第五章 向量代数与空间解析几何

向量的基本概念

向量：既有大小又有方向的量（力、速度、位移等），用 $\vec{a}$ 或 $\boldsymbol{a}$ 表示。

模：$|\vec{a}|$ 为向量长度。单位向量：$|\vec{e}|=1$。零向量：$|\vec{0}|=0$。

平行（共线）：方向相同或相反，记 $\vec{a}\parallel\vec{b}$。零向量与任何向量平行。

线性运算（坐标形式）

设 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$：

$\vec{a}\pm\vec{b}=(a_1\pm b_1,\;a_2\pm b_2,\;a_3\pm b_3)$

$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\;\lambda a_2,\;\lambda a_3)$

平行条件：$\vec{a}\parallel\vec{b}$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$（分量成比例）

模与方向余弦 必考

模：$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

两点距离：$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

方向余弦：$\cos\alpha=\frac{a_1}{|\vec{a}|}$，$\cos\beta=\frac{a_2}{|\vec{a}|}$，$\cos\gamma=\frac{a_3}{|\vec{a}|}$

恒等式：$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

单位向量：$\vec{e}_a=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$

例 1 · 求模与方向余弦

$\vec{a}=(1,2,2)$，$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3$

$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$

数量积（点积 · 内积）高频

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3$

口诀："对应分量相乘再相加"。结果是标量（数）。

几何定义：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

物理意义：力做功 $W=\vec{F}\cdot\vec{s}$

夹角余弦公式 必背

$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

垂直条件：$\vec{a}\perp\vec{b}$ $\Longleftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

例 2 · 求夹角

$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec{b}=(0,1,1)$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0+1+0=1$，$|\vec{a}|=\sqrt{2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{2}$

$\cos\theta=\frac{1}{2}$，$\theta=\frac{\pi}{3}=60°$

例 3 · 三点求角

$A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,1,1)$，求 $\angle A$

$\vec{AB}=(1,1,-2)$，$\vec{AC}=(-1,1,-1)$

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-1+1+2=2$

$|\vec{AB}|=\sqrt{6}$，$|\vec{AC}|=\sqrt{3}$

$\cos A=\frac{2}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

向量积（叉积 · 外积）高频

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$

$=(a_2 b_3-a_3 b_2)\vec{i}-(a_1 b_3-a_3 b_1)\vec{j}+(a_1 b_2-a_2 b_1)\vec{k}$

结果是向量，方向由右手定则确定，垂直于 $\vec{a},\vec{b}$ 所在平面。

模的几何意义：$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ $=$ 平行四边形面积

三角形面积：$S_\triangle=\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

数量积 vs 向量积 对比

	数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b}$	向量积 $\vec{a}\times\vec{b}$
结果	标量（数）	向量
公式	对应分量乘加	行列式展开
交换律	✓ 满足	✗ $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
应用	求角、求投影	求面积、造法向量

例 4 · 叉积求面积

续例 3，$\vec{AB}=(1,1,-2)$，$\vec{AC}=(-1,1,-1)$

$\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&-2\\-1&1&-1\end{vmatrix}$

$=(1\cdot(-1)-(-2)\cdot 1)\vec{i}-(1\cdot(-1)-(-2)(-1))\vec{j}+(1\cdot 1-1\cdot(-1))\vec{k}$

$=(1,3,2)$

$S_\triangle=\frac{1}{2}\sqrt{1+9+4}=\frac{\sqrt{14}}{2}$

点法式方程 核心

已知平面过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$：

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

一般式方程

$Ax+By+Cz+D=0$

法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 就是方程中 $x,y,z$ 的系数。

特殊平面速判 选择题高频

缺谁平行谁：缺 $z$ → 平行 $z$ 轴；缺 $y,z$ → 平行 $yOz$ 面。

无常数项过原点：$D=0$ → 平面过 $(0,0,0)$。

点到平面距离 必背

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

口诀：分子代入坐标加绝对值，分母法向量求模。

例 5 · 求平面方程

过 $(2,-3,0)$，法向量 $(1,-2,3)$：

$(x-2)-2(y+3)+3z=0$，即 $x-2y+3z-8=0$

例 6 · 三点求平面方程

过 $A(1,1,1),B(2,0,1),C(1,2,3)$

$\vec{AB}=(1,-1,0)$，$\vec{AC}=(0,1,2)$

法向量 $=\vec{AB}\times\vec{AC}=(-2,-2,1)$

代入 $A$：$-2(x-1)-2(y-1)+(z-1)=0$

化简：$2x+2y-z-3=0$

例 7 · 点到平面距离

点 $(2,1,1)$ 到平面 $x+y-z+1=0$：

$d=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

两平面位置关系

平行：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$（法向量平行）

垂直：$A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2=0$（法向量垂直）

点向式（对称式）方程 核心

过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$：

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

若某分母为 $0$（如 $m=0$），则理解为分子 $=0$，即 $x=x_0$。

参数方程（求交点神器）

令对称式等于参数 $t$：

$x=x_0+mt$，$y=y_0+nt$，$z=z_0+pt$

直线与平面的位置关系

方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$，法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$

平行：$Am+Bn+Cp=0$（$\vec{s}\perp\vec{n}$）

垂直：$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$（$\vec{s}\parallel\vec{n}$）

例 8 · 求直线与平面交点 必考

直线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}$，平面 $x+y-z+2=0$

① 参数化：$x=1+t$，$y=-2t$，$z=-1+t$

② 代入平面：$(1+t)+(-2t)-(-1+t)+2=0$

$-2t+4=0$，$t=2$

③ 回代：$x=3$，$y=-4$，$z=1$

交点 $(3,-4,1)$

两直线夹角

$\cos\theta=\frac{|m_1 m_2+n_1 n_2+p_1 p_2|}{|\vec{s}_1||\vec{s}_2|}$

垂直：$m_1 m_2+n_1 n_2+p_1 p_2=0$

三类常考曲面 选择题

类型	方程特征	示例
球面	$x^2,y^2,z^2$ 系数相同	$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
柱面	缺一元；缺谁母线平行谁	$x^2+y^2=R^2$（圆柱，∥$z$轴）
旋转面	含 $(x^2+y^2)$ 结构	$z^2=x^2+y^2$（圆锥面）

柱面判别口诀：三元方程缺一元，缺谁母线平行谁。

例 9 · 辨认曲面

(1) $x^2+y^2+z^2-4x+6y=0$ → 化为 $(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=13$，球面

(2) $y^2=2x$ → 缺 $z$，抛物柱面（母线∥$z$轴）

核心公式速记与易错点

数量积：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum a_i b_i$（求角/判垂直）

向量积：行列式展开（求面积/造法向量）

平面：法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 就是系数

直线：方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$ 在分母

① 叉积不满足交换律——$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$

② 直线∥平面与直线⊥平面搞反——∥是 $\vec{s}\perp\vec{n}$，⊥是 $\vec{s}\parallel\vec{n}$

③ 三点求平面忘用叉积造法向量——先构造两向量再叉积

④ 点到平面距离忘加绝对值——分子必须取绝对值