的组有无穷多个，因此部分和 S 2 k  可以超过任何正数，级数发散。

核心启示： "通项趋于零"是级数收敛的必要条件，但不是充分条件！调和级数就是最经典的反例。

| 习题 11－1

  习题 11－1

1. 写出下列级数的一般项。

（1） 1 − 1 2 + 1 4 − 1 8 + ⋯ 。
（2） 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ 。
（3） ln 2 1 ⋅ 2 + ln 3 2 ⋅ 3 + ln 4 3 ⋅ 4 + ⋯ 。
（4） 1 1 ⋅ 4 + x 4 ⋅ 7 + x 2 7 ⋅ 10 + x 3 10 ⋅ 13 + ⋯ 。
（5） 2 − 2 2 2 ! + 2 3 3 ! − 2 4 4 ! + ⋯ 。

2. 判定下列级数的敛散性。

（1） − 8 9 + 8 2 9 2 − 8 3 9 3 + ⋯ + ( − 1 ) n 8 n 9 n + ⋯ 。
（2） 1 3 + 1 6 + 1 9 + ⋯ + 1 3 n + ⋯ 。
（3） 1 3 + 1 3 + 1 3 3 + ⋯ + 1 3 n + ⋯ 。
（4） ( 1 2 + 1 3 ) + ( 1 2 2 + 1 3 2 ) + ( 1 2 3 + 1 3 3 ) + ⋯ + ( 1 2 n + 1 3 n ) 。

第二节    常数项级数的收敛法则

| 一、正项级数及其收敛法则

现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数。设级数

u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯     (11-2-1)
是一个正项级数，它的部分和为 s n 。显然，数列 { s n }  是一个单调增加数列，即
s 1 ≤ s 2 ≤ ⋯ ≤ s n ≤ ⋯ .
如果数列 { s n }  有界，即 s n  总不大于某一常数 M ，根据单调有界的数列必有极限的准则，级数（11-2-1）必收敛于和 s ，且 s n ≤ s ≤ M 。反之，如果正项级数（11-2-1）收敛于和 s ，根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列 { s n }  有界。因此，有如下重要结论：

  定理 11－1

正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛的充分必要条件是它的部分和数列 { s n }  有界。

  定理 11－2

（比较审敛法）设 ∑ n = 1 ∞ u n  和 ∑ n = 1 ∞ v n  都是正项级数，且 u n ≤ v n ( n = 1 , 2 , ⋯ ) 。若级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛；反之，若级数 ∑ n = 1 ∞ u n  发散，则级数 ∑ n = 1 ∞ v n  发散。
证明  设级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛于和 σ ，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的部分和
s n = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n ≤ v 1 + v 2 + ⋯ + v n ≤ σ ( n = 1 , 2 , ⋯ ) .
即部分和数列 { s n }  有界，且由定理 11－1 知级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛。
反之，设级数 ∑ n = 1 ∞ u n  发散，则级数 ∑ n = 1 ∞ v n  必发散。因为若级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛，由上已证明的结论，将有级数 ∑ n = 1 ∞ u n  也收敛，与假设矛盾。
推论  设 ∑ n = 1 ∞ u n  和 ∑ n = 1 ∞ v n  都是正项级数，如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛，且存在自然数 N ，使当 n ≥ N  时，有 u n ≤ k v n ( k > 0 )  成立，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛；如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n  发散，且当 n ≥ N  时，有 u n ≥ k v n ( k > 0 )  成立，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  发散。
用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数 ∑ n = 1 ∞ v n  作为比较的基准。最常选用做基准级数的是等比级数和 p  - 级数。

  例 1

讨论 p  - 级数
∑ n = 1 ∞ 1 n p = 1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + ⋯ + 1 n p + ⋯
的收敛性，其中常数 p > 0 。
解  设 p ≤ 1 。这时 1 n p ≥ 1 n ，而调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n  发散，由比较审敛法知，当 p ≤ 1  时级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p  发散。
设 p > 1 。此时有
1 n p = ∫ n − 1 n 1 n p d x ≤ ∫ n − 1 n 1 x p d x = ∫ n − 1 n x − p d x = 1 − ( p − 1 ) x − ( p − 1 ) | n − 1 n
= 1 1 − p ( 1 n p − 1 − 1 ( n − 1 ) p − 1 ) ( n = 2 , 3 , ⋯ ) .
对于级数 ∑ n = 2 ∞ ( 1 ( n − 1 ) p − 1 − 1 n p − 1 ) ，其部分和
s n = ( 1 − 1 2 p − 1 ) + ( 1 2 p − 1 − 1 3 p − 1 ) + ⋯ + ( 1 n p − 1 − 1 ( n + 1 ) p − 1 ) = 1 − 1 ( n + 1 ) p − 1 .
因为 lim n → ∞ s n = lim n → ∞ ( 1 − 1 ( n + 1 ) p − 1 ) = 1 。所以级数 ∑ n = 2 ∞ ( 1 ( n − 1 ) p − 1 − 1 n p − 1 )  收敛。从而根据比较审敛法的推论 1 可知，级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p  当 p > 1  时收敛。
综上所述， p - 级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p  当 p > 1  时收敛，当 p ≤ 1  时发散。

  例 2

证明级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 )  是发散的。
证明  因为 1 n ( n + 1 ) > 1 ( n + 1 ) 2 = 1 n + 1 ，而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 = 1 2 + 1 3 + ⋯  是发散的，根据比较审敛法可知所给级数也是发散的。

  定理 11－3

（比较审敛法的极限形式）设 ∑ n = 1 ∞ u n  和 ∑ n = 1 ∞ v n  都是正项级数，如果 lim n → ∞ u n v n = l ( 0 < l < + ∞ ) ，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  和级数 ∑ n = 1 ∞ v n  同时收敛或同时发散。
证明  由极限的定义可知，对 ε = 1 2 l ，存在自然数 N ，当 n > N  时，有不等式
| u n v n − l | < ε ,
即 l − 1 2 l < u n v n < l + 1 2 l ，则 1 2 l v n < u n < 3 2 l v n 。再根据比较审敛法的推论 1，即得所要证的结论。

  例 3

判别级数 ∑ n = 1 ∞ sin 1 n  的收敛性。
解  因为 lim n → ∞ sin 1 n 1 n = 1 ，而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n  发散，根据比较审敛法的极限形式，级数 ∑ n = 1 ∞ sin 1 n  发散。

  定理 11－4

（比值审敛法，达朗贝尔判别法）若正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n  的后项与前项之比值的极限等于 ρ ，即
lim n → ∞ u n + 1 u n = ρ ,
则当 ρ < 1  时级数收敛；当 ρ > 1 （或 lim n → ∞ u n + 1 u n = ∞ ）时级数发散；当 ρ = 1  时级数可能收敛也可能发散。

  例 4

判别级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n !  的收敛性。

解  因为

lim n → ∞ u n + 1 u n = lim n → ∞ 1 ( n + 1 ) ! 1 n ! = lim n → ∞ 1 n + 1 = 0 < 1 .

根据比值审敛法可知，所给级数收敛。

  例 5

判别级数 ∑ n = 1 ∞ n ! 3 n  的收敛性。

解  因为

lim n → ∞ u n + 1 u n = lim n → ∞ ( n + 1 ) ! 3 n + 1 n ! 3 n = lim n → ∞ n + 1 3 = + ∞ .

根据比值审敛法可知，所给级数发散。

  定理 11－5

（根值审敛法，柯西判别法）设 ∑ n = 1 ∞ u n  是正项级数，如果它的一般项 u n  的 n  次根的极限等于 ρ ，即
lim n → ∞ u n n = ρ ,
则当 ρ < 1  时级数收敛；当 ρ > 1 （或 lim n → ∞ u n n = + ∞ ）时级数发散；当 ρ = 1  时级数可能收敛也可能发散。

  定理 11－6

（极限审敛法）设 ∑ n = 1 ∞ u n  为正项级数，
（1）如果 lim n → ∞ n u n = l > 0 （或 lim n → ∞ n u n = + ∞ ），则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  发散；
（2）如果 p > 1 ，而 lim n → ∞ n p u n = l ( 0 ≤ l < + ∞ ) ，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛。
证明  （1）在极限形式的比较审敛法中，取 v n = 1 n ，由调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n  发散，知结论成立。
（2）在极限形式的比较审敛法中，取 v n = 1 n p ，当 p > 1  时， p - 级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p  收敛，故结论成立。

  例 6

判定级数 ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n 2 )  的收敛性。
解  因 ln ( 1 + 1 n 2 ) ∼ 1 n 2 ( n → + ∞ ) ，故 lim n → ∞ n 2 u n = lim n → ∞ n 2 ln ( 1 + 1 n 2 ) = lim n → ∞ n 2 ⋅ 1 n 2 = 1 。

根据极限审敛法，知所给级数收敛。

| 二、交错级数及其审敛法则

下列形式的级数

u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + ⋯
称为交错级数。交错级数的一般形式为 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n ，其中 u n > 0 。

  定理 11－7

（莱布尼茨定理）如果交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n  满足条件：
（1） u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) ；
（2） lim n → ∞ u n = 0 ，
则级数收敛，且其和 s ≤ u 1 ，其余项 r n  的绝对值 | r n | ≤ u n + 1 。
证明  设前 n  项部分和为 s n ，由
s 2 n = ( u 1 − u 2 ) + ( u 3 − u 4 ) + ⋯ + ( u 2 n − 1 − u 2 n ) ,

及

s 2 n = u 1 − ( u 2 − u 3 ) − ( u 4 − u 5 ) − ⋯ − ( u 2 n − 2 − u 2 n − 1 ) − u 2 n ,
看出数列 { s 2 n }  单调增加且有界（ s 2 n ≤ u 1 ），所以收敛。
设 s 2 n → s ( n → ∞ ) ，则也有 s 2 n + 1 = s 2 n + u 2 n + 1 → s ( n → ∞ ) ，所以 s n → s ( n → ∞ ) ，从而级数是收敛的，且 s < u 1 。
因为 | r n | ≤ u n + 1 − u n + 2 + ⋯  也是收敛的交错级数，所以 | r n | ≤ u n + 1 。

| 三、绝对收敛与条件收敛

对于一般的级数：

u 1 + u 2 + ⋯ + u n + ⋯ ,
若级数 ∑ n = 1 ∞ | u n |  收敛，则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n  绝对收敛；若级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛，而级数 ∑ n = 1 ∞ | u n |  发散，则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n  条件收敛。级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：

  定理 11－8

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n  绝对收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n  必定收敛。

证明  令

v n = 1 2 ( u n + | u n | ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) .
显然 v n ≥ 0  且 v n ≤ | u n | ( n = 1 , 2 , ⋯ ) 。因级数 ∑ n = 1 ∞ | u n |  收敛，故由比较审敛法知道，级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛，从而级数 ∑ n = 1 ∞ 2 v n  也收敛。而 u n = 2 v n − | u n | ，由收敛级数的基本性质可知：
∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ 2 v n − ∑ n = 1 ∞ | u n | ,
所以级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛。

  例 7

判别级数 ∑ n = 1 ∞ sin nα n 2  的收敛性。
解  因为 | sin nα n 2 | ≤ 1 n 2 ，而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2  是收敛的，所以级数 ∑ n = 1 ∞ | sin nα n 2 |  也收敛，从而级数 ∑ n = 1 ∞ sin nα n 2  绝对收敛。

  例 8

判别级数 ∑ n = 1 ∞ a n n 3 （ a 为常数）的收敛性。

解  因为

| u n + 1 | | u n | = | a | n + 1 n 3 | a | n ( n + 1 ) 3 = ( n n + 1 ) 3 | a | → | a | ( n → ∞ ) ,
所以当 a = ± 1  时，级数 ∑ n = 1 ∞ ( ± 1 ) n n 3  均收敛；当 | a | ≤ 1  时，级数 ∑ n = 1 ∞ a n n 3  绝对收敛；当 | a | > 1  时，级数 ∑ n = 1 ∞ a n n 3  发散。

  审敛法选择策略

拿到一道级数审敛题，该选什么方法？

以下决策流程可以帮助快速选择审敛法：

第一步： 判断是否为正项级数。如果各项正负交替（ ( − 1 ) n 形式），优先尝试莱布尼茨定理。

第二步（正项级数）： 观察通项结构：

　　• 含 n ! （阶乘）或 a n （指数） → 优先用比值审敛法（定理 11－4）。
　　• 含 a n  且整体形如 ( f ( n ) ) n  → 优先用根值审敛法（定理 11－5）。
　　• 形如 1 n p  或可与之比较 → 用比较审敛法或极限比较法（定理 11－2、11－3）。
　　• 含 sin 、 ln 、 arctan 等且 n → ∞  时可用等价无穷小 → 用极限审敛法（定理 11－6）。
第三步： 如果比值或根值审敛法得到 ρ = 1 ，则该方法失效，需换用比较审敛法或极限审敛法。

| 习题 11－2

  习题 11－2

1. 用比较审敛法判定下列级数的敛散性。

（1） 1 + 1 3 + 1 5 + ⋯ + 1 2 n − 1 + ⋯ 。
（2） 1 3 ⋅ 5 + 1 4 ⋅ 6 + ⋯ + 1 ( n + 2 ) ( n + 4 ) + ⋯ 。
（3） 1 + 1 + 2 1 + 2 2 + 1 + 3 1 + 3 2 + ⋯ + 1 + n 1 + n 2 + ⋯ 。
（4） sin π 3 + sin π 3 2 + sin π 3 3 + ⋯ + sin π 3 n + ⋯ 。

＊2. 用根值审敛法判定下列级数的敛散性。

（1） ∑ n = 1 ∞ ( n 4 n + 1 ) n 。  （2） ∑ n = 1 ∞ ( 3 n + 2 2 n + 1 ) n 。
（3） ∑ n = 1 ∞ 3 2 n ( arctan n ) n 。  （4） ∑ n = 1 ∞ ( n 2 n − 1 ) 2 n − 1 。

3. 判定下列交错级数的敛散性。

（1） 1 − 1 2 ! + 1 3 ! − 1 4 ! + ⋯ 。
（2） 1 − 2 3 + 3 5 − 4 7 + ⋯ 。
（3） 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ 。
（4） 1 4 ⋅ 1 2 − 1 4 ⋅ 1 2 2 + 1 4 ⋅ 1 2 3 − 1 4 ⋅ 1 2 4 + ⋯ 。

4. 判定下列级数是绝对收敛还是条件收敛。

（1） 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ 。
（2） 1 3 − 1 2 ⋅ 3 2 + 1 4 ⋅ 3 3 − 1 4 ⋅ 3 4 + ⋯ 。
（3） ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 3 n − 1 。
（4） ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ln ( n + 1 ) 。

第三节    幂级数

| 一、函数项级数的概念

  定义 11－2

如果给定一个定义在区间 I  上的函数列 { u n ( x ) } ，则由这函数列构成的表达式
u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) + ⋯
称为定义在区间 I  上的（函数项）级数，记为 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) 。
对于区间 I  内的一定点 x 0 ，若常数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 )  收敛，则称点 x 0  是级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的收敛点。若常数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 )  发散，则称点 x 0  是级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的发散点。
函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。在收敛域上，函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的和是 x  的函数 s ( x ) ， s ( x ) 称为函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的和函数，并写成 s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) 。函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的前 n  项的部分和记作 s n ( x ) ，即
s n ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) .
在收敛域上有 lim n → ∞ s n ( x ) = s ( x ) 。
函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的和函数 s ( x )  与部分和 s n ( x )  的差 r n ( x ) = s ( x ) − s n ( x )  叫做函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x )  的余项，并有 lim n → ∞ r n ( x ) = 0 。

| 二、幂级数及其收敛性

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，这种形式的级数称为幂级数，它的形式是

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯ ,
其中常数 a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯  叫做幂级数的系数。

  定理 11－9

（阿贝尔定理）对于级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n ，当 x = x 0 ( x 0 ≠ 0 )  时收敛，则适合不等式 | x | < | x 0 |  的一切 x  使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  当 x = x 0  时发散，则适合不等式 | x | > | x 0 |  的一切 x  使这幂级数发散。
证明  先设 x 0  是幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的收敛点，即级数 ∑ n = 0 ∞ a n x 0 n  收敛。根据级数收敛的必要条件，有 lim n → ∞ a n x 0 n = 0 ，于是存在一个常数 M ，使
| a n x 0 n | ≤ M ( n = 1 , 2 , ⋯ ) .
这样级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的一般项的绝对值为
| a n x n | = | a n x 0 n ⋅ x n x 0 n | = | a n x 0 n | ⋅ | x x 0 | n ≤ M ⋅ | x x 0 | n .
因为当 | x | < | x 0 |  时，等比级数 ∑ n = 0 ∞ M ⋅ | x x 0 | n  收敛，所以级数 ∑ n = 0 ∞ | a n x n |  收敛，也就是级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  绝对收敛。
推论  如果幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  不是仅在点 x = 0  一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数 R  存在，使得
当 | x | < R  时，幂级数绝对收敛；
当 | x | > R  时，幂级数发散；
当 x = R  与 x = − R  时，幂级数可能收敛也可能发散。
正数 R  通常叫做幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的收敛半径。开区间 ( − R , R )  叫做幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的收敛区间。再由幂级数在 x = ± R  处的收敛性就可以决定它的收敛域。幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的收敛域是 ( − R , R ) 、 [ − R , R ) 、 ( − R , R ] 或 [ − R , R ]  之一。

  收敛域求法：四步走战略

求幂级数收敛域的"四步走"战略：

第一步（算半径）： 利用 R = lim n → ∞ | a n a n + 1 |  或 R = 1 lim n → ∞ | a n | n  算出收敛半径 R 。
第二步（定区间）： 写出开区间 ( − R , R ) 。
第三步（验端点）： 分别代入 x = R  和 x = − R ，判断这两个端点级数是收敛还是发散。⚠️ 这是最容易丢分的地方！
第四步（下结论）： 综合端点判断结果，写出最终收敛域（注意方括号 [  和圆括号 (  的区别）。

常见陷阱提醒：

• 忘记验端点（只写开区间就交卷）→ 扣分！

• 端点处代入后得到的级数可能需要用比较法或莱布尼茨定理来判断。

• 如果级数缺少某些次幂的项（如只有偶次幂），不能直接用定理 11－10 的公式，需回到比值审敛法直接判断。

  定理 11－10

如果 lim n → ∞ | a n + 1 a n | = ρ ，其中 a n 、 a n + 1 是幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
R = { + ∞ , ρ = 0 1 ρ , ρ ≠ 0 0 , ρ = + ∞ .

证明

lim n → ∞ | a n + 1 x n + 1 a n x n | = lim n → ∞ | a n + 1 a n | ⋅ | x | = ρ | x | .
（1）如果 0 < ρ < + ∞ ，则只当 ρ | x | < 1  时幂级数收敛，故 R = 1 ρ 。
（2）如果 ρ = 0 ，则幂级数总是收敛的，故 R = + ∞ 。
（3）如果 ρ = + ∞ ，则只有当 x = 0  时幂级数收敛，故 R = 0 。

  例 1

求幂级数 ∑ n = 1 ∞ x n n 2  的收敛半径与收敛域。

解  因为

ρ = lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ n 2 ( n + 1 ) 2 = 1 ,
所以收敛半径为 R = 1 ρ = 1 ，即收敛区间为 ( − 1 , 1 ) 。
当 x = ± 1  时，有 | ( ± 1 ) n n 2 | = 1 n 2 ，由于级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2  收敛，所以级数 ∑ n = 1 ∞ x n n 2  在 x = ± 1  时也收敛。因此，收敛域为 [ − 1 , 1 ] 。

  例 2

求幂级数 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ + 1 n ! x n + ⋯  的收敛域。

解  因为

ρ = lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ 1 ( n + 1 ) ! 1 n ! = lim n → ∞ n ! ( n + 1 ) ! = 0 ,
所以收敛半径为 R = + ∞ ，从而收敛域为 ( − ∞ , + ∞ ) 。

  例 3

求幂级数 ∑ n = 0 ∞ n ! x n  的收敛半径。

解  因为

ρ = lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ ( n + 1 ) ! n ! = + ∞ ,
所以收敛半径为 R = 0 ，即级数仅在 x = 0  处收敛。

  例 4

求幂级数 ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 x 2 n  的收敛半径。

解  级数缺少奇次幂的项，定理 11－10 不能应用。可根据比值审敛法来求收敛半径。

幂级数的一般项记为 u n ( x ) = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 x 2 n 。因为
lim n → ∞ | u n + 1 ( x ) u n ( x ) | = 4 | x | 2 ,
当 4 | x 2 | < 1  即 | x | < 1 2  时级数收敛；当 4 | x 2 | > 1  即 | x | > 1 2  时级数发散，所以收敛半径为 R = 1 2 。

| 三、幂级数的运算

设幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  及 ∑ n = 0 ∞ b n x n  分别在区间 ( − R , R )  及 ( − R ′ , R ′ )  内收敛，则在 ( − R , R )  与 ( − R ′ , R ′ )  中较小的区间内有
加法： ∑ n = 0 ∞ a n x n + ∑ n = 0 ∞ b n x n = ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) x n 。
减法： ∑ n = 0 ∞ a n x n − ∑ n = 0 ∞ b n x n = ∑ n = 0 ∞ ( a n − b n ) x n 。

关于幂级数的和函数有下列重要性质：

  性质 11－6

幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的和函数 s ( x )  在其收敛域 I  上连续。

  性质 11－7

幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的和函数 s ( x )  在其收敛域 I  上可积，并且有逐项积分公式
∫ 0 x s ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∑ n = 0 ∞ a n t n ) d t = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 ( x ∈ I ) .

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

  性质 11－8

幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n  的和函数 s ( x )  在其收敛区间 ( − R , R )  内可导，并且有逐项求导公式
s ′ ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ′ = ∑ n = 0 ∞ ( a n x n ) ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n − 1 ( | x | < R ) .

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

  例 6

求幂级数 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 x n  的和函数。
解  求得幂级数的收敛域为 [ − 1 , 1 ) 。设和函数为 s ( x ) ，即 s ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 x n ， x ∈ [ − 1 , 1 ) 。显然 s ( 0 ) = 1 。
在 xs ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 x n + 1  的两边求导，得
( xs ( x ) ) ′ = ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 x n + 1 ) ′ = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x .
对上式从 0  到 x  积分，得
xs ( x ) = ∫ 0 x 1 1 − t d t = − ln ( 1 − x ) .
于是，当 x ≠ 0  时，有 s ( x ) = − 1 x ln ( 1 − x ) 。从而
s ( x ) = { − 1 x ln ( 1 − x ) , x ∈ [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) 1 , x = 0 .
提示： 应用公式 ∫ 0 x F ′ ( t ) d t = F ( x ) − F ( 0 ) ，即 F ( x ) = F ( 0 ) + ∫ 0 x F ′ ( t ) d t 。
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n + ⋯ .

| 习题 11－3

  习题 11－3

1. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域。

（1） x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ 。
（2） 1 + x 2 ! + x 2 4 ! + x 3 6 ! + ⋯ 。
（3） 1 2 + x 2 2 + x 2 2 3 + x 3 2 4 + ⋯ 。
（4） 1 − x 5 ⋅ 2 + x 2 5 2 ⋅ 3 − x 3 5 3 ⋅ 4 + ⋯ 。
（5） ∑ n = 1 ∞ ( x − 2 ) n n 2 。
（6） ∑ n = 1 ∞ 2 n ( x + 3 ) 2 n 。

2. 求下列幂级数的和函数并指出和函数的定义域。

（1） ∑ n = 1 ∞ x n n 。  （2） ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 。  （3） ∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n − 1 。

第四节    函数展开成幂级数

| 一、函数展开成幂级数

给定函数 f ( x ) ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 f ( x ) 。如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数 f ( x )  在其收敛区间内能展开成幂级数，而该幂级数在收敛区间内就表达了函数 f ( x ) 。
如果 f ( x )  在点 x 0  的某邻域内具有各阶导数 f ′ ( x ) , f ″ ( x ) , ⋯ , f ( n ) ( x ) , ⋯ ，则当 n → ∞  时， f ( x ) 在点 x 0  的泰勒多项式
p n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + ⋯

成为幂级数

f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + ⋯
这一幂级数称为函数 f ( x )  的泰勒级数。

  定理 11－11

设函数 f ( x )  在点 x 0  的某一邻域 U ( x 0 )  内具有各阶导数，则 f ( x )  在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f ( x )  的泰勒公式中的余项当 n → ∞  时的极限为零，即
lim n → ∞ R n ( x ) = 0 ( x ∈ U ( x 0 ) ) .
在泰勒级数中取 x 0 = 0 ，得
f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + ⋯ ,
此级数为 f ( x )  的麦克劳林级数。
要把函数 f ( x )  展开成 x  的幂级数，可以按照下列步骤进行：
第一步：求出 f ( x )  的各阶导数： f ′ ( x ) , f ″ ( x ) , f ‴ ( x ) , ⋯ , f ( n ) ( x ) , ⋯ 。
第二步：求函数及其各阶导数在 x 0 = 0  处的值： f ′ ( 0 ) , f ″ ( 0 ) , f ‴ ( 0 ) , ⋯ , f ( n ) ( 0 ) , ⋯ 。

第三步：写出幂级数

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + ⋯ ,
并求出收敛半径 R 。
第四步：考察在区间 ( − R , R )  内同时，是否存在极限 R n ( x ) → 0 ( n → ∞ ) ，
是否为零。如果 R n ( x ) → 0 ( n → ∞ ) ，则 f ( x )  在 ( − R , R )  内有展开式。

  例 1

试将函数 f ( x ) = e x  展开成 x  的幂级数。
解  所给函数的各阶导数为 f ( n ) ( x ) = e x ( n = 1 , 2 , ⋯ ) ，因此 f ( n ) ( 0 ) = 1 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) 。得到幂级数
1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + ⋯ ,
该幂级数的收敛半径 R = + ∞ 。
由于对于任何有限的数 x ， ξ （ ξ 介于 0  与 x  之间），有
| R n ( x ) | = | e ξ ( n + 1 ) ! x n + 1 | < e | x | ⋅ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! ,
而 lim n → ∞ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! = 0 ，所以 lim n → ∞ | R n ( x ) | = 0 ，从而有展开式
e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) .

  例 2

将函数 f ( x ) = sin x  展开成 x  的幂级数。

解  因为

f ( n ) ( x ) = sin ( x + n ⋅ π 2 ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) ,
所以 f ( n ) ( 0 )  顺序循环地取 0 , 1 , 0 , − 1 , ⋯ ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) ，于是得级数
x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ .
它的收敛半径 R = + ∞ 。对于任何有限的数 x ， ξ （ ξ 介于 0  与 x  之间），有
| R n ( x ) | = | sin ( ξ + ( n + 1 ) π 2 ) ( n + 1 ) ! x n + 1 | ≤ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! → 0 ( n → ∞ ) .

因此得展开式

sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) .

  例 3

将函数 f ( x ) = ( 1 + x ) m  展开成 x  的幂级数，其中 m  为任意常数。
解   f ( x )  的各阶导数为
f ′ ( x ) = m ( 1 + x ) m − 1 , f ″ ( x ) = m ( m − 1 ) ( 1 + x ) m − 2 ,
f ( n ) ( x ) = m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ⋯ ( m − n + 1 ) ( 1 + x ) m − n ,
所以 f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = m , ⋯ , f ( n ) ( 0 ) = m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ⋯ ( m − n + 1 ) , ⋯   且 R n ( x ) → 0 。于是得幂级数
1 + mx + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n + ⋯ .

  例 4

将函数 f ( x ) = cos x  展开成 x  的幂级数。

解  已知

sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) .

对上式两边求导，得

cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) .

  例 5

将函数 f ( x ) = ln ( 1 + x )  展开成 x  的幂级数。
解  因为 f ′ ( x ) = 1 1 + x ，而 1 1 + x  是收敛的等比级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n ( − 1 < x < 1 )  的和函数
1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯ ,
所以将上式从 0  到 x  逐项积分，得
f ( x ) = ln ( 1 + x ) = ∫ 0 x [ ln ( 1 + t ) ] ′ d t = ∫ 0 x 1 1 + t d t
= ∫ 0 x [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t n ] d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 ( − 1 < x ≤ 1 ) .
上述展开式对 x = 1  也成立，这是因为上式右端的幂级数当 x = 1  时收敛，而 ln ( 1 + x )  在 x = 1  处有定义且连续。

常用展开式小结：

1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯ ( − 1 < x < 1 ) ,
e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) ,
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) ,
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ ( − ∞ < x < + ∞ ) ,
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 + ⋯ ( − 1 < x ≤ 1 ) ,
( 1 + x ) m = 1 + mx + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n + ⋯ ( − 1 < x < 1 ) .

表 11-1  常用函数的麦克劳林展开式

函数 f ( x )

展开式

收敛域

1 1 − x
∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯
( − 1 , 1 )
e x
∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯
( − ∞ , + ∞ )
sin x
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯
( − ∞ , + ∞ )
cos x
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯
( − ∞ , + ∞ )
ln ( 1 + x )
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯
( − 1 , 1 ]
( 1 + x ) m
1 + mx + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n + ⋯
( − 1 , 1 )

| 二、幂级数的展开式的应用

有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似地按要求计算出来。

  例 6

计算 245 5  的近似值（误差不超过 10 − 4 ）。
解  因为 245 5 = 3 5 + 2 5 = 3 ( 1 + 2 3 5 ) 1 / 5 ，所以在二项展开式中取 m = 1 5 ， x = 2 3 5 ，
245 5 = 3 [ 1 + 1 5 ⋅ 2 3 5 − 1 2 ! ⋅ 1 5 ( 1 5 − 1 ) ( 2 3 5 ) 2 + ⋯ ] .
这个级数从第二项起是交错级数，如果取前 n  项和作为 245 5  的近似值，则其误差（也叫做截断误差） | r n | ≤ u n + 1 。可算得
| u 2 | = 3 × 4 × 2 2 2 × 5 2 × 3 10 = 8 25 × 3 9 < 10 − 4 .
为了使误差不超过 10 − 4 ，只要取其前两项作为其近似值即可。于是有
245 5 ≈ 3 ( 1 + 1 5 ⋅ 2 243 ) ≈ 3.0049 .

  例 7

利用 sin x ≈ x − 1 3 ! x 3  求 sin 9 °  的近似值，并估计误差。

解  首先，把角度化成弧度。

9 ° = π 180 × 9 = π 20 ( 弧度 ) ,

从而

sin π 20 ≈ π 20 − 1 3 ! ( π 20 ) 3 .
其次，估计这个近似值的精确度。在 sin x  的幂级数展开式中令 x = π 20 ，得
sin π 20 = π 20 − 1 3 ! ( π 20 ) 3 + 1 5 ! ( π 20 ) 5 − 1 7 ! ( π 20 ) 7 + ⋯ .
等式右端是一个收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少。取它的前两项之和作为 sin π 20  的近似值，其误差为
| r 2 | ≤ 1 5 ! ( π 20 ) 5 < 1 120 ⋅ ( 0.2 ) 5 < 1 300000 .
取 π 20 ≈ 0.157080 ， ( π 20 ) 3 ≈ 0.003876 。
于是得 sin 9 ° ≈ 0.15643 ，这时误差不超过 10 − 5 。

  例 8

计算定积分 2 π ∫ 0 1 2 e − x 2 d x  的近似值，要求误差不超过 10 − 4 （取 1 π ≈ 0.56419 ）。
解  将 e x  的幂级数展开式中的 x  换成 − x 2 ，得到被积函数的幂级数展开式
e − x 2 = 1 + ( − x 2 ) 1 ! + ( − x 2 ) 2 2 ! + ( − x 2 ) 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n ! ( − ∞ < x < + ∞ ) .

于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积，得

2 π ∫ 0 1 2 e − x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 2 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n ! ] d x = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ∫ 0 1 2 x 2 n d x
= 1 π ( 1 − 1 2 2 ⋅ 3 + 1 2 4 ⋅ 5 ⋅ 2 ! − 1 2 6 ⋅ 7 ⋅ 3 ! + ⋯ ) .

前四项的和作为近似值，其误差为

| r 4 | ≤ 1 π 1 2 8 ⋅ 9 ⋅ 4 ! < 1 90000 .

所以

2 π ∫ 0 1 2 e − x 2 d x ≈ 1 π ( 1 − 1 2 2 ⋅ 3 + 1 2 4 ⋅ 5 ⋅ 2 ! − 1 2 6 ⋅ 7 ⋅ 3 ! ) ≈ 0.5205 .

  例 9

计算积分 ∫ 0 0.5 1 1 + x 4 d x  的近似值，要求误差不超过 10 − 4 。

解  因为

1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯ ,

所以

1 1 + x 4 = 1 − x 4 + x 8 − x 12 + ⋯ + ( − 1 ) n x 4 n + ⋯ .

对上式逐项积分，得

∫ 0 0.5 1 1 + x 4 d x = [ x − 1 5 x 5 + 1 9 x 9 − 1 13 x 13 + ⋯ + ( − 1 ) n 4 n + 1 x 4 n + 1 + ⋯ ] 0 0.5
= 0.5 − 1 5 ( 0.5 ) 5 + 1 9 ( 0.5 ) 9 − 1 13 ( 0.5 ) 13 + ⋯ + ( − 1 ) n 4 n + 1 ( 0.5 ) 4 n + 1 + ⋯ .
上面级数为交错级数，所以误差 | r n | < 1 4 n + 1 ( 0.5 ) 4 n + 1 。经试算
1 5 ⋅ ( 0.5 ) 5 ≈ 0.00625 ， 1 9 ⋅ ( 0.5 ) 9 ≈ 0.00022 ， 1 13 ( 0.5 ) 13 ≈ 0.000009 。

所以取前三项计算，即

∫ 0 0.5 1 1 + x 4 d x ≈ 0.50000 − 0.00625 + 0.00022 = 0.49397 ≈ 0.4940 .

| 习题 11－4

  习题 11－4

1. 将下列函数展开成 x  的幂级数，并求展开式成立的区间。
（1） e 2 x 。  （2） ln ( a + x ) ( a > 0 ) 。
（3） a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 。  （4） ( 1 + x ) ln ( 1 + x ) 。

第五节    级数的应用

| 一、级数在经济上的应用

1. 乘子效应

设想联邦政府通过一项消减 100 亿美元税收的法案，假设每个人将花费这笔额外收入的 93%，并把其余的存起来。试估计消减税收对经济活动的总效应。因为消减税收后人们的收入增加了， 0.93 × 100 亿美元将被用于消费。对某些人来说，这些钱变成了额外的收入，它的 93% 又被用于消费，因此又增加了 0.93 2 × 100  亿美元的消费，这些钱的接受者又将花费它的 93%，即又增加了 0.93 3 × 100  亿美元的消费。如此下去，消减税收后所产生的新的消费的总和由下列无穷级数给出：
0.93 × 100 + 0.93 2 × 100 + 0.93 3 × 100 + ⋯ + 0.93 n × 100 + ⋯ .
这是一个首项为 0.93 × 100 ，公比为 0.93  的几何级数，此级数收敛，它的和为
0.93 × 100 1 − 0.93 = 93 0.07 ≈ 1328.6 ( 亿美元 ) .

即消减 100 亿美元的税收将产生的附加的消费大约为 1328.6 亿美元。

此例描述了乘子效应。每人将花费一美元额外收入的比例称作'边际消费倾向'，记为 MPC 。在本例中， MPC = 0.93 ，正如我们上面所讨论的，消减税收后所产生的附加消费的总和为
附加消费的总和 = 100 × 0.93 1 − 0.93 = 消减税额 × MPC 1 − MPC .
消减税额乘以乘子 MPC 1 − MPC  就是它的实际效应。

2. 投资费用问题

设初始投资 p ，年利率为 r ， t 年重复一次投资。这样第一次更新费用的现值为 p e − rt ，第二次更新费用的现值为 p e − 2 rt ，依此类推，投资费用 D  为下列等比数列之和
D = p + p e − rt + p e − 2 rt + ⋯ + p e − nrt + ⋯ = p 1 − e − rt = p e rt e rt − 1 .

  例 1

建钢桥的费用为 380 000 元，每隔 10 年需要油漆一次，每次费用为 40 000 元，桥的期望寿命为 40 年；建造一座木桥的费用为 200 000 元，每隔 2 年需要油漆一次，每次的费用为 20 000 元，其期望寿命为 15 年，若年利率为 10%，问建造哪一种桥较为经济？

解  根据题意，桥的费用包括两部分：建桥费用 + 油漆费用。

对建钢桥 p = 380 000 , r = 0.1 , t = 40 , rt = 0.1 × 40 = 4 。

建钢桥的费用为

D 1 = p + p e − 4 + p e − 2 × 4 + ⋯ + p e − n × 4 + ⋯ = p 1 − e − 4 = p e 4 e 4 − 1 ,
其中 e 4 ≈ 54.598 ，则
D 1 = 380 000 × 54.598 54.598 − 1 ≈ 387 090.8 .

油漆钢桥的费用为

D 2 = 40 000 × e 0.1 × 10 e 0.1 × 10 − 1 ≈ 63 278.8 .

建钢桥的总费用的现值为

D = D 1 + D 2 = 450 369.6 .

类似地，建木桥的费用为

D 3 = 200 000 × e 0.1 × 15 e 0.1 × 15 − 1 ≈ 200 000 × 4.482 4.482 − 1 ≈ 257 440 .

油漆木桥的费用为

D 4 = 20 000 × e 0.1 × 2 e 0.1 × 2 − 1 ≈ 20 000 × 1.2214 1.2214 − 1 ≈ 110 243.8 .

建木桥的总费用的现值为

D = D 3 + D 4 = 367 683.8 .

因此建造木桥较为经济。

现假设价格每年以增长率 i  涨价，年利率为 r ，若某种服务或项目的现在费用为 p 0  时，则 t  年后的费用为 A t = p 0 e it ，其现值为
p t = A t e − rt = p 0 e − ( r − i ) t .
因此在通货膨胀的情况下，计算总费用 D  的等比级数为
D = p + p e − ( r − i ) t + p e − 2 ( r − i ) t + ⋯ + p e − n ( r − i ) t + ⋯ = p 1 − e − ( r − i ) t = p e ( r − i ) t e ( r − i ) t − 1 .

| 二、级数在工程上的应用

在土建工程中，常常遇到关于椭圆周长的计算问题。设有椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ，求它的周长。
把椭圆方程写成参数形式： x = a cos θ , y = b sin θ   ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) 。
记椭圆的离心率为 c ，即 c = 1 a a 2 − b 2 ，则椭圆的弧微分
d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ d θ
= a 2 − ( a 2 − b 2 ) cos 2 θ d θ = a 1 − c 2 cos 2 θ d θ ,

所以椭圆的周长

s = 4 ∫ 0 π 2 d s = 4 a ∫ 0 π 2 1 − c 2 cos 2 θ d θ .
由于 ∫ 1 − c 2 cos 2 θ d θ  不是初等函数，不能直接积分，我们用函数的幂级数展开式推导椭圆周长的近似公式，易得
1 + x = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − ⋯ ( − 1 ≤ x ≤ 1 ) .
又因为 0 ≤ c < 1 ，从而 0 ≤ c cos θ < 1 ( 0 ≤ θ ≤ π 2 ) ，由上式，得
1 − c 2 cos 2 θ ≈ 1 − 1 2 c 2 cos 2 θ .

于是

s = 4 a ∫ 0 π 2 ( 1 − 1 2 c 2 cos 2 θ ) d θ = 4 a ∫ 0 π 2 ( 1 − 1 2 c 2 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = 2 πa ( 1 − c 2 4 ) ,

所以椭圆周长的近似公式为

s ≈ 2 πa ( 1 − c 2 4 ) .

利用上述方法还可推出椭圆周长的幂级数展开式，并由此得出更精确的近似计算公式：

s ≈ 2 πa ( 1 − 1 4 c 2 − 3 64 c 4 ) .

本 章 小 结

  本章小结

一、基本概念

1. 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。

2. 绝对收敛与条件收敛：若 ∑ | u n |  收敛则称 ∑ u n  绝对收敛；若 ∑ u n  收敛但 ∑ | u n |  发散则称条件收敛。绝对收敛必定收敛，反之不然。
3. 幂级数的收敛半径 R 、收敛区间 ( − R , R )  和收敛域的概念。

4. 函数的泰勒级数与麦克劳林级数。

 

二、基本方法（审敛法体系）

1. 收敛的必要条件： ∑ u n 收敛 ⇒   lim n → ∞ u n = 0 （反之不然，如调和级数）。

2. 正项级数：比较审敛法、比较审敛法的极限形式、比值审敛法（达朗贝尔）、根值审敛法（柯西）、极限审敛法。

3. 交错级数：莱布尼茨定理（单调递减趋于零 → 收敛）。

4. 一般级数：先判断是否绝对收敛。

 

三、重要结论与常用基准级数

1. 等比级数 ∑ a q n ： | q | < 1 时收敛于 a 1 − q ， | q | ≥ 1 时发散。
2. p -级数 ∑ 1 n p ： p > 1 时收敛， p ≤ 1 时发散。
3. 调和级数 ∑ 1 n  发散（ p = 1 的特例）。
4. 收敛半径公式： R = lim n → ∞ | a n a n + 1 | 。

5. 幂级数的和函数在收敛域上连续，可逐项求导、逐项积分。

 

四、常用展开公式（五大基本展开式）

e x , sin x , cos x , ln ( 1 + x ) , ( 1 + x ) m  的麦克劳林展开式（详见表 11-1）。

复 习 题 十 一

  复习题十一

1. 选择题。

（1）级数 ∑ u n  的部分和函数 S n  有界是该级数收敛的（　　）。

A. 既不是充分条件也不是必要条件　B. 充分条件但不是必要条件

C. 充分必要条件　D. 必要条件但不是充分条件

 

（2）级数 ∑ n = 1 ∞ 1 q n  收敛的充分必要条件是（　　）。
A. | q | > 1 　B. | q | < 1 　C. q < 1 　D. q = 1
（3）设级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛，则下列结论中正确的是（　　）。
A. lim n → ∞ v n = 0 　B. ∑ n = 1 ∞ | v n |  收敛
C. ∑ n = 1 ∞ k v n ( k ≠ 0 )  收敛　D. ∑ n = 1 ∞ ( v 2 n − 1 + v 2 n )  收敛
（4）设有两个级数 ∑ n = 1 ∞ u n  和 ∑ n = 1 ∞ v n ，则下列结论中正确的是（　　）。
A. 若 u n ≤ v n ，且 ∑ v n  收敛，则 ∑ u n  一定收敛
B. 若 u n ≤ v n ，且 ∑ u n  发散，则 ∑ v n  一定发散
C. 若 0 ≤ u n ≤ v n ，且 ∑ v n  收敛，则 ∑ u n  一定收敛
D. 若 0 ≤ u n ≤ v n ，且 ∑ v n  发散，则 ∑ u n  一定发散
（5）设级数 ∑ n = 1 ∞ v n  收敛，则下列级数中发散的是（　　）。
A. ∑ n = 1 ∞ 5 v n 　B. ∑ n = 1 ∞ ( v n + 1 ) 　C. 1 + ∑ n = 1 ∞ v n 　D. ∑ n = 1 ∞ v n + 50
（6）幂级数 ∑ n = 1 ∞ x n n  的收敛域是（　　）。
A. [ − 1 , 1 ] 　B. ( − 1 , 1 ] 　C. [ − 1 , 1 ) 　D. ( − 1 , 1 )

（7）下列级数中发散的是（　　）。

A. ∑ n = 1 ∞ n 2 n 2 　B. ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 2 n 　C. ∑ n = 1 ∞ n 4 n − 1 　D. ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 1 ln ( n + 2 )
（8）级数 ∑ n = 1 ∞ ( nb n + 1 ) n ( b > 0 ) ，下列结论中正确的是（　　）。
A. b = 1  时，级数发散　B. b > 1  时，级数收敛
C. b > 1  时，级数发散　D. b = 1  时，级数收敛

2. 填空题。

（1）部分和函数 { s n }  有界是正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n  收敛的______条件。
（2）级数 1 1 ⋅ 4 + x 4 ⋅ 7 + x 2 7 ⋅ 10 + x 3 10 ⋅ 13 + ⋯  的通项是______。
（3）对级数 ∑ n = 1 ∞ u n ， lim n → ∞ u n = 0 是它收敛的______条件，不是它收敛的______条件。
（4）若级数 ∑ n = 1 ∞ u n  绝对收敛，则级数 ∑ u n  必定______，若级数 ∑ u n  条件收敛，则级数 ∑ | u n |  必定______。

3. 判定下列级数的收敛性。

（1） ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ n n 。  （2） ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 2 3 n 2 。  （3） ∑ n = 1 ∞ n cos 2 nπ 2 3 n 。
4. 设级数 ∑ u n  收敛，且 lim n → ∞ v n u n = 1 。问级数 ∑ v n  是否也收敛？试说明理由。

5. 求下列幂级数的收敛区间。

（1） ∑ n = 1 ∞ 3 n + 5 n n x n 。  （2） ∑ n = 1 ∞ n 3 n x 2 n 。

6. 用级数展开法近似计算下列各值（计算前三项）。

（1） e 。  （2） 1.2 5 。  （3） sin 18 ° 。

7. 概念辨析题。

（1）若 ∑ u n  收敛， ∑ v n 发散，问 ∑ ( u n + v n )  是否一定发散？试证明之。
（2）若 ∑ u n  和 ∑ v n  都发散，问 ∑ ( u n + v n )  是否一定发散？举例说明。
（3）若 ∑ u n 2  收敛，问 ∑ u n  是否一定收敛？若 ∑ u n  绝对收敛，问 ∑ u n 2  是否一定收敛？
（4）若 ∑ ( − 1 ) n a n  收敛，且 a n > 0 ，问 ∑ a n  是否一定收敛？

8. 综合题。

（1）求幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n  的和函数。
（2）将函数 f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2  展开成 x  的幂级数，并指出展开式成立的区间。
（3）利用幂级数求级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ 2 n  的和。

| 复习题十一  参考答案与详细解析

  第 1 题  选择题解析

1. 选择题解析

 

（1）答案：D

对一般级数而言， S n 有界只是必要条件而非充分条件。例如交错级数 ∑ ( − 1 ) n  的部分和 S n  在 0  与 − 1  之间振荡（有界），但级数发散。然而对于正项级数， S n 有界才是收敛的充要条件（定理 11－1）。此题未限定正项级数，故 S n  有界是必要条件但不是充分条件。

（2）答案：A

级数 ∑ n = 1 ∞ 1 q n = ∑ n = 1 ∞ ( 1 q ) n  是以 1 q  为公比的等比级数。等比级数收敛的充要条件是公比的绝对值小于 1 ，即 | 1 q | < 1 ，即 | q | > 1 。

（3）答案：A、C、D

A 正确：收敛级数的必要条件是通项趋于零（性质 11－5）。

B 错误： ∑ v n 收敛不能推出 ∑ | v n |  收敛，例如 ∑ ( − 1 ) n − 1 n  条件收敛。

C 正确：收敛级数各项乘以常数后仍收敛（性质 11－1）。

D 正确：收敛级数加括号后仍收敛且和不变（性质 11－4）。

 

（4）答案：C

A 错误： u n 可能为负数，比较审敛法要求非负。
B 错误：同理， u n 可能为负。
C 正确：这正是比较审敛法（定理 11－2）的内容，条件 0 ≤ u n ≤ v n  保证了正项级数的要求。
D 错误：大级数发散不能推出小级数发散。例如 u n = 1 n 2 ， v n = 1 n ，有 0 ≤ u n ≤ v n ， ∑ v n 发散但 ∑ u n  收敛。

（5）答案：B

设 ∑ v n  收敛于 s ，则：
A： ∑ 5 v n = 5 s ，收敛。
B： ∑ ( v n + 1 ) 的通项 v n + 1 → 0 + 1 = 1 ≠ 0 ，不满足收敛的必要条件，故发散。
C： 1 + ∑ v n = 1 + s ，只是和加了一个常数，收敛。

D：去掉有限项不影响收敛性，收敛。

 

（6）答案：C

收敛半径： ρ = lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ n n + 1 = 1 ，故 R = 1 ，收敛区间为 ( − 1 , 1 ) 。
验端点： x = 1 时， ∑ 1 n （调和级数）发散。 x = − 1 时， ∑ ( − 1 ) n n （莱布尼茨交错级数）收敛。
故收敛域为 [ − 1 , 1 ) 。

（7）答案：C

C： ∑ n 4 n − 1 的通项 n 4 n − 1 → 1 4 ≠ 0 ，不满足收敛必要条件，发散。
A：用比值法， lim u n + 1 u n = lim n + 1 n ⋅ 1 2 1 / 2 = 1 2 < 1 ，收敛。
B：公比 | q | = 1 2 < 1  的等比级数，收敛。
D： 1 ln ( n + 2 ) 单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知收敛。

（8）答案：C

用根值审敛法： u n n = nb n + 1 = b 1 + 1 / n → b 。
当 b < 1  时 ρ = b < 1 ，收敛；当 b > 1  时 ρ = b > 1 ，发散。
当 b = 1  时 ρ = 1 ，根值法失效。此时 u n = ( n n + 1 ) n = 1 ( 1 + 1 / n ) n → 1 e ≠ 0 ，不满足收敛必要条件，发散。
综上： b > 1 时发散，选 C。

  第 2 题  填空题解析

2. 填空题解析

 

（1）答案：充分必要

题目限定了正项级数。由定理 11－1，正项级数 ∑ u n  收敛的充要条件是其部分和数列 { s n }  有界。
（2）答案： u n = x n − 1 ( 3 n − 2 ) ( 3 n + 1 )   ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ )
观察规律：分子为 1 , x , x 2 , x 3 , ⋯ ，即 x n − 1 。分母依次为 1 ⋅ 4 , 4 ⋅ 7 , 7 ⋅ 10 , 10 ⋅ 13 , ⋯ ，是两个公差为 3  的等差数列之积，第 n  项分母为 ( 3 n − 2 ) ( 3 n + 1 ) 。

（3）答案：必要，充分

lim u n = 0  是收敛的必要条件（性质 11－5），但不是充分条件（反例：调和级数 ∑ 1 n ，通项趋于零但级数发散）。

（4）答案：收敛，发散

绝对收敛必定收敛（定理 11－8）。条件收敛是指 ∑ u n  收敛但 ∑ | u n |  发散，故 ∑ | u n |  必定发散。

  第 3 题  收敛性判定解析

3. 判定级数收敛性解析

 

（1） ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ n n   → 发散
因为 n n → 1 （ n → ∞ ），所以 lim n → ∞ 1 n ⋅ n n 1 n = lim n → ∞ 1 n n = 1 。
由极限比较法（定理 11－3），该级数与调和级数 ∑ 1 n  同敛散，故发散。
（2） ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 2 3 n 2   → 发散
通项 u n = ( n ! ) 2 3 n 2 。当 n ≥ 3  时， ( n ! ) 2 ≥ ( 3 ! ) 2 ⋅ 4 2 ( n − 3 ) = 36 ⋅ 16 n − 3 （粗略估计），增长远快于 3 n 2 。
更直接地， lim n → ∞ u n = lim n → ∞ ( n ! ) 2 3 n 2 = + ∞ ≠ 0 ，不满足收敛的必要条件，故发散。
（3） ∑ n = 1 ∞ n cos 2 nπ 2 3 n   → 收敛
注意： cos 2 nπ 2 的取值规律为： n = 1 时 cos 2 π 2 = 0 ； n = 2 时 cos 2 π = 1 ； n = 3 时 cos 2 3 π 2 = 0 ； n = 4 时 cos 2 2 π = 1 ；……
即奇数项为 0 ，偶数项为 1 。所以原级数 = ∑ k = 1 ∞ 2 k 3 2 k = ∑ k = 1 ∞ 2 k 9 k 。
用比值法： lim k → ∞ u k + 1 u k = lim k → ∞ 2 ( k + 1 ) 9 k + 1 ⋅ 9 k 2 k = 1 9 lim k → ∞ k + 1 k = 1 9 < 1 ，收敛。

  第 4 题  解析

4. 解析

 

答案：不一定收敛。

 

虽然 lim n → ∞ v n u n = 1 ，但不能直接推出 ∑ v n  收敛。
原因分析： 极限比较法（定理 11－3）要求两个级数都是正项级数。如果 ∑ u n  是条件收敛的（含正负项），则该定理不适用。
反例： 取 u n = ( − 1 ) n n ， v n = ( − 1 ) n n + 1 n 。
则 ∑ u n  收敛（莱布尼茨定理）， lim n → ∞ v n u n = lim n → ∞ ( 1 + n ( − 1 ) n n ) = lim n → ∞ ( 1 + ( − 1 ) n n ) = 1 。
但 ∑ v n = ∑ ( − 1 ) n n + ∑ 1 n 。前者收敛，后者（调和级数）发散，故 ∑ v n  发散。
补充： 若额外条件 ∑ u n  是正项级数且绝对收敛，则由极限比较法可知 ∑ v n  也收敛。

  第 5 题  幂级数收敛区间解析

5. 幂级数收敛区间解析

 

（1） ∑ n = 1 ∞ 3 n + 5 n n x n
当 n  充分大时， 3 n + 5 n ∼ 5 n （ 5 n 为主项），所以
ρ = lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ 3 n + 1 + 5 n + 1 n + 1 ⋅ n 3 n + 5 n = 5 ⋅ lim n → ∞ n n + 1 ⋅ ( 3 / 5 ) n + 1 + 1 ( 3 / 5 ) n + 1 = 5 .
故 R = 1 5 ，收敛区间为 ( − 1 5 , 1 5 ) 。
验端点： x = 1 5 时， ∑ ( 3 / 5 ) n + 1 n ，因 1 n  发散且 ( 3 / 5 ) n + 1 > 1 ，发散。 x = − 1 5 时， ∑ ( − 1 ) n [ ( 3 / 5 ) n + 1 ] n ，由于 ( 3 / 5 ) n + 1 → 1 ，不单调趋于零地快，需进一步分析： ∑ ( − 1 ) n n 收敛， ∑ ( − 1 ) n ( 3 / 5 ) n n 绝对收敛，故 x = − 1 5  时收敛。
收敛域为 [ − 1 5 , 1 5 ) 。
（2） ∑ n = 1 ∞ n 3 n x 2 n
令 t = x 2 ，则级数变为 ∑ n = 1 ∞ n 3 n t n 。
ρ = lim n → ∞ n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n n = 1 3 lim n → ∞ n + 1 n = 1 3 .
对 t  的收敛半径 R t = 3 ，即 | t | < 3 ，即 | x 2 | < 3 ，即 | x | < 3 。
验端点： x 2 = 3 （即 x = ± 3 ）时， ∑ n 3 n ⋅ 3 n = ∑ n → ∞ ，发散。
收敛区间为 ( − 3 , 3 ) 。

  第 6 题  近似计算解析

6. 级数展开法近似计算解析

 

（1） e = e 1 / 2
利用 e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ ，令 x = 1 2 ：
e = 1 + 1 2 + 1 2 ! ⋅ 1 4 + 1 3 ! ⋅ 1 8 + ⋯ = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.02083 + ⋯
取前三项： e ≈ 1 + 0.5 + 0.125 = 1.625 。（精确值约 1.6487 ）
（2） 1.2 5 = ( 1 + 0.2 ) 1 / 5
利用 ( 1 + x ) m = 1 + mx + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ ，令 m = 1 5 ， x = 0.2 ：
1.2 5 = 1 + 1 5 ( 0.2 ) + 1 5 ( 1 5 − 1 ) 2 ! ( 0.2 ) 2 + ⋯
= 1 + 0.04 + 1 5 ⋅ ( − 4 5 ) 2 ( 0.04 ) + ⋯ = 1 + 0.04 − 0.0032 + ⋯
取前三项： 1.2 5 ≈ 1 + 0.04 − 0.0032 = 1.0368 。（精确值约 1.0371 ）
（3） sin 18 °
先化弧度： 18 ° = π 10 ≈ 0.31416 。
利用 sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ ，令 x = π 10 ：
sin π 10 ≈ 0.31416 − ( 0.31416 ) 3 6 + ( 0.31416 ) 5 120
≈ 0.31416 − 0.00517 + 0.00003 = 0.30902 .
取前三项： sin 18 ° ≈ 0.30902 。（精确值为 5 − 1 4 ≈ 0.30902 ）

  第 7 题  概念辨析解析

7. 概念辨析题解析

 

（1）答案：一定发散。

证明： 反证法。假设 ∑ ( u n + v n )  收敛，又已知 ∑ u n  收敛，则由性质 11－2， ∑ [ ( u n + v n ) − u n ] = ∑ v n 也收敛，与已知 ∑ v n  发散矛盾。故 ∑ ( u n + v n )  必定发散。

（2）答案：不一定发散。

反例： 取 u n = 1 ， v n = − 1 ，则 ∑ u n  和 ∑ v n  都发散，但 ∑ ( u n + v n ) = ∑ 0 = 0  收敛。
再如 u n = 1 n ， v n = − 1 n ，同理。

（3）答案：第一问不一定；第二问一定。

第一问反例： u n = ( − 1 ) n n ，则 u n 2 = 1 n ， ∑ 1 n 发散——等等，这说明 ∑ u n 2  不收敛。换一个： u n = 1 n ，则 ∑ u n 2 = ∑ 1 n 2  收敛，但 ∑ u n = ∑ 1 n  发散。故 ∑ u n 2  收敛推不出 ∑ u n  收敛。
第二问： ∑ u n 绝对收敛，即 ∑ | u n |  收敛。因为 | u n | → 0 ，当 n  充分大时 | u n | < 1 ，从而 u n 2 = | u n | 2 ≤ | u n | 。由比较审敛法， ∑ u n 2 收敛。

（4）答案：不一定收敛。

反例： 取 a n = 1 n ，则 ∑ ( − 1 ) n 1 n  收敛（莱布尼茨定理），且 a n > 0 ，但 ∑ a n = ∑ 1 n （调和级数）发散。这正是条件收敛的典型例子。

  第 8 题  综合题解析

8. 综合题解析

 

（1） 求 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n  的和函数。
解  收敛域为 ( − 1 , 1 ] （同第 1 题第 6 小题分析）。设 s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n ， x ∈ ( − 1 , 1 ] 。
对 s ( x )  逐项求导：
s ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − x ) n = 1 1 + x ( | x | < 1 ) .
由 s ( 0 ) = 0 ，对 s ′ ( x )  从 0  到 x  积分：
s ( x ) = ∫ 0 x 1 1 + t d t = ln ( 1 + x ) ( x ∈ ( − 1 , 1 ] ) .
当 x = 1  时， s ( 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n = ln 2 （由和函数的连续性或直接计算可得）。
故 s ( x ) = ln ( 1 + x ) ， x ∈ ( − 1 , 1 ] 。
（2） 将 f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2  展开成 x  的幂级数。
解  已知 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ ， x ∈ ( − 1 , 1 ) 。

对上式两边求导：

− 1 ( 1 + x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n x n − 1 = − 1 + 2 x − 3 x 2 + 4 x 3 − ⋯
两边乘以 − 1 ：
1 ( 1 + x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) x n = 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯
展开式成立的区间为 ( − 1 , 1 ) 。
（3） 利用幂级数求 ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ 2 n  的和。
解  已知 ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ ， x ∈ ( − 1 , 1 ] 。
在上式中令 x = 1 ，得 ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ （这不是我们要的形式）。
换一种方式：注意到 − ln ( 1 − x ) = ∑ n = 1 ∞ x n n = x + x 2 2 + x 3 3 + ⋯ ， x ∈ [ − 1 , 1 ) 。
令 x = 1 2 ：
∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ 2 n = − ln ( 1 − 1 2 ) = − ln 1 2 = ln 2 .
故 ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ 2 n = ln 2 ≈ 0.6931 。