高等应用数学 · 第13章概率与统计

第一节随机事件与概率

| 一、随机事件

在自然界和社会生活中，人们经常遇到两类不同的现象：一类是在一定条件下必然发生的现象，称为确定性现象；另一类是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，称为随机现象。例如，向上抛一枚硬币，落地后可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上，事先无法确定出现哪种结果。又如，生产线上生产的产品，可能是合格品，也可能是不合格品。这些都是随机现象。

概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。在生产实际和科学研究中，随机现象是普遍存在的，因此概率论与数理统计有着广泛的应用。

| 1. 随机试验

我们把对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验，简称试验，记为

E

。随机试验具有下列特点：

（1）可以在相同条件下重复进行；

（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确所有可能的结果；

（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果出现。

例如：

E_{1}

：抛一枚硬币，观察正面（

H

）和反面（

T

）出现的情况；

E_{2}

：掷一颗骰子，观察出现的点数；

E_{3}

：在一批产品中随机抽取一件，检验其是否合格。

| 2. 样本空间与随机事件

定义 13-1 样本空间

随机试验

E

的所有可能结果组成的集合，称为

E

的样本空间，记为

Ω

。样本空间中的每一个元素，即试验的每个可能结果，称为一个样本点，记为

ω

。

例如，抛一枚硬币的试验，其样本空间为

Ω = {H, T}

，其中

H

表示正面朝上，

T

表示反面朝上。掷一颗骰子的试验，其样本空间为

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

。

图 13-1 样本空间与随机事件

定义 13-2 随机事件

样本空间

Ω

的子集称为随机事件，简称事件，通常用大写字母

A, B, C

等表示。在每次试验中，当且仅当这个子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

特别地，样本空间

Ω

本身是一个事件，因为每次试验总有一个结果出现，即

Ω

中总有一个样本点出现，因此在每次试验中

Ω

总是发生的。我们称

Ω

为必然事件。空集

⌀

不包含任何样本点，在每次试验中它不可能发生，我们称

⌀

为不可能事件。

| 3. 事件的关系与运算

设

A, B

是两个事件，事件之间的关系和运算如下：

（1）包含关系：若事件

A

发生必然导致事件

B

发生，则称

A

包含于

B

，记为

A \subset B

。

（2）和事件（并事件）：事件

A

与事件

B

中至少有一个发生的事件，称为

A

与

B

的和事件，记为

A \cup B

。

图 13-2 和事件 A∪B

（3）积事件（交事件）：事件

A

与事件

B

同时发生的事件，称为

A

与

B

的积事件，记为

A \cap B

或

AB

。

图 13-3 积事件 A∩B

（4）差事件：事件

A

发生而事件

B

不发生的事件，称为

A

与

B

的差事件，记为

A - B

。

（5）互斥事件：若

AB = ⌀

，则称

A

与

B

互斥。

（6）对立事件：若

A \cup B = Ω

且

AB = ⌀

，则

B

称为

A

的对立事件，记为

B = \overset{´}{A}

。

图 13-4 对立事件

事件运算基本规律

事件的运算满足以下基本规律：

交换律：

A \cup B = B \cup A

，

AB = BA

；

结合律：

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

，

(AB) C = A (BC)

；

分配律：

A \cup (BC) = (A \cup B) (A \cup C)

，

A (B \cup C) = AB \cup AC

；

德·摩根律（对偶律）：

\bar{A \cup B} = \overset{´}{A} \cap \overset{´}{B}, \bar{A \cap B} = \overset{´}{A} \cup \overset{´}{B}

| 二、概率

| 1. 频率与概率

在相同的条件下，进行

n

次试验，其中事件

A

发生的次数

n_{A}

称为事件

A

发生的频数。比值

f_{n} (A) = \frac{n_{A}}{n}

称为事件

A

发生的频率。

频率具有下列基本性质：

（1）

0 \leq f_{n} (A) \leq 1

；

（2）

f_{n} (Ω) = 1

；

（3）若

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}

两两互斥，则

f_{n} (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{k}) = f_{n} (A_{1}) + f_{n} (A_{2}) + \dots + f_{n} (A_{k})

。

大量试验证实，当试验重复次数

n

很大时，事件

A

的频率

f_{n} (A)

总在某个常数

p

附近摆动，且随着

n

的增大，摆动幅度越来越小。这个常数

p

就是事件

A

的概率。

图 13-5 频率的稳定性

定义 13-3 概率的公理化定义

设

E

是随机试验，

Ω

是它的样本空间。对

E

的每一事件

A

赋予一个实数

P (A)

，称为事件

A

的概率，如果它满足下列条件：

（1）非负性：对任一事件

A

，有

P (A) \geq 0

；

（2）规范性：

P (Ω) = 1

；

（3）可列可加性：对两两互斥的事件

A_{1}, A_{2}, \dots

，有

P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots

概率的重要性质

性质1：

P (⌀) = 0

。

性质2（有限可加性）：若

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

两两互斥，则

P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n})

。

性质3：

P (\overset{´}{A}) = 1 - P (A)

。

性质4：若

A \subset B

，则

P (B - A) = P (B) - P (A)

，

P (A) \leq P (B)

。

性质5（加法公式）：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (AB)

。

| 2. 古典概型

若随机试验

E

满足：（1）有限性：样本空间

Ω

中样本点个数有限；（2）等可能性：每个样本点出现的可能性相等，则称

E

为古典概型。

图 13-6 掷骰子试验

设古典概型的样本空间

Ω

含有

n

个样本点，事件

A

包含

m

个样本点，则：

P (A) = \frac{m}{n} = \frac{A 包含的样本点数}{Ω 中样本点总数}

例 1

掷一颗均匀的骰子，求：（1）出现偶数点的概率；（2）出现的点数不超4的概率。

解样本空间

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

，

n = 6

。

（1）设事件

A

＝「出现偶数点」＝

{2, 4, 6}

，

m = 3

，则

P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

（2）设事件

B

＝「出现点数不超4」＝

{1, 2, 3, 4}

，

m = 4

，则

P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

例 2

一个口袋中装有5个白球和3个红球，从中任取3个，求（1）3个都是白球的概率；（2）恰好有1个红球的概率。

解从8个球中任取3个的取法总数为

n = C_{8}^{3} = 56

。

（1）3个都是白球的取法数为

m_{1} = C_{5}^{3} = 10

，所以

P (A) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}

（2）恰好1个红球，取法数为

m_{2} = C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{1} = 30

，所以

P (B) = \frac{C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{1}}{C_{8}^{3}} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}

| 三、条件概率

定义 13-4 条件概率

设

A, B

是两个事件，且

P (A) > 0

，称

P (B | A) = \frac{P (AB)}{P (A)}

为在事件

A

发生的条件下事件

B

的条件概率。

由条件概率定义，可得乘法公式：

若

P (A) > 0

，则

P (AB) = P (A) \cdot P (B | A)

；若

P (B) > 0

，则

P (AB) = P (B) \cdot P (A | B)

。

例 3

一批产品中有4件正品和3件次品，依次取两件（不放回），求第二次取到正品的概率。

解设

A

＝「第一次取到正品」，

B

＝「第二次取到正品」。

P (A) = \frac{4}{7}

，

P (B | A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

；

P (\overset{´}{A}) = \frac{3}{7}

，

P (B | \overset{´}{A}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

。

由全概率公式：

P (B) = P (A) P (B | A) + P (\overset{´}{A}) P (B | \overset{´}{A}) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{7}

| 1. 全概率公式

定理 13-1（全概率公式）

设

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

是

Ω

的一个划分，即两两互斥且

A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = Ω

，且

P (A_{i}) > 0

，则对任一事件

B

：

P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})

图 13-7 概率树形图

| 2. 贝叶斯公式

定理 13-2（贝叶斯公式）

在定理 13-1 的条件下，若

P (B) > 0

，则

P (A_{i} | B) = \frac{P (A_{i}) P (B | A_{i})}{\sum_{j = 1}^{n} P (A_{j}) P (B | A_{j})}

P (A_{i})

称为先验概率，

P (A_{i} | B)

称为后验概率，贝叶斯公式实现了从先验到后验的概率更新。

例 4

某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占25%、35%、40%，不合格率分别为5%、4%、2%。随机取一件产品，发现是不合格品，问该产品最可能来自哪条生产线？

解设

A_{i}

表示产品来自第

i

条生产线，

B

表示产品不合格。

P (A_{1}) = 0.25

P (A_{2}) = 0.35

P (A_{3}) = 0.40

;

P (B | A_{1}) = 0.05

P (B | A_{2}) = 0.04

P (B | A_{3}) = 0.02

。

P (B) = 0.25 \times 0.05 + 0.35 \times 0.04 + 0.40 \times 0.02 = 0.0345

P (A_{1} | B) = \frac{0.0125}{0.0345} \approx 0.3623, P (A_{2} | B) = \frac{0.014}{0.0345} \approx 0.4058, P (A_{3} | B) \approx 0.2319

因为

P (A_{2} | B)

最大，该不合格品最可能来自乙生产线。

| 四、事件的独立性

定义 13-5 事件的独立性

设

A, B

是两个事件，如果

P (AB) = P (A) \cdot P (B)

，则称

A

与

B

相互独立。

若

A

与

B

独立，则

A

与

\overset{´}{B}

、

\overset{´}{A}

与

B

、

\overset{´}{A}

与

\overset{´}{B}

也相互独立。

| 伯努利概型

设试验

E

只有两个结果

A

和

\overset{´}{A}

，

P (A) = p

，

P (\overset{´}{A}) = q = 1 - p

。将

E

独立重复

n

次，称为

n

重伯努利试验。

事件

A

恰好发生

k

次的概率为：

P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n

例 5

某射手命中率为0.6，独立射击5次，求：（1）恰好命中3次的概率；（2）至少命中1次的概率。

解

X \sim B (5, 0.6)

。

（1）

P (X = 3) = C_{5}^{3} \times {0.6}^{3} \times {0.4}^{2} = 10 \times 0.216 \times 0.16 = 0.3456

。

（2）

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - {0.4}^{5} = 1 - 0.01024 = 0.98976

。

习题 13-1

1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）检查3件产品的合格情况；（2）将硬币抛掷3次，观察正面出现次数；（3）记录某车站一天发生事故的次数。

2. 一个盒子中6个球，4白2黑，取2个，求（1）都是白球的概率；（2）1白1黑的概率；（3）至少有1个白球的概率。

3. 某班50人，15名女生，随机选3人，求恰好1名女生的概率。

4. 设

P (A) = 0.5

，

P (B) = 0.3

，

P (AB) = 0.1

，求

P (A \cup B)

、

P (\overset{´}{A} \overset{´}{B})

、

P (A | B)

、

P (B | A)

。

5. 三道工序合格率分0.95、0.90、0.95，独立加工，求合格品概率。

6. 某电子元件寿命超1500小时的概率为0.8，取4只，求（1）都超1500h的概率；（2）至少1只超1500h的概率。

7. 甲乙两车间产品占比和不合格率已知，求（1）不合格品概率；（2）不合格品来自甲的概率。

第二节随机变量及其分布

| 一、随机变量

定义 13-6 随机变量

设样本空间为

Ω

，对每个样本点

ω

都有一个实数

X (ω)

与之对应，则称

X (ω)

为随机变量，简记为

X

。

| 二、离散型随机变量

若

X

可能取的值是有限个或可列无限多个，则称

X

为离散型随机变量。设其取值为

x_{1}, x_{2}, \dots

，概率分布律为：

P (X = x_{k}) = p_{k}, k = 1, 2, \dots

分布律性质：

p_{k} \geq 0

，

\sum_{k} p_{k} = 1

。

| 1. 二项分布 B(n, p)

若

X \sim B (n, p)

，则：

P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n

当

n = 1

时，

X \sim B (1, p)

称为 0-1 分布。

图 13-8 二项分布 B(10, 0.3)

图 13-9 二项分布 B(3, 0.5)

例 6

某种种子发芽率为0.9，播种5粒，求恰好4粒发芽和至少4粒发芽的概率。

解

X \sim B (5, 0.9)

。

P (X = 4) = C_{5}^{4} \times {0.9}^{4} \times 0.1 = 0.32805

。

P (X \geq 4) = P (X = 4) + P (X = 5) = 0.32805 + 0.59049 = 0.91854

。

| 2. 泊松分布 P(λ)

若随机变量

X

的分布律为：

P (X = k) = \frac{λ^{k} \cdot e^{- λ}}{k!}, k = 0, 1, 2, \dots

其中

λ > 0

，则称

X \sim P (λ)

。

图 13-10 泊松分布 P(λ = 3)

定理 13-3（泊松定理）

当

n \geq 20

、

p \leq 0.05

时，

B (n, p)

可用

P (λ)

（

λ = np

）近似：

C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \approx \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

例 7

200台机器，每台某时刻需维修的概率为0.01，求恰好3台需维修的概率。

解

X \sim B (200, 0.01)

，取

λ = np = 2

：

P (X = 3) \approx \frac{2^{3} e^{- 2}}{3!} = \frac{8 \times 0.1353}{6} \approx 0.1804

| 三、连续型随机变量

| 1. 概率密度函数

定义 13-8 概率密度函数

若存在非负可积函数

f (x)

，使得

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) dt

，则称

X

为连续型随机变量，

f (x)

称为概率密度函数。

概率密度函数的性质

（1）

f (x) \geq 0

；（2）

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) dx = 1

；

（3）

P (a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) dx

；（4）

P (X = a) = 0

。

图 13-11 分布函数 F(x)

| 2. 均匀分布 U(a, b)

若

X

的概率密度函数为：

f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & 其他 \end{matrix}

则称

X \sim U (a, b)

。

图 13-12 均匀分布 U(1, 4)

| 3. 指数分布

若

X

的密度函数为

f (x) = λ e^{- λx}

（

x > 0

），则

X

服从参数为

λ

的指数分布。指数分布具有「无记忆性」：

P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)

。

图 13-13 不同参数的指数分布

| 4. 正态分布 N(μ, σ²)

若

X

的密度函数为：

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp {- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, - \infty < x < + \infty

则称

X \sim N (μ, σ^{2})

。参数

μ

决定曲线位置，

σ

决定曲线形状。

图 13-14 不同参数的正态分布曲线

当

μ = 0

、

σ = 1

时，

X \sim N (0, 1)

为标准正态分布，密度函数和分布函数分别记为

φ (x)

和

Φ (x)

。

若

X \sim N (μ, σ^{2})

，则

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

，于是

P (a < X \leq b) = Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})

图 13-15 标准正态分布 N(0, 1)

正态分布的 3σ 法则

若

X \sim N (μ, σ^{2})

，则

P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827

；

P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545

；

P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973

。

即

X

落在

(μ - 3 σ, μ + 3 σ)

之外的概率不到0.3%，这就是 3σ 原则。

例 8

某电子元器件寿命

X \sim N (1000, 50^{2})

，求：（1）

P (X > 1100)

；（2）

P (900 < X < 1100)

。

解

μ = 1000

σ = 50

。

（1）

P (X > 1100) = 1 - Φ (2) \approx 0.0228

。

（2）

P (900 < X < 1100) = Φ (2) - Φ (- 2) = 2 Φ (2) - 1 \approx 0.9544

。

例 9

设

X \sim U (0, 5)

，求

P (1 < X < 3)

和

P (X > 2)

。

解

f (x) = \frac{1}{5}

（

0 \leq x \leq 5

）。

P (1 < X < 3) = \frac{3 - 1}{5} = \frac{2}{5}

；

P (X > 2) = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}

。

习题 13-2

1. 设

P (X = - 1) = 0.2

，

P (X = 0) = 0.3

，

P (X = 1) = 0.5

，求

P (X \leq 0)

和

P (X \geq 0)

。

2. 设

X \sim B (6, 0.4)

，求

P (X = 2)

、

P (X \leq 2)

、

P (X \geq 1)

。

3. 等候时间

X \sim U (0, 10)

，求等候不超3分钟的概率。

4. 灯泡寿命服从指数分布，平均寿命2000h，求寿命超3000h的概率。

5. 零件直径

X \sim N (20, 0.04)

，合格范围19.6~20.4mm，求合格率。

6. 水灾次数

X \sim P (0.5)

，求不发生和发生2次以上的概率。

7. 设

X \sim N (3, 4)

，求

P (2 < X < 5)

和

P (X > 1)

。

第三节随机变量的数字特征

| 一、数学期望

定义 13-9 数学期望

离散型：

E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}

；连续型：

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) dx

。

数学期望

E (X)

反映了随机变量取值的平均水平。

表 1 常用分布的数学期望和方差

分布	记号	E(X)	D(X)
0-1分布	$B (1, p)$	$p$	$p (1 - p)$
二项分布	$B (n, p)$	$np$	$np (1 - p)$
泊松分布	$P (λ)$	$λ$	$λ$
均匀分布	$U (a, b)$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{{(b - a)}^{2}}{12}$
指数分布	$Exp (λ)$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ^{2}}$
正态分布	$N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$

数学期望的性质

E (C) = C

；

E (CX) = CE (X)

；

E (X \pm Y) = E (X) \pm E (Y)

；若独立则

E (XY) = E (X) E (Y)

。

例 10

某商品每件利润100元，每天销售量

X

的分布律如下表。求每天的平均利润。

X	0	1	2	3
P	0.1	0.3	0.4	0.2

解

E (X) = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.2 = 1.7

，平均利润

= 100 \times 1.7 = 170

元。

| 二、方差

定义 13-10 方差

D (X) = E [{(X - μ)}^{2}] = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}

。方差刻画了随机变量取值对均值的偏离程度。

\sqrt{D (X)}

称为标准差，记为

σ (X)

。

图 13-16 方差大小的直观意义

方差的性质

D (C) = 0

；

D (CX) = C^{2} D (X)

；

D (X + C) = D (X)

；若独立则

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)

。

例 11

设

X \sim B (100, 0.02)

，求

E (X)

和

D (X)

。

解

E (X) = np = 2

，

D (X) = np (1 - p) = 1.96

。

例 12

设

X \sim U (1, 5)

，求

E (X)

、

D (X)

。

解

E (X) = \frac{1 + 5}{2} = 3

，

D (X) = \frac{{(5 - 1)}^{2}}{12} = \frac{4}{3}

。

| 三、切比雪夫不等式

定理 13-4（切比雪夫不等式）

设

E (X) = μ

，

D (X) = σ^{2}

，则对任意

ε > 0

：

P (| X - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

例 13

设

E (X) = 10

，

D (X) = 0.01

，估计

P (| X - 10 | \geq 0.3)

。

解

P (| X - 10 | \geq 0.3) \leq \frac{0.01}{0.09} = \frac{1}{9} \approx 0.111

。

习题 13-3

P (X = - 1) = 0.3

P (X = 0) = 0.4

P (X = 1) = 0.3

，求

E (X)

、

D (X)

。

X \sim B (10, 0.3)

，求

E (X)

、

D (X)

、

E (3 X + 5)

、

D (3 X + 5)

。

X \sim P (2)

，求

E (X)

、

D (X)

。

X \sim N (5, 4)

，求

E (2 X - 1)

和

D (2 X - 1)

。

E (X) = 25

D (X) = 0.04

，用切比雪夫不等式估计

P (24.5 < X < 25.5)

。

E (X) = 75

D (X) = 25

，估计

P (60 < X < 90)

。

X \sim U (2, 8)

Y = 3 X + 2

，求

E (Y)

、

D (Y)

。

第四节数理统计基础

| 一、总体与样本

研究对象的全体称为总体，从总体中抽取的部分个体称为样本。设总体

X

的分布为

F (x)

，简单随机样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且与总体同分布。

| 二、统计量

样本均值：

\overset{´}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

样本方差（分母为

n - 1

，保证无偏性）：

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overset{´}{X})}^{2}

图 13-17 样本直方图与正态拟合

| 三、参数估计

| 1. 点估计（矩估计法）

用样本均值

\overset{´}{X}

估计

μ

，用样本方差

S^{2}

估计

σ^{2}

。

例 14

10只灯泡寿命数据：1050, 980, 1100, 1020, 1080, 950, 1060, 1000, 1030, 1070。估计

μ

和

σ^{2}

。

解

\hat{μ} = \overset{´}{X} = \frac{10340}{10} = 1034

，

{\hat{σ}}^{2} = S^{2} = \frac{1}{9} \sum {(x_{i} - 1034)}^{2} \approx 2226.7

。

| 2. 区间估计

定义 13-13 置信区间

若

P ({\hat{θ}}_{1} < θ < {\hat{θ}}_{2}) = 1 - α

，则

({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2})

为

θ

的置信度为

1 - α

的置信区间。

图 13-18 置信区间示意图

对

X \sim N (μ, σ^{2})

，

σ^{2}

已知时

μ

的

1 - α

置信区间：

(\overset{´}{X} - z_{α / 2} \frac{σ}{\sqrt{n}}, \overset{´}{X} + z_{α / 2} \frac{σ}{\sqrt{n}})

σ^{2}

未知时用

S

代替

σ

，使用

t

分布：

(\overset{´}{X} - t_{α / 2} (n - 1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \overset{´}{X} + t_{α / 2} (n - 1) \frac{S}{\sqrt{n}})

例 15

16只灯泡，

\overset{´}{X} = 1500

，

σ = 200

，求95%置信区间。

解

n = 16

，

z_{0.025} = 1.96

，区间为

1500 \pm 1.96 \times \frac{200}{\sqrt{16}} = 1500 \pm 98 = (1402, 1598)

习题 13-4

n = 25

\overset{´}{X} = 50

S^{2} = 16

，求矩估计和95%置信区间（设

σ^{2} = 16

）。

2. 36人身高

\overset{´}{X} = 172

cm,

S = 6

，求平均身高的95%置信区间。

3. 9个零件长度测量值已知，

σ = 0.2

，求

μ

的99%置信区间。

4. 食品包装

\overset{´}{X} = 498

S = 5

n = 16

，求95%置信区间。

5. 100个零件

\overset{´}{X} = 52.8

S = 3

，求95%置信区间。

本章小结

一、基本公式

1. 古典概率：

P (A) = \frac{m}{n}

。

2. 加法公式：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (AB)

。

3. 条件概率：

P (B | A) = \frac{P (AB)}{P (A)}

。

4. 乘法公式：

P (AB) = P (A) P (B | A)

。

5. 全概率公式：

P (B) = \sum_{i} P (A_{i}) P (B | A_{i})

。

6. 贝叶斯公式：

P (A_{i} | B) = \frac{P (A_{i}) P (B | A_{i})}{P (B)}

。

7. 二项概率：

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

。

8. 泊松分布：

P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

。

9. 期望：

E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}

（离散）；

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) dx

（连续）。

10. 方差：

D (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}

。

11. 切比雪夫：

P (| X - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

。

二、常用分布

离散：0-1分布、二项分布

B (n, p)

、泊松分布

P (λ)

；连续：

U (a, b)

、指数分布、

N (μ, σ^{2})

。

总复习题十三

1. 5白3红2黄取3个，求同色、全不同、至少1白的概率。

2. 甲乙丙命中率0.4、0.5、0.7，求目标被命中和恰被1人命中的概率。

3. 三个路口红灯概率 0.3、0.4、0.5，求至少1次和恰好2次红灯的概率。

4. 甲乙机器产量60%/40%，次品率3%/5%，取到次品，求来自甲的概率。

P (X = k) = c \cdot k

（

k = 0, 1, 2, 3, 4

），求

c

、

E (X)

、

D (X)

、

E (3 X^{2} + 2 X)

。

X \sim N (100, 4)

，求

P (X \leq 102)

、

P (98 < X < 102)

、

P (| X - 100 | > 3)

。

X \sim Exp (0.5)

，求

P (X > 2)

、

P (1 < X < 3)

、

E (X)

、

D (X)

。

8. 考试分数

X \sim N (70, 100)

，求

P (X > 90)

、

P (60 < X < 80)

。

9. 捉放法估计鱼数：先据100条标记放回，再据80条中2条标记，估计总数。

10.

n = 25

\overset{´}{X} = 66

S = 10

，

t_{0.025} (24) = 2.064

，求95%置信区间。

附表标准正态分布表 Φ(z) 值（部分）

标准正态分布表

z	Φ(z)	z	Φ(z)	z	Φ(z)
0.0	0.5000	0.1	0.5398	0.2	0.5793
0.3	0.6179	0.4	0.6554	0.5	0.6915
0.6	0.7257	0.7	0.7580	0.8	0.7881
0.9	0.8159	1.0	0.8413	1.2	0.8849
1.4	0.9192	1.6	0.9452	1.8	0.9641
2.0	0.9772	2.2	0.9861	2.4	0.9918
2.6	0.9953	2.8	0.9974	3.0	0.9987

常用分位数：

z_{0.05} = 1.645

，

z_{0.025} = 1.96

，

z_{0.005} = 2.576

。