第三章 导数与微分

导数的定义 核心

$f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

若此极限存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，极限值即为该点导数。

物理意义：瞬时速度 $v=s'(t)$（位移对时间的变化率）

记号：$f'(x)$、$y'$、$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$、$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$（均表示同一含义）

左右导数

$f'_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}$（左导数），$f'_+(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}$（右导数）

$f(x)$ 在 $x_0$ 可导 $\Longleftrightarrow$ 左导数 $=$ 右导数

可导与连续的关系

可导 $\Rightarrow$ 连续（可导必连续）

连续 $\not\Rightarrow$ 可导（如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导）

导数的几何意义

$f'(x_0)$ $=$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。

切线与法线方程 必考

切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$（$f'(x_0)\neq 0$）

法线与切线在切点处垂直，斜率互为负倒数。

例 1 · 用定义求导

$f(x)=x^2$，求 $f'(1)$

$f'(1)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim\frac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim(2+\Delta x)=2$

基本导数公式 必背

$(C)'=0$，$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$

$(e^x)'=e^x$，$(a^x)'=a^x\ln a$

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$，$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$

$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=-\sin x$

$(\tan x)'=\sec^2 x$，$(\cot x)'=-\csc^2 x$

$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$

巧记：带"co"前缀的（$\cos,\cot,\csc,\arccos$）求导后自带负号。

四则运算法则 基础

和差：$(u\pm v)'=u'\pm v'$

常数倍：$(Cu)'=Cu'$

乘法：$(uv)'=u'v+uv'$（前导后 + 前后导）

除法：$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$（$v\neq 0$）

除法公式口诀："子导母减子母导，母的平方做分母"

例 2 · 基本公式直接用

(1) $(3x^4-2x^2+5x-1)'=12x^3-4x+5$

(2) $(\sqrt{x})'=(x^{1/2})'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(3) $(\frac{1}{x^2})'=(x^{-2})'=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$

例 3 · 乘法法则

(1) $(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$

(2) $(x^3 e^x)'=3x^2 e^x+x^3 e^x=x^2 e^x(3+x)$

例 4 · 除法法则

(1) $(\frac{\sin x}{x})'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

(2) $(\frac{e^x}{x+1})'=\frac{e^x(x+1)-e^x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$

分式变形技巧

能改写为幂函数时，用幂函数公式更快：

$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$，$(\frac{1}{\sqrt{x}})'=-\frac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

例 5 · 求切线方程

$y=x^3-3x^2+2$ 在 $(1,0)$ 处的切线

$y'=3x^2-6x$，$y'(1)=3-6=-3$

切线：$y-0=-3(x-1)$，即 $y=-3x+3$

链式法则（核心公式）必考

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数：

$y'=f'(u)\cdot g'(x)$

口诀："外导 $\times$ 内导"——从外到内逐层求导，每层导数相乘。

像"剥洋葱"：一层一层剥开，每层导数全部乘起来。

常见复合类型速查

$[f(ax+b)]'=a\cdot f'(ax+b)$

$[\sin f(x)]'=f'(x)\cos f(x)$

$[e^{f(x)}]'=f'(x)\cdot e^{f(x)}$

$[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$

$[f(x)]^n]'=n[f(x)]^{n-1}\cdot f'(x)$

例 6 · 一层复合

(1) $(\sin 2x)'=2\cos 2x$（外导 $\cos$，内导 $2$）

(2) $(e^{3x})'=3e^{3x}$

(3) $[\ln(x^2+1)]'=\frac{2x}{x^2+1}$

(4) $(\sqrt{1-x^2})'=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

例 7 · 多层复合

(1) $y=\sin(2x^3)$

外层 $\sin$→内层 $2x^3$：$y'=\cos(2x^3)\cdot 6x^2=6x^2\cos(2x^3)$

(2) $y=e^{\sin x^2}$（三层）

$y'=e^{\sin x^2}\cdot\cos x^2\cdot 2x=2xe^{\sin x^2}\cos x^2$

例 8 · 四则 + 链式混合

(1) $y=x^2 e^{2x}$（乘法 + 链式）

$y'=2xe^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}=2xe^{2x}(1+x)$

(2) $y=\frac{\sin x}{e^x}$（除法 + 链式）

$y'=\frac{\cos x\cdot e^x-\sin x\cdot e^x}{e^{2x}}=\frac{\cos x-\sin x}{e^x}$

(3) $y=\ln(\cos 2x)$（两层链式）

$y'=\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}=-2\tan 2x$

例 9 · 隐函数求导

方程 $F(x,y)=0$ 未解出 $y$，两边对 $x$ 求导。

关键：认准自变量是 $x$，含 $y$ 的项求导后必须乘以 $y'$（因为 $y$ 是 $x$ 的函数）！

(1) $x^2+y^2=4$：$2x+2yy'=0$，$y'=-\frac{x}{y}$

(2) $e^y+xy-x=0$：$e^y y'+y+xy'-1=0$

$y'(e^y+x)=1-y$，$y'=\frac{1-y}{e^y+x}$

例 10 · 隐函数求切线

$x^2+xy+y^2=3$ 在 $(1,1)$ 处的切线

$2x+y+xy'+2yy'=0$，代入 $(1,1)$：

$2+1+y'+2y'=0$，$y'=-1$

切线：$y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$

参数方程求导

$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$

例 11：$x=\cos t$，$y=\sin t$：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t$

高阶导数

$y'$ 的导数记为 $y''$（二阶导），$y''$ 的导数记为 $y'''$（三阶导），以此类推。

物理意义：位移 $s(t)$ → 速度 $s'(t)$ → 加速度 $s''(t)$

常用高阶导数公式

$(e^x)^{(n)}=e^x$，$(\sin x)''=-\sin x$，$(\cos x)''=-\cos x$

$(x^n)^{(n)}=n!$，$(x^n)^{(n+1)}=0$

例 12 · 求二阶导数

(1) $y=xe^x$

$y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x$

$y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x$

(2) $y=x^3-2x^2+5x-1$

$y'=3x^2-4x+5$，$y''=6x-4$，$y'''=6$

(3) $y=\sin 2x$

$y'=2\cos 2x$，$y''=-4\sin 2x$

微分的概念

若 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中 $A\Delta x$ 是 $\Delta y$ 的线性主部，记为：

$\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$

重要结论：可微 $\Leftrightarrow$ 可导（一回事！）

几何意义：微分 $\mathrm{d}y$ 是切线的增量（用切线代替曲线的近似）

微分运算法则

$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm\mathrm{d}v$，$\mathrm{d}(Cu)=C\mathrm{d}u$

$\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v$

$\mathrm{d}(\frac{u}{v})=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}$

例 13 · 求微分

(1) $y=x^2\sin x$

$\mathrm{d}y=(2x\sin x+x^2\cos x)\mathrm{d}x$

(2) $y=e^{2x}$

$\mathrm{d}y=2e^{2x}\mathrm{d}x$

例 14 · 近似计算

用微分近似求 $\sqrt{4.02}$

$f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=4$，$\Delta x=0.02$

$f(x_0)=2$，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'(4)=\frac{1}{4}$

$\sqrt{4.02}\approx 2+\frac{1}{4}\times 0.02=2.005$

题型一：求切线与法线 必考

例 15：$y=e^x$ 在 $(0,1)$ 处的切线和法线

$y'=e^x$，$y'(0)=1$（斜率）

切线：$y-1=1\cdot(x-0)$，即 $y=x+1$

法线：$y-1=-1\cdot(x-0)$，即 $y=-x+1$

例 16：$y=\ln x$ 在 $(e,1)$ 处的切线

$y'=\frac{1}{x}$，$y'(e)=\frac{1}{e}$，切线 $y-1=\frac{1}{e}(x-e)$，即 $y=\frac{x}{e}$

题型二：复合求导综合 必考

例 17：$y=(1+x^2)^3$

$y'=3(1+x^2)^2\cdot 2x=6x(1+x^2)^2$

例 18：$y=e^{-x}\cos x$（乘法 + 链式）

$y'=-e^{-x}\cos x+e^{-x}(-\sin x)=-e^{-x}(\cos x+\sin x)$

例 19：$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-1/2}$

$y'=-\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2}\cdot 2x=-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$

例 20：$y=\arctan(e^x)$

$y'=\frac{e^x}{1+e^{2x}}$

题型三：利用可导性求参数 必考

$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq 1\\ax+b,&x>1\end{cases}$，求 $a,b$ 使 $f$ 在 $x=1$ 可导

第一步（连续性）：可导必连续，左$=$右$=f(1)$

左 $=1$，右 $=a+b$，$f(1)=1$，故 $a+b=1$ ①

第二步（可导性）：左导$=$右导

左导 $=\lim\limits_{x\to 1^-}2x=2$，右导 $=a$，故 $a=2$ ②

联立：$a=2$，$b=-1$

踩分提醒：此题型必须分两步！①连续性列方程 ②可导性列方程，缺一步扣分。

题型四：隐函数求切线 重点

例 21：$xy+y^2=6$ 在 $(1,2)$ 处的切线

两边求导：$y+xy'+2yy'=0$

代入 $(1,2)$：$2+y'+4y'=0$，$y'=-\frac{2}{5}$

切线：$y-2=-\frac{2}{5}(x-1)$，即 $2x+5y-12=0$

题型五：参数方程求导

例 22：$\begin{cases}x=t^2\\y=t^3\end{cases}$，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$

题型六：求二阶导数

例 23：$y=x\ln x$

$y'=\ln x+1$，$y''=\frac{1}{x}$

例 24：$y=e^{-x}\sin x$

$y'=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=e^{-x}(\cos x-\sin x)$

$y''=-e^{-x}(\cos x-\sin x)+e^{-x}(-\sin x-\cos x)$

$=-2e^{-x}\cos x$

题型七：微分求解

例 25：$y=\ln(1+x^2)$，求 $\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}y=\frac{2x}{1+x^2}\mathrm{d}x$

例 26：$y=\arcsin x$，求 $\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$

解题方法速查表

题目特征	方法	关键操作
$x^n,\sin x$ 等	基本公式	直接套公式
$u\cdot v$ 或 $u/v$	四则法则	乘法/除法公式
函数套函数	链式法则	逐层求导连乘
$F(x,y)=0$	隐函数求导	含 $y$ 项必乘 $y'$
参数方程	$\psi'/\varphi'$	分别对 $t$ 导再除
求切线/法线	导数$=$斜率	代点求值写点斜式
分段函数求参数	连续+可导	列两个方程联立

核心公式速记

链式法则：$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

乘法：$(uv)'=u'v+uv'$

除法：$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

切线：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

微分：$\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$，可微$\Leftrightarrow$可导

六大计算易错点

① 复合求导漏乘内层——$(\sin 3x)'=3\cos 3x$，不是 $\cos 3x$。

② 除法公式减号写反——分子必须是 $u'v-uv'$（先导分子）。

③ 幂函数与指数函数混淆——$(x^a)'=ax^{a-1}$，$(a^x)'=a^x\ln a$。

④ 隐函数求导忘乘 $y'$——$(y^2)'=2yy'$，不是 $2y$。

⑤ 求切线不代点求斜率——先求 $y'$ 通式，再代入切点坐标。

⑥ 可导求参数只列一个方程——必须同时列连续+可导两个方程。

解题总策略

第一步：分析函数结构（基本/复合/乘除/隐函数）。

第二步：选对求导法则（公式/四则/链式/隐函数）。

第三步：逐步不跳步，复合函数逐层展开。

第四步：化简结果，提取公因子。

绝大多数期末大题 $=$ 基本公式 $+$ 四则法则 $+$ 链式法则的组合使用。