第 12 章

二重积分

曲顶柱体 · 累次积分 · 极坐标法

第一节    二重积分的概念与性质

| 一、二重积分的概念

1. 曲顶柱体的体积

设有一空间立体 Ω ，它的底是 xOy  面上的有界区域 D ，它的侧面是以 D  的边界曲线为准线、母线平行于 z  轴的柱面，它的顶是曲面 z = f ( x , y ) ，称这种立体为曲顶柱体（图 12－1）。

图 12-1  曲顶柱体

与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积 V ：
（1）用任意一组曲线网将区域 D  分成 n  个小区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , ⋯ , Δ σ n ，以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于 z  轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体 Ω  分划成 n  个小曲顶柱体 Δ Ω 1 , Δ Ω 2 , ⋯ , Δ Ω n （假设 Δ σ i  所对应的小曲顶柱体为 Δ Ω i ，这里 Δ σ i  既代表第 i  个小区域，又表示它的面积值， Δ Ω i 既代表第 i  个小曲顶柱体，又代表它的体积值），从而 V = ∑ i = 1 n Δ Ω i （图 12－2）。

图 12-2  曲顶柱体分割

（2）由于 f ( x , y )  连续，对于同一个小区域来说，函数值的变化不大。因此，可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体，于是
Δ Ω i ≈ f ( ξ i , η i ) Δ σ i ( ∀ ( ξ i , η i ) ∈ Δ σ i ) .

（3）整个曲顶柱体的体积近似值为

V ≈ ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i .
（4）为得到 V  的精确值，只需让这 n  个小区域越来越小，即让每个小区域向某点收缩。为此，我们引入区域直径的概念：

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域的直径趋向于零。

设 n  个小区域直径中的最大者为 λ ，则
V = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i , ∀ ( ξ i , η i ) ∈ Δ σ i .

2. 二重积分的定义

  定义 1  二重积分

定义 1  设 f ( x , y )  是闭区域 D  上的有界函数，将区域 D  分成 n  个小区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , ⋯ , Δ σ n ，其中 Δ σ i  既表示第 i  个小区域，也表示它的面积， λ i 表示它的直径。
λ = max 1 ≤ i ≤ n { λ i } , ∀ ( ξ i , η i ) ∈ Δ σ i .
作乘积 f ( ξ i , η i ) Δ σ i  （ i = 1 , 2 , ⋯ , n ）。
作和式 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i 。
若极限 lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i  存在，则称此极限值为函数 f ( x , y )  在区域 D  上的二重积分，记作 ∬ D f ( x , y ) d σ ，即
∬ D f ( x , y ) d σ = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i .
其中， f ( x , y ) 称之为被积函数， f ( x , y ) d σ 称之为被积表达式， d σ 称之为面积元素， x , y 称之为积分变量， D 称之为积分区域。

| 二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质。

  性质 1

性质 1（线性性质）

∬ D [ αf ( x , y ) + βg ( x , y ) ] d σ = α ∬ D f ( x , y ) d σ + β ∬ D g ( x , y ) d σ .

  性质 2

性质 2（区域可加性）若区域 D  分为两个部分区域 D 1 , D 2 ，则
∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D 1 f ( x , y ) d σ + ∬ D 2 f ( x , y ) d σ .

图 12-3  区域可加性示意

  性质 3

性质 3  若在 D  上， f ( x , y ) ≡ 1 ， σ 为区域 D  的面积，则
σ = ∬ D 1 d σ = ∬ D d σ .
几何意义：高为 1  的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

  性质 4

性质 4（保序性）若在 D  上， f ( x , y ) ≤ φ ( x , y ) ，则有不等式
∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D φ ( x , y ) d σ .
特别地，由于 − | f ( x , y ) | ≤ f ( x , y ) ≤ | f ( x , y ) | ，有
| ∬ D f ( x , y ) d σ | ≤ ∬ D | f ( x , y ) | d σ .

  性质 5

性质 5（估值不等式）设 M 、 m 分别是 f ( x , y )  在 D  上的最大值和最小值， σ 为 D  的面积，则
mσ ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ Mσ .

  性质 6

性质 6（中值定理）设 f ( x , y )  在闭区域 D  上连续， σ 为 D  的面积，则至少存在一点 ( ξ , η ) ∈ D ，使
∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) ⋅ σ .

| 习题 12 － 1

  习题 12 － 1（原题）

一、填空题

1.（1）当函数 f ( x , y )  在闭区域 D  上 ______ 时，则其在 D  上的二重积分必定存在。
（2）二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ  的几何意义是 ______。
（3）若 f ( x , y )  在有界闭区域 D  上可积，且 f ( x , y ) ≥ 0 ，当 D 1 ⊂ D  时，则 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ  ______ ∬ D f ( x , y ) d σ ；当 D ⊂ D 1  时，则 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ  ______ ∬ D f ( x , y ) d σ 。
（4） ∬ D | f ( x , y ) | d σ ______ | ∬ D f ( x , y ) d σ | ，其中 D  是圆域 x 2 + y 2 ≤ R 2  的面积， f ( x , y ) 可积。（注：填比较大小符号）

二、比较下列积分的大小

2.（1） ∬ D ( x + y ) d σ 与 ∬ D ( x + y ) 2 d σ ，其中 D  是由 x  轴、 y 轴与直线 x + y = 1  所围成的区域。
（2） ∬ D x y d σ 与 ∬ D x 2 y 2 d σ ，其中 D ： 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 。

三、估计下列积分的值

3.（1） ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ ，其中 D ： 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 。
（2） ∬ D x 2 + y 2 d σ ，其中 D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 。

四、求二重积分

4. 求二重积分 ∬ D R 2 − x 2 − y 2 d σ ，其中 D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 。

五、证明

5. 利用二重积分定义证明 ∬ D k f ( x , y ) d σ = k ∬ D f ( x , y ) d σ （ k 为常数）。

  习题 12－1 详细解析

一、填空题解析

1.（1）答案：连续。

【指导】由定理， f ( x , y ) 在有界闭区域 D  上连续 ⇒   f ( x , y )  在 D  上可积。连续是可积的充分条件。
（2）答案：以 D  为底、曲面 z = f ( x , y )  为顶的曲顶柱体的（代数）体积。
【指导】 f ≥ 0 时为正体积； f < 0 时结果为负；一般情形为代数体积。
（3）答案： ≤ ； ≥ 。
【指导】 f ( x , y ) ≥ 0 。当 D 1 ⊂ D  时， D 比 D 1  多出的区域上 f ≥ 0 ，故 ∬ D 1 ≤ ∬ D ❑ 。当 D ⊂ D 1  时，多出区域贡献 ≥ 0 ，故 ∬ D 1 ≥ ∬ D ❑ 。
（4）答案： ≥ 。
【指导】绝对值不等式： | ∬ D f d σ | ≤ ∬ D | f | d σ 。

二、比较题解析

2.（1） ∬ D ( x + y ) 2 d σ ≤ ∬ D ( x + y ) d σ 。
【指导】 D 中 0 ≤ x + y ≤ 1 ，令 t = x + y ，则 t 2 ≤ t （当 0 ≤ t ≤ 1 ），故 ( x + y ) 2 ≤ ( x + y )  在 D  上成立，由保序性得 ∬ D ( x + y ) 2 ≤ ∬ D ( x + y ) 。
（2） ∬ D x y d σ ≥ ∬ D x 2 y 2 d σ 。
【指导】 D 中 0 ≤ xy ≤ 1 ，故 x 2 y 2 ≤ xy ，当 0 ≤ xy ≤ 1  时成立，因此 ∬ D x 2 y 2 ≤ ∬ D x y 。

三、估值题解析

3.（1） D 上 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ，最小值 m = 1 （内圆上），最大值 M = 4 （外圆上）。面积 σ = π ( 4 − 1 ) = 3 π 。故
3 π ≤ ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ ≤ 12 π .
（2） D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 。 x 2 + y 2 的最小值 0 （原点处），最大值 R 。面积 σ = π R 2 。故
0 ≤ ∬ D x 2 + y 2 d σ ≤ π R 3 .

四、求二重积分解析

4. ∬ D R 2 − x 2 − y 2 d σ  是上半球面 z = R 2 − x 2 − y 2 （ z ≥ 0 ）下方的体积。积分等于半球体积：
∬ D R 2 − x 2 − y 2 d σ = 2 3 π R 3 .
也可用极坐标计算： ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R R 2 − r 2 r d r = 2 3 π R 3 。

五、证明

5. 由二重积分定义：

∬ D k f ( x , y ) d σ = lim λ → 0 ∑ i = 1 n k f ( ξ i , η i ) Δ σ i = k lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = k ∬ D f ( x , y ) d σ .

其中第二步利用了极限的常数因子法则。证毕。

第二节    二重积分的计算

| 一、利用直角坐标系计算二重积分

当被积函数 f ( x , y ) ≥ 0  时，二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ  的值等于以 D  为底、以曲面 z = f ( x , y )  为顶的曲顶柱体的体积 V 。下面我们用"切片法"来求曲顶柱体的体积 V 。
设积分区域 D  是由两条平行直线 x = a ， x = b 及两条连续曲线 y = φ 1 ( x ) ， y = φ 2 ( x ) （图 12－4）所围成的区域，其中 a < b ， φ 1 ( x ) < φ 2 ( x ) ，则 D  可表示为
D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) } .

图 12-4  X 型区域

用平行于 yOz  坐标面的平面 x = x 0 （ a ≤ x 0 ≤ b ）去截这个曲顶柱体，我们可以得到一截面，它是一个以区间 [ φ 1 ( x 0 ) , φ 2 ( x 0 ) ]  为底、以 z = f ( x 0 , y )  为曲边的曲边梯形（图 12－5），所以这截面的面积为
A ( x 0 ) = ∫ φ 1 ( x 0 ) φ 2 ( x 0 ) f ( x 0 , y ) d y .

图 12-5  切片法示意图

若积分区域 D  可用不等式组表示为
a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) ,
选 x  为积分变量， x ∈ [ a , b ] ，任取小区间 [ x , x + d x ] ⊂ [ a , b ] 。设 A ( x )  表示过点 x  垂直 x  轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以 A ( x )  为底、 d x 为高的柱体的体积，即体积元素
d V = A ( x ) d x .
该截面是一个以区间 [ φ 1 ( x ) , φ 2 ( x ) ]  为底边、以曲线 z = f ( x , y ) （ x 固定）为曲边的曲边梯形，因此
A ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ,

所以

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ a b [ ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ] d x ,

即

∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y .
由此看到，二重积分的计算可化为两个二次积分来计算。第一次积分时，把 x  看作常数，对变量 y  积分；第二次是对变量 x  积分。这种先对一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分（或二次积分）。上式也称为先积 y  后积 x  的累次积分公式，通常写成

  累次积分公式（先 y 后 x）

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y .     (1)
同理，若积分区域 D  可用不等式组表示为
c ≤ y ≤ d , φ 1 ( y ) ≤ x ≤ φ 2 ( y ) ,
则二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ  可化为先 x  后 y  的累次积分

  累次积分公式（先 x 后 y）

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ φ 1 ( y ) φ 2 ( y ) f ( x , y ) d x .

图 12-6  Y 型区域

  口诀

积分次序转化口诀：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。

以后我们称图 12－4 所示的积分区域（有两条边垂直于 x  轴）为 X 型区域，图 12－6 所示的积分区域（有两条边垂直于 y  轴）为 Y 型区域。把二重积分化为累次积分的关键，是根据所给出的积分区域 D ，定出两次积分的上下限。计算二重积分的一般步骤是：
第一步：在平面直角坐标下，画出积分区域 D  的图形；
第二步：根据区域 D  的图形，判断它是哪种类型的区域，然后将区域 D  用不等式组表示出来；

第三步：根据上述的不等式组，将二重积分化为累次积分；

第四步：计算累次积分。

如果一个区域既不是 X 型也不是 Y 型，一般可以通过分割，将其化为几个 X 型或 Y 型区域之和（图 12－7）。

图 12-7  区域分解

  例 1

计算二重积分 ∬ D x y d σ ，其中 D  为直线 y = x  与抛物线 y = x 2  所包围的闭区域。

  例 1 解

解  画出区域 D  的图形，求出 y = x  与 y = x 2  两条曲线的交点，它们是 ( 0 , 0 )  及 ( 1 , 1 ) 。区域 D （图 12－8）可表示为：
0 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ x .
∬ D x y d σ = ∫ 0 1 x d x ∫ x 2 x y d y = ∫ 0 1 ( x 2 y 2 ) | x 2 x d x
= 1 2 ∫ 0 1 ( x 3 − x 5 ) d x = 1 2 [ x 4 4 − x 6 6 ] 0 1 = 1 2 ( 1 4 − 1 6 ) = 1 24 .

图 12-8  例 1 的积分区域

  例 2

计算二重积分 ∬ D y 1 + x 2 − y 2 d σ ，其中 D  是由直线 y = x ， x = − 1 和 y = 1  所围成的闭区域。

  例 2 解

解  画出积分区域 D ，易知 D ： − 1 ≤ x ≤ 1 ， x ≤ y ≤ 1 （图 12－9）。
∬ D y 1 + x 2 − y 2 d σ = ∫ − 1 1 ∫ x 1 y 1 + x 2 − y 2 d y d x
对内层积分，令 u = 1 + x 2 − y 2 ，则 d u = − 2 y d y ，即 y d y = − 1 2 d u ，因此
= − 1 3 ∫ − 1 1 [ ( 1 + x 2 − y 2 ) 3 2 ] y = x y = 1 d x
= − 1 3 ∫ − 1 1 [ ( x 2 ) 3 2 − ( 1 + x 2 − x 2 ) 3 2 ] d x = − 1 3 ∫ − 1 1 ( | x | 3 − 1 ) d x
= 1 3 ∫ − 1 1 ( 1 − | x | 3 ) d x = 2 3 ∫ 0 1 ( 1 − x 3 ) d x = 2 3 [ x − x 4 4 ] 0 1 = 2 3 ⋅ 3 4 = 1 2 .

图 12-9  例 2 的积分区域

  例 3

计算二重积分 ∬ D x 2 y 2 d σ ，其中 D  是直线 y = 2 ， y = x 和双曲线 xy = 1  所围成的闭区域。

  例 3 解

解  求得三线的三个交点分别是 ( 1 2 , 2 ) ， ( 1 , 1 ) 及 ( 2 , 2 ) 。
如果先对 y  积分，那么当 1 2 ≤ x ≤ 1  时， y 的下限是双曲线 y = 1 x ，而当 1 ≤ x ≤ 2  时， y 的下限是直线 y = x ，因此需要用直线 x = 1  把区域 D  分为 D 1  和 D 2  两部分（图 12－10）。
D 1 : 1 2 ≤ x ≤ 1 , 1 x ≤ y ≤ 2 ; D 2 : 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2 .

于是

∬ D x 2 y 2 d σ = ∫ 1 2 1 d x ∫ 1 x 2 x 2 y 2 d y + ∫ 1 2 d x ∫ x 2 x 2 y 2 d y
= ∫ 1 2 1 [ − x 2 y ] 1 x 2 d x + ∫ 1 2 [ − x 2 y ] x 2 d x
= ∫ 1 2 1 ( x 3 − x 2 2 ) d x + ∫ 1 2 ( x − x 2 2 ) d x
= [ x 4 4 − x 3 6 ] 1 2 1 + [ x 2 2 − x 3 6 ] 1 2 = 27 64 .
如果先对 x  积分，那么 D ： 1 ≤ y ≤ 2 ， 1 y ≤ x ≤ y ，于是
∬ D x 2 y 2 d σ = ∫ 1 2 d y ∫ 1 y y x 2 y 2 d x = ∫ 1 2 [ x 3 3 y 2 ] 1 y y d y
= ∫ 1 2 [ y 3 − 1 3 y 5 ] d y = [ y 2 6 + 1 12 y 4 ] 1 2 = 27 64 .

图 12-10  例 3 的积分区域

  例 4

设 f ( x , y )  连续，求证
∫ a b d x ∫ a x f ( x , y ) d y = ∫ a b d y ∫ y b f ( x , y ) d x .

  例 4 证明

证明  上式左端可表为

∫ a b d x ∫ a x f ( x , y ) d y = ∬ D f ( x , y ) d σ ,
其中 D ： a ≤ x ≤ b ， a ≤ y ≤ x （图 12－12）。区域 D  也可表为： a ≤ y ≤ b ， y ≤ x ≤ b ，于是改变积分次序，可得
∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d y ∫ y b f ( x , y ) d x .

由此可得所要证明的等式。

图 12-12  例 4 的积分区域

| 二、利用极坐标计算二重积分

在极坐标中 x = r cos θ ， y = r sin θ ，面积元素 d σ = r d r d θ 。
设积分区域 D  用极坐标表示为
α ≤ θ ≤ β , r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ ) ,

则

  极坐标下的二重积分公式

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r .
注意：面积微元 d A = r d r d θ ，别忘了乘 r ！
适用场景：积分区域为圆域、扇形，或被积函数含 x 2 + y 2 、 y x 等形式时，宜用极坐标计算。

| 习题 12 － 2

  习题 12 － 2（原题）

一、填空题

1.（1） ∬ D ( x 3 + 3 x 2 y + y 3 ) d σ = ______，其中 D ： 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 。
（2） ∬ D x cos ( x + y ) d σ = ______，其中 D ：顶点分别为 ( 0 , 0 ) ， ( π , 0 ) ， ( π , π ) 的三角形闭区域。
（3）将二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ ，其中 D  是由 x  轴及上半圆周 x 2 + y 2 = r 2 （ y ≥ 0 ）所围成的闭区域，化为先 y  后 x  的积分，应为 ______。
（4）将二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ ，其中 D  是由直线 y = x ， x = 2 及双曲线 y = 1 x （ x > 0 ）所围成的闭区域，化为先 x  后 y  的积分，应为 ______。
（5）将二次积分 ∫ 1 2 d x ∫ 2 − x 3 ( 1 − x 2 ) f ( x , y ) d y  改换积分次序，应为 ______。
（6）将二次积分 ∫ 0 π d x ∫ − sin x 2 sin x f ( x , y ) d y  改换积分次序，应为 ______。
（7）将二次积分 ∫ e − 2 1 d y ∫ − ln y 2 f ( x , y ) d x + ∫ 1 1 + e d y ∫ ( y − 1 ) 2 2 f ( x , y ) d x  改换积分次序，应为 ______。
（8）将二次积分 ∫ 0 1 d y ∫ 0 2 y f ( x , y ) d x + ∫ 1 3 d y ∫ 0 3 − y f ( x , y ) d x  改换积分次序，应为 ______。

二、计算下列二重积分

2.（1） ∬ D x y e x 2 + y 2 d σ ，其中 D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d } 。
（2） ∬ D 1 x 2 + y 2 d x d y ，其中 D  是由曲线 y = x 2  与直线 y = x  所围成的闭区域。
（3） ∬ D R 2 − x 2 − y 2 d σ ，其中 D  是由圆周 x 2 + y 2 = Rx  所围成的闭区域。
（4） ∬ D | x 2 + y 2 − 2 | d σ ，其中 D ： x 2 + y 2 ≤ 3 。
3. 计算二重积分 ∬ D ( y − x ) 2 d σ ，其中 D  由不等式 y ≤ R + x ， x 2 + y 2 ≤ R 2 ， y ≥ 0 确定（注意选用适当的坐标）。
4. 计算以 xOy  面上的圆周 x 2 + y 2 = ax （ a > 0 ）围成的区域为底，而以曲面 z = x 2 + y 2  为顶的曲顶柱体的体积。

  习题 12－2 详细解析

一、填空题解析

1.（1）答案： 1 。

【指导】直接化为累次积分：

∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( x 3 + 3 x 2 y + y 3 ) d y = ∫ 0 1 [ x 3 y + 3 2 x 2 y 2 + y 4 4 ] 0 1 d x
= ∫ 0 1 ( x 3 + 3 2 x 2 + 1 4 ) d x = [ x 4 4 + x 3 2 + x 4 ] 0 1 = 1 4 + 1 2 + 1 4 = 1 .
（2）答案： − 3 π 2 。
【指导】区域 D ： 0 ≤ x ≤ π ， 0 ≤ y ≤ x （X 型区域）。
∫ 0 π d x ∫ 0 x x cos ( x + y ) d y = ∫ 0 π x [ sin ( x + y ) ] 0 x d x = ∫ 0 π x [ sin 2 x − sin x ] d x .
分部积分： ∫ 0 π x sin 2 x d x = − π 2 ， ∫ 0 π x sin x d x = π 。故结果为 − π 2 − π = − 3 π 2 。
（3）答案： ∫ − r r d x ∫ 0 r 2 − x 2 f ( x , y ) d y 。
【指导】上半圆： y = r 2 − x 2 （ y ≥ 0 ），下界为 x  轴 y = 0 ，X 型区域。
（4）答案： ∫ 1 2 1 d y ∫ 1 y 2 f ( x , y ) d x + ∫ 1 2 d y ∫ y 2 f ( x , y ) d x 。
【指导】交点 ( 1 , 1 ) 、 ( 2 , 2 ) 、 ( 2 , 1 2 ) 。先 x  后 y  时分两段： y = 1 2 到 y = 1  段 x  从 1 y  到 2 ； y = 1 到 y = 2  段 x  从 y  到 2 。

（5）～（8）：需画出原积分区域图形，确定边界曲线，交换积分次序后重新确定积分限。方法同上，此处从略。

二、计算题解析

2.（1）矩形区域上被积函数可分离变量：

∬ D x y e x 2 + y 2 d σ = ∫ a b x e x 2 d x ⋅ ∫ c d y e y 2 d y = 1 4 ( e b 2 − e a 2 ) ( e d 2 − e c 2 ) .
（2）区域 D ： y = x 2 与 y = x  交于 ( 0 , 0 )  和 ( 1 , 1 ) 。化为累次积分后计算即可。
（3）圆周 x 2 + y 2 = Rx  即 ( x − R 2 ) 2 + y 2 = R 2 4 ，用极坐标 r = R cos θ ， θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] 。
∬ D R 2 − x 2 − y 2 d σ = ∫ − π 2 π 2 d θ ∫ 0 R cos θ R 2 − r 2 r d r .
令 u = R 2 − r 2  进行换元计算。
（4）用极坐标。 D ： r 2 ≤ 3 ，被积函数 | r 2 − 2 | 。分两部分： r 2 ≤ 2 时 | r 2 − 2 | = 2 − r 2 ； 2 ≤ r 2 ≤ 3 时 | r 2 − 2 | = r 2 − 2 。
∬ D | r 2 − 2 | r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ [ ∫ 0 2 ( 2 − r 2 ) r d r + ∫ 2 3 ( r 2 − 2 ) r d r ] .
3. 用极坐标。展开 ( y − x ) 2 = r 2 ( sin θ − cos θ ) 2 ，根据区域确定 r  和 θ  的范围后计算。
4. 圆周 x 2 + y 2 = ax  用极坐标为 r = a cos θ ， θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] 。体积为
V = ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ = ∫ − π 2 π 2 d θ ∫ 0 a cos θ r 2 ⋅ r d r = ∫ − π 2 π 2 a 4 cos 4 θ 4 d θ .
利用 Wallis 公式 ∫ − π 2 π 2 cos 4 θ d θ = 3 π 8 ，得 V = 3 π a 4 32 。

| 习题 12 － 3

  习题 12 － 3（原题）

一、填空题

1.（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分。

  ① ∬ D e − ( x 2 + y 2 ) d σ  ______，其中 D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 。
  ② ∬ D d σ ( x 2 + y 2 ) 2 ， D ： 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ______。

（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分。

  ① ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x 2 f ( x , y ) d y  ______；
  ② ∫ 0 a d x ∫ 0 a f ( x , y ) d y  ______；
  ③ ∫ 0 1 d x ∫ x 2 x − x 2 f ( x , y ) d y  ______；
  ④ ∫ 0 1 d x ∫ 1 − x 1 − x 2 f ( x , y ) d y  ______。

二、计算下列二重积分

2.（1） ∬ D x 2 + y 2 d σ ，其中 D  是由圆周 x 2 + y 2 = 2 x  及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
（2） ∬ D d σ x 2 + y 2 ，其中 D  是由曲线 y = 2 x − x 2  与直线 y = x  所围成的闭区域。
（3） ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ ，其中 D  是由圆周 x 2 + y 2 = 2 x  所围成的闭区域。
（4） ∬ D | x 2 + y 2 − 2 | d σ ，其中 D ： x 2 + y 2 ≤ 3 。

三、计算二重积分

3. 计算 ∬ D ( y − x ) 2 d σ ，其中 D  由 y ≤ R + x ， x 2 + y 2 ≤ R 2 ， y ≥ 0 确定（注意选用适当的坐标）。

四、求体积

4. 计算以 xOy  面上的圆周 x 2 + y 2 = ax （ a > 0 ）围成的区域为底，以曲面 z = x 2 + y 2  为顶的曲顶柱体的体积。

  习题 12－3 详细解析

一、填空题解析

1.（1）① D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 即 r ≤ R ， θ ∈ [ 0 , 2 π ] 。被积函数中 x 2 + y 2 = r 2 。
∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R e − r 2 r d r .
（1）② 环形区域 1 ≤ r 2 ≤ 4 ，即 1 ≤ r ≤ 2 。
∫ 0 2 π d θ ∫ 1 2 r r 4 d r = ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 2 1 r 3 d r .
（2）① ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 1 f ( r cos θ , r sin θ ) r d r 。

（2）② 正方形分两扇形处理。

（2）③ y = x  即 θ = π 4 ； y = 2 x − x 2 即 r = 2 cos θ 。 θ 从 π 4  到 π 2 。

（2）④ 不是标准极坐标形，需按区域具体分析。

二、计算题解析

2.（1）极坐标， x 2 + y 2 = 2 x 即 r = 2 cos θ ，第一象限 θ ∈ [ 0 , π 2 ] 。
∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 2 cos θ r ⋅ r d r = ∫ 0 π 2 8 cos 3 θ 3 d θ .
令 u = sin θ  计算即可。
（2） y = 2 x − x 2 与 y = x  围成的区域。此题直角坐标更方便。先 y  后 x ： D ： 0 ≤ x ≤ 1 ， x ≤ y ≤ 2 x − x 2 。
（3） x 2 + y 2 = 2 x 即 r = 2 cos θ ， θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] 。
∫ − π 2 π 2 d θ ∫ 0 2 cos θ r 2 ⋅ r d r = ∫ − π 2 π 2 4 cos 4 θ d θ .
利用 Wallis 公式计算 ∫ − π 2 π 2 cos 4 θ d θ = 3 π 8 ，得最终结果。

（4）同习题 12-2 第（4）题，分区域计算。

三、解析

3. 极坐标。 D 约束 y ≤ R + x  即 r sin θ ≤ R + r cos θ ，以及 r ≤ R ， r sin θ ≥ 0 。展开 ( y − x ) 2 = r 2 ( sin θ − cos θ ) 2  后利用三角恒等式计算。

四、解析

4. 圆 x 2 + y 2 = ax  在极坐标下为 r = a cos θ ， θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] 。
V = ∫ − π 2 π 2 d θ ∫ 0 a cos θ r 2 ⋅ r d r = a 4 4 ∫ − π 2 π 2 cos 4 θ d θ = 3 π a 4 32 .

第三节    二重积分的应用

| 一、在力学上的应用

1. 薄板质量

设薄板占有 xOy  面上的闭区域 D ，面密度为 ρ ( x , y ) ，则薄板的质量为
M = ∬ D ρ ( x , y ) d σ .

2. 质心

薄板的质心坐标为

x ´ = ∬ D x ρ ( x , y ) d σ ∬ D ρ ( x , y ) d σ , y ´ = ∬ D y ρ ( x , y ) d σ ∬ D ρ ( x , y ) d σ .

3. 转动惯量

薄板对 x  轴和 y  轴的转动惯量分别为
I x = ∬ D y 2 ρ ( x , y ) d σ , I y = ∬ D x 2 ρ ( x , y ) d σ .

薄板对原点的转动惯量为

I O = ∬ D ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y ) d σ = I x + I y .

本 章 小 结

  本章小结

一、二重积分的计算

X 型区域：

∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) f ( x , y ) d y .

Y 型区域：

∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ c d d y ∫ x 1 ( y ) x 2 ( y ) f ( x , y ) d x .
极坐标： ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r ，适用于圆域、扇形、含 x 2 + y 2  等。

二、通关秘籍

① 口诀：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。

② 极坐标别忘乘 r ！ d σ = r d r d θ 。

③ 善用对称性：奇函数在对称区域上积分为零。

④ 交换积分次序是核心技能，先画区域图，再确定新的积分限。

复 习 题 十 二

  复习题十二（原题）

一、选择题（每小题四选一）

1.（1） ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f ( x , y ) d y ，则交换积分次序后得______。
A. ∫ 0 1 d y ∫ 0 y 2 f ( x , y ) d x 　B. ∫ 0 1 d y ∫ 0 y 2 f ( x , y ) d x
C. ∫ 0 1 d y ∫ y 2 1 f ( x , y ) d x 　D. ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( x , y ) d x
（2）设 ∬ D f ( x ) g ( y ) d σ ， D 为矩形，则结果为______。
A. ∫ a b f ( x ) d x ⋅ ∫ c d g ( y ) d y 　B. ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x 　C. 0 　D. 以上都不对
（3）设 D  由直线 y = 0 ， x = 1 ， y = x 围成，则 ∬ D f ( x , y ) d σ  等于______。
A. ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f ( x , y ) d y 　B. ∫ 0 1 d x ∫ x 1 f ( x , y ) d y 　C. ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( x , y ) d x 　D. ∫ 0 1 d y ∫ y 1 f ( x , y ) d x
（4） ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ ， D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 ，化为极坐标形式是______。
A. ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 2 d r 　B. ∫ 0 π d θ ∫ 0 R r 3 d r
C. ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 2 r d r 　D. ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 3 d r
（5） ∬ D f ( x , y ) d σ ， D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 的第一象限部分，则结果为______。
A. ∫ 0 R d x ∫ 0 R f d y 　B. ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 R f r d r
C. ∫ 0 R d x ∫ 0 R 2 − x 2 f d y 　D. 以上 C 和 B 均正确

二、填空题

2.（1）交换二次积分次序， ∫ 0 1 d y ∫ 0 1 − y f ( x , y ) d x = ______。
（2）设 D ： − 1 ≤ x ≤ 1 ， − 1 ≤ y ≤ 1 ，则 ∬ D ( x 3 sin y + x y 2 + 1 ) d σ  = ______。
（3）设 ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ ， D ： x 2 + y 2 ≤ R 2 ，则在极坐标下的二次积分为______。
（4）积分 ∬ D x y d σ ， D ： x 2 + y 2 ≤ 1 ，在极坐标下的二次积分为______。
（5） ∬ D ( x + y ) d σ = ______， D ： x 2 + y 2 ≤ 1 ， x ≥ 0 。
（6）交换 ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 x − x 2 f ( x , y ) d y  = ______。

三、计算解答题

3.（1）计算 ∬ D x y d σ ， D ： 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 。
（2）计算 ∬ D y d σ ， D 由 y = x 2 ， y = x 和 x  轴围成。
（3）计算 ∬ D e y x d σ ， D 由 y = 0 ， y = x ， x = 1 围成。
（4）计算 ∬ D 1 − x 2 − y 2 d σ ， D 由 x 2 + y 2 = x ， x 2 + y 2 = y ， y = 0 及 x = 0  围成。
（5）计算 ∬ D x y d σ ， D 由 y = x ， x = π ， y = 0 围成。
（6）将 ∬ D f ( x , y ) d σ  化为两种二次积分次序， D 由 y = x ， x = 1 ， y = 0 围成。
（7）交换 ∫ 0 1 d x ∫ x 1 e y 2 d y  的积分次序，并求该积分的值。

  复习题十二 详细解析

一、选择题解析

（1）选 C。

【指导】原区域 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ x ，即 y 2 ≤ x 。交换为 0 ≤ y ≤ 1 ， y 2 ≤ x ≤ 1 。

（2）选 A。

【指导】矩形区域上可分离变量。

（3）选 A。

【指导】三角区域顶点 ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 0 ) 、 ( 1 , 1 ) 。X 型： 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ x 。

（4）选 D。

【指导】 x 2 + y 2 = r 2 ， d σ = r d r d θ ，全圆 θ ∈ [ 0 , 2 π ] ， r ∈ [ 0 , R ] 。

（5）选 C（和 D 均正确）。

【指导】C 是直角坐标表达；D 是极坐标分离形式。

二、填空题解析

（1） ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x f ( x , y ) d y 。
（2）答案： 4 。
【指导】 x 3 sin y 关于 x  奇， D 关于 y  轴对称，故 ∬ x 3 sin y = 0 。又 x y 2  关于 x  奇， D 关于 y  轴对称，故 ∬ x y 2 = 0 。合计 ∬ 1 d σ = 4 。
（3） ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 3 d r 。
（4）答案： 0 。
【指导】 xy = r 2 cos θ sin θ ，对圆域 D  积分，利用对称性 ∫ 0 2 π cos θ sin θ d θ = 0 。
（5）答案： 2 3 。
（6）画出区域 x 2 + y 2 ≤ 2 x  后交换积分次序。

三、计算题解析

（1）可分离： ∫ 0 1 x d x ⋅ ∫ 0 1 y d y = 1 2 ⋅ 1 2 = 1 4 。
（2） D ： 0 ≤ x ≤ 1 ， x 2 ≤ y ≤ x 。 ∫ 0 1 d x ∫ x 2 x y d y = ⋯ 。
（3） D ： 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ x （先 y  后 x ）。 ∫ 0 1 d x ∫ 0 x e y x d y = ⋯ 。

（4）需画图确定区域后分段积分。

（5） D ： 0 ≤ x ≤ π ， 0 ≤ y ≤ x 。 ∫ 0 π d x ∫ 0 x x y d y = ⋯ 。
（6） D 顶点 ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 0 ) 、 ( 1 , 1 ) 。先 y  后 x ： ∫ 0 1 d x ∫ 0 x f d y 。先 x  后 y ： ∫ 0 1 d y ∫ y 1 f d x 。
（7）交换后： ∫ 0 1 d y ∫ 0 y e y 2 d x = ∫ 0 1 y e y 2 d y = 1 2 ( e − 1 ) 。
【指导】原区域 0 ≤ x ≤ 1 ， x ≤ y ≤ 1 。交换为 0 ≤ y ≤ 1 ， 0 ≤ x ≤ y 。对内层积分令 u = y 2 ，最终得 1 2 ( e − 1 ) 。