$m\times n$ 个数排成 $m$ 行 $n$ 列的矩形数表，记为 $A_{m\times n}$。
| 名称 | 特征 | 考点 |
|---|---|---|
| 方阵 | 行数$=$列数（$n$阶） | 求逆、算行列式 |
| 单位矩阵 $E$ | 主对角线全1，其余0 | $AE=EA=A$ |
| 零矩阵 $O$ | 所有元素为0 | $A+O=A$ |
| 对角矩阵 | 非对角线全0 | 运算简便 |
同型矩阵：行列数相同。矩阵相等：同型且对应元素全相同。
加减：必须同型！对应元素相加减。
数乘：$\lambda A$ = 每个元素都乘 $\lambda$（人人有份）
行变列、列变行。$A$ 为 $m\times n$，则 $A^T$ 为 $n\times m$。
性质：$(AB)^T=B^T A^T$（穿脱原则，注意顺序反转）
前提：$A_{m\times\color{red}{n}}\cdot B_{\color{red}{n}\times p}=C_{m\times p}$，左列数$=$右行数才能乘！
规则：$c_{ij}=$ 左第 $i$ 行 $\times$ 右第 $j$ 列 = 对应元素乘后求和
口诀："左行乘右列，对应相乘加起来"
$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\!\cdot\!5+2\!\cdot\!7&1\!\cdot\!6+2\!\cdot\!8\\3\!\cdot\!5+4\!\cdot\!7&3\!\cdot\!6+4\!\cdot\!8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$
① $AB\neq BA$（不满足交换律！）
② $AB=O$ 推不出 $A=O$ 或 $B=O$
③ $AC=BC$ 推不出 $A=B$（不能消去）
④ 矩阵没有"除法"！
$|A^T|=|A|$，$|\lambda A|=\lambda^n|A|$（$n$阶方阵），$|AB|=|A||B|$
若方阵 $A$ 存在矩阵 $B$，使 $AB=BA=E$，则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记 $A^{-1}$。
存在条件：$|A|\neq 0$（行列式不为零）⇔ $A$ 可逆
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，$|A|=ad-bc\neq 0$ 时：
$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
口诀：主对调，副变号，除以行列式！
$A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$，$|A|=6-5=1$
$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$
$(A^{-1})^{-1}=A$，$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（穿脱原则：顺序反转！）
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
| 操作 | 含义 | 记号 |
|---|---|---|
| 对换 | 交换两行 | $r_i\leftrightarrow r_j$ |
| 倍乘 | 某行乘非零数 $k$ | $kr_i$ |
| 倍加 | 某行的 $k$ 倍加到另一行 | $r_i+kr_j$ |
本质就是解方程组的消元操作。
行阶梯形：非零行在上，每行首非零元在上一行之右。
行最简形：每行首非零元为1，该1所在列其他元素全0。
行变换化为阶梯形后，非零行的行数就是秩，记 $r(A)$。
构造 $(A\,|\,E)$，用行变换化为 $(E\,|\,A^{-1})$
$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&7&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{r_2-3r_1}\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&-3&1\end{array}\right)$
$\xrightarrow{r_1-2r_2}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-2\\0&1&-3&1\end{array}\right)$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}$
设系数矩阵 $A$，增广矩阵 $\bar{A}=(A\,|\,b)$，$n$ 个未知数：
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| $r(A)\neq r(\bar{A})$ | 无解 |
| $r(A)=r(\bar{A})=n$ | 唯一解 |
$r(A)=r(\bar{A})| 无穷多解（$n-r$ 个自由变量） | |
口诀：秩不等→无解，秩等且满→唯一解，秩等且缺→无穷解。
第一步：写增广矩阵 $\bar{A}=(A\,|\,b)$
第二步：用行变换化为行最简形
（禁止列变换！列变换 = 交换未知数 = 零分）
第三步：判解（看秩的关系）
第四步：还原方程写通解
阶梯转角处 → 主变量（留左边）；非转角列 → 自由变量（设参数 $t$）
$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6\\2x_1+3x_2+x_3=10\\x_1+x_2+2x_3=9\end{cases}$
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&10\\1&1&2&9\end{array}\right)\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-2\\0&0&1&3\end{array}\right)$
$r(A)=r(\bar{A})=3=n$ → 唯一解
回代：$x_3=3$，$x_2=-2+3=1$，$x_1=6-1-3=2$
$\begin{cases}x_1-x_2+x_3-x_4=1\\x_1+x_2-x_3+x_4=1\\2x_1+4x_3-2x_4=2\end{cases}$
增广矩阵行变换化简后：
$\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&1\\0&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right)$
$r(A)=r(\bar{A})=2<4=n$ → 无穷多解
$x_3,x_4$ 为自由变量，设 $x_3=s$，$x_4=t$
$\begin{cases}x_1=1\\x_2=s-t\\x_3=s\\x_4=t\end{cases}$（$s,t$ 为任意实数）
化简后出现 $\left(\begin{array}{ccc|c}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&0&\neq 0\end{array}\right)$
最后一行翻译为 $0=\text{非零数}$（矛盾）→ 无解
$Ax=0$（右端全0），一定有零解（至少有 $x=0$）
有非零解条件：$r(A) 特别地：方程个数 $m $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\2x_1+x_2=0\end{cases}$，$m=2 行变换：$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$，设 $x_3=t$ $x_1=t$，$x_2=-2t$，$x_3=t$（$t$ 为任意实数）例 7 · 齐次方程组
| 运算 | 条件 | 结果 |
|---|---|---|
| $A+B$ | 同型 | 对应元素相加 |
| $\lambda A$ | 无 | 每个元素乘 $\lambda$ |
| $AB$ | 左列$=$右行 | 行$\times$列求和 |
| $A^T$ | 无 | 行列互换 |
| $A^{-1}$ | $|A|\neq 0$ | $AA^{-1}=E$ |
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
主对调，副变号，除以行列式。
写增广 → 行变换化最简 → 判秩 → 写解
唯一解：直接回代。无穷解：非台阶列设参数。
① 矩阵乘法不满足交换律——$AB\neq BA$，顺序绝不能换！
② 解方程组用了列变换——只能行变换！列变换 = 换未知数 = 零分。
③ 逆矩阵顺序搞反——$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，穿脱原则。
④ 数乘和行列式混淆——$\lambda A$ 每个元素乘 $\lambda$，但 $|\lambda A|=\lambda^n|A|$。
⑤ 忘记标注自由变量——无穷解时必须写明"$t$ 为任意实数"。
⑥ 无解判断遗漏——最后一行出现 $(0\;0\;\cdots\;0\;|\;\neq 0)$ → 矛盾无解。
$(AB)^T=B^T A^T$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$
像穿衣脱衣：先穿的后脱，后穿的先脱。