1. 定积分的换元积分法；2. 定积分的分部积分法。
1. 熟练掌握定积分的换元积分法（注意换限！）；
2. 熟练掌握定积分的分部积分法；
3. 掌握利用奇偶性和周期性简化定积分计算。
上一讲用 N-L 公式可以计算简单的定积分。本讲学习换元法和分部积分法处理更复杂的情形。
定理 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，令 $x = \varphi(t)$，若
(1) $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$；
(2) $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上有连续导数且值域包含在 $[a,b]$ 中，
则 $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\,\varphi'(t)\,dt$$
关键：换元后必须换限！$x = a \Rightarrow t = \alpha$，$x = b \Rightarrow t = \beta$。结果中不能再出现 $t$。
例1 计算 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$（$a > 0$）
解 令 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t\,dt$。$x=0 \Rightarrow t=0$，$x=a \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$
例2 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x\,dx$
解 $= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \cdot \cos x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2 x)\,d(\sin x)$
令 $u = \sin x$，$x=0 \Rightarrow u=0$，$x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u=1$
$= \displaystyle\int_0^1 (1-u^2)\,du = \left(u - \dfrac{u^3}{3}\right)\bigg|_0^1 = \dfrac{2}{3}$
例3 $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\bigg|_0^1 = \dfrac{\ln 2}{2}$
例4 $\displaystyle\int_0^4 \dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$
解 令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。$x=0 \Rightarrow t=0$，$x=4 \Rightarrow t=2$
若 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，则：
例5 $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$（$x^3$ 为奇函数）
例6 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + x^2\sin x)\,dx$
解 $\cos x$ 为偶函数，$x^2\sin x$ 为奇函数（偶$\times$奇=奇），故
$= 2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx + 0 = 2\sin x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = 2$
例7 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^4 - 3x^2 + 2)\,dx$
解 被积函数为偶函数，$= 2\displaystyle\int_0^2 (x^4-3x^2+2)\,dx = 2\left(\dfrac{32}{5}-8+4\right) = \dfrac{24}{5}$
公式
例1 $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$
解 $= \displaystyle\int_0^1 x\,de^x = xe^x\bigg|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e-1) = 1$
例2 $\displaystyle\int_0^1 x\ln x\,dx$
解 $= \displaystyle\int_0^1 \ln x\,d\!\left(\dfrac{x^2}{2}\right) = \dfrac{x^2}{2}\ln x\bigg|_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x}\,dx = 0 - \dfrac{1}{2}\int_0^1 x\,dx = -\dfrac{1}{4}$
例3 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$
解 $= x\sin x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = \dfrac{\pi}{2} - (-\cos x)\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2} - 1$
例4 $\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx$
解 $= x(\ln x)^2\bigg|_1^e - 2\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = e - 2\left(x\ln x\bigg|_1^e - \int_1^e dx\right) = e - 2(e - e + 1) = e - 2$
其中 $n!! = n(n-2)(n-4)\cdots$（双阶乘）
例 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x\,dx = \dfrac{3!!}{4!!} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{16}$
例 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x\,dx = \dfrac{4!!}{5!!} = \dfrac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3 \cdot 1} = \dfrac{8}{15}$
1. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x\,dx$
解 $= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1)\,dx = (\tan x - x)\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} = 1 - \dfrac{\pi}{4}$
2. $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx$
解 分部：$= -xe^{-x}\bigg|_0^1 + \displaystyle\int_0^1 e^{-x}\,dx = -\dfrac{1}{e} + (-e^{-x})\bigg|_0^1 = -\dfrac{1}{e} + 1 - \dfrac{1}{e} = 1 - \dfrac{2}{e}$
3. $\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{x^2}{1+e^x}\,dx$
提示 令 $f(x) = \dfrac{x^2}{1+e^x}$，验证 $f(x) + f(-x) = x^2$，故 $\displaystyle\int_{-1}^{1} = \int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$
一、定积分的换元法
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \xlongequal{x=\varphi(t)} \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt$
关键：换元必须换限！常用：三角换元（根号下 $a^2 - x^2$）、凑微分、根号换元。
二、对称区间上的简化
偶函数 → 加倍；奇函数 → 等于零。
三、分部积分法
$\displaystyle\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du$
四、Wallis公式——$\sin^n x$、$\cos^n x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的积分。